1、知识点知识点 45 新定义型、阅读理解型问题新定义型、阅读理解型问题 一、选择题一、选择题 10 （2020 遵义） 构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性， 在计算 tan15 时， 如图， 在 RtACB 中，C90 ，ABC30 ，延长 CB 使 BDAB，连接 AD，得D15 ，所以 tan15 AC CD 1 23 ()() 23 23 23 23类比这种方法，计算 tan22.5 的值为（ ） A 21 B 2 1 C 2 D 1 2 答案B 解析本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法解决问题如图，在 RtACB 中， C90， ABC45， 延长 CB 使 BDAB
2、， 连接 AD， 得D22.5，所以 tan 22.5 AC CD 1 12 ()() 12 12 12 2 1故选 B . 7（2020 河南）定义运算:mn= 2 1mnmn-.例如: 42=4 22-4 2-1=7.则1x=0方程的根的情 况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个 实数根 答案A解析由定义新运算可得 2 10 xx-= ，= 411-14-1- 2 ）（）（ =50，所以方程有 两个不相等的实数根，因此本题选A 9（2020 枣庄）对于实数 a、b，定义一种新运算“”为： 2 1 ab ab ，这里等式右边是实数运 算例如：
3、 2 11 13 138 则方程 2 21 4 x x 的解是（ ） Ax4 Bx5 Cx6 Dx7 答案B解析根据新定义运算，把方程转化为分式方程因为 2 11 ( 2) ( 2)4 x xx ，所以 原方程可转化为 12 1 44xx ，解得 x5经检验，x5 是原方程的解 8.（2020 淮安）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为幸福数下列数中 为幸福数的是 （ ） A.205 B.250 C.502 D.520 答案 D 解析设较小的奇数为 x，较大的为 x+2，根据题意列出方程，求出解判断即可 设较小的奇数为 x，较大的为 x+2， 根据题意得： （x+2）2x2（
4、x+2x） （x+2+x）4x+4， 30 15 D B C A 4522.5 D A C B 若 4x+4205，即 x= 201 4 ，不为整数，不符合题意； 若 4x+4250，即 x= 246 4 ，不为整数，不符合题意； 若 4x+4502，即 x= 498 4 ，不为整数，不符合题意； 若 4x+4520，即 x129，符合题意 故选：D 9 （2020随州）将关于 x 的一元二次方程0=q+px-x2变形为q-pxx2，就可以将 2 x表示为关 于 x 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的， 又如)( 23 qpxxxxx， 我们将这种方法称为“降 次法” ，通过这种方法可以化
5、简次数较高的代数式.根据“降次法” ，已知：0=1-x-x2，且 x0，则 3x+2x-x 34 的值为（ ） A.51 B.53 C.51 D.53 答案C 解析本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值，一元二次方程的解法.解答过程如下： 0=1-x-x2，1xx2， 3x+2x-x 34 =3x+1)2x(x-) 1(x 2 =3x+2x-2x-12xx 22 =3x+x-1 2 =3x+1)(x-1 =3x+1-x-1=2x， 0=1-x-x2，且 x0，x= 2 51 ， 原式=2 2 51 =51.因此本题选 C 12.(2020潍坊)若定义一种新运算： (2 ) 6(2 ) a
6、bab ab abab - ? +- 例如：313 12 ； 545463 则函数 (2)(1)yxx 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 答案A解析本题考查了一次函数的图象，在新定义下，求出函数关系式是解题的关键.根据 (2 ) 6(2 ) abab ab abab - ? +- ，可得当 22(1)xx+? 时，4x，分两种情况当4x时和当4x时， (2)(1)(2)(1)213xxxxxx+?=+-=+-+= ,即： 3y ; 当4x时，( 2)(1)(2)(1)621625xxxxxxx+?=+-=+-=- ， 即： 25yx ，20k ，当 4x时， 25yx ，函数图像y随
7、x的增大而增大，A 选项符 合题意，故选：A 7（2020 恩施）在实数范围内定义运算“”：1abab ，例如：2323 14 如果 21x ，则x的值是（ ） A. 1 B. 1 C. 0 D. 2 答案C 解析根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：221 1 xxx， 又21x ， 11x， 0 x故选：C 二、填空题二、填空题 12（2020 衢州） 定义(1)aba b， 例如2 32 (3 1)2 48， 则(1 )xx 的结果为 答案 2 1x 解析解析：根据题中的新定义得：( 1)xx ( 1) (1+1)xx 2 1x 18（2020 枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线
