1、知识点知识点 49 发现、拓展、应用型问题发现、拓展、应用型问题 三、解答题三、解答题 23（2020衢州） 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究，请你一起来解 决问题 （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变 化的一组对应值， 并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点 （如 图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函 数类别 （2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请 你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围， 并求出线段EF长度的最小值 （3）小明通过观察，推理，发现BEF能成为直角三角形，请你求出当 BEF为直角
2、三角形时m的值 解析 （1） 按自变量由小到大的顺序， 用平滑的曲线进行连线可得函数的图象， 从函数的形状可知它为抛物线； （2）由D、F两点的对称性，通过全等三角形以及函数的解析式可得用含m的 代数式表示出D、 F和E点的坐标， 然后利用两点间距离公式可得EF2的解析式， 再由点C的坐标可得m的取值范围； （3）分FBE、BEF和BFE是否为直角进行讨论，并利用两点间距离公式 如图1，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A，C分别是直线 与坐标轴的交点，点B的坐标为(2，0)，点D是边AC上 的一点，DEBC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点 成中心对称，连结DF，EF设点D的
3、横坐标为m，EF2为l，请探究： 线段EF长度是否有最小值； BEF能否成为直角三角形 进行求解. 答案解： （1）画图如下：猜想函数的类别为二次函数； 图1 （2） 如图1， 过点F， D分别作FG， DH垂直于y轴， 垂足分别为G， H， 则FGK= DHK=90. 设FD交y轴于点K，D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，KF=KD, FKG=DKH，RtFGKRtDHK,FG=DH. 由yAC=- 8 4 3 x 可知A(0,4) ,又B为（-2，0），yAB=2x+4,过点F作FRx轴于 点R， D点的横坐标为m，F(-m，-2m+4)，ER=2m，FR=-2m+4， EF2=FR2
4、+ER2,l=EF2=8m2-16m+16=8(m-1)2+8. 令- 8 4 3 x =0，解得x=1.5,0 1.5m ，当m=1时，l的最小值为8.EF的最小值为 22. （3）分以下三种情形进行讨论： FBE为定角， 不可能为直角； 当BEF=90， E点与O点重合， D点与A点、F点重合，此时m=0； 当BFE=90时，如图2， 由于BF2+EF2=BE2, 由（2）得EF28m216m+16，又BRm+2，FR 2m+4， BF2BR2+FR2 （m+2） 2+ （2m+4） 25m220m+20， 又BE2 （m+2） y x 16 1.5 O y x R G K F H EB
5、A C O D y x R F EB A C O D 2， （5m220m+8）+（8m216m+16）2（m+2）2，化简得，3m210m+8 0，解得m1= 4 3,m2=2（不符题意，舍去），综上，当BEF为直角三角形时， m=0或 4 3. 24（2020衢州）【性质探究】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分BAC，交BC于点 E作DFAE于点H，分别交AB，AC于点F，G （1）判断AFG的形状并说明理由； （2）求证：BF2OG 【迁移应用】 （3）记DGO的面积为S1，DBF的面积为S2，当 1 2 S1 S3 时，求 AD AB 的值； 【拓展延伸】
6、（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当 BEF的面积为矩形ABCD面积的 1 10 时，请直接写出tanBAE的值 解析（1）如图1中，AFG是等腰三角形利用全等三角形的性质来进行证 明 （2）如图2中，过点O作OLAB交DF于L，则AFGOLG首先证明OG OL，再证明BF2OL，即BF2OG （3）如图3中，过点D作DKAC于K，则DKACDA90，利用相似 三角形的性质解决问题即可 （4）设OGa，AGk分两种情形：如图4中，连接EF，当点F 在线段AB上时， 点G在OA上 如图5中， 当点F在AB的延长线上时， 点G在线段OC上，连接EF分别求解即可解
