1、12 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 第第 1 课时课时 矩形的性质矩形的性质 1掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点) 2会运用矩形的概念和性质来解决有关问题(难点) 一、情景导入 1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想： 这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四 边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图) 3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图 形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义 矩形是我们最常
2、见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形 是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质 二、合作探究 探究点一：矩形的性质 【类型一】 矩形的四个角都是直角 如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE 平分BAC.若 BE4，AC15，则AEC 的面积为( ) A15 B30 C45 D60 解析：如图，过 E 作 EFAC，垂足为 F. AE 平分BAC，EFAC，BEAB， EFBE4， SAEC1 2AC EF 1 215430.故选 B. 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明
3、或求值的隐含条件 【类型二】 矩形的对角线相等 如图所示， 矩形ABCD的两条对角线相交于点O， AOD60 ， AD2， 则AC的长是( ) A2 B4 C2 3 D4 3 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OCODOA1 2AC，由AOD60 得AOD 为等边三角形，即可求出 AC 的长 四边形 ABCD 为矩形， ACBD，OAOC1 2AC，ODOB 1 2BD， OAOD.AOD60 ， AOD 为等边三角形， OAOD2，AC2OA4. 故选 B. 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条 对角线的夹角为 60 或 120 时，图中
4、有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题 探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，已知 BD，CE 是ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GFDE. 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理 解：连接 EG，DG. BD，CE 是ABC 的高， BDCBEC90 . 点 G 是 BC 的中点， EG1 2BC，DG 1 2BC. EGDG. 又点 F 是 DE 的中点， GFDE. 方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角
5、形的 问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题 探究点三：矩形的性质的应用 【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度 如图， 已知矩形 ABCD 中， E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EFEC， 且 EFEC， DE4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长 解析：先判定AEFDCE，得 CDAE，再根据矩形的周长为 32 列方程求出 AE 的长 解：四边形 ABCD 是矩形， AD90 ， CEDECD90 . 又EFEC， AEFCED90 ， AEFECD. 而 EFEC， AEFDCE， AECD. 设 AExcm， CDxcm，AD(x4)
6、cm， 则有 x4x16，解得 x6. 即 AE 的长为 6cm. 方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件 解决直角三角形中的问题 【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小 如图，在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，DAE：BAE3：1，求BAE 和EAO 的度 数 解析：由BAE 与DAE 之和为 90 及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得ABO 的 度数，再根据矩形的性质易得EAO 的度数 解：四边形 ABCD 是矩形，DAB90 ， AO1 2AC，BO 1 2BD，ACBD， BAEDAE90 ，AOBO. 又DAE：BAE3：1
7、， BAE22.5 ，DAE67.5 . AEBD， ABE90 BAE90 22.5 67.5 ， OABABE67.5 EAO67.5 22.5 45 . 方法总结： 矩形的性质是证明线段相等或倍分、 角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据 【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积 如图所示，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部 分的面积是矩形 ABCD 面积的( ) A.1 5 B. 1 4 C.1 3 D. 3 10 解析： 由四边形 ABCD 为矩形， 易证得BEODFO， 则阴影部分的面积等于AOB 的面积， 而AOB 的面积为矩形
8、 ABCD 面积的1 4，故阴影部分的面积为矩形面积的 1 4.故选 B. 方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部 分转化为较规则的图形，再求其面积 【类型四】 矩形中的折叠问题 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于点 E，AD8， AB4，求BED 的面积 解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知BCDBCD，则易得 BE DE.在 RtABE 中，利用勾股定理列方程求出 BE 的长，即可求得BED 的面积 解：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，A90 ， 23. 又由折叠知BCD
9、BCD， 12. 13.BEDE. 设 BEDEx，则 AE8x. 在 RtABE 中，AB2AE2BE2， 42(8x)2x2.解得 x5， 即 DE5. SBED1 2DE AB 1 25410. 方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对BED 是等腰三角形认识不足， 解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析 三、板书设计 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形 矩形的性质 四个角都是直角 两组对边分别平行且相等 对角线互相平分且相等 经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与性质上来， 明确矩形是特殊的平行四边形培养
10、学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几何思维方法，体会 逻辑推理的思维价值. 第第 2 课时课时 矩形的判定矩形的判定 1理解并掌握矩形的判定方法；(重点) 2能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用(难点) 一、情景导入 小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相 等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！ 二、合作探究 探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形 如图所示， 外面的四边形 ABCD 是矩形， 对角线 AC， BD 相交于点 O， 里面的四边形 MPNQ 的四个顶点都在矩形 ABCD 的对角线上，且 AMBPCND
11、Q.求证：四边形 MPNQ 是矩形 解析： 要证明四边形 MPNQ 是矩形， 应先证明它是平行四边形， 由已知可再证明其对角线相等 证明：四边形 ABCD 是矩形，OAOBOCOD. AMBPCNDQ， OMOPONOQ. 四边形 MPNQ 是平行四边形 又OMONOQOP， MNPQ. 平行四边形 MPNQ 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形) 方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件 证明矩形 探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，GEHF，直线 AB 与 GE 交于点 A，与 HF 交于点 B，AC、BC、BD、AD 分别是 EAB、F
12、BA、ABH、GAB 的平分线，求证：四边形 ADBC 是矩形 解析：利用已知条件，证明四边形 ADBC 有三个角是直角 证明：GEHF， GABABH180 . AD、BD 分别是GAB、ABH 的平分线， 11 2GAB，4 1 2ABH， 141 2(GABABH) 1 2180 90 ， ADB180 (14)90 . 同理可得ACB90 . 又ABHFBA180 ， 41 2ABH，2 1 2FBA， 241 2(ABHFBA) 1 2180 90 ，即DBC90 . 四边形 ADBC 是矩形 方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法 只要说
13、明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形 探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图所示，在ABC 中，D 为 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线 交 CE 的延长线于点 F，且 AFBD.连接 BF. (1)BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由； (2)当ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由 解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出AFEDCE，然后利用“AAS”证明AEF 和DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得 AFCD，再利用等量代换即可得 BDCD； (2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是
14、平行四边形”证明四边形 AFBD 是平行四边形， 再根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知ADB90 .由等腰三角形三线合一的性质可知 ABC 满足的条件必须是 ABAC. 解：(1)BDCD.理由如下： AFBC， AFEDCE. E 是 AD 的中点， AEDE. 在AEF 和DEC 中， AFEDCE， AEFDEC， AEDE， AEFDEC(AAS)， AFDC. AFBD， BDDC； (2)当ABC 满足 ABAC 时，四边形 AFBD 是矩形理由如下： AFBD，AFBD， 四边形 AFBD 是平行四边形 ABAC，BDDC， ADB90 . 四边形 AFBD 是矩形 方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形 是矩形是解本题的关键 三、板书设计 矩形的 判定 对角线相等的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关 问题通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法通过动手实践、合作探索、小组交 流，培养学生的逻辑推理能力.
