1、三三 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程 第第 1 课时课时 圆的极坐标方程圆的极坐标方程 学习目标 1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线 的有关性质 知识点一 曲线的极坐标方程 (1)在极坐标系中，如果曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(，)0，并且 坐标适合方程 f(， )0 的点都在曲线 C 上， 那么方程 f(， )0 叫做曲线 C 的极坐标方程 (2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤 建立适当的极坐标系，设 P(，)是曲线上任意一点； 列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式； 将列出的关系式整理、化简； 证明所得方程
2、就是曲线的极坐标方程 知识点二 圆的极坐标方程 思考 1 在极坐标系中，点 M(，)的轨迹方程中一定含有 或 吗？ 答案 不一定 思考 2 圆心在极点，半径为 2 的圆的极坐标方程是什么？ 答案 2. 梳理 圆的极坐标方程 圆心位置 极坐标方程 图形 圆心在极点(0,0) r(02) 圆心在点(r,0) 2rcos 2 2 圆心在点 r， 2 2rsin (0) 圆心在点(r，) 2rcos 2 3 2 圆心在点 r，3 2 2rsin (0) 类型一 求圆的极坐标方程 例 1 求圆心在(0，0)，半径为 r 的圆的方程 解 在圆周上任取一点 P(如图)， 设其极坐标为(，)， 由余弦定理知，
3、 CP2OP2OC22OP OCcosCOP， 故其极坐标方程为 r220220cos(0) 引申探究 若圆心在(3,0)，半径 r2，求圆的极坐标方程 解 设 P(，)为圆上任意一点， 则|CP|2|OP|2|OC|22|OP| |OC| cos COP， 22296cos ， 即 26cos 5. 当 O，P，C 共线时此方程也成立 反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤 (1)设圆上任意一点的极坐标为 M(，) (2)在极点、 圆心与 M 构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程 f(， )0 并化 简 (3)验证极点、圆心与 M 三点共线时，点 M(，)的极坐标也适合上述极坐标方程
4、 跟踪训练1 在极坐标系中， 已知圆 C 的圆心为C 3， 6 ， 半径为 r3.求圆 C的极坐标方程 解 设 M(，)为圆 C 上任一点， 易知极点 O 在圆 C 上，设 OM 的中点为 N， OCM 为等腰三角形， 则|ON|OC|cos 6 ， |OM|23cos 6 ， 则 6cos 6 即为圆 C 的极坐标方程 类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 命题角度 1 直角坐标方程化极坐标方程 例 2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1)x2y21； (2)x2y24x40； (3)x2y22x2y20. 解 把 xcos ， ysin 代入方程化简， (1)(cos )2(sin
5、)21，21，即 1. (2)(cos )2(sin )24cos 40， 24cos 40. (3)(cos )2(sin )22cos 2sin 20. 22(cos sin )20， 22 2sin 4 20. 反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横 轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同 (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 02 范围内求值 跟踪训练 2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1)y24x；(2)x2y22x10. 解 (1)将 xcos ，ysin
6、 代入 y24x， 得(sin )24cos ，化简，得 sin24cos . (2)将 xcos ，ysin 代入 x2y22x10， 得(cos )2(sin )22cos 10， 化简，得 22cos 10. 命题角度 2 极坐标方程化直角坐标方程 例 3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程 (1)2cos 21；(2)2cos 4 ； (3)cos 4 2 2 ；(4) 1 2cos . 解 (1)2cos 21，2cos22sin21， 化为直角坐标方程为 x2y21. (2)2cos cos 42sin sin 4 2cos 2sin ， 2 2cos 2sin ， 化为直角坐标方程
7、为 x2y2 2x 2y0. (3)cos 4 2 2 ， cos cos 4sin sin 4 2 2 ， cos sin 10. 又 cos x，sin y，xy10. (4) 1 2cos ，2cos 1， 2 x2y2x1.化简，得 3x24y22x10. 反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用 去乘方 程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形 跟踪训练 3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化 (1)x2y22x0；(2)cos 2sin ；(3)2cos2. 解 (1)x2y22x0， 22cos 0.2cos .
8、 (2)cos 2sin ，2cos 2sin . x2y2x2y，即 x2y2x2y0. (3)2cos2，42cos2(cos )2. (x2y2)2x2， 即 x2y2x 或 x2y2x. 类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用 例 4 若曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建 立直角坐标系 (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)若曲线 sin 4 0 与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|的值 解 (1) xcos ， ysin ， 2x2y2， 由 2sin 4cos ，得 22sin 4cos ， x2y24x2y0，即(x2)2
9、(y1)25. (2)由 sin 4 0，得 2 2 sin 2 2 cos 0， 即 sin cos 0，xy0. 由于圆(x2)2(y1)25 的半径为 r 5， 圆心(2,1)到直线 xy0 的距离为 d|21| 2 1 2， |AB|2r2d23 2. 反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直 角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程 跟踪训练 4 在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2cos 和 sin 1，以极点 为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和 C2交 点的直角坐标为 答案 (
10、1,1) 1极坐标方程分别为 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是( ) A3 B. 2 C1 D. 2 2 答案 D 2将极坐标方程 2cos 0 化为直角坐标方程为( ) Ax2y20 或 y1 Bx1 Cx2y20 或 x1 Dy1 答案 C 3在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( ) A(1，) B. 2， 2 C. 1， 2 D(1,0) 答案 C 解析 由 2sin ， 得 22sin ， 化为直角坐标方程为 x2y22y0， 即 x2(y1)21， 圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为 1， 2 . 44sin2 25 表示的曲线是( ) A圆 B椭圆 C双曲线的一支
11、D抛物线 答案 D 解析 4sin2 254 1cos 2 522cos 5. x2y2，cos x， 代入上式得 2 x2y22x5，两边平方并整理， 得 y25x25 4 ， 它表示的曲线为抛物线 5在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为 C 2， 6 ，半径为 1，求圆 C 的极坐标方程 解 在圆 C 上任取一点 P(，)，在POC 中， 由余弦定理可得 CP2OC2OP22OC OP cosPOC， 即 14222cos 6 ， 化简可得 24cos 6 30. 当 O，P，C 共线时，此方程也成立， 故圆 C 的极坐标方程为 24cos 6 30. 1曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(，)，(，2)，(，)，(， )都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同所以对于曲线上的点的极 坐标的多种表示形式， 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可 例如对于极坐标方程 ， 点 M 4， 4 可以表示为 4， 42 或 4， 42 或 4， 5 4 等多种形式，其中，只有 4， 4 的极坐标满足方程 . 2求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点 M(，)，探求 ， 的关系，经常需利用 三角形知识和正弦、余弦定理来求解
