1、函数的零点与方程的解,授课人：李书强,中外历史上的方程求解,在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.,约公元50100年编成的九章算术给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法.,情境引入,中外历史上的方程求解,13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。,11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.,情境引入,中外历史上的方程求解,国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。,由于实际问
2、题的需要，我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点。,情境引入,2020/7/18,我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点. 例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3.,在图像上显示为,问题导引,画出下列函数的图象 (1) f(x)=x-1 f(x)=x2-2x+1 (2) f(x)= f(x)= (3) f(x)=2x -1 f(x)=log2x,思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标与方程 f(x)=0的解有什么关系？,体验探究,再任意画几个函数的图象,观察其图象，看看其
3、交点横坐标与 f(x)=0的解有什么关系？,2020/7/18,函数的零点定义：,函数y=f(x)的图象与x轴有交点,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)有零点,等价关系,对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,函数的零点是点吗？ 答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。,零点的求法,代数法,图象法,发现新知,2020/7/18,？,问题1 像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？,由刚才的等价关系我们知道，求方
4、程f(x) =0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。,体验探究,体验探究,对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象(图4.5-1),发现它在区间2, 4上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间-2, 0上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系? 再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用 f(x)的取值刻画这种关系的方法.,图4.5-1,体验探究,
5、可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x =4的取值异号，即 f(2) f(4)0,函数 f(x)=x2-2x-3在区间(2, 4)内有零点x =3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。 同样地，f(-2) f(0)0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2, 0)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。,2020/7/18,问题探究,观察函数的图象 在区间(a,b)上_(有/无)零点；f(a) f(b)_0（或） 在区间(b,c)上_(有/无)零点；f(b) f(c) _ 0（或） 在区间(c,d)上_(有/无)零点；f(c) f(d)
6、 _ 0（或）,有,有,有,如果函数 y=f(x) 在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。,发现新知,函数零点存在定理,思考1：如果函数 y=f(x)在区间a,b上有 f(a) f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？,思考2：如果函数 y=f(x)在区间a,b上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？,这说明什么？ “在给定区间a,b上连续”和“f(a
7、) f(b)0”这两个条件缺一不可,发现新知,思考3：如果函数 y=f(x)在区间a,b上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)0 ？,这说明什么？ “在给定区间a,b上连续”和“f(a) f(b)0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。,发现新知,问题4 如果函数 y=f(x) 在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？,发现新知,这又说明什么？ 函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。,
8、2020/7/18,例1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点,求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点,拓展深化,解：根据函数零点的定义，令()=(1)=0 则1=1,=2 所以()= 1 的零点是=2.,2020/7/18,由表4.5-1和图4.5-2可知,f(2)0，,即f(2) f(3)0，,由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点。,解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表（表4.5-1）和图象（图4.5-2）,例2 已知函数f(x)=lnx+2x6，能判断出函数零点大致在那个区间上吗？,拓展深化,解：由已知，函数
9、 f(x) =ln+26 的定义域为 (0,+)。,y=lnx和y=2x-6在(0,+)上都是增函数，,f(x)=lnx+2x-6在(0,+)上是增函数，,又f(2)=ln2+2 260,f(3)=ln3+2 360,如何求方程ln+26=0 实数解的个数？,函数()在定义域(0,+)内仅有一个零点。,拓展深化,思考： 求方程ln+26=0 实数解的个数可不可以转化成求函数f(x)= lnx和f(x)= -2x+6图象交点的个数？,请同学们练习课本P144 1题,思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？,拓展深化,如果函数 y=f(x) 在a,b上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点
10、上的函数值互异，即f(a)f(b)0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。,函数零点存在定理的推论：,2020/7/18,练习：,( B ),巩固检测,2、在区间3,5上有零点的函数是( 、()=2ln(2)3、()= 2 4 、()= 3 3+5、()= 1 +2,A,函数 y =f (x) 有零点,函数 y =f (x) 的图象与 x 轴有公共点,1、函数的零点与方程的解的关系：,方程 f (x)=0 有实数解,2、判断在某个区间是否存在零点的方法,课堂小结,如果函数 y=f(x) 在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。,函数零点存在定理,本节课同学们有什么收获和体会？,谢谢观看,
