1、知识点知识点 35 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 一、选择题一、选择题 8（2020 温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为， 测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 A(1.5150tan)米 B(1.5 150 tan )米 C(1.5150sin)米 D(1.5 150 sin )米 答案A 解析本题考查了解直角三角形的应用， 过点A作AEBC， 垂足为E， 由题意 AECD150， 在Rt ABE中，tan 150 BEBE AE , 150tanBE ，BCBECE1.5150tan，因此本题 选A 7 （2020 黔西南州） 如图， 某停车场入口
2、的栏杆 AB， 从水平位置绕点 O旋转到 AB的位置， 已知 AO 的长为 4 米若栏杆的旋转角AOA，则栏杆 A 端升高的高度为（ ） A 4 sin 米 B4sin米 C 4 cos 米 D4cos米 答案B 解析本题考查了锐角三角函数的应用如答图，过点 A作 ACAB 于点 C在 Rt OCA中，sin A C A O ，所以 ACAOsin由题意得 AOAO4，所以 AC 4sin，因此本题选 B 8（2020安徽）如图，在RtABC中，C90，点D在AC上，DBCA，若AC4， cosA4 5 ，则BD的长度为（ ） 150米 D C B A A B C D 150米 E D C B
3、A A9 4 B12 5 C15 4 D4答案C 解析在RtABC中，cosA AC AB 4 5 ，则AB 5 4 AC5，BC 22 ABAC 3.在RtBCD 中，cosDBC BC BD 4 5 ，cosDBCcosA，BD 5 4 BC 5 4 3 15 4 . 9 （2020重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡， 山坡的CD坡度（或坡比） i=1:0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点 处测得居民楼楼顶A点的仰角为28，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼 AB的高度约为（ ） （参考数据：sin280.4
4、7，cos280.88，tan280.53） A76.9m B82.1m C94.8m D112.6m 答案B解析如图，过点D作DEAB于E，作DFBC交BC的延长线于点F，则四边形DFBF是矩 形.在RtDCF中，CD的坡度为1:0.75， 4 = 3 DF CF .设DF=4k，CF=3k，则CD=5k.CD=45， k=9，DF=36,CF=27，BE=36，DE=BF=27+60=87.在RtADE中， AE=DEtanADQ=87 0.53=46.11，AB=46.11+3682.1（m） 7.（2020苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1） 在点C
5、处放置测角仪， 测得旗杆顶的仰角ACE； （2）量得测角仪的高度CDa； （3） 量得测角仪到旗杆的水平距离DBb.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度 可表示为（ ） A.tanab B.sina b C. tan b a D. sin b a 答案A解析本题考查了利用三角函数计算物体高度，作CFAB于F，由题意得CF=DB=b， tanACF=AF:CF,AF=tanACFCF= tanb， AB=AF+FB=AF+CD=tanab ,因此本题选 A. 12（2020聊城）如图，在 RtABC中，AB2，C30，将 RtABC绕点A 转得到 RtABC，使点B的对应点B落在AC上
6、，在BC上取点D，使BD2，那么，点 F D到BC的距离等于（ ） A2( 3 3 1) B 3 3 1 C31 D31 答案D解析本题可直接通过解直角三角形解答如图，设 DEBC 于点 E，交 AC 于点 F， 则BDFC30，DF2BF在 RtBDF 中，设 BFx，根据勾股定理， 得 x222(2x)2， 解得 x 3 32 ， DF 3 34 由旋转知 ABAB2 在 RtABC 中， C30，AC2AB4，BC422，CFBCBF2 3 32 ，EF 2 1 CF1 3 3 DEDFEF 3 34 1 3 3 31 9 （2020重庆 B 卷）如图垂直于水平面的 5G 信号塔 建在垂
7、直与水平面的悬崖边 B 点处， 某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A,B,C 在同一条直线上） ，再沿 斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点（点 A,B,C,D,E 在同一平面内） ，在点 E 处测得 5G 信号塔顶 端 A 的仰角为 43，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡的坡度（或坡比）i=1:2.4，则信号塔 AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93） A23 米 B24 米 C24.5 米 D25 米 答案D 解析本题考查了锐角三角函数的实际应用，如图，过点 E 作 EFAC 于 E，作 E