7、决问题 答案解：如图1中，AFG是等腰三角形 理由： AE平分BAC， 12， DFAE， AHFAHG90， AHAH，AHFAHG，AFAG，AFG是等腰三角形 （2）证明：如图2中，过点O作OLAB交DF于L，则AFGOLG AFAG，AFGAGF，AGFOGL， OGLOLG，OGOL， OLAB，DLODFB， OLDO BFBD ， 四边形ABCD是矩形，BD2OD，BF2OL，BF2OG （3）解：如图3中，过点D作DKAC于K，则DKACDA90， DAKCAD，ADKACD， DKCD ADAC . S1 1 2 OGDK，S2 1 2 BFAD，又BF2OG， 1 2 1
8、3 S S ， 2 3 DKCD ADAC ， 设CD2x， AC3x， 则AD5x， 5 2 A D A D A B C D （4）解：设OGa，AGk 如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上 AFAG，BF2OG，AFAGk，BF2a，ABk+2a，AC2AO=2 （k+a）， AD2AC2CD22（k+a）2（k+2a）23k2+4ka， ABEDAF90，BAEADF，ABEDAF， BEAF ABAD ， 2 BEk kaAD ，BE 2k ka AD ，由题意：10 1 2 2a 2k ka AD AD（k+2a）， AD210ka，即10ka3k2+4ka，k2a
9、，AD2 5a， BE 24 5 5 k ka AD a，AB4a，tanBAE 5 5 BE AB 如图5中， 当点F在AB的延长线上时， 点G在线段OC上， 连接EF AFAG，BF2OG，AFAGk，BF2a，ABk2a，AC2（k a）， AD2AC2CD22（ka）2（k2a）23k24ka， ABEDAF90，BAEADF，ABEDAF， BEAF ABAD ， 2 BEk kaAD ，BE 2k ka AD ， 由题意：10 1 2 2a 2k ka AD AD（k2a），AD210ka，即10ka3k24ka， k 14 3 a，AD 2 105 3 a， BE 28 105
10、45 k ka AD a，AB 8 3 a，tanBAE 105 15 BE AB ， 综上所述，tanBAE 的值为 5 5 或 105 15 23.(2020 宁波) 【基础巩固】 （1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2 AD AB 【尝试应用】 （2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点， BFEA若BF4，BE3，求AD的长. 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EF AC，AC2EF， EDF 1 2 BAD，AE2，DF5，求菱形ABCD的边长. 解析本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边
11、形的判定和性质及菱形的性质 （1）由两角相等证明ADCACB，再由相似三角形的性质证明结论； （2）解决这类发现、探究类问题要将后面求解内容转化为前面已经解决的问题进行求解， 所以要求 AD，首先根据平行四边形的性质将 AD 转化为 BC，再由已知及图形性质证明 BFEBCF，最后由相似三角形的性质求得 AD 的长； （3）把图形（3）通过辅助线转化为（2）中的图形，为此分别延长 EF，DC 相交于点 G， 构造平行四边形 AEGC，由相似三角形的性质及已知条件求得 DG，进而求 得菱形边长答案23.解： （1）ACDB，AA，ADC ACB，AD:ACAC:AB，AC2AD AB （2）四边
12、形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AC，又BFEA，BFEC，又FBE CBF， BFEBCF，BF2BE BC， BC 2 BF BE 16 3 ，AD 16 3 （3） 如图， 分别延长 EF， DC 相交于点 G.四边形 ABCD 是菱形， AB/DC，BAC 1 2BAD，四边形 AEGC 为平行四边形， ACEG，CGAE，EACG，EDF 1 2BAC， EDFG，又DEFGED，EDFEGD， DE2EF EG，又EGAC2EF，DE22EF2， DE 2EF，又DG:DFDE:EF，DG2DF52，DCDGCG522. 23 （2020 嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵
13、将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF 拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中ACBDFE90， BCEF3cm，ACDF4cm，并进行如下研究活动 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合 时停止平移 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）求AF 的长 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度（090） ，连结OB，OE（如图4） 【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由 解析
14、本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，全等三 角形的判定及性质、图形的变换等知识【思考】由 ABCDEF可 知，ABDE，BACADE，ABDE，所以四边形ABDE是平 行四边形；【发现】连接BE交AD于点O，由矩形可知OAOBOE OD，又AFDC，得到OFOC，在Rt OEF中，设AFx，则ADx4，OA 4 2 x ，所以OFOAAF 4 2 x ，所以 222 44 ()3() 22 xx ，解得AF 9 4。 【探究】BD2OF.由FE平分OEA以及OFEF可知延长OF交AE于点 H，从而得到OEH是等腰三角形，OFFH，只需证明OBDOEH 即可。 答案解：【思考】四边
15、形ABDE是平行四边形 证明：如图，ABCDEF，ABDE，BACEDF， ABDE，四边形ABDE是平行四边形. 【发现】如图，连接BE交AD于点O，四边形ABDE为矩形，OAODOBOE，设AF x（cm），则OAOE（x+4），OFOAAF2x， 在RtOFE中，OF2+EF2OE2， 222 44 ()3() 22 xx ， 解得：x 9 4 ，AF 9 4 cm 【探究】BD2OF， 证明：如图，延长OF交AE于点H，纸片DEF绕点O旋转前，四边形ABDE为矩 形，OAOBOEOD.纸片DEF绕点O旋转后，由旋转的性质可知，OA OBOEOD， OBDODB，OAEOEA.ABD+B
16、DE+DEA+EAB360 ， ABD+BAE180，AEBD，OHEODB， EF平分OEH，OEFHEF. EFOEFH90，EFEF， EFOEFH （ASA） ， EOEH，FOFH，EHOEOHOBDODB， EOHOBD（AAS），BDOH2OF 23 （2020 湖州）已知在ABC 中，ACBCm，D 是 AB 边上的一点，将B 沿着过点 D 的直线折叠，使点 B 落在 AC 边的点 P 处（不与点 A，C 重合） ，折痕交 BC 边于点 E （1）特例感知 如图 1，若C60，D 是 AB 的中点，求证：AP= 1 2AC； （2）变式求异 如图 2，若C90，m62，AD7，
17、过点 D 作 DHAC 于点 H， 求 DH 和 AP 的长； （3）化归探究 如图 3，若 m10，AB12，且当 ADa 时，存在两次不同的折叠，使 点 B 落在 AC 边上两个不同的位置，请直接写出 a 的取 值范围 【分析】 （1）证明ADP 是等边三角形即可解决问题 （2）分两种情形：情形一：当点 B 落在线段 CH 上的点 P1 处时，如图 21 中情形二：当点 B 落在线段 AH 上 的点 P2 处时，如图 22 中，分别求解即可 （3）如图 3 中，过点 C 作 CHAB 于 H，过点 D 作 DPAC 于 P求出 DPDB 时 AD 的值，结合图形即可判断 【解答】 （1）证
18、明：ACBC，C60，ABC 是等边三角形，ACAB，A 60，由题意，得 DBDP，DADB，DADP，ADP 使得等边三角形， APAD= 1 2AB= 1 2AC （2）解：ACBC62，C90，AB= AC2+ BC2= (62)2+ (62)2=12， DHAC，DHBC，ADHABC，DH BC = AD AB， AD7， DH 62 = 7 12，DH= 72 2 ，将B 沿过点 D 的直线折叠， 情形一：当点 B 落在线段 CH 上的点 P1 处时，如图 21 中， AB 12 ， DP1 DB AB AD 5 ， HP1 = DP12 DH2= 52 (72 2 )2= 2