8、的交错点）上的多边形称为格点多边形， 它的面积 S 可用公式 Sa 2 1 b1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算， 这个公式称为“皮克（Pick）定理”如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 S_ 答案6解析直接利用所给的公式计算即可由图可知，五边形内部格点有 4 个，故 a4；五边形 边上格点有 6 个，故 b6Sa2 1 b142 1 616 16（2020乐山）我们用符号x表示不大于 x 的最大整数例如：1.51，1.52，那么： （1）当1x2 时，x 的取值范围是_； （2）当1x2 时，函数 yx 22ax3 的图象始终在函数 yx3 的图象下方，则实
9、数 a 的 范围是_ 答案（1）0 x3；（2）a1 或 a3 2 解析（1）根据符号x表示不大于 x 的最大整数，得到1x2 时x0，1，2；当x0 时， 0 x1；当x1 时，1x2；当x2 时，2x3；从而 x 的取值范围是 0 x3； （2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性 质反求参数令 y1x 22ax3，y 2x3，y3y2y1， 由题意可知：y3x 2(2a1)x0 时，函数 yx22ax3 的图象始终在函数 yx3 的图象 下方 当1x0 时，x1，y3x 2(2a1)，此时 y 3随 x 的增大而增大，故当 x1 时，y3有
10、最小值2a20，得 a1； 当 0 x1 时，x0，y3x 2，此时 y 30； 1x2 时，x1，y3x 2+(2a1)，此时 y 3随 x 的增大而减小，故当 x2 时，y3有最小值 2a 30，得 a3 2； 综上所述，a1 或 a3 2 11(2020青海)对于任意两个不相等的数 a，b，定义一种新运算“”如下： ab ab ab ，如：32 32 32 5，那么 124_ 答案2 解析依题意可知 124 124 124 4 8 2 17（2020 宜宾）定义：分数 n m （m，n 为正整数且互为质数）的连分数 1 2 3 1 1 1 a a a （其中 a1，a2，a3，为整数，且
11、等式右边的每个分数的分子都为 1） ，记作 n m 1 1 a + 2 1 a + 3 1 a +， 例如： 7 19 1 19 7 1 5 2 7 1 1 2 7 5 1 1 2 2 1 5 1 1 2 1 1 5 2 1 1 2 1 1 1 2 2 ， 7 19 的连分数为 1 1 2 1 1 1 2 2 ，记作 7 19 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 2 ，则 1 1 + 1 2 + 1 3 答案 7 10 解析根据连分数的定义列式计算即可解答 1 1+ 1 2 + 1 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 7 3 1 3 1 7 1 10 7 7 10 三、解答题三、解答题
12、 24.(2020 宁波)(本题14分)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的 外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. （1）如图1，E是ABC中A的遥望角，若Aa，请用含a的代数式表示 E. （2）如图2，四边形ABCD内接于O，ADBD，四边形ABCD的外角平分线 DF交O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：BEC是ABC中 BAC的遥望角. （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是O的直径. 求AED的度数； 若AB8，CD5，求DEF的面积. 解析（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解； （2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等
13、弧所对圆周角的性质分别证明 BE、CE 为ABC 的内角 及外角平分线即可； （3） 连结 CF，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明BECFAD，再由FDEFDA 证明 ADDE，最后由等腰直角三角形的性质求得AED 的度数； 作 AGBE 于点 G，FMCE 于点 M，根据相似三角形的判定证明EGAADC，由相似三角 形的性质及勾股定理求得ACD 边长，进而求得DEF 的面积 答案24.解： （1）BE 平分ABC，CE 平分ACD EECDEBD 1 2 (ACDABC) 1 2 A 1 2 a （2）如图，延长 BC 到点 T.四边形 FBCD 内接于O， FDCFBC180 ，
