1、2020 年山东省烟台市中考数学预测试卷年山东省烟台市中考数学预测试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）每小题都给出标号为分）每小题都给出标号为 A，B，C， D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的. 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 2 （3 分）下列各徽标中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图，由 8 个大小相同的小正方体组成的几何体中，在几号小正方体上方添加一 个小正方体，其左视图可保持不变（ ） A B C
2、D 4 （3 分）某中学校长计划周三早上去听课，已知该校七年级有 4 个班，八年级有 5 个班， 九年级有 4 个班，校长从上午的课中随机选择一个班去听一节课，校长所选择听课的班 级正好是九年级的概率为（ ） A B C D 5 （3 分）截至 2020 年 2 月 14 日，各级财政已安排疫情防控补助资金 901.5 亿元，其中中 央财政安排 252.9 亿元，为疫情防控提供了有力保障其中数据 252.9 亿用科学记数法可 表示为（ ） A252.9108 B2.529109 C0.25291010 D2.5291010 6 （3 分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班委会经过讨论决定在苹果、桔
3、子、香蕉、梨四 种水果中选出一种购买，班长对全班学生爱吃哪种水果做了调查，则最终在决定购买哪 种水果时，下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A众数 B平均数 C中位数 D方差 7（3 分） 已知 a、 b 是一元二次方程 x2+xc0 的两根， 且 a+b2ab5， 那么 c 等于 （ ） A3 B3 C2 D2 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，分别以点 A、点 B 为圆心，以大于AB 长为半径 画弧，两弧交点的连线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，若A40，则DBC （ ） A40 B30 C20 D10 9 （3 分）如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放
4、而成，按此规律，则第 n 个图形中 圆点的个数为（ ） An+1 Bn2+n C4n+1 D2n1 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一点，且 CECD，连接 DE，若 AB5，AC8，则（ ） A B C D 11 （3 分）已知二次函数 yax2+bxc 的图象的对称轴为直线 x1，开口向下，且与 x 轴 的其中一个交点是（3，0） 下列结论： 4a+2bc0； abc0； c3a； 5a+b2c0 正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12 （3 分）如图，等腰 RtABC 中，ABAC2cm，动点 Q 从点 C 出发沿 CAB
5、路径 以 1cm/s 的速度运动，设点 Q 运动时间为 t（s） ，BCQ 的面积为 S，则 S 关于 t 的函数 图象大致为（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 84 分）分） 13 （3 分）计算：（5）02sin45 14 （3 分）二次根式有意义，则 x 的取值范围是 15 （3 分）如图，已知矩形 ABCD 和矩形 BEFG 是位似图形，点 O 是位似中心，若点 D 的 坐标为（1，2） ，点 F 的坐标为（4，4） ，则点 G 的坐标是 16 （3 分）如图，反比例函数 y的图象经过点 A，点 B 与点
6、 A 关于 x 轴对称，点 C 是 y 轴上一点，若ABC 的面积为 2，则该反比例函数的解析式为 17 （3 分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点 A 处有一飞虫，在其上边沿的点 B 处有一面 包残渣，已知 C 是点 B 正下方的桶内底面上一点，已知劣弧 AC 的长为cm，铁桶 的底面直径为 40cm，桶高 60cm，则该飞虫从点 A 到达点 B 的最短路径为 cm 18（3 分） 如图， 边长为 2 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45后得到正方形 AB1C1D1， 连接 B1C，边 B1C1与 CD 交于点 O，则图中阴影部分的面积为 19 （6 分）先化简： （），再从2，1，
7、1，2，3 中选择一个你喜欢 的值代入求值 20 （8 分）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时 间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校集合为 学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学 生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的 调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 （1）本次调查的人数有多少人？ （2）请补全条形图； （3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数； （4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的 概