19、2 ， A1AH+HP142， 情形二：当点 B 落在线段 AH 上的点 P2 处时，如图 22 中， 同法可证 HP2= 2 2 ，AP2AHHP232， 综上所述，满足条件的 AP 的值为 42或 32 （3）如图 3 中，过点 C 作 CHAB 于 H，过点 D 作 DPAC 于 P CACB，CHAB，AHHB6， CH= AC2 AH2= 102 62=8，当 DBDP 时，设 BDPDx，则 AD12x， tanA= CH AC = PD AD， 8 10 = x 12x，x= 16 3 ， ADABBD= 20 3 ，观察图形可知当 6a 20 3 时，存在两次不同的折叠，使点
20、B 落在 AC 边上两个不同的位置 27（2020 宿迁）【感知】如图，在四边形 ABCD 中，CD90 ，点 E 在边 CD 上，AEB90 求证： AEDE EBCB 【探究】如图，在四边形 ABCD 中，CD90 ，点 E 在边 CD 上，当点 F 在 AD 延长线上，FEGAEB90 ，且 FEAE EGEB ，连接 BG 交 CD 于点 H求证：BHGH 【拓展】如图，点 E 在四边形 ABCD 内，AEBDEC180 ，且 AEDE EBEC ，过 E 作 EF 交 AD 于点 F，使EFAAEB，延长 FE 交 BC 于点 G，求证：BGCG 解析（1）根据“两角对应相等的两个三
21、角形相似”来证明；（2）过点 G 作 GMCD 于点 M，由相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定进行证明；（3）仿照（2），在 EG 上取点 M，使BMEAEB，过点 C 作 CNBM，交 EG 的延长线于点 N，则N BMG，再根据相似与全等的知识锁定答案 答案证明： （1） CDAEB90 ， BECAEDAEDEAD90 BECEADRt AEDRt EBC AEDE EBCB （2）如答图 1，过点 G 作 GMCD 于点 M，由（1）可知 EFDE EGGM FEAE EGEB ， AEDE EBCB ， DEDE GMCB BCGM 又CGMH90 ，CHBMHG，BCHGMH
22、BHGH （3）如答图 2，在 EG 上取点 M，使BMEAEB，过点 C 作 CNBM，交 EG 的延长 线于点 N，则NBMG EAFAFEAEFAEFAEBBEM180 ，EFAAEB， EAFBEMAEFEBM AEEF BEBM AEBDEC180 ， FEADFE180 ， 而EFAAEB， CEDEFD BMGBME180 ，NEFD EFDEDFFEDFEDDECCEN180 ，EDFCEN 第 27 题图 第 27 题图 第 27 题图 A B C D E A BC D E F G HG F E D CB A M A BC D E F G H 第 27 题答图 1 第 27
23、题答图 2 N M F G E D C B A DEFECN DEEF ECCN 又 AEDE EBEC ， EFEF BMCN ， BMCN又NBMG，BGMCGN，BGMCGNBGCG 25 （2020 陕西）问题提出：问题提出： （1）在 Rt ABC 中，ACB90 ，ACBC，ACB 的平分线交 AB 于点 D，过点 D 分别作 DEAC，DFBC，垂足分别 E、F，在图 1 中与线段 CE 相等的线段是 ； 问题探究：问题探究： （2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB8，P 是AB上一点，且PB2PA，连接 PA， PB，APB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作
24、 CEAP，CFBP，垂足分别为 E、F， 求线段 CF 的长； 问题解决：问题解决： 如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知O 的直径 AB70m，点 C 在 上，且 CACBP 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交于点 D，连接 AD、BD，过点 P 分别 作 PEAD，PFBD，垂足分别为 E、F按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区， 阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设 AP 的长为 x(m)，阴影部分的面积为 y(m2) 求 y 关于 x 之间的函数关系式； 按照“少儿活动中心”的设计要求， 发现当 AP 的长度为 30m 时， 整体布局比较合理
