1、 知识点知识点 19 二次函数几何方面的应用二次函数几何方面的应用 一、选择题一、选择题 (2020南充）9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1,1） ， （3,1） ， （3，3） ， （1,3） ，若 抛物线 y=ax 2的图象与正方形有公共顶点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 3 9 1 a B. 1 9 1 a C. 3 3 1 a D. 1 3 1 a 答案A 解析 抛物线 y=a 2 x 的图象与正方形有公共顶点， 必须满足 1x3.抛物线经过 （1,3） 时， a=3，抛物线过（1，1）时，a=1，a 最大可以取 3；抛物线过点（3，1）时，a= 1 9 ，抛物线 过（3
2、，3）时，a= 1 3 ，a 最小可以取 1 9 ，所以3 9 1 a，故选 A. 二、填空题二、填空题 17 （2020无锡）二次函数 y=ax23ax+3 的图像过点 A（6,0） ，且与 y 轴交于点 B，点 M 在该抛物线的对称轴上，若ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点 M 的坐标 为 答案（3 2，9）或（ 3 2，6） 解析根据题意得，点 B 坐标为（0，3） ，对称轴为直线为 x3 2，若ABM90时，tan BAOtanBM1CtanNBM11 2， 则 BN3， 则 ON6， 则 M 的坐标为 （ 3 2， 6） 若BAM 90时，可以求得点 M2的坐标为（3 2
3、，9） 三、解答题三、解答题 24 （2020 湖州）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c（c0）的顶 点为 D，与 y 轴的交点为 C过点 C 的直线 CA 与抛物线交于另一点 A（点 A 在对称轴左 侧） ，点 B 在 AC 的延长线上，连结 OA，OB，DA 和 DB （1）如图 1，当 ACx 轴时， 已知点 A 的坐标是（2，1） ，求抛物线的解析式；若四边形 AOBD 是平行四边形， 求证：b24c （2）如图 2，若 b2， = 3 5，是否存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是平行四边 形？若存在，求出点 A 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】
4、 （1）先确定出点 C 的坐标，再用待定系数法即可得出结论； 先确定出抛物线的顶点坐标， 进而得出DF= b2 4 ， 再判断出AFDBCO， 得出DFOC， 即可得出结论； （2）先判断出抛物线的顶点坐标 D（1，c+1） ，设点 A（m，m22m+c） （m0） ， 判断出AFDBCO（AAS） ，得出 AFBC，DFOC，再判断出ANFAMC，得 出AN AM = FN CM = AF AC = BC AC = 3 5，进而求出 m 的值，得出点 A 的纵坐标为 c 5 4 c，进而判断出点 M 的坐标为（0，c 5 4） ，N（1，c 5 4） ，进而得出 CM= 5 4，DN= 9
5、4，FN= 9 4 c，进而求出 c= 3 2，即可得出结论 【解答】解： （1）ACx 轴，点 A（2，1） ，C（0，1） ， 将点 A（2，1） ，C（0，1）代入抛物线解析式中，得4 2b + c = 1 c = 1 ，b = 2 c = 1 ， 抛物线的解析式为 yx22x+1； 如图 1，过点 D 作 DEx 轴于 E，交 AB 于点 F，ACx 轴，EFOCc， y x D N C M1 B A O y x M2 B A O 点 D 是抛物线的顶点坐标，D（b 2，c+ b2 4 ） ，DFDEEFc+ b2 4 c= b2 4 ， 四边形 AOBD 是平行四边形，ADDO，AD
6、OB，DAFOBC， AFDBCO90，AFDBCO（AAS） ，DFOC，b 2 4 =c，即 b24c； （2）如图 2，b2抛物线的解析式为 yx22x+c， 顶点坐标 D（1，c+1） ，假设存在这样的点 A 使四边形 AOBD 是平行四边形， 设点 A（m，m22m+c） （m0） ，过点 D 作 DEx 轴于点 E，交 AB 于 F， AFDEFCBCO，四边形 AOBD 是平行四边形，ADBO，ADOB， DAFOBC，AFDBCO（AAS） ，AFBC，DFOC， 过点 A 作 AMy 轴于 M， 交 DE 于 N， DECO， ANFAMC， AN AM = FN CM =