8、率 21 （9 分）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件 300 元出售，一个月可卖出 100 件，通过市场调查发现，售价每件每降低 10 元，月销售件数 增加 20 件 （1）已知该农产品的成本是每件 200 元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕， 则售价应定为多少元； （2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件 300 元，买五送一， 在（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买 38 件该农产品，应选择在线上购买还 是线下超市购买？ 22 （9 分）如图，在ABC 中，AB 为O 的直径，O 交 AC 边于点 D，连接 OD，过点 D
9、 作O 的切线 DE，且 DEBC 于点 E （1）求证：BABC； （2）若 DE2，O 的直径为 5，求 tanC 23 （10 分）良好的坐姿习惯有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确 的写字坐姿，身体上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸 膛挺起，理想状态下，如图将图中的眼睛记为点 A，腹记为点 B，笔尖记为点 D， 且 BD 与桌沿的交点记为点 C已知 AD30cm，BC12cm，点 A 到 BD 的距离 为 23cm，B70 （1）求ADB 的度数； （2）老师发现小亮同学写字姿势不正确眼睛倾斜到图 2 的点 E，点 E 恰好在 CD 的垂直
10、平分线上，且BDE60，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置应上升 的距离（结果精确到 1cm） 24 （12 分）如图 1，在 RtOAB 中，AOB90，OAOB，D 为 OB 边上一点，过 D 点作 DCAB 交 AB 于 C，连接 AD，E 为 AD 的中点，连接 OE、CE 观察猜想 （1）OE 与 CE 的数量关系是 ； OEC 与OAB 的数量关系是 ； 类比探究 （2）将图 1 中BCD 绕点 B 逆时针旋转 45，如图 2 所示，则（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展迁移 （3）将BCD 绕点 B 旋转任意角度，若 BD，OB
11、3，请直接写出点 O、C、B 在 同一条直线上时 OE 的长 25 （12 分）如图，抛物线 yax2+x+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B 两点，与 y 轴 交于点 C（0，2） ，连接 AC点 P 是 x 轴上的动点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AC 于点 D，E 为 y 轴上一点，连接 AE，BE，当 AD BE 时，求 AD+AE 的最小值； （3）点 Q 为抛物线上一动点，是否存在点 P，使得以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 2020 年山东省烟台市中考数学预测试卷（年
12、山东省烟台市中考数学预测试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）每小题都给出标号为分）每小题都给出标号为 A，B，C， D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的. 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数 【解答】解：根据相反数的定义，2 的相反数是 2 故选：A 2 （3 分）下列各徽标中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】
13、根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 3 （3 分）如图，由 8 个大小相同的小正方体组成的几何体中，在几号小正方体上方添加一 个小正方体，其左视图可保持不变（ ） A B C D 【分析】根据左视图的观察角度得出，左视图不变时小正方体的位置 【解答】 解： 如图所示： 在号小正方体上方添加一个小正方体， 其左视图可保持不变 故选：C 4 （3 分）某
14、中学校长计划周三早上去听课，已知该校七年级有 4 个班，八年级有 5 个班， 九年级有 4 个班，校长从上午的课中随机选择一个班去听一节课，校长所选择听课的班 级正好是九年级的概率为（ ） A B C D 【分析】用九年级班级数除以所有班级数总和即可求得答案 【解答】解：该校七年级有 4 个班，八年级有 5 个班，九年级有 4 个班， 所选择听课的班级正好是九年级的概率为， 故选：A 5 （3 分）截至 2020 年 2 月 14 日，各级财政已安排疫情防控补助资金 901.5 亿元，其中中 央财政安排 252.9 亿元，为疫情防控提供了有力保障其中数据 252.9 亿用科学记数法可 表示为（