25、 试 求当 AP30m 时，室内活动区（四边形 PEDF）的面积 图 1 图 2 图 3 第 25 题图 解析（1）由“角平分线的性质定理”可知 DEDF，由“三个角是直角的四边形是矩形”可得 四边形 CEDF 是矩形，由于 DEDF，所以矩形 CEDF 是正方形，所以与线段 CE 相等的线 段有 DE、DF、CF； （2） 由题意可知A60 ， B30 ， 由 AB8 以及 30 的直角三角形的各边之间的关系， 可以得到 AP 1 2 AB4，BP3AP43，CE3AE；设 CFa，由（1）可知：CF CEPEa，则 AE4a，由 CE3AE，可列方程3 4aa，解得 a62 3，即 CF
26、的长为62 3； （3）第小问：阴影部分的面积等于 ABC、 APE 与 BPF 的面积之和根据题意可知 ABC 为等腰直角三角形，其面积为 70 35 21225；将 APE 绕点 P 逆时针旋转 90 （如 答图所示） ，发现 APE 与 BPF 的面积之和等于 Rt BPG 的面积，Rt BPG 的面积 PG BP 2AP BP 2 x(70 x) 2；所以阴影部分面积1225+x(70 x) 2，化简即可第 小问，正方形 PEDF 的面积PF2如答图，在 Rt BPG 中，PG30，BP40，运用勾股 F E D C A BO F E CA P B F E D B O A C P 定理
27、可求出 BG50，再运用等积法求出 PF 的长，从而求出正方形 PEDF 的面积 答案解:（1）ED、DF、CF； （2）AB 是直径，PB2PA，AOP90 ，B30 由题意可知，矩形 PECF 为正方形在 Rt APB 中，PBAB cos30 43，AP 1 2 AB4 在 Rt ACE 中，CE3AE设 CFa，由（1）可知：CFCEPEa，则 AE4a， 由 CE3AE，可列方程3 4aa，解得 a62 3，即 CF 的长为62 3 （3）如答图，AB 为直径，ACBADB90 ACBC，ADCBDC，PEPF四边形 PEDF 为正方形 APE+BPF90 ， PEAPFB90 将
28、APE绕点P逆时针旋转90 ， 得到 GPF， PAPG，则 G、F、B 三点共线， PBG 为直角三角形，BPG90 11 =70 22 PAEPBFPGB SSSPG PBxx 在 Rt ABC 中，ACBC352, ABC S 1 2 AC21225 y 1 70 2 xx+1225 2 1 351225 2 xx 当 x30 时，PG30，PB40在 Rt PGB 中，BG50 运用等积法， 有 1 2 30 40 1 2 PB PFPF24 正方形 PEDF 的面积PF2242576 （m2） 当 AP30m 时，室内活动区（四边形 PEDF）的面积为 576m2 第 25 题答图
29、24(2020 自贡)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合 是解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上 x 所对应的点 与 2 所对应的点之间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上 x 所对应的点与1 所对应的点之间的距离 （1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点 A、B、P 分别表示数1、2、x，AB3 |x+1|+|x2|的几何意义是线段 PA 与 PB 的长度之和， 当点 P 在线段 AB 上时， PA+PB3， 当点 P 在点 A 的左侧或点 B 的右侧时，
30、 PA+PB3 |x+1|+|x2|的最小值是 3 （3）解决问题： |x4|+|x+2|的最小值是 6 ； 利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4； G F E D BAP 当 a 为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是 2 解析解： （1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点 A、B、P 分别表示数1、2、x，AB3 |x+1|+|x2|的几何意义是线段 PA 与 PB 的长度之和， 当点 P 在线段 AB 上时， PA+PB3， 当点 P 在点 A 的左侧或点 B 的右侧时， PA+PB3 |x+1|+|x2|的最小值是 3 （