7、AF AC = BC AC = 3 5， AMm，ANAMNMm1，;m;1 ;m = 3 5，m = 5 2， 点 A 的纵坐标为（ 5 2）22（ 5 2）+cc 5 4 c，AMx 轴， 点 M 的坐标为（0，c 5 4） ，N（1，c 5 4） ，CMc（c 5 4）= 5 4， 点 D 的坐标为（1，c+1） ，DN（c+1）（c 5 4）= 9 4，DFOCc， FNDNDF= 9 4 c，FN CM = 3 5， 9 4;c 5 4 = 3 5，c= 3 2，c 5 4 = 1 4，点 A 纵坐标为 1 4， A（ 5 2， 1 4） ， 存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是
8、平行四边形 25（2020铜仁）如图，已知抛物线yax2+bx+6经过两点A（1，0），B（3，0），C 是抛物线与y轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大 值； （3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得 CMN90， 且CMN与OBC相似， 如果存在， 请求出点M和点N的坐标 解析（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）过点P作PFy轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标， 根
9、据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m， 2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积 公式可得出SPBC3m2+9m， 配方后利用二次函数的性质即可求出PBC面积的最大值； （3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出 方程，求出点M，点N的坐标即可 答案解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入yax2+bx+6， 得：，解得：，抛物线的解析式为y2x2+4x+6 （2）过点P作PFy轴，交BC于点F，如图1所示当x0时，y2x2+4x+6 6， 点C的坐标为（0，6）设
10、直线BC的解析式为ykx+c， 将B（3，0）、C（0，6）代入ykx+c，得： ，解得：，直线BC的解析式为y2x+6 设点P的坐标为（m，2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，2m+6）， PF2m2+4m+6（2m+6）2m2+6m， SPBCPFOB3m2+9m3（m）2+， 当m时，PBC的面积取得最大值，最大值为 点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，0m3 （3）存在点M、点N使得CMN90，且CMN与OBC相似 如图2，CMN90，当点M位于点C上方，过点M作MDy轴于点D， CDMCMN90，DCMNCM，MCDNCM， 若CMN与OBC相似，则MCD与B
11、CO相似， 设M（a，2a2+4a+6），C（0，6），DC2a2+4a，DMa， 当时，COBCDMCMN， 解得a1.M（1，8），此时NDDM，N（0，），当 时， COBMDCNMC， ， 解得a， M （，） ， 此时N （0，） 如图3，当点M位于点C的下方， 过点M作MEy轴于点E，设M（a，2a2+4a+6），C（0，6）， EC2a24a，EMa，同理可得：或2，CMN 与OBC相似，解得a或a3，M（，）或M（3，0）， 此时N点坐标为（0，）或（0，） 综上所述，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M （，），N（0， ）或M（3，0），N（0，），使得CMN
12、90， 且CMN与OBC相似 25（2020重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x 2+bx+c与直线AB相交于 A，B两点，其中A（-3，-4），B（0,-1） （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求PAB面积的最大值； （3） 将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 2 1111 0ya xb xc a，平移后的抛物 线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是 否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的 坐标；若不存在，请说明理由 解析（1）将A，B两