14、 又FDEFDC180 ， FDEFBC， DF 平分ADE， ADFFDE， ADFABF， ABFFBC， BE 是ABC 的平分线， ADBD，ACDBFD，BFDBCD180 ，DCT BCD180 ，DCTBFD，ACDDCT， CE 是ABC 的外角平分线，BEC 是ABC 中BAC 的遥望角. （3）如图，连结 CF. BEC 是ABC 中BAC 的遥望角，BAC2BEC， BFCBAC，BFC2BEC， BFCBECFCE，BECFCE，FCEFAD，BEC FAD，又FDEFDA，FDFD，FDEFDA(AAS)， DEAD，AEDDAE，AC 是O 的直径 ADC90 ，A
15、EDDAE90 ，AEDDAE45 . 如图，过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE 于点 M. AC 是O 的直径，ABC90 ，BE 平分ABC，FACEBC 1 2 ABC45 ， AED45 ，AEDFAC，FEDFAD，AEDFEDFACFAD， AEGCAD，EGAADC90 ，EGAADC， AE：ACAG:CD在 RtABG 中，AG 2 2 AB4 2， 在 RtADE 中，AE 2AD，AD:AC 4 5 ，在 RtADC 中，AD2 DC2AC2，设 AD4x，AC5x，则有(4x)252(5x)2， x 5 3，EDAD 20 3 ，CECDDE 35
16、 3 ，BECFCE，FCFE，FMCE， EM 1 2 CE 35 6 ， DMDEEM 5 6， FDM45 ,FMDM 5 6， SDEF 1 2 DE FM 25 9 . 22 （2020 黔西南州）规定:在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 （0 180）后 能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转 角例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转 90或 180后，能与自身重合（如图 1） ，所以正方 形是旋转对称图形，且有两个旋转角 根据以上规定，回答问题: （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是_； A矩形 B正五边形
17、C菱形 D正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有:_（填序号） ； （3）下列三个命题:中心对称图形是旋转对称图形；等腰三角形是旋转对称图形；圆是旋转 对称图形，其中真命题的个数有（ ）个； A0 B1 C2 D3 （4）如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45，90，135，180，将 图形补充完整 解析本题考查了新定义“旋转对称图形” （1）根据旋转对称图形的定义进行判断； （2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的 定义进行判断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计 答案解:（1）B （2）
18、 （1） （3） （5） （3）C （4）如答图: 22 （2020重庆 B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学 习自然数 时，我们发现一种特殊的自然数“好数” 定义：对于三位自然数 n，各位数字都不为 0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整 除，则称这个自然数 n 为“好数” 例如：426 是“好数” ，因为 4,2,6 都不为 0，且 4+2=6，6 能被 6 整除; 643 不是“好数” ，因为 6+4=10，10 不能被 3 整除 （1）判断 312，675 是否是“好数”?并说明理由； （2）求出百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个
19、数，并说明理由 解析本题是一道新定义问题，正确理解“好数”是解题的关键 （1）根据“好数”的定义进行判断即可； （2） 设n=100a+10b+c,根据“好数”的定义可知6a9,1b4,1c9.由题意， 得a=b+5， a+b=mc ，将代入，得 2b+5=mc.所以 2b+5，m,c 都为奇数，进而分类讨论求解即可. 答案解： （1）312 是“好数” ，675 不是“好数”. 理由如下：312 是“好数” ，因为 3,1,2 都不为 0，且 3+1=4,4 能被 2 整除； 675 不是“好数” ，因为 6+7=13,13 不能被 5 整除. （2）设 n=100a+10b+c（a,b，c
20、 为整数且 6a9,1b4,1c9）. 由题意，得 a+b=mc（m 为正整数） ，a=b+5，2b+5=mc. 又2b+5 为奇数，m,c 同时为奇数. 当 b=1 时，a=6,mc=7，则 m=7,c=1 或 m=1,c=7,此时“好数”有 2 个：611,617； 当 b=2 时，a=7,mc=9，则 m=9,c=1 或 m=1,c=9 或 m=3,c=3，此时“好数”,3 个：721,729,723； 当 b=3 时，a=8,mc=11，则 m=11,c=1,此时“好数”有 1 个：831； 当 b=4 时，a=9,mc=13，则 m=13,c=1,此时“好数”有 1 个：941； 所
