1、 【2019 年中考数学几何变形题归类辅导】年中考数学几何变形题归类辅导】 专题 3：截长补短法 【典例引领】【典例引领】 例题：（2013 黑龙江龙东地区）正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC、BD 的交点， 过点 O 作 OE MN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F。 （1）如图 1，点 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 AF、BF、OE 之间又有怎样的关系？ 请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。 【答案】图 2 结论：
2、AFBF=2OE，图 3 结论：BF-AF=2OE 【分析】（1） 过点 B 作 BGOE 于 G， 可得四边形 BGEF 是矩形， 根据矩形的对边相等可得 EF=BG， BF=GE， 根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，AOB=90 ，再根据同角的余角相等求出AOE= OBG，然后利用“角角边”证明AOE 和OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 OG=AE，OE=BG， 再根据 AFEF=AE，整理即可得证； （2）选择图 2，过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G，可得四边形 BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BG，BF=GE，根据正方形的对
3、角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，AOB=90 ，再根据同角的余角相等求出AOE=OBG，然后利用“角角边”证明AOE 和OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 OG=AE，OE=BG，再根据 AFEF=AE，整理即可得证；选择图 3 同理可证 【解答】（1）证明：如图， 过点 B 作 BGOE 于 G， 则四边形 BGEF 是矩形， EF=BG，BF=GE， 在正方形 ABCD 中，OA=OB，AOB=90 ， BGOE， OBG+BOE=90 ， 又AOE+BOE=90 ， AOE=OBG， 在AOE 和OBG 中， ， AOEOBG（AAS） ， OG=AE，OE=BG， AF
4、EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OEGE=OEBF， AFOE=OEBF， AF+BF=2OE； （2）图 2 结论：AFBF=2OE， 图 3 结论：AFBF=2OE 对图 2 证明：过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G， 则四边形 BGEF 是矩形， EF=BG，BF=GE， 在正方形 ABCD 中，OA=OB，AOB=90 ， BGOE， OBG+BOE=90 ， 又AOE+BOE=90 ， AOE=OBG， 在AOE 和OBG 中， ， AOEOBG（AAS） ， OG=AE，OE=BG， AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF， A
5、FOE=OE+BF， AFBF=2OE； 若选图 3，其证明方法同上 【强化训练】【强化训练】 1、（2018 黑龙江龙东地区） 如图， 在 RtBCD 中， CBD=90 ， BC=BD， 点 A 在 CB 的延长线上， 且 BA=BC， 点 E 在直线 BD 上移动，过点 E 作射线 EFEA，交 CD 所在直线于点 F. （1）当点 E 在线段 BD 上移动时，如图（1）所示，求证：BCDE= DF. （2）当点 E 在直线 BD 上移动时，如图（2）、图（3）所示。线段 BC、DE 和 DF 又有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想，不需证明. 【答案】(1)答案见解答（2）图（2）D
6、EBC= DF图（3）BC+DE= DF 【分析】 为了证明图（2） 的结论， 需要构造等腰直角三角形，在 BC 上截取 BH，使得 BH=BE.连接 EH， 再证AHEEDF，即可得出结论图（3）同理可证 【解答】（1）证明：如图 1 中，在 BA 上截取 BH，使得 BH=BE BC=AB=BD，BE=BH， AH=ED， AEF=ABE=90 ， AEB+FED=90 ，AEB+BAE=90 ， FED=HAE， BHE=CDB=45 ， AHE= EDF=135 ， AHEEDF， EH=DF， BCDE=BDDE=BE= EH EH=DF BCDE= DF （3）解：如图 2 中，在
7、 BC 上截取 BH=BE，同法可证：DF=EH 可得：DEBC= DF 如图 3 中，在 BA 上截取 BH，使得 BH=BE同法可证：DF=HE， 可得 BC+DE= DF 2如图，（图 1，图 2），四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在线段 BC 上， AEF=90 ,且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F，交 BC 的延长线于点 N, FNBC. （1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1），AE 与 EF 相等吗？ （2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2），设 BE=x，ECF 的面积为 y。 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x 取何值时，y 有最大值，