13、点的坐标分别代入y=x2+bx+c，得到方程组，通过解方程组求出b，c； （2）由A，B两点的坐标求出直线AB的函数表达式y=x-1. 过点P作PQx轴交AB于点Q，设P （t,t2+4t-1） ， Q （t,t-1） ， 则PQ= （t-1） -(t2+4t-1)=-t2-3t.根据 “SPAB= 1 2 PQ |xA-xB|” 求出SPAB与t的函数表达式，进而求出该函数的最大值；（3）抛物线y=x2+4x-1向右平移 后的抛物线的表达式为y=x2-5，它们的交点为点C（-1，-4），以点B，C，D，E为顶点的 四边形为菱形可分为BC为对角线，BD为对角线，BE为对角线三种情况，其中BE为
14、对角线又分 为点E在直线AB上方和下方两种情况. 答案解： （1）抛物线y=x2+bx+c经过点A（-3，-4），点B（0,-1）， 934, 1 bc c ，解得 4, 1 b c .该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1. （2）设直线AB的函数表达式为y=kx+m（k0）. 将点A（-3，-4），点B（0,-1）代入函数表达式，得 34, 1 km m ，解得 1, 1 k m ，直线 AB的函数表达式为y=x-1. 过点P作PQx轴交AB于点Q.设P（t,t2+4t-1）（-3t0），则Q（t,t-1）. PQ=（t-1）-(t2+4t-1)=-t2-3t.SPAB= 1 2PQ|x
15、A-xB|= 1 2（-t2-3t）3=- 3 2t2- 9 2 t. t=- 9 3 2 32 2 2 ，-3- 3 20，当t=- 3 2时，SPAB有最大值.最大值为SPAB= 27 8 . PAB面积的最大值为 27 8 . （3）满足条件的点E的坐标为（1，-3），（-3，-4+ 6 ），（-3，-4- 6 ），（-1，,2）. 28（2020江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数 2 23 (0)yaxaxa a 的图像交x轴 于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.过点C作CDx轴交抛物线于点D，连接DE 并延长交y轴于点F，交抛物线于点G.直线AF交CD于点H，交抛
16、物线于点K，连接HE、GK. （1）点E的坐标为： ； （2）当HEF是直角三角形时，求a的值； （3）HE与GK有怎么的位置关系？请说明理由. （第28题） 备用图 解析 （1）利用二次函数对称轴的方程来进行计算； （2）先分别求出A、B、C三点的坐标， 根据对称性求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，通过解由直线DE和二次 函数的解析式组成的方程组可得G点的坐标，由直线DE的解析式求出点F的坐标，同样求出点 K的坐标和H点的坐标，然后由H、F、E三点的坐标，利用两点间距离公式分三种情形来进行 计算可得a的值；（3）在（2）的条件下，分别求出直线HE和直线GK的解析式，然后由解
17、析 式来判别直线HE和直线GK的位置关系. 答案解： （1）（1，0），理由如下： 对于抛物线 2 23yaxaxa ，它的对称轴x= 2 2 () a a =1，E点的坐标为（1，0）； （2）对于抛物线 2 23yaxaxa ， 令y=0，有 2 23axaxa =0，解得x1=1，x2=3，A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3， 0），令x=0，则y=3a，点C的坐标为（0，3a）, 由于CDx轴，点D和C关于抛物线的对称轴对称，点D的坐标为（2，3a）， 设直线DE的解析式为：y=kx+b，代入（1，0）和（2，3a）, 有 0 23 kb kba ，解得k=3a，b=3a，直线E
18、D的解析式为：y=3ax3a， 令x=0，则y=3a，点F的坐标为（0，3a）， 解方程组 2 33 23 yaxa yaxaxa ，解得G的坐标为（3，12a）， 同理可求得直线HK的解析式为：y=3ax3a，点K的坐标为（6，21a）， 对于直线y=3ax3a，令y=3a，解得H的坐标为（2，3a），H（2，3a），E（1，0）， F(0,3a)，根据两点间距离公式可得：HE2=9a2+9，HF2=36a2+4,EF2=9a2+1， 当HE2= HF2+ EF2时，有9a2+9=36a2+4+9a2+1，解得a= 1 3(舍负)； 当HF2= HE 2+ EF2时，有36a2+4=9a2+
