1、知识点知识点 20 二次函数在实际生活中应用二次函数在实际生活中应用 一、选择题一、选择题 7 （2020 衢州） 某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示 设从 2 月份到 4 月份， 该厂家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ） A 2 180(1)461xB 2 180(1)461xC 2 368(1)442x D 2 368(1)442x 答案B解析根据平均增长率的公式有： 180 （1+x） 2=461,因此本题选 B 11（2020 绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大 小完全相同当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面
2、 1.5 米；当水 位下降，大孔水面宽度为 14 米时，单个小孔的水面宽度为 4 米若大孔水面宽度为 20 米，则单个小孔的水面宽度为（ ） A4米 B5米 C2米 D7 米 答案B 解析如图所示，建立平面直角坐标系设大孔对应的函数关系式为 yax2c，过 B (5，c 1.5)， F(7， 0)，则1 . 5 2 5 0 4 9 ca c ac ，解得 0.06 2.94 a c ，大孔对应的函数关系式为 y0.06x2 2.94当 x10 时，y0.061022.943.06，H(0，3.06)设右边小孔顶点坐 标为 D(10，1.44)，则右边小孔对应的函数关系式为 ym(x10)21.
3、44，过点 G(12，0)，则 0= m(1210)21.44，解得 m=0.36，右边小孔对应的函数关系式为 y0.36(x10)2 1.44，当 y3.06 时，3.060.36(x10)21.44，解得 x10 5 2 2 ，大孔水面宽 度为 20 米，时单个小孔的水面宽度为 5米故选项 B 正确 3213 2 H M F G D C E O N C BA y x （2020山西）9竖直上抛物体离地面的高度 h（m）与运动时间 t（s）之间的关系可以近 似地用公式 h5t2v0th0表示，其中 h0 (m)是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物 体抛出时的速度某人将一个小球从距地面
4、 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛出，小 球达到的离地面的最大高度为（ ） A23.5m B22.5m C21.5m D20.5m 答案C 解析本题考查二次函数的实际应用依题意，得 h01.5m，v020m/s，高度 h（m）与 运动时间 t（s）之间的关系可以近似地表示为 h5t220t1.55（t2）221.5，所 以某人将一个小球从距地面 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面 的最大高度为 21.5m，故选 C. 12 （2020长沙） “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制 作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆
5、腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比 称为“可食用率” ，在特定条件下， “可食用率”p 与加工煎炸的时间 t（单位：分钟）近似 满足函数关系式：cbtatp 2 （0a,a,b,c 为常数） ，如图纪录了三次实验数据，根据上述 函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 （ ） A3.50 分钟 B4.05 分钟 C3.75 分钟 D4.25 分钟 答案C 解析本题考查了二次函数实际应用问题，根据题意，题中的“可食用率”p 应该是最大时 为最佳时间，所以先把图中三个点代入cbtatp 2 ，可得到 a,b,c 的三元一次方程组 cba cba cba 5256 . 0 416
6、9 . 0 398 . 0 ，解得 9 . 1 5 . 1 2 . 0 c b a ，所以 p 应该最大时 75. 3 2 . 02 5 . 1 2 a b t，因此本题选 C 二、填空题二、填空题 0t P 43 0.8 0.9 5 0.6 0t P 43 0.8 0.9 5 0.6 13. (2020连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定 条件下，可食用率 y 与加工时间 x(单位:min)满足函数表达式 y=-0.2x 2+1.5x-2，则最佳加 工时间为 min. 答案3.75 解析本题考查了二次函数的性质，当加工时间 x 为何值时可食用率 y 最大，从
7、而转化为二 次函数的最值问题，由二次项系数为负，配方可知 x=3.75 时，y最在大，故答案为 3.75. 14（2020 襄阳）汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）关于行驶时间 t（单位：秒）的函 数关系式是 s15t6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为_秒 答案2.5 解析令 s0，得 15t6t20，解得 t12.5，t20（不合题意，舍去） ，故答案为 2.5 15.（2020天门仙桃潜江）某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶在 “创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20 顶已知头盔的进价为每顶 50 元，则该商
