1、2020 年湖北省十堰市竹溪县中考数学一诊试卷年湖北省十堰市竹溪县中考数学一诊试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的只有一个是正确的. 1 （3 分）实数 2020 的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 2 （3 分）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ） A平行线间的距离相等 B两点之间，线段最短 C垂线段最短 D两点确定一条直线 3 （3 分）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（ ） A B C D 4 （3 分）下列运
2、算一定正确的是（ ） Aa+aa2 Ba2a3a6 C （a+b） （ab）a2b2 D （2a2）36a6 5 （3 分）下列说法中，错误的是（ ） A菱形的对角线互相垂直 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C矩形的四个内角都相等 D四个内角都相等的四边形是矩形 6 （3 分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 去图书馆收集学生借阅图书的记录 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（ ） A B C D 7 （3 分） 小明用 15 元买售价相同的软面笔记本， 小丽用
3、24 元买售价相同的硬面笔记本 （两 人的钱恰好用完） ，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数 量的笔记本，设软面笔记本每本售价为 x 元，根据题意可列出的方程为（ ） A B C D 8 （3 分）如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，连接 PO 并延长交O 于点 C，连 接 AC，若 AB8，P30，则 AC（ ） A4 B4 C4 D3 9 （3 分）在数列，中，请你观察数列的排列规 律，推算该数列中的第 5055 个数为（ ） A B C D 10 （3 分）如图，直线 AB 与反比例函数 y（k0）交于点 A（m，4） ，B（4，n） ， 与 x
4、 轴，y 轴交于点 C，D，连接 OA，OB，若 tanAOD+tanBOC3，则 k（ ） A24 B20 C16 D12 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）若 ab3，ab1，则代数式 a2bab2的值等于 12 （3 分） 为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响， 实现 “离校不离教、 停课不停学” ， 我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动为了解教学效果，某校对“线上教学” 的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计 图请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“
5、满意”的总人数为 13（3 分） 如图， 正五边形 ABCDE 中， 对角线 AC 与 BE 相交于点 F， 则AFE 度 14 （3 分）对于任意实数 a、b，定义一种运算：ababa+b2例如，2525 2+5211请根据上述的定义解决问题：若不等式 3x2，则不等式的正整数解 是 15 （3 分）若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的 3 倍，则它的侧面展开图的圆心角为 度 16 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AC 平分BAD，ABC60，E 为 AD 上 一点，AE2，DE4，P 为 AC 上一点，则PDE 周长的最小值为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题
6、，共个小题，共 72 分）分） 17 （5 分）计算： 18 （6 分）化简求值：，其中 x1 19 （7 分）如图，AB，CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 60 米，从建筑物 AB 的顶 部 A 点测得建筑物 CD 的顶部 C 点的俯角EAC 为 30， 测得建筑物 CD 的底部 D 点的 俯角EAD 为 45，求建筑物 CD 的高度 20 （7 分）只有 1 和它本身两个因数且大于 1 的正整数叫做素数我国数学家陈景润哥德 巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数都表示 为两个素数的和” 如 103+7 （1） 从 7， 11， 13， 17 这
7、4 个素数中随机抽取一个， 则抽到的数是 11 的概率是 ； （2）从 7，11，13，17 这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取 1 个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 24 的概率 21 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x25x+6p（p+1） （1）请判断该方程实数根的情况； （2）若原方程的两实数根为 x1，x2，且满足 x12+x223p2+5，求 p 的值 22 （8 分）如图，AB 是O 的直径，AD 平分BAC 交O 于 D，过 D 作 DEAC 交 AC 延长线于点 E，交 AB 延长线于点 F （1）求证：EF 是O
8、 的切线； （2）若 DE，tanBDF，求 DF 的长 23 （10 分）某超市以 20 元/kg 的价格购进一批商品进行销售，根据以往的销售经验及对市 场行情的调研，该超市得到日销售量 y（kg）与销售价格 x（元/kg）之间的关系，部分数 据如下表： 销售价格 x（元/kg） 25 30 35 40 日销售量 y（kg） 1000 800 600 400 （1）根据表中的数据，用所学过的函数知识确定 y 与 x 之间的函数关系式； （2）超市应如何确定销售价格，才能使日销售利润 W（元）最大？W 最大值为多少？ （3）供货商为了促销，决定给予超市 a 元/kg 的补贴，但希望超市在 30