19、9+9a2+1，解得a= 3 3 , 当HE2+ HF2= EF2时，有9a2+9+36a2+4=9a2+1，无解，a的值为： 1 3或 3 3 . （3）由于点G（3，12a），K（6，21a），直线GK的解析式为：y=ax15a， 由于点H的坐标为（2，3a），点E的坐标为（1，0），直线HE的解析式为：y=ax+a, 直线GK直线HE. 25 （2020 聊城） 如图， 二次函数yax 2bx4 的图象与 x轴交于点A(1 0)，B(4 0)， 与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E垂直于x轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的
20、右侧（不含对称轴） 沿x轴正方向移动到B点 （1）求出二次函数yax 2bx4 和 BC所在直线的表达式； （2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标； y x K H F G E D B C A O y x K H F G E D B C A O （3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C， F为顶点的三角形与DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由 解析（1）运用待定系数法，利用 A，B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表 达式，利用 B，C 两点的坐标确定直线 BC 的表达式； （2）
21、DE 长可求，由于直线 l 与抛物线的对称轴互相平行，故只需具备 PFDE，即得四边形 DEFP 为平行四边形点 P 与点 F 的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们 的纵坐标，根据其差等于 DE 长构建一元二次方程求解； （3） 结合图形与已知条件， 易于发现若两三角形相似， 只可能存在PCFCDE一种情况 CDE 的三边均可求，（2）中已表示 PF 的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式， 利用勾股定理表示出 CF 的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点 P 是否存在， 以及求解点 P 的值 答案解：（1）由题意，将 A(10)，B(40)代入 yax2bx4，得 .
22、04416 , 04 ba ba 解得 . 3 , 1 b a 二次函数的表达式为 yx23x4 当 x0 时，y4，得点 C(0，4)，又点 B(4，0)，设线段 BC 所在直线的表达式为 ymxn， . 04 , 4 nm n 解得 . 4 , 1 n m BC 所在直线的表达式为 yx4 （2）DEx 轴，PFx 轴，DEPF， 只要 DEPF，此时四边形 DEFP 即为平行四边形由二次函数 yx23x4(x 2 3 ) 2 4 25 ，得 D( 2 3 ， 4 25 )将 x 2 3 代入 yx4，即 y 2 3 4 2 5 ，得点 E( 2 3 ，2 5 ) DE 4 25 2 5
23、4 15 设点 P 的横坐标为 t，则 P(t，t23t4)，F(t，t4)， PFt23t4(t4)t24t，由 DEPF，得t24t 4 15 ， 解之，得 t1 2 3 (不合题意，舍去)，t2 2 5 当 t 2 5 时，t23t4( 2 5 )23 2 5 4 4 21 P( 2 5 ， 4 21 ) C A O E F B P D l x y （3）由（2）知，PFDE，CEDCFP 又PCF 与DCE 有共同的顶点 C，且PCF 在DCE 的内部，PCFDCE， 只有当PCFCDE 时，PCFCDE 由 D( 2 3 ， 4 25 )，C(0，4)，E( 2 3 ， 2 5 )，
24、利用勾股定理，可得 CE 22 ) 2 5 4() 2 3 ( 2 2 3 ， DE 4 25 2 5 4 15 由 （2） 以及勾股定理知， PFt24t， CF 22 )4(4tt2t DE CF CE PF ，即 4 15 2 2 2 3 4 2 ttt t0， 4 15 (t4)3，t 5 16 当 t 5 16 时，t23t4( 5 16 )23 5 16 4 25 84 点 P 的坐标是( 5 16 ， 25 84 ) 24 （2020 陕西）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点(3，12)和(2，3)，与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点