8、GCD 交 CD的延长线于点G， 则四边形EFCG是矩形.在RtDEG中， DE的坡度为1:2.4， 5 12 EG DG . 设 EG=5k ， DG=12k ， 则 DE=13k. DE=78 ， k=6 ， EG=30,DG=72 ， CF=30 ， EF=CG=72+78=150. 在Rt AEF中 ， AF=EF tan AEF=150 0.93=139.5 ， AC=139.5+30=169.5（m） ，AB=169.5-144.5=25（m） ，因此本题选 D A B C D B C E A B C D B C F 8（2020天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量
9、建筑物的高度，已知标 杆 BE 高 1.5m，测得 AB1.2m，BC12.8m，则建筑物 CD 的高是（ ） A17.5m B17m C16.5m D18m 答案A 解析由题意得 EBAC， DCAC， 从而 EBDC， 所以AEBADC， 从而得到BE CD AB AC， 即1.5 CD 1.2 1.212.8，解得 CD17.5（cm） 因此本题选 A 10 （2020深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距 200 米的 P、 Q 两点分别测定对岸一棵树 T 的位置，T 在 P 的正北方向，且 T 在 Q 的北偏东 70 方向，则 河宽（PT 的长）可以表示为（ ） A
10、200tan70 米 B 200 tan70 米 C200sin70 米 D 200 sin70 米 答案B 解析在 RtPQT 中，利用PQT 的度数，得到PTQ 的度数，进而由 PQ 的长根据三角 函数即可求得 PT 的长在 RtPQT 中，QPT90 ，PQT90 70 20 ，PTQ 70 ，tan70 PQ PT，PT PQ tan70 200 tan70 ，即河宽 200 tan70 米，此本题选 B 6 （2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰角是 30 度，船离灯塔 的水平距离为 （ ） A342米 B314米 C21 米 D42 米 答案A 解析本题考
11、查了三角函数的应用仰俯角问题，如图水平距离42tan3042 3 3 342，因此本题选 A 二、填空题二、填空题 16（2020 温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测 场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AEl， BFl，点N，A，B在同一直线上在F点观测A点后，沿FN 方向走到M点， 观测C点发现12 测得EF15米， FM 2米， MN8米， ANE45 ， 则场地的边AB为 米， BC为 米 答案15 2，202 解析本题考查了解直角三角形， 根据题意可知EN15+2+825，又 ANE45 ，得到AN25 2，AE25.又因为FN10，所以BN 10 2，所
12、以ABANBN152；延长CB交l于点Q，显然 BQF BNF，QFBF10，BQ10 2，在Rt CPQ中，PQCP，由1 2，所以tan1 255 = 153102 CPCP PMCP ,所以CP30，所以CQ 30 2，所以BC202. 因此本题答案为15 2，202 14 （2020黔西南州）如图，在 Rt ABC 中，C90 ，点 D 在线段 BC 上，且B30 ， ADC60 ，BC3 3，则 BD 的长度为_ 答案2 3 解析本题考查了解直角三角形，含 30角的直角三角形的性质（在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半） 因为C90，ADC60，所以DAC30， 所以
13、CD 1 2 AD因为B30，ADC60，所以BAD30，所以 BDAD，所 以 BD2CD因为 BC3 3，所以 CD2CD3 3，所以 CD3，所以 DB2 3，因 此本题答案为2 3 15 （2020新疆）如图，在ABC 中，A90 ，B60 ，AB2，若 D 是 BC 上一动 点，则 2ADDC 的最小值为_ 答案6 解析本题考查了含 30的直角三角形，垂线段最短如答图，作 BCE30， CE 与 AC 在 BC 两侧， 过点 D 作 DFCE 于 F 过点 A 作 AHCE 于点 H 在 42米 30 l 2 1 NMF E D C B A A B C D E F M N 1 2 l
14、 PQ C D E F A B H RtCDF 中，因为BCE30，所以 DF 1 2CD，则由“垂线段最短”可知，ADDF 的 最小值为线段 AH 的长，即 AD 1 2CD 的最小值为线段 AH 的长在 RtABC，因为B 60，所以ACB30，因为 AB2，所以 BC4，AC2 3在 RtACH 中， ACHACBBCE303060，所以CAH30，所以 CH 1 2AC 1 2 2 33， AH3CH333， 所以 AD 1 2CD 的最小值为 3， 因为 2ADDC2(AD 1 2CD)，所以 2ADDC 的最小值为 6 16（2020 枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）若 A