9、 x35 时，最 大利润不超过 10240 元，求 a 的最大值 24 （10 分）如图 1，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，将COD 绕点 O 逆时针 旋转得到EOF（旋转角为锐角） ，连接 AE，BF，DF，则 AEBF （1）如图 2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变 探究 AE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论； 若 BD7，AE4，求 DF 的长； （2）如图 3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且 BD10，AC6， AE5，请直接写出 DF 的长 25 （12 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0） ，C（0，3）
10、 ，交 x 轴于另 一点 B，其顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，直线 CP 交 x 轴于点 E，若CAE 与OCD 相似，求 P 点 坐标； （3） 如果点 F 在 y 轴上， 点 M 在直线 AC 上， 那么在抛物线上是否存在点 N， 使得以 C， F， M， N 为顶点的四边形是菱形？若存在， 请求出菱形的周长； 若不存在， 请说明理由 2020 年湖北省十堰市竹溪县中考数学一诊试卷年湖北省十堰市竹溪县中考数学一诊试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30
11、分）下面每小题给出的四个选项中，分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的只有一个是正确的. 1 （3 分）实数 2020 的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相反数是：2020 故选：C 2 （3 分）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ） A平行线间的距离相等 B两点之间，线段最短 C垂线段最短 D两点确定一条直线 【分析】 此题为数学知识的应用， 由实际出发， 老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短 【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短 故选：C 3 （3 分）如图是一个三视图，则此三视
12、图所对应的直观图是（ ） A B C D 【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几 何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状 【解答】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是 故选：B 4 （3 分）下列运算一定正确的是（ ） Aa+aa2 Ba2a3a6 C （a+b） （ab）a2b2 D （2a2）36a6 【分析】分别按照合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、平方差公式及积的乘方的 运算法则计算分析即可 【解答】解：A、a+a2a，故 A 错误； B、a2a3a5，故 B 错误； C、按照平方差公式可知， （a+b） （ab）a2b2，
13、故 C 正确； D、 （2a2）323（a2）38a6，故 D 错误 故选：C 5 （3 分）下列说法中，错误的是（ ） A菱形的对角线互相垂直 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C矩形的四个内角都相等 D四个内角都相等的四边形是矩形 【分析】根据菱形的判定与性质以及矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断，即可 得出结论 【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直， 选项 A 不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 选项 B 符合题意； C、矩形的四个角都是直角， 矩形的四个内角都相等， 选项 C 不符合题意； D、四个内角都相等的四边形是四个角都是直角， 四个内角都相等的四边形是矩形，
14、 选项 D 不符合题意； 故选：B 6 （3 分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 去图书馆收集学生借阅图书的记录 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（ ） A B C D 【分析】根据数据的收集、整理、制作扇形统计图及根据统计图分析结果的步骤可得答 案 【解答】解：将本校图书馆最受学生欢迎的图书种类情况制作扇形统计图的步骤如下： 去图书馆收集学生借阅图书的记录； 整理借阅图书记录并绘制频数分布表； 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比； 从扇形图中分析出最受学生
15、欢迎的种类； 故选：A 7 （3 分） 小明用 15 元买售价相同的软面笔记本， 小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本 （两 人的钱恰好用完） ，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数 量的笔记本，设软面笔记本每本售价为 x 元，根据题意可列出的方程为（ ） A B C D 【分析】直接利用用 15 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔 记本，得出等式求出答案 【解答】解：设软面笔记本每本售价为 x 元， 根据题意可列出的方程为： 故选：A 8 （3 分）如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，连接 PO 并延长交O 于点 C，连 接
