1、二二 绝对值不等式绝对值不等式 第第 1 课时课时 绝对值三角不等式绝对值三角不等式 学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理 1)及其几何解 释，理解多个实数的绝对值不等式(定理 2).3.会用定理 1、定理 2 解决简单的绝对值不等式问 题 知识点 绝对值三角不等式 思考 1 实数 a 的绝对值|a|的几何意义是什么？ 答案 |a|表示数轴上以 a 为坐标的点 A 到原点的距离 思考 2 代数式|x2|x3|的几何意义是什么？ 答案 表示数轴上的点 x 到点2,3 的距离之和 梳理 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0
2、 时，等号成立 几何解释：用向量 a，b 分别替换 a，b. 当 a 与 b 不共线时，有|ab|a|b|，其几何意义为两边之和大于第三边； 若 a，b 共线，当 a 与 b 同向时，|ab|a|b|，当 a 与 b 反向时，|ab|a|b|； 由于定理 1 与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式 定理 1 的推广：如果 a，b 是实数，那么|a|b|a b|a|b|. (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|. 当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立 几何解释：在数轴上，a，b，c 所对应的点分别为 A，B，C， 当点 B 在点 A，C 之间时，|
3、ac|ab|bc|. 当点 B 不在点 A，C 之间时： 点 B 在 A 或 C 上时，|ac|ab|bc|； 点 B 不在 A，C 上时，|ac|ab|bc|. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值 类型一 含绝对值不等式的证明 例 1 设函数 f(x)x22x，实数 a 满足|xa|1. 求证：|f(x)f(a)|2|a|3. 证明 f(x)x22x，且|xa|1， |f(x)f(a)|x22xa22a| |(xa)(xa)2(xa)| |(xa)(xa2)|xa| |xa2| |xa2|(xa)(2a2)| |xa|2a2|1|2a|2|2|a|3， |f(x)f(a)|2|a
4、|3. 反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式， 往往可通过平方法、 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明， 或利用|a|b|a b|a|b|，通过适当的添、拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情 况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 跟踪训练 1 已知|Aa|s 3，|Bb| s 3，|Cc| s 3，求证：|(ABC)(abc)|s. 证明 |(ABC)(abc)| |(Aa)(Bb)(Cc)| |(Aa)(Bb)|Cc| |Aa|Bb|Cc|， 又|Aa|s 3，|Bb| s 3，|Cc|
5、 s 3， |Aa|Bb|Cc|s 3 s 3 s 3s， |(ABC)(abc)|s. 类型二 利用绝对值三角不等式求最值 例 2 (1)求函数 y|x3|x1|的最大值和最小值； (2)如果关于 x 的不等式|x3|x4|a 的解集为空集，求参数 a 的取值范围 解 (1)方法一 |x3|x1|(x3)(x1)|4， 4|x3|x1|4，ymax4，ymin4. 方法二 把函数看作分段函数， y|x3|x1| 4，x1， 22x，1x3， 4，x3. 4y4，ymax4，ymin4. (2)只要 a 不大于|x3|x4|的最小值， 则|x3|x4|a 的解集为空集， 而|x3|x4|x3|
6、4x|x34x|1， 当且仅当(x3)(4x)0，即 3x4 时等号成立 当 3x4 时，|x3|x4|取得最小值 1. a 的取值范围为(，1 反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造 绝对值不等式的形式 (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键 跟踪训练 2 (1)已知 xR，求 f(x)|x1|x2|的最值； (2)若|x3|x1|a 的解集不是 R，求 a 的取值范围 解 (1)|f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3， 3f(x)3，f(x)min3，f(x)max3. (2)|x3|x1|(x3)(x1)|4， |x3|x
7、1|4. 当 a4 时，|x3|x1|a 的解集为 R. 又|x3|x1|a 的解集不是 R， a4.a 的取值范围是4，) 类型三 绝对值三角不等式的综合应用 例 3 设函数 f(x) x1 a |xa|(a0)， (1)证明：f(x)2； (2)若 f(3)5，求 a 的取值范围 (1)证明 由 a0，可得 f(x) x1 a |xa| x1 axa 1 aa2，所以 f(x)2. (2)解 f(3) 31 a |3a|， 当 a3 时，f(3)a1 a， 由 f(3)5，得 3a5 21 2 ； 当 0a3 时，f(3)6a1 a， 由 f(3)5，得1 5 2 a3. 综上可知，a 的
8、取值范围是 1 5 2 ，5 21 2 . 反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝 对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式 放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件 跟踪训练 3 设 f(x)ax2bxc，当|x|1 时，恒有|f(x)|1，求证：|f(2)|7. 证明 因为当|x|1 时，有|f(x)|1， 所以|f(0)|c|1，|f(1)|1，|f(1)|1， 又 f(1)abc，f(1)abc， 所以|f(2)|4a2bc| |3(abc)(abc)3c| |3f(1)f(1)3f(0)| 3|f(1)
9、|f(1)|3|f(0)|3137， 所以|f(2)|7. 1已知|xm| 2，|yn| 2，则|4x2y4m2n|小于( ) A B2 C3 D. 2 答案 C 解析 |4x2y4m2n|4(xm)2(yn)| 4|xm|2|yn|4 22 23. 2已知 a 为实数，则“|a|1”是“关于 x 的绝对值不等式|x|x1|a 有解”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由|a|1 得 a1 或 a1.因为关于 x 的不等式|x|x1|a 有解，而|x|x1|x 1x|1， 所以 a1.故“|a|1”是“关于 x 的绝对值不等式|x|
10、x1|a 有解”的必要不 充分条件 3已知|a|b|，m|a|b| |ab| ，n|a|b| |ab| ，则 m，n 之间的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn Dmn 答案 D 解析 m|a|b| |ab| |ab| |ab|1. 又 n|a|b| |ab| |ab| |ab|1， mn. 4已知关于 x 的不等式|x1|xa|8 的解集不是空集，则 a 的最小值是_ 答案 9 解析 |x1|xa|x1(xa)|a1|， 且关于 x 的不等式|x1|xa|8 的解集不 是空集，|a1|8，解得9a7，即 a 的最小值是9. 5下列四个不等式：|logx10lg x|2；|ab|a|b|；
11、 b a a b 2(ab0)；|x1| |x2|1. 其中恒成立的是_(把你认为正确的序号都填上) 答案 解析 |logx10lg x| 1 lg xlg x 1 |lg x|lg x|2，正确； 当 ab0 时，|ab|a|b|，不正确； ab0，b a与 a b同号， b a a b b a| a b 2，正确； 由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1 恒成立，正确 1求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用求 |ab|，|ab|的最值，及 ab0 时，|a|b|ab|，当 ab0 时，|a|b|ab|的定理，达 到目的 2求 y|xm|xn|和 y|xm|xn|的最值，其主要方法有 (1)借助绝对值的定义，即零点分段 (2)利用绝对值的几何意义 (3)利用绝对值不等式的性质定理
