1、知识点知识点 31 圆的基本性质圆的基本性质 一、选择题一、选择题 9（2020 杭州）如图，已知BC是O的直径，半径OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点 C重合），BD与OA交于点E设AED，AOD，则（ ） A3180 B2180 C390 D 290 答案D 解析本题考查了同圆的半径相等，三角形的内角和定理以及三角形的外角因为 OABC，所以AOB90因为OBOD，所以BD在OBD中，B DBOD180，即2D90180，所以2D90因为AED是ODE 的外角，所以DAEDAOD，所以2()90，整理，得290， 因此本题选D 4（2020绍兴）如图点 A，B，C，D，E 均在O 上
2、BAC=15 ，CED=30 ，则BOD 的 度数为（ ） A45 B60 C75 D90 答案D 解析本题考查了圆周角、圆心角以及它们所对的弧的度数之间的关系在同圆中， 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因为 BAC=15，CED=30，所以弧 BC 是 30，弧 CD 是 60，则弧 BD 是 90，故它所对的圆心 角BOD 的度数是 90因此本题选 D 4（2020 湖州）如图，已知四边形 ABCD 内接于O，ABC70，则ADC 的 度数是（ ） A70 B110 C130 D140 【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论 【解答】解：四边形
3、 ABCD 内接于O，ABC70，ADC180ABC18070 110，故选：B 7（2020黔东南州）如图，O 的直径 CD20，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，OM：OC 3：5，则 AB 的长为（ ） A8 B12 C16 D291 答案C 解析如图，连接 OA， O 的直径 CD20，OM：OD3：5，OD10，OM6. ABCD，AM= OA2 OM2= 102 62=8，AB2AM16 9（2020安徽）已知点A，B，C在O上，则下列命题为真命题的是（ ） A若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B若四边形OABC是平行四边形，则ABC120 C若ABC120
4、，则弦AC平分半径OB D若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC 答案B A E D O C B 解析逐项分析如下： 选项 逐项分析 图示 真假命题 A 如图，若OB平分AC，则OB是AC的垂直平分线，无法推理四边形OABC 是平行四边形. 假 B 如图，若四边形OABC是平行四边形，则ABOCOAOB，OAB和 OBC是等边三角形，ABCABOOBC120. 真 C 如图，若ABC120，无法推理出AC平分OB. 假 D 如图，若AC平分OB，无法推理出OB平分AC. 假 9（2020 陕西）如图， ABC 内接于O，A50 ，E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交O 于点 D，
5、连接 BD，则D 的大小（ ） A55 B65 C60 D75 第 9 题图 答案B解析 E 是弦 BC 的中点，由垂径定理的逆定理可知 OEBC，连接 OB、OC，由A50 可知BOC2A100 ，由等腰三角形的“三线合一”可知BOD50 ，在等腰 BOD 中，D (180 50 ) 265 第 9 题答图 6（2020青岛）如图，BD 是O 的直径，点 A，C 在O 上，弧 AB=弧 AD，AC 交 BD 于点 G.若 COD=126，则AGB 的度数为（ ） A.99 B.108 C.110 D.117 A B C O A B C O A B C O A B C O E O BC D A
6、 E O BC D A 答案B 解析本题考查了圆周角定理及其推论的应用，解答过程如下： BD 是O 的直径，BAD=90. 弧 AB=弧 AD，ADB=ABD=45. COD=126，CAD= 2 1 COD= 2 1 126=63. AGB=ADB+CAD=45+63=108. 因此本题选 B 8（2020泰安）如图，ABC 是O 的内接三角形，ABBC，BAC30，AD 是直径，AD 8，则 AC 的长为（ ） A4 B4 3 C8 3 3 D2 3 答案 B 解析本题考查了等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角以及锐角三角函数，因为ABC 中， ABBC，BAC30，所以B=120，因
7、为四边形 ABCD 内接于O，所以D=60.因为 AD 是O 的直径，所以ACD=90.因为 sinD= AC AD ，所以 AC=ADsinD=8 3 2 =4 3 ，因此本题选 B 7. （2020 淮安）如图,点 A、B、C 在O 上,ACB=54 ,则ABO 的度数是（ ） A.54 B.27 C.36 D.108 答案 C 解析本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系， 由已知得AOB=2ACB=108， 再在等腰三 角形 AOB 中由三角形的内角和定理求出ABO 的度数 ACB=54 ， AOB=2ACB=108 ， OA=OB， A BC D O A O C B D （第 8 题
