1、第1课时绝对值三角不等式,第一讲二绝对值不等式,学习目标 1.进一步理解绝对值的意义. 2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2). 3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点绝对值三角不等式,思考1实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？,答案|a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离.,思考2代数式|x2|x3|的几何意义是什么？,答案表示数轴上的点x到点2,3的距离之和.,梳理(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 时，等号成立. 几何解释：用向量a，b
2、分别替换a，b. 当a与b不共线时，有|ab|a|b|，其几何意义为_ _； 若a，b共线，当a与b 时，|ab|a|b|，当a与b 时，|ab|a|b|； 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式. 定理1的推广：如果a，b是实数，那么|a|b|ab|a|b|.,ab0,两边之和大于第,三边,反向,同向,(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|. 当且仅当 时，等号成立. 几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C， 当点B在点A，C之间时，|ac| |ab|bc|. 当点B不在点A，C之间时： 点B在A或C上时，|ac| |ab|b
3、c|； 点B不在A，C上时，|ac| |ab|bc|. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.,(ab)(bc)0,题型探究,类型一含绝对值不等式的证明,例1设函数f(x)x22x，实数a满足|xa|1. 求证：|f(x)f(a)|2|a|3.,证明f(x)x22x，且|xa|1， |f(x)f(a)|x22xa22a| |(xa)(xa)2(xa)| |(xa)(xa2)|xa|xa2| |xa2|(xa)(2a2)| |xa|2a2|1|2a|2|2|a|3， |f(x)f(a)|2|a|3.,证明,反思与感悟两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法
4、、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明. 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.,证明|(ABC)(abc)| |(Aa)(Bb)(Cc)| |(Aa)(Bb)|Cc| |Aa|Bb|Cc|，,|(ABC)(abc)|s.,证明,类型二利用绝对值三角不等式求最值,例2(1)求函数y|x3|x1|的最大值和最小值；,解方法一|x3|x1|(x3)(x1)|4， 4|x3|x1|4，ymax4，ymin4. 方法二把函数看作分段函数，,4y4
5、，ymax4，ymin4.,解答,(2)如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集为空集，求参数a的取值范围.,解只要a不大于|x3|x4|的最小值， 则|x3|x4|a的解集为空集， 而|x3|x4|x3|4x|x34x|1， 当且仅当(x3)(4x)0，即3x4时等号成立. 当3x4时，|x3|x4|取得最小值1. a的取值范围为(，1.,解答,反思与感悟(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.,跟踪训练2(1)已知xR，求f(x)|x1|x2|的最值；,解|f(x)|x1|x2|(x
6、1)(x2)|3， 3f(x)3，f(x)min3，f(x)max3.,解答,(2)若|x3|x1|a的解集不是R，求a的取值范围.,解|x3|x1|(x3)(x1)|4， |x3|x1|4. 当a4时，|x3|x1|a的解集为R. 又|x3|x1|a的解集不是R， a4.a的取值范围是4，).,解答,类型三绝对值三角不等式的综合应用,(1)证明：f(x)2；,证明,(2)若f(3)5，求a的取值范围.,解答,反思与感悟含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等
7、号成立的条件.,跟踪训练3设f(x)ax2bxc，当|x|1时，恒有|f(x)|1，求证：|f(2)|7.,证明因为当|x|1时，有|f(x)|1， 所以|f(0)|c|1，|f(1)|1，|f(1)|1， 又f(1)abc，f(1)abc， 所以|f(2)|4a2bc| |3(abc)(abc)3c| |3f(1)f(1)3f(0)| 3|f(1)|f(1)|3|f(0)|3137， 所以|f(2)|7.,证明,达标检测,1,2,3,4,解析|4x2y4m2n|4(xm)2(yn)|,解析,答案,5,2.已知a为实数，则“|a|1”是“关于x的绝对值不等式|x|x1|a有解”的 A.充分不必
8、要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,解析由|a|1得a1或a1. 因为关于x的不等式|x|x1|a有解，而|x|x1|x1x|1， 所以a1. 故“|a|1”是“关于x的绝对值不等式|x|x1|a有解”的必要不充分条件.,解析,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,mn.,解析,1,2,3,4,5,4.已知关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，则a的最小值是_.,解析|x1|xa|x1(xa)|a1|， 且关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集， |a1|8，解得9a7，即a的最小值是9.,解析,答案,9,1,2,3,4,5,5.下列四个
9、不等式：|logx10lg x|2；|ab|a|b|； 2(ab0)；|x1|x2|1. 其中恒成立的是_.(把你认为正确的序号都填上),解析,答案,当ab0时，|ab|a|b|，不正确；,由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，正确.,1,2,3,4,5,1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用求|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，当ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的. 2.求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有 (1)借助绝对值的定义，即零点分段. (2)利用绝对值的几何意义. (3)利用绝对值不等式的性质定理.,规律与方法,