16、 AC，若 AB8，P30，则 AC（ ） A4 B4 C4 D3 【分析】先根据切线的性质得OAP90，再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 到 APOA4，接着计算出C30，从而得到 ACAP4 【解答】解：PA 切O 于点 A， OAPA， OAP90， 在 RtOAP 中，P30， AOP60，APOA4， AOPC+OAC60， 而COAC， C30， ACAP4 故选：A 9 （3 分）在数列，中，请你观察数列的排列规 律，推算该数列中的第 5055 个数为（ ） A B C D 【分析】将数列，分开看，可以发现第 1 组分子是 1， 和是 1； 第 2 组分子是 1， 2，
17、 和是 1+23， 第 3 组分子的和是 1+2+36， ， 第 n 组分子的和为 1+2+3+n，进而可得 1+2+3+1005050，即可求出第 5055 个数 在第几组，再根据规律求解即可 【解答】解：观察数列发现规律： 第 n 组的分数有 n 个， 它们的分子是从 1 开始的连续自然数， 分母是从 n 开始的连续降序自然数， 因为前 100 组有： 1+2+3+1005050 个分数， 所以 5055 个数在第 101 组的第 5 个， 分母为 101497，分子是 5， 所以第 5055 个数为： 故选：B 10 （3 分）如图，直线 AB 与反比例函数 y（k0）交于点 A（m，4
18、） ，B（4，n） ， 与 x 轴，y 轴交于点 C，D，连接 OA，OB，若 tanAOD+tanBOC3，则 k（ ） A24 B20 C16 D12 【分析】在 RtAOE 中，tanAOE，在 RtBOF 中，tanBOF， 而 tanAOD+tanBOC3，即可求解 【解答】解：如图，过点 A 作 AEy 轴于 E，过点 B 作 BFx 轴于 F， 在 RtAOE 中，tanAOE， 在 RtBOF 中，tanBOF， 而 tanAOD+tanBOC3， 所以+3， 而根据点的对称性：m+n0， 联立并解得：m6，n6， 则 A（6，4） ，B（4，6） ， 将点 A 的坐标代入反比
19、例函数表达式得：k4624， 故选：A 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）若 ab3，ab1，则代数式 a2bab2的值等于 3 【分析】直接提取公因式 ab，进而分解因式把已知代入得出答案 【解答】解：ab3，ab1， a2bab2ab（ab）3（1）3 故答案为：3 12 （3 分） 为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响， 实现 “离校不离教、 停课不停学” ， 我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动为了解教学效果，某校对“线上教学” 的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不
20、完整的统计 图请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“满意”的总人数为 70 【分析】由两个统计图可知， “满意、不满意、较差”的人数为 40+50+10100 人，占调 查人数的 115%35%50%，可求出调查人数，进而求出“非常满意”的人数，最后 计算“非常满意”和“满意”人数之和即可 【解答】解：调查的总人数： （40+50+10）（115%35%）200（人） ， “非常满意”的人数：20015%30（人） ， 因此“非常满意、满意”的人数为：30+4070（人） ， 故答案为：70 13（3 分） 如图， 正五边形 ABCDE 中， 对角线 AC 与 BE 相交于点 F， 则
21、AFE 72 度 【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的 性质计算即可 【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形， EABABC， BABC， BACBCA36， 同理ABE36， AFEABF+BAF36+3672 故答案为：72 14 （3 分）对于任意实数 a、b，定义一种运算：ababa+b2例如，2525 2+5211请根据上述的定义解决问题：若不等式 3x2，则不等式的正整数解是 1 【分析】根据新定义可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结 论 【解答】解：3x3x3+x22， x， x 为正整数， x1 故答案为：1
22、 15（3 分） 若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的 3 倍， 则它的侧面展开图的圆心角为 120 度 【分析】设圆锥的底面半径是 r，则母线长即扇形的半径是 3r，圆锥底面周长是 2r，根 据弧长的公式 l可得 【解答】解：2r， 解得 n120， 侧面展开图的圆心角为 120 度 16 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AC 平分BAD，ABC60，E 为 AD 上 一点，AE2，DE4，P 为 AC 上一点，则PDE 周长的最小值为 【分析】作点 E 关于 AC 的对称点 E，则 E在 AB 上，过 E作 AD 的垂线，垂足为 F，则 AEAE2，进而得到 AFAE1，EF