8、） ABO=OAB=（180 -108 ） 2=36 故选 C 9 （2020福建） 如图， 四边形ABCD内接于O，ABCD，A为BD中点，60BDC， 则A D B 等于（ ） A.40 B.50 C.60 D.70 答案A 解析本题考查了弧，弦，圆周角等的关系，ABCD，A为BD中点，ABADCD， 60BDC，优弧 BAC 是 240，弧 AB 是 80，ADB=40，因此本题选 A 7(2020荆门)如图 4，O 中，OCAB，APC28 ，则BOC 的度数为( ) A14 B28 C42 D56 答案D 解析连结 OA由垂径定理可知ACBC，BOCAOC由圆周角定理可知AOC2P
9、56 BOC56 故选 D 16（2020 镇江）如图， 是半圆的直径，、 是半圆上的两点， = 106 ，则 等 于( ) O AB C D P C A B O 图 4 A10 B14 C16 D26 答案C 解析本题考查了圆周角相关知识，连接 BC，则BD180 ，ADC106 ，B74 ， AB 为O 的直径，ACB90 ，CAB16 7（2020常州）如图，AB 是O 的弦，点 C 是优弧 AB 上的动点(C 不与 A、B 重合)，CHAB， 垂足为 H，点 M 是 BC 的中点若O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是( ) A3 B4 C5 D6 (第 7 题) 答案A 解析解析本
10、题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为BHC90 ，M 为 BC 的中点， 所以 MH 1 2 BC，而 BC 的最大值是直径，所以 MH 的最大值等于 3 5（2020天水）如图所示，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，点 C 为O 上一点，连接 AC、 BC，若P70 ，则ACB 的度数为（ ） A50 B55 C60 D65 答案B 解析根据切线的性质和圆周角定理可求，连接 OA、OB，则ACB 1 2AOB，又由 PA、PB 分别 与O 相切于 A、B 两点，得到PAOPBO90 ，所以AOB180 P180 70 110 ， 从而得到ACB 1 2110 55 ，因此
11、本题选 B 5. （2020张家界）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD为120，则BOD的 度数为（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 答案C 解析本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 根据圆内接四边形的性质求出A，根据圆周角定理计算，得到答案 解：四边形 ABCD是O内接四边形， A180BCD60 ， 由圆周角定理得，BOD2A120， 故选：C 14（2020 河北）有一题目:“已知:点O为 ABC的外心，BOC=130 ，求A.”嘉嘉的解答为:画 以 及它的外接圆O，连接OB，OC，如图8.由BOC=2A=130
12、 ，得A=65 . 而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全， 还应有另一个不同的值.” 下列判断正确的是 A.淇淇说的对，且A的另一个值是115 B.淇淇说的不对，A就得65 C.嘉嘉求的结果不对，A应得50 D.两人都不对， 应有3个不同值 答案A 解析如图1，当A是锐角时， ABC的外心O在其内部，A=65 ；如图2，当A是钝角时， ABC 的外心O在其外部，1=2A，A= 1 2 1= 1 2 230 =115 .故A=65 或115 ，答案为A. 7.（2020 牡丹江）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 2倍，则ASB 的度 数是（ ） A22.5 B30 C45 D
13、60 答案C解析设圆心为 O，连接 OA，OB，如图， 弦 AB 的长度等于圆半径的 2倍，即 AB2OA2OB， OA2+OB2AB2，OAB 为等腰直角三角形，AOB90 ， 根据圆周角定理可得ASB 2 1 AOB45 ，故选 C 图8 O B A C A B S （第 7 题图） 10（2020 宜昌）如图，E,F,G 为圆上的三点，FEG=50 ，P 点可能是圆心的是（ ）. A B C D 答案C解析由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半当点 P 为圆心时，根据圆周角定理，可得FPG=2FEG故选：C 9（2020 凉山州）下