21、以共有“好数”2+3+1+1=7（个）. 综上所述，百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”共有 7 个. 28 （2020 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，O的半径为 1，A，B为O外两点，AB=1给出如 下定义：平移线段 AB，得到O的弦 A B （A ，B 分别为点 A，B的对应点） ，线段 AA长度的最小 值称为线段 AB到O的“平移距离” （1）如图，平移线段 AB 到O 的长度为 1 的弦 12 PP和 34 P P，则这两条弦的位置关系是 ； 在点 1234 ,P P P P中，连接点 A与点 的线段的长度等于线段 AB到O的“平移距离”； （2）若点 A，B都在直线32 3
22、yx上，记线段 AB到O的“平移距离”为 1 d，求 1 d的最小值； （3）若点 A的坐标为 3 2, 2 ，记线段 AB到O的“平移距离”为 2 d，直接写出 2 d的取值范围 解析（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可； （2）过点 O作 OEAB于点 E，交弦 CD于点 F，分别求出 OE、OF的长，由 1 dOEOF得到 1 d的 最小值； （3）线段 AB 的位置变换，可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心，半径为 1 的圆，只需在O 上都存在 两条对应线段 A B 和 A B ,满足它们平行且相等，由平移距离可知，AA的长度的最小值即为平移 距离，因此当且仅当 AAAA
23、 时，平移距离最大（否则谁小取谁） 答案解： （1）平行；P3； （2）如图，线段 AB在直线32 3yx上，平移之后与圆相交，得到的弦为 CD，CDAB，过点 O作 OEAB于点 E，交弦 CD于点 F，OFCD，令0y ，直线与 x轴交点为（-2，0） ，直线与 x 轴夹角为 60 ，2sin603OE 由垂径定理得： 2 2 13 22 OFOCCD ， 1 3 2 dOEOF； x y P2 P1 P3 P4 1 B O A （3）线段 AB 的位置变换，可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心，半径为 1 的圆，只需在O 内找到与 之平行，且长度为 1的弦即可； 点 A到 O的距离为
24、 2 2 35 2 22 AO 如图，平移距离 2 d的最小值即点 A到O的最小值： 53 1 22 ； 如图，由平移距离可知，AA 的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当 AA AA 时，平移距离 最大，如图所示： x y F E -2 D A B C O y x A B B B B B B A A O 由题意可知： AA OAA O， 可得AOA 120 ， 在 RtA OC 中， A C 3 2 ， 所以 AA 39 2 2 339 22 d 27 （2020常州）(10 分)如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交 I 于 P、Q 两点(Q 在
25、 P、H 之间)我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点”，把 PQ PH 的值称 为I 关于直线 a 的“特征数” （1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为(0，4)，半径为 1 的O 与两坐标轴交 于点 A、B、C、D 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则O 关于直线 m 的“远点”是点_(填“A”“B”“C”或 “D”)，O 关于直线 m 的“特征数”为_； 若直线 n 的函数表达式为 y 3x4，求O 关于直线 n 的“特征数”； （2）在平面直角坐标系 xOy ，直线 l 经过点 M(1，4)，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心， 2为半径作F若F
26、 与直线 l 相离，点 N(1，0)是F 关于直线 l 的“远点”，且F 关于 直线 l 的“特征数”是 4 5，求直线 l 的函数表达式 答案解： （1）根据定义得O 关于直线 m 的远点是 D； （2）如图 1，圆 O 关于直线 m 的特征数为 DB DE1(1) 4（1）2 510 如图 2，过 O 点作 OA1直线 n 于 A1，延长 A1O 交圆 O 于点 B1，设34yx 与 y 轴交于点 y x B CB B A A A O C1，OC14 3k 直线34yx与 x 轴的所夹锐角为 60 A1C1O90 60 30 在 RtA1C1O 中，A1O 1 2 C1O2 OB11，O
27、关于直线 n 的特征数2B1O A1B12(21)6 (2)如图 3，设过 M 的直线 l 解析式为 yk1xb1 4k1b1，即 k14b1，l 的解析式为 y(4b1)xb1 设F 与 NF 所在直线交 D1，NF 的延长线交 yk1xb1于 E1 F 的半径为2 ，NFFD12 F 关于直线 l 的“特征数”是4 5 ND1 NE1 1 2 24 5NE 即 1 10NE 由点 N 到直线 l 的距离公式得 11 1 2 1 (4)( 1) 10 1(4) bb NE b b17 或 11 3 经检验，b17 或 11 3 都是原方程的解，且符合题意 当 b17 时，k13，此时直线 l