31、3）解决问题： |x4|+|x+2|的最小值是 6；故答案为：6； 如图所示，满足|x+3|+|x1|4 的 x 范围为 x3 或 x1； 当 a 为1 或5 时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是 2 25 （2020 贵阳） （12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 O 为对角线 AC 的中点 （1）问题解决：如图，连接 BO，分别取 CB，BO 的中点 P，Q，连接 PQ，则 PQ 与 BO 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）问题探究：如图， AOE 是将图中的 AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到 的三角形，连接 CE，点 P，Q 分别为 CE，BO的中点，连接
32、 PQ，PB判断 PQB 的形 状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图， AOE 是将图中的 AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45 得到 的三角形，连接 BO，点 P，Q 分别为 CE，BO的中点，连接 PQ，PB若正方形 ABCD 的边长为 1，求 PQB 的面积 答案解： （1）点 O 为对角线 AC 的中点，BOAC，BOCO， P 为 BC 的中点，Q 为 BO 的中点，PQOC，PQ= 1 2OC，PQBO，PQ= 1 2BO； 故答案为：PQ= 1 2BO，PQBO （2） PQB 的形状是等腰直角三角形理由如下：连接 OP 并延长交 BC 于点 F， 四边形 ABCD 是
33、正方形，ABBC，ABC90 ， 将 AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到 AOE，AOE 是等腰直角三角形， OEBC，OEOA，OEPFCP，POEPFC， 又点 P 是 CE 的中点，CPEP，OPEFPC（AAS） ，OEFCOA，OP FP，ABOACBFC，BOBF，OBF 为等腰直角三角形BPOF，OP BP，BPO也为等腰直角三角形 又点 Q 为 OB 的中点，PQOB，且 PQBQ，PQB 的形状是等腰直角三角形； （3）延长 OE 交 BC 边于点 G，连接 PG，OP 四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线，ECG45 ，由旋转得，四边形 OABG 是矩 形
34、，OGABBC，EGC90 ，EGC 为等腰直角三角形 点P是CE的中点， PCPGPE， CPG90 ， EGP45 ， OGPBCP （SAS） ， OPGBPC， OPBP， OPGGPBBPCGPB90 ， OPB90 ， OPB 为等腰直角三角形，点 Q 是 OB 的中点，PQ= 1 2OBBQ，PQOB， AB1，OA= 2 2 ，OB= OA2+ AB2=( 2 2 )2+ 12= 6 2 ，BQ= 6 4 S PQB= 1 2BQPQ= 1 2 6 4 6 4 = 3 16 24 （2020泰安） （12 分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面 上，抽象出如图
35、（2）的平面图形，ACB 与ECD 恰好为对顶角，ABCCDE 90，连接 BD，ABBD，点 F 是线段 CE 上一点 探究发现探究发现： （1）当点 F 为线段 CE 的中点时，连接 DF（如图（2） ） ，小明经过探究，得到结论：BD DF你认为此结论是否成立？_ （填“是”或“否” ） 拓展延伸：拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若 BDDF，则点 F 为线段 CE 的中点请 判断此结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 问题解决：问题解决： （3）若 AB6，CE9，求 AD 的长 A B C D E F E D C B A （第 24 题） 图（1
