1、第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式 复习课复习课 学习目标 1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯 西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序 不等式所蕴含的数学思想及方法 1二维形式的柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2. (2)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则| |，当且仅当 是零向量，或 存在实数 k，使 k 时，等号成立 (3)二维形式的三角不等式： 设x1， y1， x2， y2R， 那么 x21
2、y21 x22y22 x1x22y1y22. 2一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1 a2b2anbn)2.当且仅当 bi0(i1,2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1,2， n)时，等号成立 3排序不等式 设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是 b1，b2，bn的任一排 列 ， 则 a1bn a2bn1 anb1a1c1 a2c2 ancna1b1 a2b2 anbn. 类型一 利用柯西不等式证明不等式 例 1 已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
3、1 a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 ab 1 bc 1 cd 1 da. 证明 由柯西不等式知， 1 a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 b2 1 c2 1 d2 1 a2 1 ab 1 bc 1 cd 1 da 2， 于是 1 a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 ab 1 bc 1 cd 1 da. 等号成立 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 d 1 d 1 a b a c b d c a dabcd. 又已知 a，b，c，d 不全相等，则中等号不成立 即 1 a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 ab 1 bc 1 cd 1 da. 反思与感悟 利用柯西不等式证
4、题的技巧 (1)柯西不等式的一般形式为(a21a22a2n) (b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2(ai， biR，i1,2，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些 较为困难的不等式的证明问题迎刃而解 (2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转 化，运用时要注意体会 跟踪训练 1 若 n 是不小于 2 的正整数，求证：4 71 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 2 2 . 证明 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 11 2 1 3 1 2n 2 1 2 1 4 1 2n 1 n1 1 n2
5、 1 2n， 所以求证式等价于4 7 1 n1 1 n2 1 2n 2 2 . 由柯西不等式，有 1 n1 1 n2 1 2n (n1)(n2)2nn2， 于是 1 n1 1 n2 1 2n n2 n1n22n 2n 3n1 2 31 n 2 31 2 4 7， 又由柯西不等式，有 1 n1 1 n2 1 2n 121212 1 n12 1 n22 1 2n2 n 1 n 1 2n 2 2 . 综上，4 71 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 2 2 . 类型二 利用排序不等式证明不等式 例 2 设 A，B，C 表示ABC 的三个内角弧度数，a，b，c 表示其对边，求证：aAbBc
6、C abc 3. 证明 不妨设 0abc，于是 ABC. 由排序不等式，得 aAbBcCaAbBcC， aAbBcCbAcBaC， aAbBcCcAaBbC. 相加，得 3(aAbBcC)(abc) (ABC) (abc)，得aAbBcC abc 3. 引申探究 若本例条件不变，求证：aAbBcC abc 2. 证明 不妨设 0abc，于是 ABC. 由 0bca,0abc,0acb， 有 0A(bca)C(abc)B(acb) a(BCA)b(ACB)c(ABC) a(2A)b(2B)c(2C) (abc)2(aAbBcC) 得aAbBcC abc 2. 反思与感悟 利用排序不等式证明不等式
7、的策略 (1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要 进行恰当地组合这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择 (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解 决往往很简捷 跟踪训练 2 设 a，b，c 为正数，求证：a 12 bc b12 ca c12 aba 10b10c10. 证明 由 a，b，c 的对称性，不妨设 abc， 于是 a12b12c12， 1 bc 1 ca 1 ab. 由排序不等式，得 a12 bc b12 ca c12 ab a12 ab b12 bc c12 ca a11 b b
8、 11 c c 11 a . 又因为 a11b11c11，1 a 1 b 1 c， 再次由排序不等式，得 a11 a b 11 b c 11 c a 11 b b 11 c c 11 a . 由得a 12 bc b12 ca c12 aba 10b10c10. 类型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值 例 3 (1)求实数 x，y 的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值 (1)解 由柯西不等式，得 (122212) (y1)2(3xy)2(2xy6)2 1 (y1)2 (3xy)1 (2xy6)21， 即(y1)2(xy3)2(2xy6)21 6， 当且仅当y1 1 3xy 2
9、 2xy6 1 ， 即 x5 2，y 5 6时，上式取等号故 x 5 2，y 5 6. (2)设 a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整数，求 Ma1a2 22 a3 32 a4 42 a5 52的最小值 解 设 b1，b2，b3，b4，b5是 a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且 b1b2b3b4b5. 因此 b11，b22，b33，b44，b55. 又 1 1 22 1 32 1 42 1 52. 由排序不等式，得 a1a2 22 a3 32 a4 42 a5 52b1 b2 22 b3 32 b4 42 b5 52 112 1 223 1 324 1 425 1 52 11
10、2 1 3 1 4 1 5 137 60 .即 M 的最小值为137 60 . 反思与感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值 问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易 (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略 跟踪训练 3 已知正数 x，y，z 满足 xyzxyz，且不等式 1 xy 1 yz 1 zx 恒成立， 求 的取值范围 解 1 xy 1 yz 1 zx 1 2 xy 1 2 yz 1 2 zx 1 2 1 z xyz1 x xyz1 y
11、 xyz 1 2 121212 z xyz x xyz y xyz 1 2 3 2 . 故 的取值范围是 3 2 ， . 1函数 y2 1x 2x1的最大值为( ) A. 3 B 3 C3 D3 答案 D 解析 y2( 2 22x1 2x1)2( 2)212(22x)2(2x1)2 339. y3，y 的最大值为 3. 2已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，则 a 的最大值是( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 (2b23c26d2) 1 2 1 3 1 6 (bcd)2， 即 2b23c26d2(bcd)2. 5a2(3a)2. 解得 1a2. 验
12、证：当 a2 时，等号成立 3已知 2x3y4z10，则 x2y2z2取到最小值时的 x，y，z 的值为( ) A.5 3， 10 9 ，5 6 B.20 29， 30 29， 40 29 C1，1 2， 1 3 D1，1 4， 1 9 答案 B 解析 由柯西不等式得 (223242)(x2y2z2)(2x3y4z)2， 即 x2y2z2100 29 . 当且仅当x 2 y 3 z 4时，等号成立， 所以联立 x 2 y 3 z 4， 2x3y4z10， 可得 x20 29，y 30 29，z 40 29. 4设 a，b，c 都是正数，求证：bc a ca b ab c abc. 证明 不妨设
13、 abc0， 则1 a 1 b 1 c，abacbc， bc a ac b ab c bc c ac a ab b abc， bc a ac b ab c abc. 1对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得 到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式 2参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想 3对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得 两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是 其中一序列为常数序列 4数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了 解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系