8、店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元 答案70 解析设每顶头盔的售价为 x 元, 由题意，得：w=（x-50） (200+ (80-x) 20，=（x-50） （-20 x+1800） =-20 x2+2800 x-90000， x=- 2800 70 22 20 b a ， 当销售单价定为 70 元时，每月可获得最大利润因此本题答案为 70. 三、解答题三、解答题 23 （2020绍兴）如图 1，排球场长为 18m，宽为 9m，网高为 2.24m队员站在底线 O 点 处发球，球从点 O 的正上方 1.9m 的 C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到 最高点 A 时， 高度为
9、2.88m 即 BA2.88m 这时水平距离 OB7m， 以直线 OB 为 x 轴， 直线 OC 为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图 2 （1）若球向正前方运动（即 x 轴垂直于底线） ，求球运动的高度 y（m）与水平距离 x（m） 之间的函数关系式（不必写出 x 取值范围） 并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理 由； （2）若球过网后的落点是对方场地号位内的点 P（如图 1，点 P 距底线 1m，边线 0.5m） ， 问发球点 O 在底线上的哪个位置？（参考数据：2取 1.4） 解析本题考查了用待定系数法求二次函数以及二次函数的应用在第（1）小题中，根据 题意，已知抛物线顶点（7，2.
10、88） ，可以设抛物线的顶点式进行求解；把 x=9，18 分别代入 前面求出的函数关系式，得到对应的 y 值，然后与网高的大小比较，进而判断球是否过网或 出界；在第（2）小题中，分别过点 P，Q 作底线、边线的平行线 PQ、OQ 交于点 Q，求出 OQ，OP，再利用勾股定理求出 PQ，确定点 O 的位置 答案解： （1）设抛物线的表达式为：y=a（x7）2+2.88，把（0，1.9）代入， 得 a（0-7）2+2.88=1.9，解得 a= 1 50，抛物线的表达式为：y= 1 50（x7）2+2.88. 当 x=9 时，y= 1 50（x7）2+2.88=2.82.24，当 x=18 时，y=
11、 1 50（x7）2+2.88=0.64 0， 故这次发球过网，但是出界了 （2）如图，分别过点 P，Q 作底线、边线的平行线 PQ、OQ 交 于点 Q， 在 RtOPQ 中，OQ=181=17，当 y=0 时，y= 1 50（x7） 2+2.88=0，解得：x=19 或5（其中5 舍去） ， OP=19，而 OQ=17，故 PQ=6 28.4. 98.40.5=0.1，发球点 O 在底线上且距右边线 0.1 米处 24（2020 嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物 线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B （1）求该抛物线的函数表达式 （2
12、）当球运动到点C时被东东抢到，CDx轴于点D，CD2.6m 求OD的长 东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速 传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）东东起跳后所持球离地面高度h1（m） （传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h12（t0.5）2+2.7（0t1）； 小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳 后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）东东的直线传球能 否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说 明理由（直线传球过程中
13、球运动时间忽略不计） 解析本题考查了待定系数法求二次函数解析式， 二次函数与一元二次方程之间的关系以及 分段函数（1）知顶点（0.4,3.32）和(0,3)，设顶点式求的二次函数解析式；（2）把y 2.6代入解析式，解得x，从而求的OD长； 东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MDh1，NFh2，当点M， N，E三点共线时，过点E作EGMD于点G，交NF于点H，过点N作NPMD于点P，证明 MPNNHE，得出 MPNH PNHE ，则NH5MP分不同情况：（）当0t0.3时，（） 当0.3t0.65时，（）当0.65t1时，分别求出t的范围可得出答案 答案解：（1）设ya（x