14、列命题是真命题的是（ ） A顶点在圆上的角叫圆周角 B三点确定一个圆 C圆的切线垂直于半径 D三角形的内心到三角形三边的距离相等 答案D解析因为顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，不在同一条直线上的三个点确定一 个圆，圆的切线垂直于过切点的半径，所以 A、B、C 选项皆为假命题，故选 D 11（2020 凉山州）如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于O，则 ADAB（ ） A2 23 B23 C32 D322 答案B解析如答图，连接 OA、OB、OD，则AOD90 ，AOB120 令 OAOBODr， 则 AD 2r，AB3r，从而 ADAB23，故选 B 10.(2020
15、潍坊)如图，在Rt AOB中， 90 ,3,4AOBOAOB ，以点 O 为圆心，2 为半径的圆 与OB交于点 C，过点 C 作CDOB交AB于点 D，点 P 是边OA上的动点当PCPD最小时， OP的长为（ ） O A B S 第 11 题图 O F E D CB A 第 11 题答图 r r r O F E D C B A A 1 2 B. 3 4 C. 1 D. 3 2 答案B解析由题意可知，点 C、D 是定点，点 P 是边OA上的动点，PC+PD 最小值时，即为将军 饮马问题.点点 P 为点 C 关于点 O 的对称点时， PC+PD 的值最小， 求出 OP 的长即可.延长 CO 交O
16、于点 E，连接 ED，交 AO 于点 P，如图， CDOB，DCB=90 ,又 90AOB，DCB=AOB，CD/AO， BCCD BOAO OC=2， OB=4，BC=2, 2 43 CD ，解得，CD= 3 2；CD/AO， EOPO ECDC ，即 2 = 43 PO ，解得，PO= 3 4 . 7（2020 营口） 如图， AB 是O 的直径， 点 C， 点 D 是O 上的两点， 连接 CA， CD， AD， 若CAB=40 ， 则ADC 的度数是（ ） A110 B130 C140 D160 答案B解析如图，连接 BC，AB 是O 的直径，ACB=90 ，CAB+CBA =90 ，
17、CAB=40 ，CBA =50 ，ADC +CBA =180 ，ADC=130 9 （2020 滨州） 在O中， 直径 AB15， 弦 DEAB 于点 C 若 OC： OB3： 5， 则 DE 的长为 （ ） A6 B9 C12 D15 答案C 解析本题考查了垂径定理和勾股定理， 直径AB=15， BO=7.5， OC： OB=3： 5， CO=4.5， DC= D P O CB A E D P O CB A O D C B A O D C B A 22 ODOC =6，DE=2DC=12，因此本题选C 8（2020 内江）如图，点 A、B、C、D 在O 上，120AOC，点 B 是AC的中点
18、，则D的 度数是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 答案 A解析本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键根据圆心角、弧、弦的关 系定理得到AOB 1 2 AOC，再根据圆周角定理解答 连接 OB，点 B 是AC的中点，AOB 1 2 AOC60 ， 由圆周角定理得，D 1 2 AOB30 ，因此本题选 A 14 （2020临沂）如图，在O中，AB为直径，80AOC，点D为弦AC的中点，点E为BC 上任意一点.则CED的大小可能是（ ） A.10 B.20 C.30 D.40
19、答案C解析梳理题目中的已知条件，有直径，可以相应的有 90的圆周角；80AOC，则 50OACOCA；同时点D为弦AC的中点，则可以考虑利用垂径定理；另外，题目中具 体数值较少，CED的具体值不容易求，那么我们可以根据已有条件探求它的取值范围，从而确 定那个值在范围内. 解：连接 AE，作过 OD 的直线分别交圆周于点 M、N，连接 CM，如下图： M N 80AOC40AEC40CEDAECAED； 又点D为弦AC的中点 1 40 2 CODAOC 1 20 2 CMNCOD CED所对的弧大于CNCEDCMN，即：20CED 综上：2040CED ，选 C. 9（2020 宜宾）如图，AB
20、 是O 的直径，点 C 是圆上一点，连结 AC 和 BC，过点 C 作 CDAB 于 点 D，且 CD4，BD3，则O 的周长是（ ） A 25 3 B 50 3 C 625 9 D 625 36 答案A 解析根据“直径所对的圆周角为直角”，得ACB90 ，由 CDAB，根据勾股定理得 BC 22 CDBD 5 ， 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 （ 两 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 ） 得 Rt ABCRt CBD，再根据相似三角形的三边对应成比例，得 AB CB BC BD ，即 AB 25 3 ，O 的周长是 25 3 8（2020 广州）往直径为 52cm