15、B，AC 的长都为 2m，当 50 时， 人字梯顶端离地面的高度 AD 是_m（结果精确到 0.1m， 参考依据： sin500.77， cos500.64，tan501.19） 答案1.5解析直接利用正弦求解在 Rt ADC 中，AC2，50 ， 则 sin50 AC AD ，ADAC sin50 20.771.5 16 (2020 自贡)如图， 我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ABCD， DCAB BC 长 6 米， 坡角 为 45 ，AD 的坡角 为 30 ，则 AD 长为 米（结果保留根号） 答案故答案为：6 解析本题考查了解直角三角形的知识，通过构造直角三角形，解直角三角形，从而
16、解决问 题 解：过点 D 作 DEAB 于 E，过点 C 作 CFAB 于 F CDAB， DEAB， CFAB， DECF，在 Rt CFB 中， CFBCsin453 （米） ， DECF3 （米） ， 在 Rt ADE 中， A30 ， AED90 ， AD2DE6 （米） ， 因此本题答案为：6 15 （2020泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地BCAD， BEAD，斜坡 AB 长 26m，斜坡 AB 的坡比为 12：5为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校 决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过 50时，可确保山体不滑坡，如 果改造时保持坡脚 A 不动，则
17、坡顶 B 沿 BC 至少向右移_m 时，才能确保山体不 滑坡 （取 tan501.2） 答案10 解析本题考查了锐角三角函数的应用，因为斜坡 AB 的坡比为 12：5，即 BE:AE=12：5设 BE=12k，则 AE=5k，AB=13k.因为斜坡 AB 长 26m，所以 13k=26，所以 k=2，即：BE=24 m， 则 AE=10 m，设坡顶 B 沿 BC 至少向右移至点 G 处，过点 G 作 GHAD，垂足为点 H，且设 BG=x，则 GH：AHtan50，即 24：AH1.2，所以 AH20，因为 AE=10，所以 EH10，即 坡顶 B 沿 BC 至少向右移 10 m 时，才能确保
18、山体不滑坡 ，因此本题答案为 10 13 （2020 乐山） 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图 自动扶梯 AB 的倾斜角为 30 ， 在自动扶梯下方地面 C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60 ，A、C 之间的距离为 4m，则自动扶 梯的垂直高度 BD_m（结果保留根号） 答案2 3 解析先由三角形外角的性质及等腰三角形的判定， 得到 BCAC4， 再解直角三角形 BCD 求 BD BACABCBCD60 ， BAC30 ， ABC30 ， ABCBAC， BCAC4，在 RtBCD 中，BDBCsin60 4 3 2 2 3 15（2020乐山）把两个含 30 角的直角三角板按如图所示拼接
19、在一起，点 E 为 AD 的中 点，连接 BE 交 AC 于点 F，则AF AC_ 答案3 5 解析连接 CE，根据直角三角形斜边上中线的性质，得到 CE1 2ADAE，从而ECA CAEBAC，从而 CEAB，所以ABFCEF，因而AF CF AB CE；设 AC2x，则 AB ACcos30 3x， AD AC cos30 4 3 3 x， 从而 CE2 3 3 x， 因此AF CF AB CE 3 2， 进而求得 AF AC 3 5 A BC DEA B C D E H G （第 15 题） （2020济宁）14.如图，小明在距离地面 30 米的 P 处测得 A 处的俯角为 15， B
20、处的俯 角为 60.若斜面坡度为 1：3,则斜坡 AB 的长是_米. 答案20 3 解析由题意得：APB=60-15=45，PH=30， 在 P 处测得 B 处的俯角为 60，PBH=60， 又斜面 AB 坡度为 1：3, 13 tan 33 ABC， ABC=30，ABP=90， ABP 是等腰直角三角形，AB=PB. 由 sinPBH= 30PH PBPB ，PB= 3030 =20 3 sin3 2 PBH, AB=20 3（米）. 13.（2020达州）小明为测量校园里一颗大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将 测角仪 CD 竖直放在与 B 相距 8m 的位置， 在 D
21、处测得树顶 A 的仰角为 52 .若测角仪的高度 是 1m，则大树 AB 的高度约为 .（结果精确到 1m.参考数据：sin52 0.78，cos52 0.61，tan52 1.28) 答案11 米 解析AB=18tan52=181.28=11.2411（米） 16 （2020南通）测高仪 CD 距离建筑物 AB 底部 5 m，测高仪 D 处观测建筑物顶端的仰 角为 50 ， 测高仪高度为 1.5 m， 则建筑物 AB 的高度为 m（精确到 0.1m， sin50 0.77， cos50 0.64，tan50 1.19） 答案7.5 解析过点 D 作 AB 的垂线，得矩形 BCDE 和 RtA
