1、2020 年山东省德州市武城县中考数学二练试卷年山东省德州市武城县中考数学二练试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题每小题个小题每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （4 分）下列计算结果正确的是（ ） A （a3）2a9 Ba2a3a6 C222 D1 2 （4 分）下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （4 分）截止到 2019 年 9 月 3 日，电影哪吒之魔童降世的累计票房达到了 47.24 亿， 47.24 亿用科学记数法表示为（ ） A
2、47.24109 B4.724109 C4.724105 D472.4105 4 （4 分）如图所示，将含有 30角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条 上，若135，则2 的度数为（ ） A10 B20 C25 D30 5 （4 分）我市某中学九年级（1）班为开展“阳光体育运动” ，决定自筹资金为班级购买体 育器材，全班 50 名同学捐款情况如下表： 捐款（元） 5 10 15 20 25 30 人数 3 6 11 11 13 6 问该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A13，11 B25，30 C20，25 D25，20 6 （4 分）小亮领来 n 盒粉笔，整齐地摆在讲
3、桌上，其三视图如图，则 n 的值是（ ） A7 B8 C9 D10 7 （4 分）下列说法错误的是（ ） A平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧 B已知O 的半径为 6，点 O 到直线 a 的距离为 5，则直线 a 与O 有两个交点 C如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形 D三角形的内心到三角形的三边的距离相等 8 （4 分）若x5，则 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 9 （4 分）九年级学生去距学校 10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20min 后， 其余学生乘汽车出发， 结果他们同时到达 已知汽车的速度是骑车学生速度
4、的 2 倍， 求骑车学生的速度设骑车学生的速度为 xkm/h，则所列方程正确的是（ ） A B20 C+ D+20 10 （4 分）如图，AB 为半圆的直径，且 AB4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45，点 A 旋转 到 A的位置，则图中阴影部分的面积为（ ） A B2 C D4 11 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取 值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 12 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如 下表所示，则下列结论中，正确的个
5、数有（ ） x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 （1）a0； （2）当 x0 时，y3； （3）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小； （4）方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，共个小题，共 24 分分.） 13 （4 分）分解因式：x325x 14 （4 分）从 1、2、3 中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作 为个位上的数字，那么组成的两位数是 4 的倍数的概率是 15 （4 分） 在O 中， 半径为 2， 弦 AB 的长为 2， 则弦 AB 所对的圆
6、周角的度数为 16 （4 分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站，AB2km，从 A 测得船 C 在 北偏东 60的方向，从 B 测得船 C 在北偏东 30的方向，测船 C 离海岸线 l 的距离（即 CD 的长为） km 17 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC、BD 是对角线，将DCB 绕着点 D 顺时 针旋转 45得到DGH，HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG则下列结 论： 四边形 AEGF 是菱形； HED 的面积是 1； AFG135； BC+FG 其中正确的结论是 （填入正确的序号） 18 （4 分）如图，直线 l
7、：yx，点 A1坐标为（0，1） ，过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1长为半径画弧交 y 一轴于点 A2；再过点 A2作 y 轴的垂 线交直线于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2长为半径画弧交 y 轴于点 A3，按此做法进 行下去，点 A4的坐标为（ ， ） ；点 An的坐标为（ ， ） 三、解答题： （本大题有三、解答题： （本大题有 7 小题，共小题，共 78 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）先化简，再求值： （x1），其中 x，y 20 （10 分） （1）某校招聘教师一名