28、 的函数表达式为 y3x7 当 b1 11 3 时，k1 1 3 此时直线 l 的函数表达式为 111 37 yx 综上所述，此时直线 l 的函数表达式为 y3x7 或 111 37 yx 图 1 图 2 图 3 解析本题是新定义问题，直接应用定义就可以求出原点和特征数； （2）过点过 O 点作 OA1直线 n 于 A1，延长 A1O 交圆 O 于点 B1，然后求出 B1O 和 A1B1的值后即可求出特征值； （3）如图 3，先根 据特征数和半径的值，求出点 N 到直线的距离，直线 l 要经过点 M，又要到 N 的距离为10，即可 求出直线 l 的解析式 （2020山西）20阅读与思考 下面是
29、小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务 任务: (1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是 ; （2） 根据“办法二”的操作过程，证明RCS90 ; （3） 尺规作图:请在图的木板上， 过点 C 作出 AB 的垂线 （ 在木板上保留作图痕迹， 不写作法） ; 说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 解析本题考查作图在实际中的应用. （1） 由作图方法可知 “办法一” 依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； （2） 由“办法二”可知: QR QC，QSQC，根据等边对等角得QCRQRC，QCSQSC，根据三角形内角和定理可得 结论 （3）图略；答案不唯一 答案解:（1）
30、勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形) . 第20题图 A B C x 年 x 月 x 日 星期日 没有直角尺也能作出直角没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图所示的四边形木板，他 已经在木板上画出一条裁割线 AB，现根据木板的情况，要过 AB 上的一点 C，作出 AB 的垂 线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢? 办法一:如图，可利用一把有刻度的直尺在 AB 上量出 CD 30cm，然后分别以 D， C 为圆心，以 50cm 与 40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点 E，作直线 CE，则D
31、CE 必为 90 办法二:如图，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 M，N 两点，然后把木 棒斜放在木板上，使点 M 与点 C 重合，用铅笔在木板上将点 N 对应的位置标记为点 Q，保 持点 N 不动，将木棒绕点 N 旋转，使点 M 落在 AB 上，在木板上将点 M 对应的位置标记为 点 R然后将 RQ 延长，在延长线上截取线段 QSMN，得到点 S，作直线 SC，则RCS 90 我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也 （2）解:证明:由作图方法可知: QRQC，QSQC， QCRQRC，QCSQSC. 又SRCRCSRSC180 ， QCRQCSQ
32、RC QSC 180 . 2 （QCRQCS） 180 QCRQCS90 即RCS 90 . （3）如图，直线 CP 即为所求，作图正确. 答案不唯一，如:三边分别相等的两个三角形全等（或 SSS）;等腰三角形顶角的平分线、底边上的 高、底边上的中线重合（或等腰三角形三线合）;到条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上等（8 分） 18 （2020湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值. 【问题】解方程： 22 24250 xxxx+-= 【提示】可以用“换元法”解方程. 解：设 2 2xxt+=（t0） ，则有 22 2xxt+=， 原方程可
33、化为： 2 450tt+-= 【续解】( ) 2 29t += 解析在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子本题用 来换元的式子为 2 2xx+，可设 2 2xxt+=，其两边分别平方后有 22 2xxt+=，这样原方程可变 形为关于t的一元二次方程，即可求得t的值，再根据所设条件对t的值进行讨论后作出取舍，即可 求出x的值 答案解： 【续解】( ) 2 29t += 23t+ =?，即 1 1t =， 2 5t =- 2 20txx=+?， 2 21txx=+=， 则有 2 21xx+=，配方，得：( ) 2 12x+= 解得： 1 12x =- +， 2 1