22、ED，可得 BE，DE 的长，在 RtAED 中 求出 AE 的长，求出 ABAEBE 过点 D 作 DEAB 于点 E， 由题意可得：BEDC1.5m，DEBC5m， 在 RtAED 中，tan AE ADE DE ， 5tan505 1.195.95AE ， ABAEBE1.55.957.5（m） 14（2020 咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60 方向上，一艘轮船从北小岛 A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30 方向上，如果轮船不改 变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是_ n mile（结果保留一位小数，31
23、.73） 答案20.8 50 D A CB E D C A B A B C D 5 50 解析本题考查了解直角三角形的应用，如图，过P作PDAB于D，AB=24， PAB=90 -60 =30 ， PBD=90 -30 =60 ， BPD=30 ， APB=30 ， 即PAB=APB， AB=BP=24，在直角 PBD中，PD=BPsinPBD=24 3 2 =12 320.8，因此本题填20.8 13 （2020天门仙桃潜江）如图，海中有个小岛 A，一艘轮船由西向东航行，在点 B 处 测得小岛 A 位于它的东北方向， 此时轮船与小岛相距 20 海里， 继续航行至点 D 处， 测得小岛 A 在
24、它的北偏西 60 方向，此时轮船与小岛的距离 AD 为 海里 答案220 解析过点 A 作 ACBD 于点 C，在 B 点测得小岛 A 在东北方向上, 时轮船与小岛相距 20 海里, D 处，测得小岛 A 在它的北偏西 60 方向， ABC=45,AB=20 海里,ADC=30 ， 在 RtABC 中,AC=BC，AC=20sin45 =10 2 RtADC 中 AD=2AC=220 (海里) 答：此时轮船与小岛 A 的距离 AD 为220海里。因此本题答案为220. 三、解答题三、解答题 18 （2020绍兴）如图，点 E 是ABCD 的边 CD 的中点，连结 AE 并延长，交 BC 的延长
25、 线于点 F （第 13 题图） A D B 45 60 北 东 C （第 13 题图） A D B 45 60 北 东 （1）若 AD 的长为 2求 CF 的长 （2）若BAF=90 ，试添加一个条件，并写出F 的度数 解析本题考查了全等三角形的判定和性质， 直角三角形中的 三角函数或是两锐角互余在第（1）小题中，由平行四边形 的性质得出 ADCF，则DAECFE，ADEFCE，由点 E 是 CD 的中点，得出 DE CE，由 AAS 证得ADEFCE，即可得出结果；在第（2）小题中，若添加边的条件， 如 AB=BC，可以利用三角函数求出F 的度数 答案解： （1）四边形 ABCD 是平行四
26、边形，ADCF，DAE=CFE，ADE= FCE， 点 E 是 CD 的中点，DE=CE，ADEFCE（AAS） ，CF=AD=2. （2）添加一个条件：如当 AB=BC 时，CF=AD=BC，AB=BC，AB=BC=CF，又 BAF=90，sinF= 1 2 AB BF ，F=30（答案不唯一） 21(2020绍兴)如图 1 为搭建在地面上的遮阳棚，图 2、图 3 是遮阳棚支架的示意图遮 阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 E，H 可分别沿等长的立柱 AB， DC 上下移动，AFEFFG1m （1）若移动滑块使 AEEF，求AFE 的度数和棚宽 BC 的长 （2）当AFE 由
27、60 变为 74 时，问棚宽 BC 是增加还是减少？增加或减少了多少？ （结果精确到 0.1m参考数据：31.73，sin370.60，cos370.80，tan370.75） 解析本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形在第（1）小题中，可 求出等边三角形 AFE 的高，进而可得菱形较长的一条对角线是这一高线的 2 倍，BC 长是较 长对角线的 4 倍，从而得解；第（2）小题中，在等腰AFE 中，求出底边 AE 上的高，类 比于上一题的解法求出 BC 长，通过比较得出结论 答案解： （1）AE=EF=AF=1，AEF 是等边三角形，AFE=60， 延长菱形对角线 MF 交 AE
28、于点 K，则 FM=2FK，AEF 是等边三角形， AK= 1 2 ，FK= 22 3 2 AFAK ，FM=2FK= 3，BC=4FM=436.92 6.9（m） ； （2）AFE=74，AFK=37，KF=AFcos370.80， FM=2FK=1.60， BC=4FM=6.406.92，6.926.40=0.5. 答：当AFE 由 60变为 74时，棚宽 BC 是减少了，减少了 0.5m 19.(2020 宁波)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的 钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定 在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的