21、 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图 4 所示，若水面宽 AB=48cm，则水的最大深度为（ ） A8cm B10cm C16cm D20cm 答案C 解析本题考查了垂径定理，解答过程如下：过点 O 作 OCAB 于 D，交O 于点 C，连接 OA由题意， OA=OC26cm，AD= 1 2 AB=24cm，再由勾股定理可得：OC=10cm，所以水深 CD=OC-OD=26-10=16cm.因此本 题选 C 48 O B A 图图4 9（2020武汉）如图，在半径为 3 的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是弧 AC 的中点，AC 与 BD 交于点 E若 E 是 BD 的中点，则 AC
22、 的长是 （ ） A 5 3 2 B3 3 C3 2 D4 2 答案D 解析本题考查了圆的垂径定理，弧线圆心角关系，全等判定，中位线等定理，连接 OD，交 AC 于 点 F，由 D 是弧 AC 的中点，易证出 ODAC，AFCF，又O 是 AB 的中点，2OFBC，AB 是直径，ACB90，又E 是 BD 的中点，易证出EFDECB（AAS）DFBC，又 半径为 3，2OFDFBC2，在 RtABC 中，2426BCAB 2222 AC，因此本题选 D 10 （2020 海南）如图，已知 AB 是O 是直径，CD 是弦，若BCD36，则ABD 等于( ) A54 B56 C64 D66 答案A
23、 解析AB 是O 的直径，ADB90 .又由圆周角定理可知AC，ABD90 A 90 36 54 . 6.（2020吉林）如图，四边形ABCD内接于O若108B ，则D的大小为（ ） 48 D O C B A 图图4 D E C B A O F A. 54 B. 62 C. 72 D. 82 【答案】C 【详解】因为，四边形ABCD内接于O，108B ，所以，D=180 -18010872B 故选：C. 9（2020黄石）如图，点 A、B、C 在O 上，CDOA，CEOB，垂足分别为 D、E，若DCE 40，则ACB 的度数为（ ） A140 B70 C110 D80 答案 C 解析先根据四边
24、形的内角和为 360求AOB360909040140， 再由同弧所对的 圆周角是圆心角的一半可得P 的度数，最后由四点共圆的性质得结论如图，在优弧 AB 上取一点 P，连接 AP，BP，CDOA，CEOB，ODCOEC90，DCE40，AOB 360909040140，P1 2AOB70，A、C、B、P 四点共圆， P+ACB180，ACB18070110，故选：C 9（2020武威）如图，A 是O 上一点，BC 是直径，AC2，AB4，点 D 在O 上且平分， 则 DC 的长为（ ） B E D O C A B E D O C A P A2 B C2 D 【解析】点 D 在O 上且平分， ，
25、 BC 是O 的直径， BACD90， AC2，AB4， BC2， RtBDC 中，DC2+BD2BC2， 2DC220， DC， 故选：D 二、填空题二、填空题 13（2020 湖州）如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 CDAB，CD8，AB10，则 CD 与 AB 之间的距离是 3 【分析】过点 O 作 OHCD 于 H，连接 OC，如图，根据垂径定理得到 CHDH4，再利 用勾股定理计算出 OH3，从而得到 CD 与 AB 之间的距离 【解答】解：过点 O 作 OHCD 于 H，连接 OC，如图，则 CHDH= 1 2CD4， 在 RtOCH 中，OH= 52 42=3，所以 CD
26、 与 AB 之间的距离是 3故答案为 3 16（2020遵义）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC45 ，ADBC 于点 D，延长 AD 交O 于点 E，若 BD4， CD1，则 DE 的长是_ 答案 解析本题考查圆的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，利用特殊角作 垂线构造全等三角形是解题的关键 如图，过点 B 作 BHAC 于点 H，交 AE 于点 F，连接 BE，则AHFBHCAF=BC=5 541 2 D E C O B A HAFHBC，HAFEBC，HBCEBCADBC 于点 D， DE=DF CAECBE，ACBAEB，ACDBED CDAD DEBD ,即
27、 DE DE 15 4 DE= 541 2 (舍去负值)故答案为 541 2 . 19（2020黔东南州）如图，AB 是半圆 O 的直径，ACAD，OC2，CAB30，则点 O 到 CD 的距离 OE 为 答案2 解析ACAD，A30，ACDADC75. AOOC，OCAA30，OCD45，OCE 是等腰直角三角 形. 在等腰 RtOCE 中，OC2，OE= 2 19(2020绥化)如图 5，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点(点P与点D，点E不重合)， 连接PC、PD，DGPC，垂足为G，PDG等于_度 答案54解析连结 CE正五边形的内角CDE 1 5(52)180108DCDE