14、0.4）2+3.32（a0），把x0，y3代入，解得a 2， 抛物线的函数表达式为y2（x0.4）2+3.32 （2）把y2.6代入y2（x0.4）2+3.32，化简得（x0.4）20.36 ，解得x10.2（舍去），x21.OD1 m 东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E由图1可得，当0t0.3 时，h22.2 当0.3t1.3时，h22（t0.8）2+2.7当h1h20时，t0.65， 东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2， 设MDh1， NFh2， 当点M，N，E三点共线时，过点E作EGMD于点G，交NF于点H， 过点N作NPMD于点P， MDNF，PNEG，MHEN，M
15、NPNEH， MPNNHE， MPNH PNHE ， PN0.5，HE2.5，NH5MP （）当0t0.3时， MP2（t0.5）2+2.72.22（t0.5）2+0.5， NH2.21.30.952（t0.5）2+0.50.9，整理得（t0.5）20.16， 解得1 9 10 t （舍去），2 1 10 t ，当0t0.3时，MP随t的增大而增大， 13 1010 t （）当0.3t0.65时，MPMDNF2（t0.5）2+2.72（t0.8） 2+2.71.2t+0.78， NHNFHF2（t0.8）2+2.71.32（t0.8）2+1.4， 2（t0.8）2+1.45（1.2t+0.78
16、）， 整理得t24.6t+1.890，解得： 1 232 85 10 t （舍去）， 2 232 85 10 t ，当0.3t 0.65时，MP随t的增大而减小， 3232 85 1010 t （）当0.65t1时，h1h2，不可能综上所述，东东在起跳后传球的时 间范围为 1232 85 1010 t 24 （2020 台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 1） 科学原理：如图 2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H（单位：cm） ，如果在 离水面竖直距离为 h （单位： cm） 的地方开大小合适的小孔， 那么从小孔射出水的射程 （水 流落地点离小孔的水平距离）s（单位
17、：cm）与 h 的关系为 s24h（Hh） 应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水 保证它始终盛满水，在离水面竖直距高 hcm 处开一个小孔 （1）写出 s2与 h 的关系式；并求出当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的 射程相同，求 a，b 之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 16cm，求整高的高度及小孔离 水面的竖直距离 【分析】 （1）将 s24h（20h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出 s2 的最大值，再
18、求 s2 的算术平方根即可； （2）设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则 4a（20a）4b（20b） ，利用因式分 解变形即可得出答案； （3） 设垫高的高度为 m， 写出此时 s2 关于 h 的函数关系式， 根据二次函数的性质可得答案 【解答】 解： （1） s24h （Hh） ， 当 H20 时， s24h （20h） 4 （h10） 2+400， 当 h10 时，s2 有最大值 400，当 h10 时，s 有最大值 20cm 当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm； （2）s24h（20h） ， 设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20a）4b
19、（20b） ， 20aa220bb2，a2b220a20b，（a+b） （ab）20（ab） ， （ab） （a+b20）0，ab0，或 a+b200，ab 或 a+b20； （3）设垫高的高度为 m，则 s24h（20+mh）4(h 20+m 2 )2+（20+m）2， 当 h= 20+m 2 时，smax20+m20+16，m16，此时 h= 20+m 2 =18 垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm 21 （2020新疆）某超市销售 A、B 两款保温杯，已知 B 款保温杯的销售单价比 A 款保温 杯多 10 元，用 480 元购买 B 款保温杯的数量与用 360 元购
20、买 A 款保温杯的数量相同 （1）A、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，A、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共 120 个，且 A 款保温杯的数量不少于 B 款保温杯数量的两倍若 A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低 10%，两款保温杯的进价每个均为 20 元，应如何进货才能使这批 保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 解析本题考查了分式方程的应用及利用二次函数求实际问题的最值（1） 利用相等关系 “用 480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同” 列分式方程求解（2） 设购进 A 款保温杯 a 个，再次