25、C，它的对称轴为直线 l （1）试求抛物线的表达式； （2）P 是抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点，要使以 P、D、 E 为顶点的三角形与 AOC 全等，求满足条件的点 P、E 的坐标 第 24 题图 解析（1）运用待定系数法求二次函数表达式，即将点（3，12）和（2，3）分别代入 yx2+bx+c，列方程组求解； （2）由点 A、C 的坐标判断出 AOC 是等腰直角三角形，根 据条件“ PDE 与 AOC 全等”和“PDDE”， 可确定 DPDEOAOC3， 由于点 P 可能 位于对称轴 l 的左侧或右侧，所以分类讨论，从而确定点 P 和点 E 的坐标
26、x y l C BAO C A O E F B P D l x y 图 C A O E F B P D l x y 图 答案解： （1）由题意，得 1293 342 bc bc 解方程组，得 2 3 b c 所以抛物线的表达式为： 2 23yxx ； （2）如答图所示： 第 24 题答图 当 x0 时，y3；当 y0 时，即 2 230 xx ，解得 x13，x21； 即 A(3，0)、B(1,0)、C(0，3)，对称轴 l 为 x1所以 OAOC3，即 AOC 为等 腰直角三角形因为 PDE 与 AOC 全等，且 PDDE，所以 DPDEOAOC3，所 以点 P 的横坐标为4 或 2，当 x
27、4 和 x2 时，y5，所以 P1(4,5)，P2(2,5)，E1( 1,8)，E1(1,2) 25 （2020泰安） （13 分）若一次函数 y3x3 的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，C 两点， 点 B 的坐标为 （3，0） ， 二次函数 yax 2bxc 的图象过 A， B， C 三点， 如图 （1） （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1） ，过点 C 作 CDx 轴交抛物线于点 D，点 E 在抛物线上（y 轴左侧） ，若 BC 恰好平分DBE求直线 BE 的表达式； （3）如图（2） ，若点 P 在抛物线上（点 P 在 y 轴右侧） ，连接 AP 交 BC 于点 F，连接 B
28、P，SBFPmSBAF 当 m1 2 时，求点 P 的坐标； 求 m 的最大值 解析本题考查了一次函数图像性质、应用待定系数法求二次函数与一次函数的表达式，图 像中线段与相应三角形面积之间的数量关系与其对应点坐标之间的联系问题（1） ，直接求 得图象过 A，B，C 三点，并应用待定系数法求得二次函数表达式；问题（2） ，根据图像中 的点的坐标隐含的线段条件， 并构造全等三角形求得 BE 与 y 轴交点 M 的坐标， 再应用待定 x y l P2 E2 E1 D C BAO P1 AB CD E O x yy x O F P C BA 图（1） 图（2） （第 25 题） 系数法求得直线 BE
29、的表达式；问题（3） ，根据 SBFP1 2 S BAF，得 PF1 2 AF过点 P 作 PNAB 交 BC 于点 N，则 AB2NP，NP2设 P（t，t 22t3） ，有 t22t3 xN3 则 xNt 22t从而 PNt（t22t） ，则 t（t22t）2，解得 t 值，即可 得点 P 坐标；由得：m PN 4 ，m t（t 22t） 4 t 23t 4 ，可得 m 的最 大值. 答案 （1）解：令3x30，得 x1令 x0 时，y3 A（1，0） ，C（0，3） 抛物线过点 C（0，3） ， c3 则 yax 2bx3，将 A（1，0） ，B（3，0）代入 得 0ab3， 09a3b
30、3 解得 a1 b2. 二次函数的表达式为 yx 22x3 （2）解：设 BE 交 OC 于点 M B（3，0） ，C（0，3） ， OBOC，OBCOCB45 CDAB， BCD45 OCBBCD BC 平分DBE， EBCDBC 又BCBC， MBCDBC CMCD 由条件得：D（2，3） CDCM2 OM321 M（0，1） B（3，0） ， 直线 BE 解析式为 y1 3 x1 （3）SBFP1 2 S BAF， PF1 2 AF 过点 P 作 PNAB 交 BC 于点 N，则ABFPNF AB2NP AB4， NP2 直线 BC 的表达式为 yx3， 设 P（t，t 22t3） ，