8、，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项 测试，他们各自的成绩如下表所示： 应聘者 专业知识 讲课 答辩 甲 70 85 80 乙 90 85 75 丙 80 90 85 按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权 5：4：1请计算三名应聘者的平 均成绩，从成绩看，应该录取谁？ （2）我市举行了某学科实验操作考试，有 A、B、C、D 四个实验，规定每位学生只参加 其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验小王，小张，小厉都参 加了本次考试 小厉参加实验 D 考试的概率是 ； 用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率 21 （10 分）某出租公司有若干辆同
9、一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、 旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨据统计，淡季该公司平均每 天有 10 辆货车未出租，日租金总收入为 1500 元；旺季所有的货车每天能全部租出，日 租金总收入为 4000 元 （1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？ （2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 20 元，每天租出去的货车 就会减少 1 辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租 金总收入最高？ 22 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，以 AD 为直径的O
10、与 边 BC 相切于点 E，与边 AC 相交于点 G，且，连接 GO 并延长交O 于点 F，连 接 BF （1）求证： AOAG BF 是O 的切线 （2）若 BD6，求图形中阴影部分的面积 23 （12 分）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量如图，他在山坡坡 脚 P 处测得古塔顶端 M 的仰角为 60，沿山坡向上走 25m 到达 D 处，测得古塔顶端 M 的仰角为 30 已知山坡坡度 i3： 4， 即 tan， 请你帮助小明计算古塔的高度 ME（结 果精确到 0.1m，参考数据：1.732） 24 （12 分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究 （一
11、）猜测探究 在ABC 中，ABAC，M 是平面内任意一点，将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转与 BAC 相等的角度，得到线段 AN，连接 NB （1）如图 1，若 M 是线段 BC 上的任意一点，请直接写出NAB 与MAC 的数量关系 是 ，NB 与 MC 的数量关系是 ； （2）如图 2，点 E 是 AB 延长线上点，若 M 是CBE 内部射线 BD 上任意一点，连接 MC， （1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 （二）拓展应用 如图 3，在A1B1C1中，A1B18，A1B1C160，B1A1C175，P 是 B1C1上的 任意点， 连接 A1P， 将
12、A1P 绕点 A1按顺时针方向旋转 75， 得到线段 A1Q， 连接 B1Q 求 线段 B1Q 长度的最小值 25 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴 交于点 C，且过点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 2020 年山东省德州市武城县中考数学二练试卷年山东省德州市武城县中考数学二练试卷 参考答案与试题解析参考
13、答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题每小题个小题每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （4 分）下列计算结果正确的是（ ） A （a3）2a9 Ba2a3a6 C222 D1 【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂及负整数指数幂的法则 判定即可 【解答】解：A、 （a3）2a6，故本选项不正确， B、a2a3a5，故本选项不正确， C、222，故本选项正确， D、cos600，故本选项不正确， 故选：C 2 （4 分）下列图形是中心对
14、称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D 3 （4 分）截止到 2019 年 9 月 3 日，电影哪吒之魔童降世的累计票房达到了 47.24 亿， 47.24 亿用科学记数法表示为（ ） A47.24109 B4.724109 C4.724105 D472.4105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n
15、的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：47.24 亿4724 000 0004.724109 故选：B 4 （4 分）如图所示，将含有 30角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条 上，若135，则2 的度数为（ ） A10 B20 C25 D30 【分析】延长 AB 交 CF 于 E，求出ABC，根据三角形外角性质求出AEC，根据平行 线性质得出2AEC，代入求出即可 【解答】解：如图，延长 AB 交 CF