21、进化所获全部卖出所获利润为 W 元，先列出 W 关于 a 的函数 关系式，再利用函数性质求最大值，从而得到利润最大时进贷方案 答案解： （1）设 A 款保温杯的销售单价是 x 元，根据题意得 360 x 480 10 x ，解得 x30经 检验，x30 是分式方程的解x1040答：A、B 两款保温杯的销售单价分别是 30 元， 40 元 （2）设再次购进 a 个 A 款保温杯，(120a)个 B 款保温杯，此时所获利润为 w 元，则 W (3020)a40(110%)20(120a)6a1 920，W 是 a 的一次函数60， W 随 a 的增大而减小由题意得 a2(120a)，解得 a80当
22、 a80 时，W 最大，最 大为6801 9201 440（元） ，此时 120a40答：购进 80 个 A 款保温杯，40 个 B 款保温杯才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少 1 440 元 24 （2020黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3 件甲商品和 2 件 乙商品，需 60 元；购进 2 件甲商品和 3 件乙商品，需 65 元 （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为 x（单位：元/件） ，在销售过程中发现：当 11x19 时，甲 商品的日销售量 y（单位：件）与销售单价 x 之间存在一次函数关系，x、y 之间的部分数 值
23、对应关系如表： 销售单价 x（元/件） 11 19 日销售量 y（件） 18 2 请写出当 11x19 时，y 与 x 之间的函数关系式 （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 w 元，当甲商品的销售单价 x（元/件） 定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 解析（1）根据等量关系“购进 3 件甲商品的花费+购进 2 件乙商品的花费60 元；购进 2 件甲商品的花费+购进 3 件乙商品的花费65 元”列二元一次方程组求解 （2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 yk1x+b1，用待定系数法求解 （3）根据“利润每件的利润销售量”列出函数关系式，然后化成顶点式，由二次函数 的性质
24、可得答案 答案解： （1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元/件，由题意得： 3a + 2b = 60 2a + 3b = 65，解得： a = 10 b = 15 所以甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15 元/件 （2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 yk1x+b1，将（11，18） ， （19，2）代入得： 11k1 + b1= 18 19k1+ b1= 2 ，解得：k1 = 2 b1= 40 y 与 x 之间的函数关系式为 y2x+40（11x19） （3）由题意得： w（2x+40） （x10）2x2+60 x4002（x15）2+50（11x19） 当 x15 时
25、，w 取得最大值 50 当甲商品的销售单价定为 15 元/件时，日销售利润最大，最大利润是 50 元 26（2020 宿迁）2 某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元经试销发现，该种商品每 天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量 的四组对应值如下表所示： 销售单价 x（元/千克） 55 60 65 70 销售量 y（千克） 70 60 50 40 （1）求 y（千克）与 x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多
26、少？ 解析本题考查了一次函数，以及一元二次方程、二次函数的实际应用 答案解：（1）设 ykxb，则 5570 6060 kb kb ，解得 2 180 k b y（千克）与 x（元/千克）之间的函数表达式为 y2x180 （2）由题意得(x50)(2x180)600，整理，得 x2140 x48000，解得 x160，x280 答：为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为 60 元或 80 元 （3）设当天的销售利润为 w 元，则 w(x50)(2x180)2(x70)2800， 20，当 x70 时，w 最大值800 xx x x H GF E D CB A 答：当销售单
27、价定为 70 元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是 800 元 25 （2020南京）小明和小丽先后从 A 地出发沿同一直道去 B 地.设小丽出发第 xmin 时， 小丽、小明离 B 地的距离分别为 y1m、y2m.y1与 x 之间的函数表达式是 y1180 x2250， y2与 x 之间的函数表达式是 y210 x2100 x2000. (1)小丽出发时，小明离 A 地的距离为_m. (2)小丽出发至小明到达 B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ 解析(1)当 x0 时，计算 y1和 y2的差即可； (2)计算函数 y1和 y2的差得到新的函数表达式，结合自变量的取值范