23、，DF7，依据当 E，D，P 在同一直线 上时，PE+PD 的最小值等于 DE的长，即可得到PDE 周长的最小值 【解答】解：如图所示，作点 E 关于 AC 的对称点 E，连接 PE，则 E在 AB 上，过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，则 AEAE2， ADBC，ABC60， BAFABC60，AEF30， AFAE1，EF，DF7， 当 E，D，P 在同一直线上时，PE+PD 的最小值等于 DE的长， 此时，RtDEF 中，DE2， PE+PD 的最小值等于 2， 又DE4， PDE 周长的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分
24、）分） 17 （5 分）计算： 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式 18 （6 分）化简求值：，其中 x1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 x1 时，原式2+ 19 （7 分）如图，AB，CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 60 米，从建筑物 AB 的顶 部 A 点测得建筑物 CD 的顶部 C 点的俯角EAC 为 30， 测得建筑物 CD 的底部 D 点的 俯角EAD 为 45，求建筑物 CD 的高度 【分析】作
25、 CFAB 于 F，根据等腰直角三角形的性质得到 BDAB60，根据正切的概 念求出 AF，结合图形计算即可 【解答】解：作 CFAB 于 F， 则四边形 BDCF 为矩形， CFBD， ADB45， BDAB60 米， CFBD60 米， 在 RtAFC 中，tanACF， AFFCtanACF6020（米） ， BFABAF6020（米） ， 则 CDBF（6020）米， 答：建筑物 CD 的高度是（6020）米 20 （7 分）只有 1 和它本身两个因数且大于 1 的正整数叫做素数我国数学家陈景润哥德 巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数都表示 为两个
26、素数的和” 如 103+7 （1）从 7，11，13，17 这 4 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是 11 的概率是 ； （2）从 7，11，13，17 这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取 1 个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于 24 的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式计算可得； （2） 列表得出所有等可能结果， 再从中找到符合条件的结果数， 利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）从 7，11，13，17 这 4 个素数中随机抽取一个， 抽到的数是 11 的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： 7 11 13 17 7 * 1
27、8 20 24 11 18 * 24 28 13 20 24 * 30 17 24 28 30 * 由表可以看出，分别从这 4 个素数中随机抽取 1 个数，再从余下的 3 个数中随机抽取 1 个数，可能出现的结果有 12 种，并且他们出现的可能性相等，抽到的两个素数之和等于 24 的有 4 种情况所以，抽到的两个素数之和等于 24 的概率为 P 21 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x25x+6p（p+1） （1）请判断该方程实数根的情况； （2）若原方程的两实数根为 x1，x2，且满足 x12+x223p2+5，求 p 的值 【分析】 （1）方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断
28、其正负即可得到结果； （2）利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出 p 的 值 【解答】 （1）证明：原方程可变形为 x25x+6p2p0， （5）24（6p2p） ， 2524+4p2+4p4p2+4p+1（2p+1）2， 无论 p 取何值， （2p+1）20， 此方程总有两个实数根； （2）解：由韦达定理知：x1+x25，x1x26p2p， x12+x223p2+5， （x1+x2）22x1x23p2+5， 即 522（6p2p）3p2+5， p22p80， 解得：p2 或 4， p2 或 4 22 （8 分）如图，AB 是O 的直径，AD 平分BAC 交O
29、于 D，过 D 作 DEAC 交 AC 延长线于点 E，交 AB 延长线于点 F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 DE，tanBDF，求 DF 的长 【分析】 （1）连接 OD，根据角平分线的定义得到BADDAE 推出EODF，根 据平行线的性质得到ODF90，于是得到结论； （2）根据圆周角定理得到ADB90，求得BDFDAE，解直角三角形得到 AB 6，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， AD 平分FAC， BADDAE OAOD， OADODA， DAEODA， ODAE， EODF， DEAC， E90， ODF90， ODEF， EF 是
30、O 的切线； （2）解：AB 为直径， ADB90， ADE+BDF90， E90， ADE+DAE90 BDFDAE， BADDAE， BDFDAEBAD， tanBDF， tanBDFtanDAEtanBAD， ， DE， AE，AD， BD， AB6， 又FF，BDFBAD， FBDFDA， ， DF2BF，FD2FBFA， （2BF）2BF （FB+BA） ，又 BA6， BF2， DF4 23 （10 分）某超市以 20 元/kg 的价格购进一批商品进行销售，根据以往的销售经验及对市 场行情的调研，该超市得到日销售量 y（kg）与销售价格 x（元/kg）之间的关系，部分数 据如下表：