28、，P DEC 1 2(180108)36DGPC，PDG90P54 14 （2020 聊城） 如图， 在O中， 四边形OABC为菱形， 点D在AmC 上， 则ADC的度数是 答案60解析利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解在菱形 OABC 中，BO，又O2D，DB180，D2D180，D60 14（2020 贵阳）（4 分）如图， ABC 是O 的内接正三角形，点 O 是圆心，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，若 DAEB，则DOE 的度数是 度 F H E A D C O B 图 5 O P G D E C A B O D A B C m 答案120 解析解：
29、连接 OA，OB，ABC 是O 的内接正三角形，AOB120 ， OAOB，OABOBA30 ，CAB60 ，OAD30 ，OADOBE， ADBE，OADOBE（SAS），DOABOE， DOEDOA+AOEAOBAOE+BOD120 ，故答案为：120 16（2020 黑龙江龙东） 如图， AD 是 ABC 的外接圆O 的直径， 若BCA50 ， 则ADB 答案50 解析本题考查了圆周角的性质，解：AD 是 ABC 的外接圆O 的直径， 点 A，B，C，D 在O 上，BCA50 ，ADBBCA50 ，故答案为：50 15（2020 襄阳）在O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA，则弦 BC
30、 所对的圆周角等于_ 答案60 或 120 解析如答图，连接 OB，OC，由弦 BC 垂直平分半径 OA，得 OD 1 2 OA 1 2 OB，ODB90 ，从 而 cosDOB 1 2 ， DOB60 ， 于是DOC120 BP1C 1 2 BOC60 BP1CBP2C 180 ，BP2C120 综上，弦 BC 所对的圆周角等于 60 或 120 ，故答案为 60 或 120 （2020四川甘孜州）14如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 H，若 AB10，CD8，则 OH 的长度为_ P2 P1 D O CB A 第 15 题答图 答案3 解析本题考查了垂径定理和勾股定理连接 OC
31、，AB 为O 的直径，AB10，OCOA5 弦 CDAB 于点 H，CD8，CH4在 RtOCH 中，由勾股定理得 OHOCCH 22 22 54 3故答案为 3 14. （2020盐城）如图，在Oe中，点A在BC上，100 ,BOC则BAC o 14130 ，解析：本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆内接四边形对角互补等知识，因 此在O 上取一点 D，连接 CD，BD，则BDC 1 2 BOC50 四边形 ABDC 为圆内接四边形 BAC+BDC180 BDC50 BAC130 此本题答案为 130 （2020济宁）15.如图,在四边形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆 O 经过
32、点 C,D.AC 与 BD 相交于点 E， CD 2=CECA,分别延长 AB,DC 相交于点 P，PB=BO，CD=2 2.则 BO 的长是_. 答案4 解析：连结 OC，如图， CD2CECA， CDCA CEDC ， 而ACDDCE，CADCDE，CADCDE， CADCBD，CDBCBD，BCDC； 设O 的半径为 r， CDCB，CDCB，BOCBAD，OCAD， 2 2 PCPOr CDOAr ， PC2CD42， PCBPAD，CPBAPD， PCBPAD， PCPB PAPD ，即 4 2 36 2 r r ， r4， OB4 16 （2020 岳阳）如图，AB 为半圆 O 的
33、直径，M，C 是半圆上的三等分点，AB8，BD 与半圆 O 相切于点 B，点 P 为AM上一动点（不与点 A，M 重合），直线 PC 交 BD 于点 D，BE OC 于点 E，延长 BE 交 PC 于点 F，则下列结论正确的是 （写出所有 正确结论的序号） PDPB ； BC的长为 3 4 ； 45DBE； PFBBCF； CPCF 为定值. 答案 解析M，C 是半圆上的三等分点，BOC60180 3 1 ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角 的一半， BPC 2 1 BOC3060 2 1 ， BD 与半圆 O 相切于点 B， ABD90P 是AM 上一动点，PBA 角度不确定，PBD 不确定，
34、D 也不确定，所以 PBPD 不成立，结论 错误；直径 AB8，半径为 4， 6044 1803 BC ，结论正确；BEOC，BEO 90，OBE180906030，DBEABDOBE903060， 结论错误；PFBFCBFBC，所以PFBFBC，BCF 和PFB 不可能相似， 结论错误；OBOC，BOC60，BOC 是等边三角形，CBO60，BEOC， 所以CBE 2 1 CBO30，CBF=CPB，又BCF=PCB，BCFPCB， CP CB CB CF ， 2 CBCPCF ，OBC 是等边三角形，CBOB4， 16CPCF ，为定值， 结论正确综上，结论正确的是. 12（2020随州）