36、） 图（2） 备用图 解析本题考查了互余角的性质、等腰三角形的性质、判定方法、三角形相似的条件与性质 以及构造基本模型解决实际问题的能力问题（1）可以直接根据条件推理判定 BDDF； （2）根据条件可得 EFFD、CFDF，即 CFEF，则 F 为 CE 的中点； （3）设 G 为 EC 的中点，则 DGBD，由条件得：ABCEDC，进而求得 AD 的长. 答案（1）是； （2）结论成立 理由如下： BDDF，EDAD， BDCCDF90，EDFCDF90 BDCEDF ABBD， ABDC AEDF 又AE， EEDF EFFD 又EECD90， ECDCDF CFDF CFEF F 为 C
37、E 的中点 （3）在备用图中，设 G 为 EC 的中点，则 DGBD GD1 2 EC 9 2 又 BDAB6， 在 RtGDB 中，GB6 2(9 2) 2 15 2 CB 15 2 9 2 3 在 RtABC 中，AC6 232 3 5 由条件得：ABCEDC 3 5 9 3 CD CD 9 5 5 ADACCD3 5 9 5 5 24 5 5 （2020江西）23. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直 角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 1 S， 2 S， 3 S之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究类比探究 （1）如图 2，在Rt ABC中，BC
38、为斜边，分别以,AB AC BC为斜边向外侧作Rt ABD， Rt ACE，Rt BCF， 若123 ， 则面积 1 S， 2 S， 3 S之间的关系式为 ； 推广验证推广验证 （2） 如图 3， 在R tA B C 中，BC为斜边， 分别以,AB AC BC为边向外侧作任意ABD，ACE， BCF， 满足123 ，DEF ， 则 （1） 中所得关系式是否仍然成立？若成立， 请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用拓展应用 （3） 如图 4， 在五边形ABCDE中，105AEC ，90ABC，2 3AB ，2DE ， 点P在AE上，30ABP，2PE ，求五边形ABCDE的面积. F
39、E D C B AA B C D E G 【解析】 （1） 123; SSS （2）成立；1=2=3，D=E=F，ABDCAEBCF. 22 12 22 33 ,. SSABAC SBCSBC 22 12 2 3 . SSABAC SBC ABC 为直角三角形 222 ABACBC. 12 3 1 SS S ， 123 SSS，成立. （3）过点 A 作AHBP 于点 H. ABH=30，AB=2 3.3,3,60AHBHBAH. BAP=105，HAP=45.PH=AH=3.6AP ，BP=BH+PH=33 (33) 33 33 222 ABP BP AH S .连接 PD. 2,2PEED
40、， 2323 , 3362 3 PEED APAB . . PEED APAB 又E=BAP=105，ABPEDP.EPD=APB=45， 3 3 BDPE BPAP .BPD=90，13.PD 2 33 33 113 () 3232 BPDABP SS 连接 BD. ( 33)(13) 2 33 22 BPD PB PD S . tanPBD= 3 3 PD BP ，PBD=30.ABC=90，ABC=30，DBC=30 C=105，ABPEDPCBD. SBCD=SABP+SEDP= 3 3331 2 32 22 . S五边形ABCDE=SABP+SEDP+SBCD+SBPD = 3 33
41、31 (2 32)(2 33)6 37 22 24（2020 襄阳）（11 分）在ABC 中，BAC90 ，ABAC，点 D 在边 BC 上，DE DA 且 DEDAAE 交 BC 于点 F，连接 CE （1）特例发现特例发现：如图 1，当 ADAF 时，求证：BDCF；推断：ACE_ ； （2）探究证明探究证明：如图 2，当 ADAF 时，请探究ACE 的度数是否为定值，并说明理 由； （3）拓展运用拓展运用：如图 3，在（2）的条件下，当 1 3 EF AF 时，过点 D 作 AE 的垂线，交 AE 于点 P，交 AC 于点 K，若 CK16 3 时，求 DF 的长 解析本题考查了等腰直角
