1、23.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是 否共线.3.掌握三点共线的判断方法 知识点 平面向量共线的坐标表示 1设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a，b 共线，当且仅当存在实数 ，使 ab. 2如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b(b0) 共线 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成 x1y1x2y20 或 x1x2y1y20 都是不对的，因 此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减 1若向量 a(x1，
2、y1)，b(x2，y2)，且 ab，则x1 y1 x2 y2.( ) 提示 当 y1y20 时不成立 2若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 x1y1x2y20，则 ab.( ) 3若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 x1y2x2y10，则 ab.( ) 4向量 a(1,2)与向量 b(4,8)共线( ) 题型一 向量共线的判定 例 1 (1)下列各组向量中，共线的是( ) Aa(2,3)，b(4,6) Ba(2,3)，b(3,2) Ca(1，2)，b(7,14) Da(3,2)，b(6，4) 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定 答案 D 解析 A 选项，
3、(2)634240， a 与 b 不平行； B 选项，22334950，a 与 b 不平行； C 选项，114(2)7280，a 与 b 不平行； D 选项，(3)(4)2612120， ab，故选 D. (2)在下列向量组中，可以把向量 a(3,7)表示出来的是( ) Ae1(0,1)，e2(0，2) Be1(1,5)，e2(2，10) Ce1(5,3)，e2(2,1) De1(7,8)，e2(7，8) 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定 答案 C 解析 平面内不共线的两个向量可以作基底， 用它能表示此平面内的任何向量， 因为 A， B， D 都是两个共线向量，而 C 不共线
4、，故 C 可以把向量 a(3,7)表示出来 反思感悟 向量共线的判定题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断， 特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配 跟踪训练 1 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( ) Ae1(0,0)，e2(1，2) Be1(1,2)，e2(5,7) Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2 1 2， 3 4 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 B 解析 A 选项，e10，e1e2，不可以作为基底； B 选项，1725170，e1与 e2不共线，故可以作为基底； C 选项，310
5、560，e1e2，故不可以作为基底； D 选项，2 3 4 (3)1 20， e1e2，不可以作为基底 故选 B. 题型二 三点共线问题 例 2 已知 A(1，3)，B 8，1 2 ，C(9,1)，求证：A，B，C 三点共线 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 三点共线的判定与证明 证明 AB 81，1 23 7，7 2 ， AC (91,13)(8,4)， 747 280， AB AC，且 AB，AC有公共点 A， A，B，C 三点共线 反思感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反， 两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步
6、完成：证明 向量平行证明两个向量有公共点 (2)若 A，B，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线 跟踪训练 2 已知OA (k,2)，OB (1,2k)，OC (1k，1)，且相异三点 A，B，C 共线， 则实数 k_. 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 1 4 解析 AB OB OA (1k,2k2)， AC OC OA (12k，3)， 由题意可知AB AC， 所以(3)(1k)(2k2)(12k)0， 解得 k1 4(k1 不合题意舍去) 由向量共线求参数的值 典例 已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？
7、考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数 解 方法一 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a3b(1,2)3(3,2)(10，4)， kab 与 a3b 平行， (k3)(4)10(2k2)0，解得 k1 3. 方法二 由方法一知 kab(k3,2k2)， a3b(10，4)， 当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数 ， 使 kab(a3b) 由(k3,2k2)(10，4) 得 k310， 2k24， 解得 k1 3. 引申探究 1若本例条件不变，判断当 kab 与 a3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由本例知当 k1 3时，kab 与 a3b 平行，
8、这时 kab1 3ab 1 3(a3b)， 1 30， kab 与 a3b 反向 2在本例中已知条件不变，若问题改为“当 k 为何值时，akb 与 3ab 平行？”，又如何 求 k 的值？ 解 akb(1,2)k(3,2)(13k,22k)， 3ab3(1,2)(3,2)(6,4)， akb 与 3ab 平行， (13k)4(22k)60， 解得 k1 3. 素养评析 (1)由向量共线求参数的值的方法 (2)本题利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)，再解得参数的值，这正是数学核 心素养数学运算的体现 1已知向量 a(2，1)，b(x1,2)，若 ab，则实数 x 的值为( ) A2
9、B2 C3 D3 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数 答案 D 解析 因为 ab，所以 22(1)(x1)0，得 x3. 2与 a(12,5)平行的单位向量为( ) A. 12 13， 5 13 B. 12 13， 5 13 C. 12 13， 5 13 或 12 13， 5 13 D. 12 13， 5 13 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求向量的坐标 答案 C 解析 设与 a 平行的单位向量为 e(x，y)， 则 x2y21， 12y5x0， x12 13， y 5 13 或 x12 13， y 5 13. 3若 a( 3，cos )，b(3，si
10、n )，且 ab，则锐角 _. 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求参数 答案 3 解析 a( 3，cos )，b(3，sin )，ab， 3sin 3cos 0，即 tan 3， 又 为锐角，故 3. 4已知三点 A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则 m 的值为_ 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 6 解析 AB (2,4)(1,2)(1,2) AC (3，m)(1,2)(2，m2) A，B，C 三点共线，即向量AB ，AC共线， 1(m2)220，m6. 5已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，
11、B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_ 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数 答案 (2,4) 解析 在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB， DC 2AB . 设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC (4,2)(x，y)(4x,2y)， AB (2,1)(1,2)(1，1)， (4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)， 4x2， 2y2， 解得 x2， y4， 故点 D 的坐标为(2,4) 1两个向量共线条件的表示方法 已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1)当 b0，ab. (2)x1y2x2y10. (3)当 x2y20 时，x1 x2 y1 y2，即两向量的相应坐标成比例 2向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线 联系平面几何平行、 共线知识， 可以证明三点共线、 直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行 (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应 用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