34、2x =- - 第20题图 A B C P 经检验： 1 12x =- +， 2 12x =- -是原方程的根. 21 （2020怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形 （1）下面四边形是垂等四边形的是 ； （填序号） 平行四边形；矩形；菱形；正方形 （2）图形判定：如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，ACBD，过点 D 作 BD 垂线交 BC 的延 长线于点 E，且DBC45，证明：四边形 ABCD 是垂等四边形 （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用：在图 2 中，面积为 24 的垂等四边形 ABCD 内接于O 中，BCD60求O
35、 的半径 答案解： （1）平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； 矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； 菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； 正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：； （2）ACBD，EDBD， ACDE， 又ADBC， 四边形 ADEC 是平行四边形， ACDE， 又DBC45， BDE 是等腰直角三角形， BDDE， BDAC， 又BDAC， 四边形 ABCD 是垂等四边形； （3）如图，过点 O 作 OEBD， 四边形 ABCD 是垂等四边形， ACBD， 又垂等四边形的面积是 24， 1 2ACBD24， 解
36、得，ACBD43， 又BCD60， DOE60， 设半径为 r，根据垂径定理可得： 在ODE 中，ODr，DE= 23， r= 60 = 23 3 2 =4， O 的半径为 4 解析本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的 性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 利用新定义解答问题 （1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可； （2）根据已知条件可证明四边形 ACED 是平行四边形，即可得到 ACDE，再根据等腰直角三角 形的性质即可得到结果； （3） 过点 O 作 OEBD， 根据面积公式可求得 BD
37、 的长， 根据垂径定理和锐角三角函数即可得到O 的半径 20. （2020张家界）阅读下面材料： 对于实数, a b，我们定义符号min , a b的意义为：当a b时，min , a ba ；当a b时， min , a bb ，如：min4, 2 2,min5,55 根据上面的材料回答下列问题： （1）min 1,3 _； （2）当 2322 min, 233 xxx 时，求 x的取值范围 （1）1 ； （2）x 13 4 解析本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键 （1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出 2x3x+2 23 解不等式即可判
38、断 x的取值范围 答案解： （1）由题意得min 1,3 1 故答案为：1； （2）由题意得： 2x3x+2 23 3（2x3）2（x+2） 6x92x+4 4x13 X 13 4 x的取值范围为 x 13 4 24 （2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函 数称之为“H 函数” ，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点” ，根据该约定，完成下列各题 （1） 在下列关于 x 的函数中， 是“H 函数”的， 请在相应题目后面的括号中打“”,不是“H 函数”的打“” xy2（ ） 0m x m y（ ） 13 xy（ ） （2）若点 A（1，m）与点
39、 B（n，4）关于 x 的“H 函数”0 2 acbxaxy的一对“H 点” ，且该函 数的对称轴始终位于直线 x2 的右侧，求 a,b,c 的值或取值范围； （3）若关于 x 的“H 函数”cbxaxy32 2 （a,b,c 是常数）同时满足下列两个条件：0cba, 0322abcabc,求该“H 函数”截 x 轴得到的线段长度的取值范围 解析本题考查了审题能力，二次函数的性质、图形和系数的关系等 （1）正比函数是原点对称图 形， 所以是“H 函数” ， 反比例函数一定是原点对称图形， 所以是“H 函数” ， 而最后的图形是直线， 但是不原点对称，所以不是“H 函数” ； （2）先求出 A
40、(1，4)，B (1，4)，根据二次函数的性质 就能知道图像的开口向下，把 A (1，4)，B (1，4)，代入关系式，加上对称轴公式，就能得到 4 abc,4abc, a b 2 2，用代入消元法解出结果即可； （3）与（2）的方法近似，根据 题意先设一对“H 点” （m，n）和（m，n）代入，再加上题里给的关系式0cba, 0322abcabc，这样随不能求出具体数，但是能够得到系数之间的数量关系，这样这问 求的 21 2 212 4 1 xxxxxx，就能进行化简求值 a c a b xx 3 4 2 2 2 1 ，最后要找到最大与最 小值即可 答案答案 （1）， （2）解:由題意得 A