28、围和函数的性质计算最 值. 答案(1)250. (2)设小丽出发第 xmin 时，两人相距 sm，则 s180 x2250(10 x2100 x2000)， 即 s10 x280 x250，其中，0 x10. 因此当 x 80 2 10 4 时，s 有最小值 2 4 1025080 4 10 90. 也就是说，当小丽出发第 4min 时，两人相距最近，最近距离是 90m. 26 （2020无锡）有一块矩形地块 ABCD，AB=20 米，BC=30 米.为美观，拟种植不同的花 卉，如图所示，将矩形 ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 x 米。现决定在等腰梯形 AEHD
29、 和 BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形 ABFE 和 CDHG 中种 植乙种花卉；在矩形 EFGH 中种植丙种花卉。甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为 20 元/ 米 2、60 元/米2、40 元/米2，设三种花卉的种植总成本为 y 元 （1）当 x=5 时，求种植总成本 y； （2）求种植总成本 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过 120 米 2，求三种花卉的最低种植总成本 解析 本题主要考查建立函数模型和解模问题 答案解： （1）当 x=5 时，y=22000； （2）y=(30+302x)x20+(20+202x)x6
30、0+(302x)(202x)40=400 x+24000（0 x10） （3）S甲2x260 x，S乙2x240 x， ，（2x260 x）（2x240 x）120，解得 x6，0 x6 y=400 x+24000 随着 x 的增大而减小，当 x=6 时，y 最小为 21600 22 （2020青岛）某公司生产 A 型活动板房成本是每个 425 元.图表示 A 型活动板房的 一面墙，它由长形和抛物线构成，长方形的长 AD=4m，宽 AB=3m，抛物线的最高点 E 到 BC 的距离为 4m. (1)按如图所示的直角坐标系，抛物线可以用mkxy 2 (k0)表示.求该抛物线的函数表达 式； (2)
31、现将 A 型活动板房改造为 B 型活动板房.如图，在抛物线与 AD 之间的区域内加装一扇 长方形窗户 FGMN，点 G，M 在 AD 上，点 N，F 在抛物线上，窗户的成本为 50 元/ 2 m.已知 GM=2m，求每个 B 型活动板房的成本是多少？(每个 B 型活动板房的成本=每个 A 型活动板 房的成本+一扇窗户 FGMN 的成本) (3)根据市场调查，以单价 650 元销售(2)中的 B 型活动板房，每月能售出 100 个，而单价每 降低10元， 每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素， 公司将销售单价 n(元)定为多少时， 每月销售 B 型活动板房所
32、获利润 w(元)最大？最大利润是 多少？ 解： （1）由题意得 AD=4，AB=3，EH=4， OA=OD= 2 1 AD= 2 1 4=2，OE=EH-OH=EH-AB=4-3=1， A（-2，0） ，E（0，1） ， mk mk 2 2 01 )2(0 ，解得 1 4 1 m k ， 该抛物线的函数表达式为：1 4 1 2 xy. （2）由题意得 OM= 2 1 GM= 2 1 2=1，当 x=1 时， 4 3 11 4 1 2 y，MN= 4 3 . 每个 B 型活动板房的成本是：425+504 4 3 =575（元）. （3）由题意得) 10 650 20100)(575( n nw
33、=)650(2100)575(nn =)21300100)(575(nn=)21400)(575(nn=80500025502 2 nn 由 160 10 650 20100 650575 n nx 得 620n650. 80500025502 2 nnw的对称轴5 .637 )2(2 2550 n在 620n650 之内， 当公司将销售单价 n(元)定为 637.5 时，每月销售 B 型活动板房所获利润 w(元)最大，最大 利润是： )5 .63721400)(5755 .637(w=62.5125=7812.5（元）. 23(2020荆门)2020 年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的
34、收官之年，荆门市政 府加大各部门和单位对口扶贫力度 某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按 30 天计)的第 x 天(x 为正整数)的销售价格 p(元/千克)关于 x 的函数关系式为 p 2 4 (020), 5 1 12(2030). 5 xx xx 销售量 y(千克)与 x 之间的关系如图 14 所示 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围： (2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ (销售额销售量销售价格) 解析(1)y 与 x 的图象是两条线段，因此是分段的一次函数根据线段的两个端点坐标以及 待定系数法即可求出解析式； (2)销售额 w 与销售
