1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 基础过关 1已知向量 a(3,5)，b(cos ，sin )，且 ab，则 tan 等于( ) A3 5 B5 3 C3 5 D5 3 解析 由 ab，得 5cos 3sin 0，即 tan 5 3 答案 B 2向量 a(1，2)，|b|4|a|，ab，则 b 可能是( ) A(4,8) B(8,4) C(4，8) D(4,8) 解析 由 ab 可排除 A，B，C，故选 D 答案 D 3向量PA (k,12)，PB(4,5)，PC(10，k)，若 A，B，C 三点共线，则 k 的值为( ) A2 B11 C2 或 11 D2 或 11
2、解析 AB PBPA(4k，7)，BC PC PB (6，k5)，由题知ABBC ，故(4 k)(k5)(7)60，解得 k11 或 k2 答案 C 4.已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若 c(2ab)，则 _. 解析 2ab(4，2)，因为 c(1，)，且 c(2ab)，所以 124，即 1 2. 答案 1 2 5已知 A(2,0)，B(0,2)，若AC 1 3AB ，则点 C 的坐标是_ 解析 设 C(x，y)，则AC (x2，y)，AB(2,2)， 所以(x2，y)(2 3， 2 3)，得 x 4 3，y 2 3，即 C( 4 3， 2 3) 答案 (4 3， 2 3)
3、 6已知两点 A(3，4)，B(9,2)在直线 AB 上，求一点 P 使|AP |1 3|AB | 解 设点 P 的坐标为(x，y)， 若点 P 在线段 AB 上，则AP 1 2PB ， (x3，y4)1 2(9x,2y) 解得 x1，y2，P(1，2) 若点 P 在线段 BA 的延长线上，则AP 1 4PB ， (x3，y4)1 4(9x,2y) 解得 x7，y6，P(7，6) 综上可得点 P 的坐标为(1，2)或(7，6) 7如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标 解 设 P(x，y)，则DP
4、 (x1，y)， DB (5,4)，CA (3,6)，DC (4,0) 由 B，P，D 三点共线可得DP DB (5，4) 又CP DP DC (54,4)， 由于CP 与CA共线得，(54)6120 解之得 4 7，DP 4 7DB 20 7 ，16 7 ， 又OP OD DP (1,0)(20 7 ，16 7 )(27 7 ，16 7 )， P 的坐标为 27 7 ，16 7 能力提升 8已知向量OA (1，3)，OB (2，1)，OC (k1，k2)，若 A，B，C 三点不能 构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( ) Ak2 Bk1 2 Ck1 Dk1 解析 因为 A，B，C 三点不
5、能构成三角形，则 A，B，C 三点共线，则AB AC，又AB OB OA (1,2)，AC OC OA (k，k1)，所以 2k(k1)0，即 k1 答案 C 9已知向量 a(x,3)，b(3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( ) 存在实数 x，使 ab； 存在实数 x，使(ab)a； 存在实数 x，m，使(mab)a； 存在实数 x，m，使(mab)b A0 B1 C2 D3 解析 只有正确，可令 m0，则 mabb，无论 x 为何值，都有 bb 答案 B 10已知 a(1,1)，b(x2，x)且 ab，则实数 的最小值是_ 解析 因为 ab，所以 x2x0，即 x2x(x1 2) 21
6、4 1 4 答案 1 4 11平面上有 A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三点，点 C 在直线 AB 上，且AC 1 2BC ， 连接 DC 延长至 E，使|CE |1 4|ED |，则点 E 的坐标为_ 解析 AC 1 2BC ， A 为 BC 的中点，AC BA， 设 C(xC，yC)，则(xC2，yC1)(1，5)， C 点的坐标为(3，6)， 又|CE |1 4|ED |，且 E 在 DC 的延长线上， CE 1 4ED ， 设 E(x，y)， 则(x3，y6)1 4(4x，3y)， 得 x31 44x， y61 43y. 解得 x8 3， y7. 故点 E 的坐标是(8 3，7
7、) 答案 (8 3，7) 12已知向量OA (3，4)，OB (6，3)，OC (5x，3y) (1)若点 A，B，C 不能构成三角形，求 x，y 应满足的条件； (2)若AC 2BC，求 x，y 的值 解 (1)因为点 A，B，C 不能构成三角形，则 A，B，C 三点共线 由题意得 AB (3,1)，AC(2x,1y)， 所以 3(1y)2x 所以 x，y 满足的条件为 x3y10 (2)BC (x1，y)， 由AC 2BC得 (2x,1y)2(x1，y)， 所以 2x2x2， 1y2y， 解得 x4， y1. 创新突破 13已知 ABCD 是正方形，BEAC，ACCE，EC 的延长线交 B
8、A 的延长线于点 F， 求证：AFAE 证明 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便 不妨设正方形 ABCD 的边长为 1，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(x，y)，这里 y0， 于是AC (1,1)，BE(x1，y) AC BE， 1y(x1)10yx1. ACOCCE， CE2OC2(x1)2(y1)22. 由 y0，联立解得 x3 3 2 ， y1 3 2 ， 即 E 3 3 2 ，1 3 2 AEOE 3 3 2 2 1 3 2 2 31 设 F(t,0)，则FC (1t,1)，CE 1 3 2 ，1 3 2 F，C，E 三点共线，FC CE (1t)1 3 2 1 3 2 10，解得 t1 3 AFOF1 3，AFAE