15、 ） A252.9108 B2.529109 C0.25291010 D2.5291010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：252.9 亿252900000002.5291010 故选：D 6 （3 分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班委会经过讨论决定在苹果、桔子、香蕉、梨四 种水果中选出一种购买，班长对全班学生爱吃哪种水果做了调查，则最终在决定购买哪 种水果时，
16、下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A众数 B平均数 C中位数 D方差 【分析】根据题意可知，调查数据中最值得关注的是众数，从而可以解答本题 【解答】解：班长对全班学生爱吃哪种水果做了调查，最终在决定购买哪种水果， 调查数据中最值得关注的是众数， 故选：A 7（3 分） 已知 a、 b 是一元二次方程 x2+xc0 的两根， 且 a+b2ab5， 那么 c 等于 （ ） A3 B3 C2 D2 【分析】由一元二次方程的根与系数之间的关系求得两根之积与两根之和，再根据 a+b 2ab5，得到关于 c 的方程，解方程即可求解 【解答】解：a、b 是一元二次方程 x2+xc0 的两根， a+b1，
17、abc， a+b2ab5， 1+2c5， 解得 c3 故选：A 8 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，分别以点 A、点 B 为圆心，以大于AB 长为半径 画弧，两弧交点的连线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，若A40，则DBC （ ） A40 B30 C20 D10 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论 【解答】解：ABAC，A40， ABCC（18040）70， ADBD， ABDA40， DBCABCABD30， 故选：B 9 （3 分）如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第 n 个图形中 圆点的个数为（ ） An+1 Bn
18、2+n C4n+1 D2n1 【分析】观察图形的变化可知：第 1 个图形中圆点的个数为 4+15；第 2 个图形中圆点 的个数为 42+19；第 3 个图形中圆点的个数为 43+113；进而发现规律，即可得 第 n 个图形中圆点的个数 【解答】解：观察图形的变化可知： 第 1 个图形中圆点的个数为 4+15； 第 2 个图形中圆点的个数为 42+19； 第 3 个图形中圆点的个数为 43+113； 发现规律， 则第 n 个图形中圆点的个数为（4n+1） 故选：C 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一点，且 CECD，连接 DE，若 AB5，AC8，则（ ）
19、A B C D 【分析】连接 BD 交 AC 于点 O，根据勾股定理以及菱形的性质即可求出答案 【解答】解：连接 BD 交 AC 于点 O， ABCDAD5， CDCE5， AC8， AE3，OC4，OE1， 在 RtCDO 中， 由勾股定理可知：DO3， 在 RtDOE 中， 由勾股定理可知：DE， ， 故选：B 11 （3 分）已知二次函数 yax2+bxc 的图象的对称轴为直线 x1，开口向下，且与 x 轴 的其中一个交点是（3，0） 下列结论： 4a+2bc0； abc0； c3a； 5a+b2c0 正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据二次函数的图象
20、与系数的关系即可求出答案 【解答】解：（3，0）关于直线 x1 的对称点坐标为（1，0） 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， abc0，故错误； 1， b2a a+2ac0， c3a，故正确； b2a，c3a，a0， 4a+2bc4a4a3a3a0，即 4a+2bc0，故正确； 4a+2bc0，abc0， 两式相加：5a+b2c0，故正确， 故选：C 12 （3 分）如图，等腰 RtABC 中，ABAC2cm，动点 Q 从点 C 出发沿 CAB 路径 以 1cm/s 的速度运动，设点 Q 运动时间为 t（s） ，BCQ 的面积为 S，则
21、S 关于 t 的函数 图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，得 CQt，等腰 RtABC 中，ABAC2cm，得C45，BC 2，过点 Q 作 QDBC 于点 D，分两种情况讨论即可求出 S 关于 t 的函数，进而即可 判断 【解答】解：如图， 根据题意，得 CQt， 等腰 RtABC 中，ABAC2cm， C45，BC2， 过点 Q 作 QDBC 于点 D， 当 0t2 时， 则 QDt， SBCQD2tt， 当 2t4 时， QD（4t） ， S2（4t）4t 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 84 分）分