8、并求出这个最大值. 【答案】【答案】（1）AE=EF；（2）y=- x 2+2x（0x4)，当 x=2,y 最大值=2. 【分析】 （1）在 AB 上取一点 G，使 AG=EC，连接 GE，利用 ASA，易证得：AGEECF， 则可证得：AE=EF； （2）同（1）可证明 AE=EF，利用 AAS 证明ABEENF，根据全等三角形对应 边相等可得 FN=BE， 再表示出 EC， 然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF 的面积为 y，然后整理再根据二次函数求解最值问题 【解答】 （1）如图，在 AB 上取 AG=EC， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC， 有AG=EC ，BG=BE
9、 ， 又B=90 ， AGE=135 ， 又BCD=90 ，CP 平分DCN， ECF=135 ， BAEAEB=90 ，AEBFEC=90 ， BAE=FEC， 在AGE 和ECF 中， , AGEECF， AE=EF； (2)由（1）证明可知当 E 不是中点时同理可证 AE=EF， BAE=NEF，B=ENF=90 ， ABEENF， FN=BE=x， S ECF = (BC-BE) FN， 即 y= x(4-x）， y=- x 2+2x（0x4)， ， 3阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在ABC 中，ACB90 ，ACBC，在三角形内 取一点 D，ADAC，CAD30 ，
10、求ADB 小明通过探究发现，DABDCB15 ，BCAD，这样就具备了一边一角的图 形特征，他果断延长 CD 至点 E，使 CEAB，连接 EB，造出全等三角形，使问题得 到解决 （1）按照小明思路完成解答，求ADB； （2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题： 如图 2，ABC 中，ABAC，点 D、E、F 分别为 BC、AC、AB 上一点，连接 DE， 延长 FE、DF 分别交 BC、CA 延长线于点 G、H，若DHCEDG2G 在图中找出与DEC 相等的角，并加以证明； 若 BGkCD，猜想 DE 与 DG 的数量关系并证明 【答案】【答案】（1）135 ;（2）HDCDEC;猜想 D
11、GkDE. 【分析】（1）根据辅助线证得DABBCE，则ADBCBE（还不能直接求 得，考虑全等的其他等边等角），ABDE，BDBE，得到BDEE ABD 考虑引入未知数， 设CBDx， 则EABDBDEx+15 ， 利用ABC ABD+CBD 求得 x，再由周角求得结果 （2）DEC 是DEH 的外角，等于DHC+HDE，而DHCEDG，等量代 换得DECEDG+HDEHDC 由条件 DHCEDG2G， 在 FG 上方构造 2G 即FGMFGD， 则EDG MGD，令 M 落在 BA 延长线上，加上BACB，即得BGMCDE，有 =k又通过三角形内角和求得MHDC，证得MFGDFG，有 MG
12、 DG，得证 【解答】（1）延长 CD 至点 E，使 CEAB，连接 EB ，ACB90 ，ACBC CABCBA45 ADAC，CAD30 BCAD，ACDADC 75 ，DABCABCAD15 BCDACBACD15 即DABBCD 在DAB 与BCE 中， DABBCE（SAS） ADBCBE，ABDE，BDBE BDEE 设CBDx，则ABD45 x，BDEBCD+CBD15 +x ABDEBDE15 +x ABCABD+CBD 45 15 +x+x，得：x15 CDB180 BCDCBD180 15 15 150 ADB360 ADCCDB360 75 150 135 （2）HDCD
13、EC，证明如下： DHCEDG HDCHDE+EDGHDE+DHCDEC HDCDEC 猜想 DGkDE，证明如下： 在 FG 的上方作FGMFGD，使FGM 的一边与 BA 延长线交于 M DHCEDG2FGD DHCEDGMGD ABAC BACB M180 BMGD180 ACBEDCDEC MHDC 在MFG 与DFG 中， MFGDFG（AAS） MGDG BACB，EDGMGD BGMCDE BGkCD =K DGMGkDE 4【问题情境】在ABC 中，AB=AC，点 P 为 BC 所在直线上的任一点，过点 P 作 PDAB，PEAC，垂足分别为 D、E，过点 C 作 CFAB，垂
14、足为 F当 P 在 BC 边上时（如图 1），求证：PD+PE=CF 图 图 图 证明思路是：如图 2，连接 AP，由ABP 与ACP 面积之和等于ABC 的面积可以证 得：PD+PE=CF（不要证明） 【变式探究】 当点 P 在 CB 延长线上时，其余条件不变（如图 3）.试探索 PD、PE、CF 之间的数量 关系并说明理由. 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】 如图 4，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C处，点 P 为折痕 EF 上的任一点，过点 P 作 PGBE、PHBC，垂足分别为 G、H，若 AD=8， CF=
15、3，求 PG+PH 的值； 【答案】【答案】【变式探究】 【结论运用】4 【分分析】析】【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题 【结论运用】过E作EQBF，利用问题情境中的结论可得PGPHEQ，易证 EQDCBFDF，只需求即可 【解答】【变式探究】：连接,AP PDAB，PEAC，CFAB， ABCACPABP SSS， 111 222 ABCFACPEABPD， ABAC， .CFPEPD 【结论运用】过E作EQBF，垂足为Q ，如图， 四边形ABCD是长方形， 90ADBCCADC， 835ADCFBFBC CFAD CF， 由折叠可得： DFBFBEFDEF， 590DFC， 2222 534.DCDFCF 90EQBCCADC ， 90EQCCADC 四边形EQCD是长方形 4EQDC ADBC， DEFEFB BEFDEFBEFEFBBEBF， 由问题情境中的结论可得： 4PGPHEQPGPH PGPH的值为 4