35、价格 p 以及销售量 y 的关系是 wpy根据自变量的取值范围可知 w 应 分 0 x20 和 20 x30 这两段进行讨论将 p，y 的解析式代入 wpy 即得 w 与 x 的解析 式利用抛物线的顶点坐标或函数的增减性求出两种情况下的最值，比较两个最值即可知当 月哪一天的销售额最大 答案解：(1)当 0 x20 时，设 yk1xb1，由图象得： 1 11 80, 2040. b kb 解得 1 1 2, 80. k b y2x80(0 x20) 当 20 x30 时，设 yk2xb2，由图象得： 22 22 2040, 3080. kb kb 解得 2 2 4, 40. k b 综上，y 2
36、80(020), 440(2030). xx xx (2)设当月该农产品的销售额为 w 元，则 wyp 当 0 x20 时， w(2x80)( 2 5 x4) 4 5 x224x320 4 5 (x15)2500 4 5 0，当 x15 时，W最大500 当 20 x30 时， w(4x40)( 1 5 x12) 4 5 x256x480 4 5 (x35)2500 4 5 0，20 x30， 当 x30 时，W最大 4 5 (3035)2500480 图 14 x/ y/kg O 80 60 40 20 5 10 15 20 25 30 500480， 当 x15 时，w 取得最大值，该最大
37、值为 500 答：当月第 15 天，该农产品的销售额最大，最大销售额是 500 元 22 （2020随州）2020 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某 药店某月(按 30 天计)前 5 天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量 q(只)与第 x 天的关系如 下表： 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只，该药 店从第 6 天起将该型号口罩的价格调整为 1 元/只.据统计， 该药店从第 6 天起销量 q(只)与第 x 天的关系为 q=-2 2 x+80 x-200(6x30,且 x 为整数)，已知该型号口罩的进货价格为 0.5 元/
38、只. (1)直接写出该药店该月前 5 天的销售价格 p 与 x 和销量 q 与 x 之间的函数关系式； (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 W(元)与 x 的函数关系式，并判断第几天的利润 最大； (3)物价部门为了进一步加强市场整顿， 对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正 常利润之外的非法所得部分处以 m 倍的罚款，若罚款金额不低于 2000 元，则 m 的取值范 围为 . 解析本题考查了一次函数、二次函数的实际应用、二次函数的最值问题、一元一次不等式 的应用 （1） 通过分析表格数据可以知道， p 的值总比 x 大 1； q 的值是 x 的 5 倍加 65， 进而得到 p
39、、 q 与 x 的函数解析式； （2） 在 1x5 和 6x30 两个取值范围内分别利用“利润=每只利润销售量”确定对应的 函数解析式，然后分别确定最值，最后通过比较大小得到取得最大利润的天数； （3）首先确定前 5 天的非法所得，然后根据罚款金额不低于 2000 元，列出关于 m 的不等 式，最后解不等式可以得到 m 的取值范围. 答案解：(1)p=x+1，1x5 且 x 为整数.1 分 q=5x+65，1x5 且 x 为整数.3 分(没有写取值范围不扣分) (2)当 1x5 且 x 为整数时，W=(x+1-0.5)(5x+65)= 2 65 2 135 5 2 xx；4 分 当 6x30
40、且 x 为整数时，W=(1-0.5)(200802 2 xx)=10040 2 xx.5 分 即有 为整数)x且30 x6(10040 为整数)x且5x1 ( 2 65 2 135 5 2 2 xx xx W，6 分 当 1x5 且 x 为整数时， 售价， 销量均随 x 的增大而增大， 故当 x=5 时， W 最大=495(元)； 当 6x30 且 x 为整数时， W=-x+40 x-100=-(x-20)+300， 故当 x=20 时， W 最大=300(元)； 由 495300，可知第 5 天时利润最大.8 分 (3)有表格数据可知： 前五天的非法所得为： （2-1）70+（3-1）75+
41、（4-1）80+（5-1）85+（6-1）90 =170+275+380+485+590=70+150+240+340+450=1250（元）. 罚款金额不低于 2000 元，1250m2000，m 5 8 . 答案：m 5 8 10 分 23 （2020 鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 3 元，根据市场调 查发现，该商品每周的销售量 y（件）与售价 x（元件） （x为正整数）之间满足一次函数关 系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求 y与 x的函数关系式（不求自变量的取值范围） ； （2）在销售过