22、） 13 （3 分）计算：（5）02sin45 1 【分析】直接利用特殊角的三角函数值和零次幂的性质即可求出答案 【解答】解：原式12， 1， 故答案为：1 14 （3 分）二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件得出 2x+40，求出即可 【解答】解：二次根式有意义， 2x+40， x2， 故答案为：x2 15 （3 分）如图，已知矩形 ABCD 和矩形 BEFG 是位似图形，点 O 是位似中心，若点 D 的 坐标为（1，2） ，点 F 的坐标为（4，4） ，则点 G 的坐标是 （2，4） 【分析】直接利用位似图形的性质结合矩形的性质得出 OB，BG 的长
23、，即可得出答案 【解答】解：矩形 ABCD，点 D 的坐标为（1，2） ， ADBC2， 矩形 BEFG，点 F 的坐标为（4，4） ， EFBG4， ， OB2， 故点 G 的坐标是（2，4） 故答案为： （2，4） 16 （3 分）如图，反比例函数 y的图象经过点 A，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点 C 是 y 轴上一点，若ABC 的面积为 2，则该反比例函数的解析式为 y 【分析】设 AB 与 x 轴交于点 D，由对称性得到OAD 的面积为 1根据反比例函数比例 系数 k 的几何意义求得 k 的值 【解答】解：设 AB 与 x 轴交于点 D，连接 OA， 点 B 与点 A 关于
24、x 轴对称， ABy 轴， OAB 的面积为 2， OAD的面积为 1， |k|1， 在第二象限， k2， 反比例函数的解析式为 y， 故答案为 y 17 （3 分）如图，在一圆柱形铁桶内底面的点 A 处有一飞虫，在其上边沿的点 B 处有一面 包残渣，已知 C 是点 B 正下方的桶内底面上一点，已知劣弧 AC 的长为cm，铁桶 的底面直径为 40cm，桶高 60cm，则该飞虫从点 A 到达点 B 的最短路径为 40 cm 【分析】如图，连接 AB，OC，OA，AC，作 OHAC 于 H设AOCn利用弧长 公式求出 n，解直角三角形求出 AC，利用勾股定理求出 AB 即可解决问题 【解答】解：如
25、图，连接 AB，OC，OA，AC，作 OHAC 于 H设AOCn 的长， ， n120， OAOC，OHAC， COHAOH60，CHAH， AC2CH2OCsin6022020（cm） ， 在 RtABC 中，AB40（cm） ， 该飞虫从点 A 到达点 B 的最短路径为 40cm 故答案为 40 18（3 分） 如图， 边长为 2 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45后得到正方形 AB1C1D1， 连接 B1C，边 B1C1与 CD 交于点 O，则图中阴影部分的面积为 【分析】 先根据正方形的边长， 求得 CB1OB1ACAB122， 进而求出 SOB1C， 再求出 SAB1C1
26、，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积 【解答】解：连结 DC1， CAC1DCACOB1DOC145， AC1B145， ADC90， A，D，C1在一条直线上， 四边形 ABCD 是正方形， AC2，OCB145， CB1OB1 AB12， CB1OB1ACAB122， SOB1COB1CB1（22）64， SAB1C1AB1B1C1222， 图中阴影部分的面积SSS（6 4）2， 故答案为：8+4 19 （6 分）先化简： （），再从2，1，1，2，3 中选择一个你喜欢 的值代入求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结
27、果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 x1，1，2，3 时，分式没有意义， 当 x2 时，原式 20 （8 分）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时 间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校集合为 学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学 生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的 调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 （1）本次调查的人数有多少人？ （2）请补全条形图； （3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数； （4）
28、小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的 概率 【分析】 （1）根据在线阅读的人数和所占的百分比求出调查的总人数； （2）用总人数减去其它方式的人数求出在线答疑的人数，从而补全统计图； （3）用 360乘以“在线答疑”所占的百分比即可； （4） 根据题意画出树状图得出所有等情况数和小宁和小娟选择同一种学习方式的情况数， 再根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）本次调查的人数有 2525%100（人） ； （2）在线答题的人数有：10025401520（人） ，补图如下： （3） “在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是 36072； （4）记四种学习方式：在