29、 方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位. 图2是其示意图，经测量，钢条ABAC50 cm，ABC47 . （1）求车位锁的底盒长BC （2）若一辆汽车的底盘高度为30 cm，当车位锁上锁时，问这辆汽 车能否进入该车位？(参考数据： sin470.73， cos470.68， tan47l.07) 解析本题考查了解直角三角形的实际应用 （1）作 AHBC 于点 H，根据三角函数计算 BH，进而求得 BC； （2）由三角函数计算 AH 的长，从而作出判断 答案19.解： （1）过点 A 作 AHBC 于点 H，ABAC， BHHC，在 RtABH 中，B47 ，AB50， B
30、HAB cosB50cos47 50 0.6834， BC2BH68cm. （2）在 RtABH 中，AHAB sinB50sin47500.7336.5(cm)， 36.530， 当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位. 19 （2020 湖州）有一种升降熨烫台如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数 来调整熨烫台的高度图 2 是这种升降熨烫台的平面示意图AB 和 CD 是两根相同长度 的活动支撑杆，点 O 是它们的连接点，OAOC，h（cm）表示熨烫台的高度 （1）如图 21若 ABCD110cm，AOC120，求 h 的值； （2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高
31、度为 120cm 时，两根支撑杆的夹角 AOC 是 74 （如图 22） 求该熨烫台支撑杆 AB 的长度 （结果精确到 1cm） （参考数据： sin370.6，cos370.8，sin530.8，cos530.6 ） 【分析】 （1）过点 B 作 BEAC 于 E，根据等腰三角形的性质得到OACOCA= 180120 2 =30，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）过点 B 作 BEAC 于 E，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论 【解答】解： （1）过点 B 作 BEAC 于 E，OAOC，AOC120， OACOCA= 180120 2 =30，hBEABsin3011
32、0 1 2 =55； （2）过点 B 作 BEAC 于 E，OAOC，AOC74， OACOCA= 18074 2 =53，ABBEsin531200.8150（cm） ， 即该熨烫台支撑杆 AB 的长度约为 150cm 19 （2020 台州）人字折叠梯完全打开后如图 1 所示，B，C 是折 叠梯的两个着地点，D 是折叠梯最高级踏板的固定点图 2 是 它的示意图，ABAC，BD140cm，BAC40，求点 D 离地面的高度DE（结果精确到0.1cm； 参考数据sin700.94， cos700.34，sin200.34，cos200.94） 【分析】过点 A 作 AFBC 于点 F，根据等腰
33、三角形的三线合一 性质得BAF 的度数，进而得BDE 的度数，再解直角三角形得结果 【解答】解：过点 A 作 AFBC 于点 F，则 AFDE， BDEBAF，ABAC，BAC40，BDEBAF20， DEBDcos201400.94131.6（cm） 答：点 D 离地面的高度 DE 约为 131.6cm 22（2020铜仁）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60方向上有 一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏 东30方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续 向东航行是否安全？ 解析探究这艘船继续向东航行是否安全，只要判断它到灯塔C的距 离与4
34、7 km的大小即可。因此考虑过C作CDAB于点D构造直角三角 形，然后通过解RtBCD求出CD，与47 km比较大小即可解决问题 答案解：如图所示：过点C作CDAB，垂足为D 根据题意可知 BAC903030，DBC90 3060，DBCACB+BAC， BAC30ACB，BCAB60 km. 在 RtBCD中，CDB90，DBC60， sinDBC， sin60，CD60sin6060 30（km）47km，这艘船继续向东航行安全 20 （2020新疆）如图，为测量建筑物 CD 的高度，在 A 点测得 建筑物顶部 D 的仰角为 22 ，再向建筑物 CD 前进 30 米到达 B 点， 测得建筑