16、于 E， ACB90，A30， ABC60， 135， AECABC125， GHEF， 2AEC25， 故选：C 5 （4 分）我市某中学九年级（1）班为开展“阳光体育运动” ，决定自筹资金为班级购买体 育器材，全班 50 名同学捐款情况如下表： 捐款（元） 5 10 15 20 25 30 人数 3 6 11 11 13 6 问该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A13，11 B25，30 C20，25 D25，20 【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或 最中间两个数的平均数） ；众数是一组数据中出现次数最多的数据 【解答】解：在这一组数据中
17、 25 元是出现次数最多的，故众数是 25 元； 将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是 20、20，那么由中位数的 定义可知，这组数据的中位数是 20； 故选：D 6 （4 分）小亮领来 n 盒粉笔，整齐地摆在讲桌上，其三视图如图，则 n 的值是（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】根据三视图可得这个几何体共有 3 层，由俯视图可得第一层盒数，由正视图和 左视图可得第二层，第三层盒数，相加即可 【解答】解：由俯视图可得最底层有 4 盒，由正视图和左视图可得第二层有 2 盒，第三 层有 1 盒，共有 7 盒，则 n 的值是 7； 故选：A 7 （4 分）下列说法错误的是（
18、） A平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧 B已知O 的半径为 6，点 O 到直线 a 的距离为 5，则直线 a 与O 有两个交点 C如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形 D三角形的内心到三角形的三边的距离相等 【分析】根据垂径定理，三角形的外接圆与内切圆，直线与圆的关系等知识分析此题 【解答】解：A、如果直径平分的弦也是直径的话，此种情况是不成立的； 但是如果说垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧就是正确的结论； B、因为半径是 6，而圆心到直线的距离是 5，因此圆与直线相交，并且有两个交点； C、如果三角形的外心在三角形的外部，那么三角形在外接圆中，有
19、一个角相对应的弧必 定是优弧，因此三角形是钝角三角形； D、由于三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此到三边的距离都是内切圆的半径， 因此该结论也是正确的 故选：A 8 （4 分）若x5，则 x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 【分析】因为a（a0） ，由此性质求得答案即可 【解答】解：x5， 5x0 x5 故选：C 9 （4 分）九年级学生去距学校 10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20min 后， 其余学生乘汽车出发， 结果他们同时到达 已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍， 求骑车学生的速度设骑车学生的速度为 xkm/h，则所列方程正确的是（
20、） A B20 C+ D+20 【分析】表示出汽车的速度，然后根据汽车行驶的时间等于骑车行驶的时间减去时间差 列方程即可 【解答】解：设骑车学生的速度为 xkm/h，则汽车的速度为 2xkm/h， 由题意得，+ 故选：C 10 （4 分）如图，AB 为半圆的直径，且 AB4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45，点 A 旋转 到 A的位置，则图中阴影部分的面积为（ ） A B2 C D4 【分析】根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形 ABA的面积加上半圆面积再减去半 圆面积，即为扇形面积即可 【解答】解：S阴影S扇形ABA+S半圆S半圆 S扇形ABA 2 故选：B 11 （4 分）若关于 x 的一元
21、二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取 值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出不等式，且 二次项系数不为 0，即可求出 k 的范围 【解答】解：一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根， b24ac4+4k0，且 k0， 解得：k1 且 k0 故选：D 12 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如 下表所示，则下列结论中，正确的个数有（ ） x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 （1）
22、a0； （2）当 x0 时，y3； （3）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小； （4）方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x1.5，然后根据二次函数的性质 对各小题分析判断即可得解 【解答】解： （1）由图表中数据可得出：x1 时，y1，所以二次函数 yax2+bx+c 开口向下，a0，故（1）正确； （2）又 x0 时，y3，所以 c30，当 x0 时，y3，故（2）正确； （3）二次函数的对称轴为直线 x1.5，当 x1.5 时，y 的值随 x 值的增大而减小， 故（3）错误； （