35、如图，点 A，B，C 在O 上，AD 是BAC 的角平分线，若BOC=120，则 CAD 的度数为 . 答案30 解析本题考查了圆周角定理、角平分线的定义，解答过程如下： BOC=120，BAC= 2 1 BOC= 2 1 120=60. AD 是BAC 的角平分线，CAD= 2 1 BAC= 2 1 60=30. 12（2020南通）O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 10，则圆心 O 到弦 AB 的距离为 答案12 解析过圆心作弦 AB 的垂线，连接 OA，由垂径定理和勾股定理可求出距离 作 OC 9(2020青海)已知O 的直径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB
36、8cm，CD 6cm，则 AB 与 CD 之间的距离为_cm 答案7 或 1 解析过圆心 O 作 OMAB 于 M，交 CD 于点 N，连结 OB，ODABCD，MNCD由垂径 定理可知 MB4，ND3OM 22 OBMB3，ON 22 ODND4(1)当圆心 O 在 AB， CD 之间时，如图#(1)，MNOMON7；(2)当圆心 O 在 AB，CD 同侧时，如图#(2)，MNON OM1 AB 于点 C，AC 1 5 2 AB ， 2222 13512OCOAAC 13 (2020 成都)如图， A， B， C 是O 上的三个点， AOB50 ， B55 ， 则A 的度数为 答案30 解析
37、首先根据B 的度数求得BOC 的度数，然后求得AOC 的度数，从而求得等腰三角形的底 角即可 解：OBOC，B55 ，BOC180 2B70 ， AOB50 ，AOCAOB+BOC70 +50 120 ， OAOC，AOCA= 180120 2 =30 ，故答案为：30 14.（2020安顺安顺）如图，ABC是O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB 上，若DAEB，则DOE的度数是 度. 答案120解析连接 OA，OB.ABC是O的内接正三角形，30OADOBE， 120AOB.又AD=BE,OA=OB，OADOBE.AODBOE.即DOE=120. 16（2020 滨州）如
38、图，O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与O相交于 O 图#(1) D C A B M N O 图#(2) O D C A B M N 第 14 题图 第 14 题答 点M，则sinMFG的值为_ 答案 5 5 解析本题考查了圆周角的性质及锐角三角函数的概念，设正方形的边长为a，O是正方形ABCD 的内切圆，AE= 1 2AB= 1 2a，AD=EG=BC=a，DE= 5 2 a，根据圆周角的性质可得： MFG=MEGsinMFG=sinMEG= 5 5 DG DE ，sinMFG= 5 5 ，因此本题填 5 5 19（2020临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接
39、两点间线段的长度叫做两点间的距离； 同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂 线段的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中 ，最短线段 的长度 ，叫做点到曲线的距离 .依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点(2,1)A到以原点为圆心， 以 1 为半径的圆的距离为_. 答案51解析 连接 OA 交圆周于点 N，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 M： 点 (2,1)A OM=2,AM=1 2222 215OAOMAM . 5 1ANOA ON. 14（2020 宜宾）如图，A、B、C 是O 上的三点，若 OBC
40、是等边三角形，则 cosA N M 答案 3 2 解析利用等边三角形的性质、圆周角定理、特殊角的三角函数值求解OBC 是等边三角形， BOC60 ，A30 ，cosAcos30 3 2 15. （2020攀枝花） 如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为 2 的O，ODBC于点D， 60BAC，则OD . 答案1 解 析 如 图 ， 连 接OB、OC， 则 易 知2120BOCBAC ， 由 垂 径 定 理 可 知 1 60 2 BODBOD，则30OBD， 1 1 2 ODOB. 三、解答题三、解答题 22（2020 温州）如图,C,D为O上两点,且在直径AB两侧,连结CD交AB于点E,G是A