42、三角形的相关结论的探究与运用， 解题的关键是巧妙地添加辅助 线利用全等三角形与相似三角形的知识 答案解： （1）证明：如答图 1，过点 A 作 AMBC 于点 M P A BCD E F F E D C B A F E D C B A K 第 24 题图 1 第 24 题图 2 第 24 题图 3 第 24 题答图 1 M F E DCB A ABAC，ADAF，AMBC， BMCM，DMFM BMDMCMFM，即 BDCF 90（证明ABDDCE，可得DCEB45） （2）ACE90 ，理由如下：如答图 2，过点 A 作 AMBC 于点 M，点 E 作 EN BC 于点 N AMBC，ENB
43、C，DEDA， AMDDNE90 ，DAMADMADMEDN90 DAMEDN 又DEDA， AMDDNE AMDNCM，DMEN DMCN CNEN ECNACN45 ACE90 （3） 如答图 3， 过点 A 作 AMBC 于点 M， 点 E 作 ENBC 于点 N， 连接 KE 由 （2） 可知 DMNFCNk，由 AMEN，得AMFENF，从而 1 3 FNEFNF AMAFMF ， 于是 AMCMDN3k， MF 3 2 k， NF 1 2 k，故 DF 5 2 k DADE，DPAE， 直线 DK 垂直平分线段 AE，于是 KEAK 16 3 2 3 k CE2k， N M A B
44、 C D E F 第 24 题答图 2 第 24 题答图 3 F E D C B A K N P 在 RtCEK 中， 由勾股定理， 得 222 1616 ( 2 )()(3 2) 33 kk， 解得 k22 DF 5 2 k52 24.（2020达州） （1） 【阅读与证明】 如图 1， 在正ABC的外角CAH内引射线AM， 作点C关于AM的对称点E（点E在CAH 内） ，连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G 完成证明：点E是点C关于AM的对称点， 90AGE，AEAC，12 正ABC中，60BAC，ABAC， AEAB，得34 在ABE中，12 6034 180 ，13 _ 在AEG中
45、，31 90FEG ，FEG_ 求证：2BFAFFG （2） 【类比与探究】 把（1）中的“正ABC”改为“正方形ABDC” ，其余条件不变，如图 2类比探究，可得： FEG_； 线段BF、AF、FG之间存在数量关系_ （3） 【归纳与拓展】 如图 3， 点A在射线BH上，ABAC，BAC0180， 在C A H内引射线AM， 作点C关于AM的对称点E（点E在CAH内） ， 连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G 则 线段BF、AF、GF之间的数量关系为_ 解析（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可如图 1 中，连 接 CF，在 FB 上取一点 T，使得 FTCF，连接 C
46、T证明BCTACF（SAS）可得结论 （2）如图 2 中，利用圆周角定理解决问题即可结论：BF2AF+2FG如图 2 中， 连接 CF， 在 FB 上取一点 T， 使得 FTCF， 连接 CT 证明BCTACF， 推出 = =2 ， 推 出 BT2CF 可得结论 （3）如图 3 中，连接 CF，BC，在 BF 上取一点 T，使得 FTCF构造相似三角形，利用 相似三角形的性质解决问题即可 答案（1）解：如图 1 中，点 E 是点 C 关于 AM 的对称点， AGE90 ，AEAC，12 正ABC 中，BAC60 ，ABAC，AEAB，得34 在ABE 中，1+2+60 +3+4180 ，1+3
47、60 在AEG 中，FEG+3+190 ，FEG30 故答案为 60，30 证明：如图 1 中，连接 CF，在 FB 上取一点 T，使得 FTCF，连接 CT C，E 关于 AM 对称，AM 垂直平分线段 EC，FEFC， FECFCE30 ，EF2FG， CFTFEC+FCE60 ， FCFT，CFT 是等边三角形， ACBFCT60 ，CFCTFT，BCTACF， CBCA，BCTACF（SAS） ，BTAF， BFBT+FTAF+EFAF+2FG （2）解：如图 2 中，ABACAE， 点 A 是ECB 的外接圆的圆心，BECBAC， BAC90 ，FEG45 故答案为 45 结论：BFAF+FG 理由：如图 2 中，连接 CF，在 FB 上取一点 T，使得 FTCF，连接 CT AMEC，CGCE，FCEF， FECFCE45 ，EFFG， CFTFEC+FCE90 ， CFCT，CFT 是等腰直角三角形，CTCF， ABC 是等腰直角三角形，BCAC， BCATCF45 ，BCTACF，BCTACF， ，BTCF， BFBT+TFAF+EAF+FG （3）如图 3 中，连接 CF，BC，在 BF