23、4）yax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a0）的图象与 x 轴有两个交点，顶点坐标的 纵坐标5， 方程 ax2+bx+c50， ax2+bx+c5 时，即是 y5 求 x 的值， 由图象可知：有两个不相等的实数根，故（4）正确； 故选：B 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，共个小题，共 24 分分.） 13 （4 分）分解因式：x325x x（x+5） （x5） 【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解 【解答】解：x325x， x（x225） ， x（x+5） （x5） 14 （4 分）从 1、2、3 中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的
24、数字中任取一个数作 为个位上的数字，那么组成的两位数是 4 的倍数的概率是 【分析】画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出组成的两位数是 4 的倍数的结 果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中组成的两位数是 4 的倍数的结果数为 2， 所以组成的两位数是 4 的倍数的概率 故答案为 15 （4 分）在O 中，半径为 2，弦 AB 的长为 2，则弦 AB 所对的圆周角的度数为 30 或 150 【分析】由 ABOAOB 得AOB60，再由圆周角定理和圆内接四边形的性质即可 得出答案 【解答】解：如图，弦 AB 所对的圆周角为C，D， 连接
25、OA、OB， ABOAOB2， AOB60， CAOB30， D180C150， 即弦 AB 所对的圆周角的度数 30或 150； 故答案为：30或 150 16 （4 分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站，AB2km，从 A 测得船 C 在 北偏东 60的方向，从 B 测得船 C 在北偏东 30的方向，测船 C 离海岸线 l 的距离（即 CD 的长为） km 【分析】首先由题意可证得：ACB 是等腰三角形，即可求得 BC 的长，然后由在 Rt CBD 中，CDBCsin60，求得答案 【解答】解：根据题意得：CAD906030，CBD903060， ACBCBDCAD30
26、， CABACB， BCAB2km， 在 RtCBD 中，CDBCsin602（km） 故答案为： 17 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC、BD 是对角线，将DCB 绕着点 D 顺时 针旋转 45得到DGH，HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG则下列结 论： 四边形 AEGF 是菱形； HED 的面积是 1； AFG135； BC+FG 其中正确的结论是 （填入正确的序号） 【分析】判断出四边形 AEGF 为平行四边形，以及 AEGE，即可得到平行四边形 AEGF 是菱形；依据 AE1，即可得到HED 的面积DHAE（1）1 ；依据四边形 A
27、EGF 是菱形，可得AFGGEA267.5135；根据四边 形 AEGF 是菱形，可得 FGAE1，进而得到 BC+FG1+1 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 1， BCDBAD90，CBD45，BD，ADCD1 由旋转的性质可知： HGDBCD90， HCBD45， BDHD， GDCD， HABG1，HEBG45，HAEBGE90， HAE 和BGE 均为直角边为1 的等腰直角三角形， 在 RtAED 和 RtGED 中， ， RtAEDRtGED（HL） ， AEDGED（180BEG）67.5，AEGE， AFE180EAFAEF1804567.567.5AEF， AEAF A
28、EGE，AFBD，EGBD， AFGE 且 AFGE， 四边形 AEGF 为平行四边形， AEGE， 平行四边形 AEGF 是菱形，故正确； HA1，H45， AE1， HED 的面积DHAE（1）1，故正确； 四边形 AEGF 是菱形， AFGGEA267.5135，故正确； 四边形 AEGF 是菱形， FGAE1， BC+FG1+1，故不正确 故答案为： 18 （4 分）如图，直线 l：yx，点 A1坐标为（0，1） ，过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1长为半径画弧交 y 一轴于点 A2；再过点 A2作 y 轴的垂 线交直线于点 B2，以原点 O
29、为圆心，OB2长为半径画弧交 y 轴于点 A3，按此做法进 行下去，点 A4的坐标为（ 0 ， 8 ） ；点 An的坐标为（ 0 ， 2n 1 ） 【分析】 先根据一次函数方程式求出 B1点的坐标， 在根据 B1点的坐标求出 A2点的坐标， 由此得到点 A4的坐标，以此类推总结规律便可求出点 An的坐标 【解答】解：直线 yx，点 A1坐标为（0，1） ，过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，可知 B1点的坐标为（，1） ， 以原点 O 为圆心，OB1长为半径画弧交 y 一轴于点 A2，OA2OB12OA12，点 A2的 坐标为（0，2） ， 这种方法可求得 B2的坐标为（2，2）