35、物顶部 D 的仰角为 58 （A、B、C 三点在一条直线上） ， 求建筑物 CD 的高度 （结果保留整数参考数据：sin220.37 ， cos220.93 ，tan220.40 ，sin580.85 ，cos580.53 ，tan581.60 ） 解析本题考查了用锐角三角函数解决实际问题设 CD 的高度为 x 米，先利用直角三角形 的边角关系表示出 BC 和 AC 的长，再列方程求解 答案解： 设 CDx 米.在 RtBCD 中， tanCBD CD BC ， BC tan CD CBD tan58 x 1.60 x 5 8 x在 RtACD 中，tanCAD CD AC ，AC tan22
36、 x 0.40 x 5 2 xACBCAB， 5 2 x 5 8 x30，解得 x16答：建筑物 CD NMD CB A 的高度 16 米 19（2020遵义）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门如图为该测温门截 面示意图，已知测温门 AD 的顶部 A 处距地面高为 2.2m，为了解自己的有效测温区间身高 1.6m 的小聪做了如下实验:当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头 B 处测 得 A 的仰角为 18 ;在地面 M 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰 角为 60 求小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度(额头到地面的距离以身高计计算精确
37、 到 01m， sin180.31， cos180.95， tan180.32) 解析本题考查锐角三角函数的实际应用， 根据锐角三角函数的意义 及 MNBCBEEC 列方程求解即可 解题时要注意牢记特殊三角 函数值，按要求取近似数 答案解:延长 BC 交 AD 于点 E，则 AEADDE0.6m根据题 意，得 MNBCBEEC， 即 MN tan AE 18 tan AE 60 1.8750.34615291.5（m） 答:小聪在地面的有效距离 MN 的长度约为 1.5m 23（2020 常德）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2是其示意图汽车的车厢 采用液压机构、车厢的支撑顶杆 B
38、C 的底部支撑点 B在水平线 AD的下方，AB与水平线 AD 之间的夹角是5，卸货时，车厢与水平线 AD 成60，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为45， 若 = 2米，求 BC 的长度(结果保留一位小数) (参考数据：65 0.91，65 0.42，65 2.14，70 0.94， 70 0.34，70 2.75，2 1.41) 解析本题考查了解直角三角形的应用 直接过点 C 作 于点 F， 构造直角三角形 （构 造直角三角形时不要破坏特殊角），利用锐角三角函数关系得出 CF 的长，进而求出 BC 的 长 答案解：方法一：解：如图 1，过点 C 作 于点 F， 在 中， = ( ) =
39、= ， = . = . ， 在 中， = ， = ， = = . . = . . ， 答：所求 BC 的长度约为 . 米 方法二： 解： 如图 2， 过点 A 作 于点 E， 在 中， = = ， = = ，即 = . = . ， = = ， 即 = . = . ，又 在 中， = ， = ， = = . . = . . ， 答：所求 BC 的长度约为 . 米 18（2020安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC15米，在山脚下点B 处测得塔底C的仰角CBD36.9，塔顶A的仰角ABD42.0，求山高CD（点A，C，D在 NM E D CB A 同一条竖直线上） . （参考数据：
40、 tan36.90.75， sin36.90.60， tan42.00.90.） 解析在RtABD和RtBCD中，由正切 的定义分别用BD表示出AD与CD的长，进而求解. 答案解:由题意，在RtABD与RtCBD中，ADBDtanABD0.9BD，CDBDtanCBD 0.75BD. 于是ACADCD0.15BD.因为AC15(米)，所以BD100(米).所以山高CD0.75BD 75(米). 23(2020绥化)如图 8，热气球位于观测塔P的北偏西 50方向，距离观测塔 100km的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西 37方向的B处，这时，B 处距离观测塔P有多远？
41、 (结果保留整数，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin50 0.77，cos500.64，tan501.19) 解析由 AB南北线，求得A，B然后利用正弦先求出 PC，再求出 PB 答案解：由已知，得A50，B37，PA100 在 RtPAC 中，sinA PC PA，PCPAsin5077在 RtPBC 中，sinB PC PB， PBsin37 PC 128(千米)答：这时，B 处距离观测塔约为 128 千米 25（2020江苏徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼.在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座 雕塑.在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处