29、线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为 A、B、C、 D，则可画树状图如下： 共有 16 种等情况数，其中小宁和小娟选择同一种学习方式的有 4 种， 则小宁和小娟选择同一种学习方式的概率是 21 （9 分）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件 300 元出售，一个月可卖出 100 件，通过市场调查发现，售价每件每降低 10 元，月销售件数 增加 20 件 （1）已知该农产品的成本是每件 200 元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕， 则售价应定为多少元； （2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件 300 元，买五送一， 在（1）的条
30、件下，小红想要用最优惠的价格购买 38 件该农产品，应选择在线上购买还 是线下超市购买？ 【分析】 （1）根据月利润每件利润月销售量，可求出售价为 300 元时的原利润，设 售价应定为 x 元，则每件的利润为（x200）元，月销售量为 100+（700 2x）件，根据月利润每件利润月销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之 取其较小值即可得出结论； （2）利用总价单价数量可求出线上购买所需费用，由“线下购买，买五送一”可得 出线下超市购买只需付 32 件的费用，求出购买 32 件的总费用，将线上、线下购买所需 费用比较后即可得出结论 【解答】解： （1）当售价为 300 元时月利润为（3
31、00200）10010000（元） 设售价应定为 x 元，则每件的利润为 （x200） 元， 月销售量为 100+（700 2x）件， 依题意，得： （x200） （7002x）10000， 整理，得：x2550 x+750000， 解得：x1250，x2300（舍去） 答：售价应定为 250 元 （2）线上购买所需费用为 250389500（元） ； 线下购买，买五送一， 线下超市购买只需付 32 件的费用， 线下购买所需费用为 300329600（元） 95009600 答：选择在线上购买更优惠 22 （9 分）如图，在ABC 中，AB 为O 的直径，O 交 AC 边于点 D，连接 OD，
32、过点 D 作O 的切线 DE，且 DEBC 于点 E （1）求证：BABC； （2）若 DE2，O 的直径为 5，求 tanC 【分析】 （1）利用切线的性质得 ODDE，则根据平行线的判定方法可得 ODBC，所 以ODAC，然后证明AC，从而得到结论； （2）连接 BD，如图，设 BEx，BCBA5，利用圆周角定理得到ADBBDC 90，再证明BDEBCD，利用相似比得到 BD2BCBE5x，则利用勾股定理得 到 5x22+x2，解方程得到 x 的值，然后利用正切的定义求出 tanBDE，从而得到 tanC 的值 【解答】 （1）证明：DE 为O 的切线， ODDE， 而 DEBC， ODB
33、C， ODAC， OAOD， AODA， AC， BABC； （2）解：连接 BD，如图，设 BEx，BCBA5， AB 为直径， ADBBDC90， DBECBD， BDEBCD， BD：BCBE：BD，BDEC， BD2BCBE5x， 在 RtBDE 中，BD2DE2+BE2，即 5x22+x2，解得 x11，x24， 当 BE1， tanBDE， 当 BE4，tanBDE2 综上所述，tanC或 2 23 （10 分）良好的坐姿习惯有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确 的写字坐姿，身体上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸 膛挺起，理想状态下，如图
34、将图中的眼睛记为点 A，腹记为点 B，笔尖记为点 D， 且 BD 与桌沿的交点记为点 C已知 AD30cm，BC12cm，点 A 到 BD 的距离 为 23cm，B70 （1）求ADB 的度数； （2）老师发现小亮同学写字姿势不正确眼睛倾斜到图 2 的点 E，点 E 恰好在 CD 的垂直 平分线上，且BDE60，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置应上升 的距离（结果精确到 1cm） 【分析】 （1）过点 A 作 AHBD 于点 H，根据 AD30cm，AH23cm，即可用ADB 的正切值求得ADB 的度数； （2）过点 E 作 EGCD 于点 G，过点 A 作 AFEG 交 GE 的
35、延长线于点 F，则四边形 AFGH 是矩形， 再根据三角函数即可求得 CD 的长， 由点 E 恰好在 CD 的垂直平分线上， 可得 DG 的长， 进而求得 EG 的长， 再用 FGEG 即可得眼睛所在的位置应上升的距离 【解答】解： （1）如图， 过点 A 作 AHBD 于点 H， 则AHDAHB90， AD30cm，AH23cm， 在 RtADH 中， sinADB0.767， ADB50 答：ADB 的度数约为 50； （2）如图，过点 E 作 EGCD 于点 G， 过点 A 作 AFEG 交 GE 的延长线于点 F， 则四边形 AFGH 是矩形， FGAH23cm， 由（1）得 DHAD