30、 ， 故点 A3的坐标为（0，4） ，点 A4的坐标为（0，8） ， 此类推便可求出点 An的坐标为（0，2n 1） 故答案为：0，8，0，2n 1 三、解答题： （本大题有三、解答题： （本大题有 7 小题，共小题，共 78 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）先化简，再求值： （x1），其中 x，y 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （x1） 1 x，y 1111 20 （10 分） （1）某校招聘教师一
31、名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项 测试，他们各自的成绩如下表所示： 应聘者 专业知识 讲课 答辩 甲 70 85 80 乙 90 85 75 丙 80 90 85 按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权 5：4：1请计算三名应聘者的平 均成绩，从成绩看，应该录取谁？ （2）我市举行了某学科实验操作考试，有 A、B、C、D 四个实验，规定每位学生只参加 其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验小王，小张，小厉都参 加了本次考试 小厉参加实验 D 考试的概率是 ； 用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率 【分析】 （1）根据加权平均数分别计
32、算三人的平均成绩，比较大小即可得； （2）根据概率公式即可得；列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽到同 一实验的情况数，即可求出所求概率 【解答】解： （1）77（分） ， 86.5（分） ， 84.5（分） ， 因为乙的平均成绩最高， 所以应该录取乙； （2）小厉参加实验 D 考试的概率是， 故答案为：； 解：列表如下： A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 所有等可能的情况有 16 种，其中两位同学抽到同一实验的情况有 AA，BB，CC，DD，4 种情况， 所以小王、小张抽到同一个实验的概率为
33、21 （10 分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、 旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨据统计，淡季该公司平均每 天有 10 辆货车未出租，日租金总收入为 1500 元；旺季所有的货车每天能全部租出，日 租金总收入为 4000 元 （1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？ （2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 20 元，每天租出去的货车 就会减少 1 辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租 金总收入最高？ 【分析】 （1）根据题意可以列出方程，进而求得结论； （2）根
34、据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答 本题 【解答】解： （1）该出租公司这批对外出租的货车共有 x 辆， 根据题意得， 解得：x20， 经检验：x20 是分式方程的根， 1500（2010）150（元） ， 答：该出租公司这批对外出租的货车共有 20 辆，淡季每辆货车的日租金 150 元； （2）设每辆货车的日租金上涨 a 元时，该出租公司的日租金总收入为 W 元， 根据题意得，Wa+150（1+）（20） ， Wa2+10a+4000（a100）2+4500， 0， 当 a100 时，W 有最大值， 答：每辆货车的日租金上涨 100 元时，该出租公司的日租
35、金总收入最高 22 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，以 AD 为直径的O 与 边 BC 相切于点 E，与边 AC 相交于点 G，且，连接 GO 并延长交O 于点 F，连 接 BF （1）求证： AOAG BF 是O 的切线 （2）若 BD6，求图形中阴影部分的面积 【分析】 （1）先利用切线的性质判断出ACBOEB，再用平行线结合弧相等判断 出AOGAGO，即可得出结论； 先判断出AOG 是等边三角形，进而得出BOFAOG60，进而判断出EOB 60，得出OFBOEB，得出OFB90，即可得出结论； （2） 先判断出ABC30， 进而得出 OB2BE，
36、建立方程 6+r2r， 继而求出 AG6， AB18，AC9，CG3，再判断出OGE 是等边三角形，得出 GEOE6，进而利用 根据勾股定理求出 CE3，即可得出结论 【解答】解： （1）证明：如图 1，连接 OE， O 与 BC 相切于点 E， OEB90， ACB90， ACBOEB， ACOE， GOEAGO， ， AOGGOE， AOGAGO， AOAG； 由知，AOAG， AOOG， AOOGAG， AOG 是等边三角形， AGOAOGA60， BOFAOG60， 由知，GOEAOG60， EOB180AOGGOE180606060， FOBEOB， OFOE，OBOB， OFBOE
37、B（SAS） ， OFBOEB90， OFBF， OF 是O 的半径， BF 是O 的切线； （2）如图 2，连接 GE， A60， ABC90A30， OB2BE， 设O 的半径为 r， OBOD+BD， 6+r2r， r6， AGOA6，AB2r+BD18， ACAB9，CGACAG3， 由（1）知，EOB60， OGOE， OGE 是等边三角形， GEOE6， 根据勾股定理得，CE3， S阴影S梯形GCEOS扇形OGE（6+3） 23 （12 分）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量如图，他在山坡坡 脚 P 处测得古塔顶端 M 的仰角为 60，沿山坡向上走 25m 到达 D