31、t 22t3x N3 xNt 22t PNt（t 22t） ，则 t （t 22t）2，解得 t 12，t21 点 P（2，3）或 P（1，4） 由得：m PN 4 m t（t 22t） 4 t 23t 4 （t 23t） 4 1 4 （t 3 2 ） 29 4 1 4 （t 3 2 ） 29 16 m 有最大值，m最 大 值 9 16 （2020四川甘孜州）28如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx3 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两点的抛物线 yx2bxc 与 x 轴的正半轴相交于点 C (1， 0) (1)求抛物线的解析式; (2)若 P 为线段 AB
32、上一点，APOACB，求 AP 的长; (3)在(2)的条件下，设 M 是 y 轴上一点，试问:抛物线上是否存在点 N，使得以 A，P，M，N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点 N 的坐标;若不存在，请说明理由 解析本题考查了抛物线的解析式、相似三角形、平行四边形的存在性，属二次函数综合 （1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式; （2）先求出 AB，OA，AC，再利用相似三角形的性质求解 （3）分两种情况讨论：PA 为平行四边形的边时，点 N 的横坐标可以为2，求出点 N 的 坐标即可解决问题当 AP 为平行四边形的对角线时，点 N的横坐标为4，求出点 N 的坐标即可解决问题 y
33、x O E DC BA M AB C P F O x y N 图（1） 图（2） 答案解：（1）抛物线经过 B（0，3） ，C（1，0） ， , . c bc 3 01 解得 , . b c 2 3 ， 抛物线的解析式为 yx22x+3 （2）对于抛物线 yx22x+3，令 y0，解得 x3 或 1 A（3，0） B（0，3） ，C（1，0） ， OAOB3，OC1，AB32 APOACB，PAOCAB， PAOCAB， APAO ACAB AP 3 43 2 ， AP22 （3）由（2）可知，P（1，2） ，AP22 当 AP 为平行四边形的边时，点 N 的横坐标为 2 或2， N（2，3）
34、 ，N（2，5） 点 M 向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位得到 M（0，5） ， 点 N向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位得到 M（0，7） ， x y CA B O P M N x y C A B O P M N 当 AP 为平行四边形的对角线时，点 N的横坐标为4， N（4，5） ，此时 M（0，7） ， 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为（2，3）或（2，5）或（4，5） （2020乐山）已知抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A(1，0)，B(5，0)两点，C 为抛物 线的顶点，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，连结 BC，且 tanCBD4 3，如图所示
35、 （1）求抛物线的解析式； （2）设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点 过点 P 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 E，过点 E 作 EFPE 交抛物线于点 F，连接 FB、 FC，求BCF 的面积的最大值； 连接 PB，求3 5PCPB 的最小值 解析（1）先根据抛物线的对称性求出对称轴与 x 轴的交点求出 D 点坐标，再由 tanCBD 4 3，求出点 C 的坐标，用待定系数法设交点式，将点 C 的坐标代入即可求解； （2）先求出 BC 的解析式为 y4 3x 20 3 ，再设点 E 坐标为(t,4 3t 20 3 )， 由二次函数关 系式用 t 表示点 F 的坐标，进而用 t 表示出
36、BCF 的面积，再根据二次函数的性质即可求出 x y CA B O P M N 最大值； 过点 P 作 PGAC 于 G，由 PGPCsinACD3 5PC 可得 3 5PCPBPGPB，再过点 B 作 BHAC 于点 H，由此可知当 B、P、H 三点共线时3 5PCPB 的值最小，即线段 BH 的长 就是3 5PCPB 的最小值，根据面积法求高即可 答案解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：ya(x1)(x5)， CD 是抛物线的对称轴，D(2,0)； 又tanCBD4 3，CDBDtanCBD4，即 C(2,4)， 代入抛物线的解析式，得 4a(21)(25)，解得 a4 9， 二次函