41、, B 两点关于原点对称 A (1，4)，B (1，4) 又函数的对称轴始终位于直线 x2 的右侧， A，B 两点都在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大， a0 将 A，B 两点代入原方程可得： 4abc, 4abc 解得 b4,ac 又 a b 2 2 1a0 ac 1c 0,解得 0c1 又a0，c0 綜上所述: b4,1a0，0c1 （3）当 y0 时，yax22bx3c 可化为 ax22bx3c0， 21 2 212 4 1 xxxxxx 当在 x 轴有两个交点时， （2b）24a3c0，x1x2 a b 2 ，x1x2 a c3 a c a b xx 3 4 2 2 2 1 ，0c
42、ba,3 2 3 4 2 2 1 a b xx 又0322abcabc,解得3 a b 1 这是关于 x 的“H 函数” ，设（m，n）和（m，n）代入 yax22bx3c 中 可得 nam22bm3c，nam22bm3c，两式相加得 2am26c0， m20， a c 2 6 0，又0cba, a b 1， 1 a b 1，3 2 3 4 2 2 1 a b xx 2 2 1 xx 72 25. (2020湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心 （1）特例感知：如图（一） ，已知边长为 2的等边ABC的重心为点O，求OBC与ABC的面积 （2）性质探究：如图（二
43、） ，已知ABC的重心为点O，请判断 OD OA 、 OBC ABC S S V V 是否都为定值？如果 是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由 （3） 性质应用： 如图 （三） ， 在正方形ABCD中， 点E是CD的中点， 连接BE交对角线AC于点M 若正方形ABCD的边长为 4，求EM的长度； 若1 CME S，求正方形ABCD的面积 解析（1）连接 DE，利用相似三角形证明 1 2 OD AO ，运用勾股定理求出 AD的长，运用三角形面积 公式求解即可； （2）根据（1）的证明可求解； （3）证明CMEABM得 1 2 EM BM ，再运用勾股定理求出 BE的长即可解决问题； 分别
44、求出 SBMC和 SABM 即可. 答案（1）连接 DE，如图， 点 O是ABC的重心， AD，BE是BC，AC边上的中线， DE ，为BC，AC边上的中点， DE为ABC的中位线， /DEAB， 1 2 DEAB， ODEOABVV， 1 2 ODDE OAAB ， 2AB，1BD 3AD， 3 3 OD ， 1133 2 2233 OBC SBCOD V 11 233 22 ABC SBC AD V ； （2）由（1）可知， 1 2 OD OA 是定值； 1 1 2 1 3 2 OBC ABC BC OD SOD SAD BC AD V V 是定值； （3）四边形 ABCD是正方形， /
45、/CDAB ，4ABBCCD， CMEAMBV: V EMCE BMAB E 为 CD的中点， 1 2 2 CECD 22 2 5BEBCCE 1 2 EM BM 1 3 EM BE ，即 2 5 3 EM ； 1 CME S V ，且 1 2 ME BM 2 BMC S V ， 1 2 ME BM ， 2 1 4 CME AMB SME SBM V V ， 4S4 AMBCME S VV ， 246 ABCBMCABM SSS VVV ， 又 ADCABC SS 6 ADC S V 正方形 ABCD的面积为：6+6=12 26 （2020 内江）我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的
46、分解：xm n（m，n 是正整数， 且mn） ，在 x 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n是 x 的最 佳分解并规定： m f x n 例如：18 可以分解成1 18，2 9或3 6，因为18 19 26 3 ，所以3 6是 18 的最佳分解， 所以 31 18 62 f （1）填空： 6_f； 9_f； （2）一个两位正整数 t（10tab，19ab，a，b 为正整数） ，交换其个位上的数字与十位 上的数字得到的新数减去原数所得的差为 54，求出所有的两位正整数；并求 f t的最大值； （3）填空： 2 23 5 7_f ； 3 23 5 7_f ； 4 23 5 7_f ； 5 23 5 7_f 答案解： （1）61 62 3，6132， 6f 2 3 ；9=1 9=3 3，9133， 9f=1，故答案为： 2 3 ；1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为： 10ba10ab9（ba）54，ba6，1ab9，b9，a3 或 b8，a2 或 b7，a1， t 为 39，28，17；391 393 13，39f 3 13 ；281 282 144 7， 28f 4 7 ；171 17， 1 17 17 f； f t的最大值 4 7 （3） 2 2