42、，此时雕塑在小红的南偏东45方向，爸 爸在小红的北偏东60方向，若小红到雕塑的距离PM=30m，求小红与爸爸的距离PQ. （结果精确到1m，参数数据21.41，31.73，62.45） （第25题） 解析先解直角三角形PAM求出AM的长，再求出AB的长，然后构造以PQ为边的直角三角形， 然后解这个三角形可得PQ的长，最后再进行精确计算. 答案解：在RtPAM，PM=30m，AM=PMsin45=30 2 2=152（m）, AB=2AM=30 2m.过点P作PHBC，得矩形PABH，PH=AB=302m, 45 60 Q P M CD AB 北 P C A B 图 8 50 37 DPQ=60
43、，QPH=30,在RtPHQ中，PQ= 30 2 20 6 cos303 2 PH 49（m）. 答：小红与爸爸的距离PQ约为49m. 22（2020聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民 楼AB的高度进行测量先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为 35m，后站在M点处测得居 民楼CD的顶端D的仰角为 45居民楼AB的顶端B的仰角为 55已知居民楼CD的高度 为 16.6m，小莹的观测点N距地面 1.6m求居民楼AB的高度（精确到 1m） （参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43） 解析过点 N 作出平行于 AC 的直线，即可构造两个
44、直角三角形，通过解直角三角形求解， 均属于“已知一边一角”解直角三角形类型 答案解：过点 N 作 EFAC 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F 则 AEMNCF1.6，EFAC35，BENDFN90，ENAM，NFMC， 则 DFCDCF16.61.615在 RtDFN 中，DNF45，NFDF15 ENEFNF351520在 RtBEN 中，tanBNE EN BE ， BEENtanBNE20tan55201.4328.6ABBEAE28.61.630 答：居民楼 AB 的高度约为 30m 24（2020 宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有 A，B 两个观测站，A 在 B 的正西方向，A
45、B 2 km，从观测站 A 测得船 C 在北偏东 45 的方向，从观测站 A 测得船 C 在北偏西 30 的方 向求船 C 离观测站 A 的距离 45 60 H Q P M CD AB 55 45 A B C D M N E F 55 45 A B C D M N 解析过点 C 作 CDAB 于点 D， 设 ADCDx km， 从而 AC 2x km， 在 Rt BCD 中， 由正切函数得到 x 的方程求解即可 答案解：如答图，过点 C 作 CDAB 于点 D，则CADACD45 ，从而 ADCD x km，AC 2x km，DB(2x)km，CBD60 在 Rt BCD 中，由 tanCBD
46、 CD BD ，得 tan60 2 x x ，即 2 x x 3，解得 x33， 经检验， x33是原方程的根， 从而 AC 2x km2(33)(326) km 答： 船 C 离观测站 A 的距离为(3 26) km 18（2020 河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是 世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图 所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为 22 ，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45 .测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点A距离地
47、面的高度 （结果精确到0.1 m 参考数据： sin220.37， cos220.93， tan220.40，21.41）； (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误 差的合理化建议. 解析本题考查了解直角三角形的应用， 解题的关键是能将实际问题转化为解直角三角形问 题(1)过A点作AEBC，交BC的延长线于点E，交MP于点F，设AE= xm,从而构建出两个 直角三角形.在Rt ACE利用ACE=45 ，表示出BE=x+16；在Rt ABE中，利用tanABE 建立方程，求出x的值，再加上测角仪的高度即是观景台的高度；（2）可采用多次测量求平 均值来减小误差. 答案解：(1)过A点作AEBC，交BC延长线于点E，交MP于点F，设AE=xm. 在Rt ACE中，ACE= 45 ，AE=CE=xm，BC=16m，BE=x+16； 在Rt ABE中，ABE= 22 ，tan22 =BE AE ， 0.4 16 x x = + ，解得:x10.67， 由题意，易知四边形BEFM为矩