42、程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15元/件若某一周该商品的销 售量不少于 6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于 15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构 捐赠 m元（16m） ，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增 大请直接写出 m的取值范围 解析本题考查二次函数的实际应用最大利润问题， 解题的关键是根据题意列出函数关 系式，通过配方法找到最大值 （1）设 y与 x的函数关系式为 ykxb，代入表中的数据求解即可； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w，根据总利润单件利润
43、销售量列出函 数关系式求最大值，注意 x的取值范围； （3）写出 w 关于 x的函数关系式，根据当 x15 时，利润仍随售价的增大而增大，可得 50027 15 2500 m ，求解即可 答案解： （1）设 y与 x的函数关系式为 ykxb， 代入（4，10000） ， （5，9500）可得： 100004 95005 kb kb ， 解得： 500 12000 k b ， 即 y与 x的函数关系式为 50012000yx ； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w， 根据题意可得： 315 500120006000 x x ， 解得：312x， 2 3 500120003 27 5
44、0055125 2 wy x xx x 312x， 当 x12 时，w 有最大值，w54000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 54000元，售价为 12 元 （3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w， 当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m元时， 2 3 500120003 50050027500 243 wy xm xxm xmxm 由题意，当 x15 时，利润仍随售价的增大而增大， 可得： 50027 15 2500 m ，解得：m3， 16m 36m 故 m的取值范围为：36m 26(2020成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将
45、一个 月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采 取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量 y（单位：件）与线下售价 x （单位：元/件，12x24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件试问：当 x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润 答案解： （1）y 与 x 满足一次函数的关系，设 ykx+b， 将 x
46、12，y1200；x13，y1100 代入得：1200 = 12k + b 1100 = 13k + b，解得： k = 100 b = 2400 ， y 与 x 的函数关系式为：y100 x+2400； （2）设线上和线下月利润总和为 m 元， 则 m400（x210）+y（x10）400 x4800+（100 x+2400） （x10）100（x 19）2+7300， 当 x 为 19 元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为 7300 元 解析（1）由待定系数法求出 y 与 x 的函数关系式即可； （2）设线上和线下月利润总和为 m 元，则 m400（x210）+y（x1
47、0）400 x4800+ （100 x+2400） （x10）100（x19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案 23 （2020 河北）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量。实验室有一些同 材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的 平方成正比，当x=3时，W=3. （1）求W与x的函数关系式. （2）如图14，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板 （不计分割损耗），设薄板的厚度为x厘米，Q=W厚-W薄. 求Q与x的函数关系式； x为何值时，Q是W薄的3倍？ 【注：（1）及（2）中的不必写x的取值范围】 解析本题考查了函数的图像和性质，观察函数图像是正确解题的前提（1）分别将x=-3 和x=3代入函数表达式 2 6 1 x y x 即可； （2） 该函数图像是中心对称图形， 不是轴对称图形， 故错误；由函数图像的最高点和最低点可确定它的最大值和最小值，进而可知正确；观 察函数图像可知当x-1或x1时，图像从左向右是下降的，即y随x的增大而减小；当-1x 1时，图像从左向右是上升的，y随x的增大而增大故正确；（3） 2 6 21 1 x x x 的解集 即 2 6 1 x y x 的图像在y=2x-1的图像上方时x的取值范围.