36、cos50300.64319.29（cm） ， B70， BH8.37（cm） ， BDBH+DH8.37+19.2927.66（cm） ， BC12cm， CDBDBC27.661215.66（cm） ， 点 E 恰好在 CD 的垂直平分线上， DGCD7.83（cm） ， GDE60， EGDGtan6013.55（cm） ， EFFGEG2313.559（cm） 答： 眼睛所在的位置应上升的距离约为 9cm（参考数据： sin400.643， sin500.767， sin600.866 ） 24 （12 分）如图 1，在 RtOAB 中，AOB90，OAOB，D 为 OB 边上一点，过
37、 D 点作 DCAB 交 AB 于 C，连接 AD，E 为 AD 的中点，连接 OE、CE 观察猜想 （1）OE 与 CE 的数量关系是 OEEC ； OEC 与OAB 的数量关系是 OEC2OAB ； 类比探究 （2）将图 1 中BCD 绕点 B 逆时针旋转 45，如图 2 所示，则（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展迁移 （3）将BCD 绕点 B 旋转任意角度，若 BD，OB3，请直接写出点 O、C、B 在 同一条直线上时 OE 的长 【分析】 （1）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可 利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明OED2O
38、AE，DEC2 EAC，即可推出结论 （2）结论成立如图 2 中，延长 OE 到 H，使得 EHOE，连接 DH，CH，OC想办法 证明HDCOBC（SAS）可得结论 （3）分两种情形：如图 31 中，当点 C 落在 OB 上时，连接 EC如图 32 中， 当点 C 落在 OB 的延长线上时，连接 EC，根据OEC 是等腰直角三角形求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中， CDAB， ACD90， AOD90，AEDE， OEAD，ECAD， OEEC EOEA，ECEA， EAOEOA，EACECA， OEDEAO+EOA2EAO，DECEAC+ECA2EAC， OAOB，AOB90，
39、OAB45， OEC2（OAE+EAC）90， OEC2OAB， 故答案为 OEEC，OEC2OAB （2）结论成立 理由：如图 2 中，延长 OE 到 H，使得 EHOE，连接 DH，CH，OC 由题意AOB，BCD 都是等腰直角三角形， AABODBCCDB45， AEED，AEODEH，OEEH， AEODEH（SAS） ， AODH，AEDH45， CDHOBC90， OAOB，BCCD， DHOB， HDCOBC（SAS） ， CHOC，HCDOCB， HCODCB90， COECHE45， OEEH， CEOE， OEC90， OEC2OAB，OEEC （3）如图 31 中，当点
40、C 落在 OB 上时，连接 EC 由（1） （2）可知OEC 是等腰直角三角形， BCBD1，OB3， OCOBBC312， OEOC 如图 32 中，当点 C 落在 OB 的延长线上时，连接 EC同法可得 OEOC （3+1）2， 综上所述，OE 的长为或 2 25 （12 分）如图，抛物线 yax2+x+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B 两点，与 y 轴 交于点 C（0，2） ，连接 AC点 P 是 x 轴上的动点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AC 于点 D，E 为 y 轴上一点，连接 AE，BE，当 AD BE 时，求 AD+AE 的最
41、小值； （3）点 Q 为抛物线上一动点，是否存在点 P，使得以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）将 A、C 两点代入，利用待定系数法求得抛物线的表达式； （2）由 ADBE，将 AD+AE 转化为 BE+AE，通过两点之间线段最短即可得解； （3）分情况讨论，AC 为平行四边形的边或对角线，当 AC 为平行四边形的边时，还需 分 AQ 为对角线、AP 为对角线两种情况讨论 【解答】解： （1）将 A（3，0） ，C（0，2） ，代入 yax2+x+c 得， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）令，解得 x3 或 1，
42、 点 B 的坐标为（1，0） ， 当 ADBE 时，AD+AEBE+AE， 当 A、E、B 三点共线时，BE+AE 最小，最小值为 AB 的长， 当 ADBE 时，AD+AE 的最小值为 AB1（3）4； （3）存在设点 P 的坐标为（m，0） ，点 Q 的坐标为（n，） ， 当 AC 的平行四边形的边时， 若 AQ 为平行四边形的对角线，则 PAQC，如图， 3m0n， 解得 n2 或 0（舍去） ， m5， 点 P 的坐标为（5，0） ； 若 AP 为对角线，则 ACPQ，如图所示， 即 mn3， 解得 n1+或， m2+或， 点 P 的坐标为（，0）或（，0） ； 当 AC 是平行四边形的对角线时，则 AQPC，如图， 即 m（3）0n， 解得 n2 或 0（舍去） ， m1， 点 P 的坐标为（1，0） 综上所述，点 P 的坐标为（5，0）或（，0）或（，0）或（1，0）