31、 销售价格 x（元/kg） 25 30 35 40 日销售量 y（kg） 1000 800 600 400 （1）根据表中的数据，用所学过的函数知识确定 y 与 x 之间的函数关系式； （2）超市应如何确定销售价格，才能使日销售利润 W（元）最大？W 最大值为多少？ （3）供货商为了促销，决定给予超市 a 元/kg 的补贴，但希望超市在 30 x35 时，最 大利润不超过 10240 元，求 a 的最大值 【分析】 （1）观察表格符合一次函数，取 2 个点代入上式，即可求解； （2）由题得 Wy（x20） ，即可求解； （3）由题得，Wy（x20+a）（40 x+2000） （x20+a）40
32、 x2+40（70a）x 2000（20a） ，即可求解 【解答】解： （1）观察表格，设 ykx+b，得，解得， y40 x+2000 检验：当 x25 时，y1000；当 x35 时，y600，符合上述函数式， y40 x+2000； （2）由题得 Wy（x20）（40 x+2000） （x20）40（x35）2+9000， 400， 当 x35 时，W 取最大值，最大值为 9000 即销售价格为 35 元时，日销售利润 W 最大，最大利润为 9000（元） ； （3）由题得，Wy（x20+a）（40 x+2000） （x20+a）40 x2+40（70a）x 2000（20a） ， 对称
33、轴， 若 a10，则当 x30 时，y 有最大值，即 W800（10+a）10240（舍去） ， 若 0a10，则当时，y 有最大值，即 W10（30+a）210240， 0a2， 即 a 的最大值为 2 24 （10 分）如图 1，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，将COD 绕点 O 逆时针 旋转得到EOF（旋转角为锐角） ，连接 AE，BF，DF，则 AEBF （1）如图 2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变 探究 AE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论； 若 BD7，AE4，求 DF 的长； （2）如图 3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且 B
34、D10，AC6， AE5，请直接写出 DF 的长 【分析】 （1）由矩形的性质得出 OAOBOCOD，由旋转的性质证得 OFOE， 易证BOFAOE，由 SAS 证得BOFAOE，即可得出 AEBF； 由 OBODOF，得出BFD90，由勾股定理即可得出结果 DF； （2）由平行四边形和旋转的性质得出 OFOBOD，OEOAOC，易证BOF AOE，由1，得出BOFAOE，则，求出 BF，证明BFD 为直角三角形，则 DF，即可得出结果 【解答】解： （1）AE 与 BF 的数量关系为：AEBF；理由如下： ABCD 为矩形， ACBD，OAOBOCOD， COD 绕点 O 旋转得EOF， O
35、COE，ODOF，COEDOF， OFOE， BODAOC180， BODDOFAOCCOE， 即BOFAOE， 在BOF 和AOE 中， BOFAOE（SAS） ， AEBF； OBODOF， BFD90 BFD 为直角三角形， BF2+DF2BD2， DF； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， OBOD，OAOC， COD 绕点 O 旋转得EOF， OCOE，ODOF，COEDOF， OFOBOD，OEOAOC， BODAOC180， BODDOFAOCCOE， 即BOFAOE， 1， BOFAOE， ， BD10，AC6， OB5，OA3， BF， OBODOF， BFD90 BFD
36、 为直角三角形， BF2+DF2BD2， DF 25 （12 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0） ，C（0，3） ，交 x 轴于另 一点 B，其顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，直线 CP 交 x 轴于点 E，若CAE 与OCD 相似，求 P 点 坐标； （3） 如果点 F 在 y 轴上， 点 M 在直线 AC 上， 那么在抛物线上是否存在点 N， 使得以 C， F， M， N 为顶点的四边形是菱形？若存在， 请求出菱形的周长； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）分两种情况：若CAEDC
37、O；若CAEOCD；进行讨论即可求解； （3）分两种情形：若 CF 为对角线，则 CF 与 NM 互相垂直平分时，四边形 CNFM 为 菱形；若 CF 为菱形的一边，则 MNCF，CMFN，NMNF 时，四边形 CNFM 为 菱形；进行讨论即可解决问题 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0） ，C（0，3） ， ， 解得 故此抛物线解析式为：yx22x+3； （2）yx22x+3（x+1）2+4， 顶点 D（1，4） A（3，0） ，C（0，3） ，D（1，4） ， AC，OAOC3，CD，OCDCAE135， 点 E 只能在 A 点左边 若CAEDCO， 则， A
38、E9， OE12， E（12，0） C（0，3） ， 联立， 解得，（舍去） ， P； 若CAEOCD， 则， AE2， OE5， E（5，0） C（0，3） ， 联立， 解得，（舍去） ， P 因此，P或； （3）在抛物线上存在点 N，使得以 C，F，M，N 为顶点的四边形是菱形 若 CF 为对角线，则 CF 与 NM 互相垂直平分时，四边形 CNFM 为菱形， NCFFCMACO45， NCM90， CNCM，四边形 CNFM 为正方形， N 点与顶点 D 重合， D（1，4） ， N（1，4） ，CN， 菱形 CNFM 的周长为； 若 CF 为菱形的一边，则 MNCF，CMFN，NMNF 时，四边形 CNFM 为菱形 过 F 作 FHNM 于 H， 设直线 NM 交 x 轴于 G， N （m， m22m+3） ， 则 M （m， m+3） ， G（m，0） NM|m+3（m22m+3）|m2+3m|NF， CMFN，ACO45， NFHFNH45， NFFH， 又FHOG|m|， |m2+3m|m|， m3或 m3+， NF，或 NF， 菱形周长为或 因此，存在菱形，其周长为或或