41、C上一点, ADCG. (1)求证:12 (2)点C关于DG的对称点为F,连结CF.当点F落在直径AB上时CF10,tan1 2 , 5 求O的半径. D B C O A 解析本题考查了垂径定理及解直角三角形（1） 由ADCG得到ACAD,从而得到CB DB ， 从而12； （2） 根据圆是轴对称图形可知CFDF， 又由点C关于DG的对称点为F得到CDDF， 从而求得DE5， 分别解Rt AED和Rt BDE，求得AE和EB，从而得到直径AB。 答案解： （1）ADCG，ACAD. AB为O的直径，CB DB ，1 2. （2）连结DF， ACAD,AB为O的直径，ABCD，CEDE，FDFC
42、10. 点C，F关于GD对称，DCDF10，DE5. tan1 2 5 ，EBDE tan12,12，tan2 2 5 ，AE 25 22 D an E t , ABAEEB 29 2 ,O的半径为 29 4 . 21（2020衢州）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，AB10，AC6连结OC，弦 AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点 （1）求证：CADCBA； （2）求OE的长 解析（1）证明圆中两个圆周角相等可以证明这两个角所对的弧相等，而两条弧相等最常用 的方法是垂径定理； （2） 由已知长度的线段和要求的线段分布在两个三角形中， 考虑通过相似三角形来解决问题. 答案解
43、：（1）证明 OC为半径，点E是AD的中点，AC CD ，CAD=CBA. （2）解 AB为O的直径，ACB=90.点E是AD的中点， OCAD，AEC=90,AEC=ACB，又CAD=CBA，ACEBAC， CEAC ACAB ,即 6 610 CE ，CE=3.6.又OC= 1 2AB=5,OE= OC CE 53.6=1.4. 23（2020 台州）如图，在ABC 中，ACB90，将ABC 沿直线 AB 翻折得到ABD，连接 CD 交 AB 于点 ME 是线段 CM 上的点，连接 BEF 是BDE 的外接圆与 AD 的另一个交 点，连接 EF，BF （1）求证：BEF 是直角三角形； （
44、2）求证：BEFBCA； （3）当 AB6，BCm 时，在线段 CM 上存在点 E，使得 EF 和 AB 互相平分，求 m 的值 E O 1 2 D C BA F G G F AB C D 2 1 O E 【分析】（1）想办法证明BEF90即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明） （2）根据两角对应相等两三角形相似证明 （3） 证明四边形 AFBE 是平行四边形， 推出 FJ= 1 2BD= m 2， EFm， 由ABCCBM， 可得 BM= m2 6 ， 由BEJBME，可得 BE= m 2 ，由BEFBCA，推出AC EF = BC BE，由此构建方程求解即可 【解答】（1）证
45、明：EFBEDB，EBFEDF， EFB+EBFEDB+EDFADB90，BEF90，BEF 是直角三角形 （2）证明：BCBD，BDCBCD，EFBEDB，EFBBCD， ACAD，BCBD，ABCD，AMC90， BCD+ACDACD+CAB90，BCDCAB，BFECAB， ACBFEB90，BEFBCA （3）解：设 EF 交 AB 于 J连接 AEEF 与 AB 互相平分，四边形 AFBE 是平行四边形， EFAFEB90，即 EFAD， BDAD，EFBD，AJJB，AFDF，FJ= 1 2BD= m 2，EFm， ABCCBM，BC：MBAB：BC，BM= m2 6 ， BEJB
46、ME， BE： BMBJ： BE， BE= m 2 ， BEFBCA， AC EF = BC BE， 即36m 2 m = m m 2 ，解得 m23（负根已经舍弃） 23（2020 杭州）如图，已知AC，BD为O的两条直径，连接AB，BC， OEAB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF （1）设O的半径为1，若BAC30 ，求线段EF的长 （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， 求证：PEPF； 若DFEF，求BAC的度数 解析本题考查了含30的直角三角形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，平 行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，三线合一等知识 （1） 由已知可得AOE是含30的直角三角形，于是有AOE60，AE 3 2 ，OEOF 1 2 ， 所以OEF是底角为30的等腰三角形在AEF中，利用“等角对等边”得到EFAE 3 2 （2）作FGAB于点G，与BO交于点H，连接EH先证FGBC，得到OFH OCB， 于是得到FH 1 2 BC， 同理得到OE 1 2 BC， 所以FHOE， 又FHOE， 所以四边形OEHF 是平行四边形，于是问题获证利用OEFGBC证明EGGB，又FGAB，于是由线段 垂直平分线的性质得EFBF，而DFEF，所以DFBF，