38、 处，测得古塔顶端 M 的仰角为 30 已知山坡坡度 i3： 4， 即 tan， 请你帮助小明计算古塔的高度 ME（结 果精确到 0.1m，参考数据：1.732） 【分析】作 DCEP 交 EP 的延长线于 C，作 DFME 于 F，作 PHDF 于 H，根据坡 度的定义分别求出 DC、CP，设 MFym，根据正切的定义用 y 分别表示出 DF、PE，根 据题意列方程，解方程得到答案 【解答】解：作 DCEP 交 EP 的延长线于 C，作 DFME 于 F，作 PHDF 于 H， 则 DCPHFE，DHCP，HFPE， 设 DC3x， tan， CP4x， 由勾股定理得，PD2DC2+CP2，
39、即 252（3x）2+（4x）2， 解得，x5， 则 DC3x15，CP4x20， DHCP20，PHFEDC15， 设 MFym， 则 ME（y+15）m， 在 RtMDF 中，tanMDF， 则 DFy， 在 RtMPE 中，tanMPE， 则 PE（y+15） ， DHDFHF， y（y+15）20， 解得，y7.5+10， MEMF+FE7.5+10+1539.8， 答：古塔的高度 ME 约为 39.8m 24 （12 分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究 （一）猜测探究 在ABC 中，ABAC，M 是平面内任意一点，将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转
40、与 BAC 相等的角度，得到线段 AN，连接 NB （1）如图 1，若 M 是线段 BC 上的任意一点，请直接写出NAB 与MAC 的数量关系 是 NABMAC ，NB 与 MC 的数量关系是 NBCM ； （2）如图 2，点 E 是 AB 延长线上点，若 M 是CBE 内部射线 BD 上任意一点，连接 MC， （1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 （二）拓展应用 如图 3，在A1B1C1中，A1B18，A1B1C160，B1A1C175，P 是 B1C1上的 任意点， 连接 A1P， 将 A1P 绕点 A1按顺时针方向旋转 75， 得到线段 A1Q， 连接 B1
41、Q 求 线段 B1Q 长度的最小值 【分析】 （一）结论：NABMAC，BNMC根据 SAS 证明NABMAC 即 可 中结论仍然成立证明方法类似 （二）如图 3 中，在 A1C1上截取 A1NA1B1，连接 PN，作 NHB1C1于 H，作 A1M B1C1于 M理由全等三角形的性质证明 B1QPN，推出当 PN 的值最小时，QB1的值最 小，求出 HN 的值即可解决问题 【解答】解： （一） （1）结论：NABMAC，BNMC 理由：如图 1 中， MANCAB， NAB+BAMBAM+MAC， NABMAC， ABAC，ANAM， NABMAC（SAS） ， BNCM 故答案为NABMA
42、C，BNCM （2）如图 2 中，中结论仍然成立 理由：MANCAB， NAB+BAMBAM+MAC， NABMAC， ABAC，ANAM， NABMAC（SAS） ， BNCM （二）如图 3 中，在 A1C1上截取 A1NA1B1，连接 PN，作 NHB1C1于 H，作 A1M B1C1于 M C1A1B1PA1Q， QA1B1PA1N， A1QA1P，A1B1AN， QA1B1PA1N（SAS） ， B1QPN， 当 PN 的值最小时，QB1的值最小， 在 RtA1B1M 中，A1B1M60，A1B18， A1MA1B1sin604， MA1C1B1A1C1B1A1M753045， A1
43、C14， NC1A1C1A1N48， 在 RtNHC1，C145， NH44， 根据垂线段最短可知，当点 P 与 H 重合时，PN 的值最小， QB1的最小值为 44 25 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴 交于点 C，且过点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）函数的表达式为：ya（x+1）
44、（x3） ，将点 D 坐标代入上式，即可求解； （2）SPODOG（xDxP）（3+2m） （2m）m2+m+3，即可求解； （3）分ACBBOQ、BACBOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直 线 OQ 倾斜角，进而求解 【解答】解： （1）函数的表达式为：ya（x+1） （x3） ，将点 D 坐标代入上式并解得： a1， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P（m，m22m3） ， 将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：ysx+t 并解得： 直线 PD 的表达式为：ymx32m，则 OG3+2m， SPODOG（xDxP）（3+2m）
45、 （2m）m2+m+3， 10，故 SPOD有最大值，当 m时，其最大值为； （3）OBOC3，OCBOBC45， ABCOBE，故OBE 与ABC 相似时，分为两种情况： 当ACBBOQ 时， AB4，BC3，AC， 过点 A 作 AHBC 于点 H， SABCAHBCABOC，解得：AH2， 则 sinACB，则 tanACB2， 则直线 OQ 的表达式为：y2x， 联立并解得：x或， 故点 Q（，2）或（，2） ， BACBOQ 时， tanBAC3tanBOQ， 则点 Q（n，3n） ， 则直线 OQ 的表达式为：y3x， 联立并解得：x， 故点 Q（，）或（，） ； 综上， 当OBE与ABC相似时， Q的坐标为：（， 2） 或 （， 2） 或 （， ）或（，）