37、数的解析式为 y4 9(x1)(x5)，即 y 4 9x 216 9 x20 9 ； （2）设直线 BC 的解析式为 ykxb， 05kb， 42kb 解得 k4 3， b20 3 . 即直线 BC 的解析式为 y4 3x 20 3 ， 设 E 坐标为(t,4 3t 20 3 )，则 F 点坐标为(t,4 9t 216 9 t20 9 )， EF(4 9t 216 9 t20 9 )(4 3t 20 3 )4 9t 228 9 t40 9 ， SBCF1 2EFBD 1 23( 4 9t 228 9 t40 9 )2 3(t 7 2) 23 2， 当 t7 2时，BCF 的面积最大，且最大值为
38、 3 2； 如图，连接 AC，根据图形的对称性可知 ACDBCD，ACBC5， sinACDAD AC 3 5， 过点 P 作 PGAC 于 G，过点 B 作 BHAC 于点 H， 则在 RtPCG 中，PGPCsinACD3 5PC， 3 5PCPBPGPBBH， 由此可知当 B、P、H 三点共线时3 5PCPB 的值最小，即线段 BH 的长 SABC1 2ABCD 1 26412，又 S ABC1 2ACBH 5 2BH， 5 2BH12，即 BH 24 5 ， 3 5PCPB 的最小值为 24 5 24（2020绵阳）如图，抛物线过点 A（0，1） ，和 C，顶点为 D，直线 AC 与抛
39、物线的对 称轴 BD 点的交点为 B（3，0） ，平行于 y 轴的直线 EF 与抛物线交于点 E，与直线 AC 交 于点 F，点 F 的横坐标为 4 3 3 ，四边形 BDEF 为平行四边形 （1）求点 F 点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点 P 为抛物线上的动点，且在直线 AC 上方，当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标 及PAB 面积的最大值； （3） 在抛物线的对称轴上取一点 Q， 同时在抛物线上取一点 R， 使以 AC 为一边且以 A、 C、 Q、R 为顶点的四边形为平行四边形，求点 Q 和点 R 的坐标 解析（1）运用待定系数法，利用 A，B 两点的坐标确定直线 AB 的表达式
40、，再将 F 点的横 坐标代入解析式， 便可求得 F 点的坐标； 将抛物线设为顶点式， 然后利用平行四边形的性质， 以及 F 点的坐标，将 E 点的坐标表示出来，再将 A，E 两点的坐标分别代入顶点式中，便可 以解决； （2）利用铅锤底水平高，将PAB 的面积表示出来，设点 P 的横坐标为 t，可以将 PG 用 t 的代数式表示出来，然后再利用二次函数的性质求出PAB 面积的最大值及 P 的坐标； （3）由题意可以判断出点 Q 和点 R 均在 x 轴的下方，利用平行四边形的性质构造一对全等 的直角三角形，通过直线 AC 与抛物线联立可以求出 C 点的坐标，然后根据 A、C 两点的坐 标再结合全等
41、三角形的对应边相等，便可以求出点 Q 和点 R 的坐标了 答案解： （1）A（0，1） ，B（3，0） ，直线 AB 的解析式为：y 3 3 x+1，把 x 4 3 3 备用图 C B O A y x D F E O C B A y x 代入 y 3 3 x+1 得 y 1 3 ，F（ 4 3 3 ， 1 3 ） ； 设抛物线解析式为： ya （x3） 2h， EF 交 x 轴于 M， 过 E 作 ENBD， 则四边形 NBME 为矩形，BNEM，四边形 BDEF 为平行四边形，BDEF，DNMF 1 3 ，yE h 1 3 ，将 A（0，1） ，E（ 4 3 3 ，h 1 3 ）分别代入 y
42、a（x3）2h，得 a1，h4， 抛物线解析式为：yx223x1 （2）过 P 作 PMy 轴，交直线 AC 于点 G 设点 P 的横坐标为 t，则 P(t，t223t1)，G(t， 3 3 t1)， PGt223t1( 3 3 t1)t2 7 3 3 t， PAB S PAG S PBG S， PAB S 1 2 （t2 7 3 3 t）3 3 2 2 7 3 6 t 49 3 24 ， 3 2 0， 当 t 7 3 6 时， PAB S有最大值， 最大值为 49 3 24 ， 此时 P 点坐标为 ( 7 3 6 ， 47 12 ) （3）如图，A、C、Q、R 为顶点的四边形是以 AC 为边
43、的平行四边形，Q、R 均在 x 轴 的下方 过 R 作 y 轴的垂线，过 C 作对称轴的垂线，垂足分别为 T、H，则ARTQCH，RT CH，ATQH， 将直线 AC 与抛物线联立得： N M x y A B C O E F D G P 备用图 C B O A y x 2 3 1 3 2 31 yx yxx ，解得 1 1 7 3 3 4 3 x y ， 2 2 0 1 x y ，C（ 7 3 3 ， 4 3 ） ，CH 4 3 3 RT，R 的 横坐标为 4 3 3 ，将 x 4 3 3 代入到抛物线中得 y 37 3 ，R（ 4 3 3 ， 37 3 ） AT1 （ 37 3 ） 40 3
44、 QH，BQ 44 3 ，Q（3， 44 3 ） ；当 R 在对称轴右侧时，同理可求 得 R（ 10 3 3 ， 37 3 ） ，Q（3，10） 28 （2020无锡）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 OA 交二次函数 y1 4x的图像 于点 A,AOB=90，点 B 在该二次函数的图像上，设过点（0，m） （其中 m0）且平 行于 x 轴的直线交直线 OA 于点 M，交直线 OB 于点 N，以线段 OM、ON 为邻边作矩形 OMPN. （1）若点 A 的横坐标为 8. 用含 m 的代数式表示 M 的坐标； 点 P 能否落在该二次函数的图像上？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由；
45、 （2）当 m=2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所 有直线 OA 的函数表达式 解析 本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图 象的交点等知识点 D T H R R Q C B O A y x x y O 答案解： （1）M（1 2 m，m） ； N（2m，m） ，P（3 2 m，2m） 【平行四边形顶点公式】 ，代入抛物线解得 m= 32 9 ； （2）当点 A 在 y 轴右侧时，设 A（a， 1 4 a 2） ，所以直线 OA 解析式为 y=1 4ax，M（ 8 a，2） ， 再求出 B（16 a ，64 a2） ，直
46、线 OB 的解析式为 y= 4 ax，同理求得 N（ a 2，2） ；P（ 8 a a 2， 4） ，代入抛物线得8 a a 24，解得 a4 2 4，直线 OA 解析式为 y（ 21）x； 、 当点 A 在 y 轴左侧时， 即为中点 B 位置， 直线 OA 的解析式为 y=4 ax （ 21） x； 综上所述，直线 OA 的解析式为 y（ 21）x 或（ 21）x 25 （2020重庆 B 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2yaxbx（0a ）与 y 轴 交于点 C，与轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 A 点坐标为(2,0)，直线 BC 的解析式为 2 2 3
47、 yx （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 作 ADBC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE，BE，BD，DC求四边形 BECD 面积的最大值及相应点E的坐标； （3） 将抛物线 2 2yaxbx（0a ） 向左平移2个单位， 已知点 M 为抛物线 2 2yaxbx （0a ）的对称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点在（2）中，当四 边形 BECD 的面积最大时，是否存在以 A,E,M,N 为顶点的四边形为平行四边形，若 存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 x y x y 图2 图1 MN P A B N M P A B O O 解析本题是一道与抛物线有关的压轴题，综合考查了一次函数的图像，二次函数的图像、 性质和最值，三角形的面积，平行四边形的性质等知识 （1）先求出直线 y=- 3 3 x2 与 x 轴的交点 B 的坐标，再将点 A,B 的坐标代入 y=ax2+bx+2 求出 a，b 即可； （2）由 ADCB 可知 SBCD=SABC，所以 S四边形BECD= SBCD+SBCE= SABC + SBCE，即当 SBCE有最大值时 S四 边形BECD有最大值.（3）抛物线 2 2yaxbx的对称轴为 x=2，向左平移2
