1、 2020 年浙江省中考数学分类汇编专题年浙江省中考数学分类汇编专题 11 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1.如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，以其三边为边向外作正方形，过点 C 作 CRFG 于点 R， 再过点 C 作 PQCR 分别交边 DE，BH 于点 P，Q。若 QH=2PE，PQ=15，则 CR 的长为（ ) A. 14 B. 15 C. 8 D. 6 2.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 2：5，且三角板的一边长为 8cm，则投影三角板的对应边长为（ ） 21 世纪教育网版权所有 A. 20cm B. 10cm C. 8cm D. 3
2、.2cm 3.如图，在直角坐标系中， OAB 的顶点为 O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)。以点 O 为位似中心，在 第三象限内作与 OAB 的位似比为 的位似图形 OCD，则点 C 坐标为( ) A. (-1，-1). B. (，-1) C. (-1， ) D. (-2，-1). 4.如图， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， 得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH.连结 EG， BD 相交于点 O，BD 与 HC 相交于点 P.若 GO=GP，则 的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 5.如图，在河对岸有一矩形场地 ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸
3、 l 上依次取点 E，F，N， 使 AEl，BFl，点 N，A，B 在同一直线上。在 F 点观测 A 点后，沿 FN 方向走到 M 点.观测 C 点发现1=2。测得 EF=15 米，FM=2 米，MN=8 米，ANE=45 ，则场地的边 AB 为_ 米，BC 为_米。 6.在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角 形称为格点三角形，如图，已知 Rt ABC 是 6 6 网格图形中的格点三角形，则该图中所有与 Rt ABC 相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_. 2 1 c n j y 7.如图是一张矩形纸片，点 E 在 AB 边上，
4、把 BCE 沿直线 CE 对折， 使点 B 落在对角线 AC 上 的点 F 处，连接 DF。若点 E，F，D 在同一条直线上，AE=2，则 DF=_，BE=_。 三、综合题三、综合题 8.已知在 ABC 中，ACBCm，D 是 AB 边上的一点，将B 沿着过点 D 的直线折叠，使点 B 落在 AC 边的点 P 处（不与点 A，C 重合） ，折痕交 BC 边于点 E. 21世纪*教育网 （1）特例感知：如图 1，若C60 ，D 是 AB 的中点，求证：AP AC； （2）变式求异：如图 2，若C90 ，m ，AD7，过点 D 作 DHAC 于点 H，求 DH 和 AP 的长； 2-1-c-n-j
5、-y （3）化归探究：如图 3，若 m10，AB12，且当 ADa 时，存在两次不同的折叠，使点 B 落 在 AC 边上两个不同的位置，请直接写出 a 的取值范围. 21*cnjy*com 9.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上， 连接 AE、DAE 的平分线 AG 与 CD 边交于点 G，与 BC 的延长线交于点 F，设 =(0)。 （1）若 AB=2，=1，求线段 CF 的长。 （2）连接 EG，若 EGAF， 求证：点 G 为 CD 的中点。 求 的值。 10.如图，在 ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DEAC，EFAB。 （1）求证 BDE
6、 EFC。 （2）设 若 BC=12，求线段 BE 的长。 若 EFC 的面积是 20，求 ABC 的面积。 11.【性质探究】 如图， 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 相交于点 O， AE 平分BAC， 交 BC 于点 E。 作 DFAE 于点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G。 （1）判断 AFG 的形状并说明理由。 （2）求证：BF=2OG。 （3） 【迁移应用】 记 DGO 的面积为 S1 ， DBF 的曲积为 S2 ， 当 时，求 的值。 （4） 【拓展延伸】 若 DF 交射线 AB 于点 F， 【性质探究】 中的其余条件不变， 连结 EF。 当 BEF 的面积为矩
7、形 ABCD 面积的 时，请直接写出 tanBAE 的值。 12.如图 1，矩形 DEFG 中，DG=2，DE=3，Rt ABC 中，ACB=90 ，CA=CB=2，FG，BC 的延 长线相交于点 O，且 FGBC，OG=2，OC=4。将 ABC 绕点 O 逆时针旋转 (0180)得到 ABC。 （1）当 =30时，求点 C到直线 OF 的距离。 （2）在图 1 中，取 AB的中点 P，连结 CP，如图 2。 当 CP 与矩形 DEFG 的一条边平行时，求点 C到直线 DE 的距离。 当线段 AP 与矩形 DEFG 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 DG 的距离的取值范围。 13.如图
8、（1） 【基础巩固】 如图 1，在 ABC 中，D 为 AB 上一点，ACD=B.求证： . （2） 【尝试应用】 如图 2，在 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFE=A.若 BF=4，BE=3， 求 AD 的长. （3） 【拓展提高】 如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 ABC 内一点，EFAC，AC=2EF， ，AE=2，DF=5，求菱形 ABCD 的边长.21 cn jy com 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 OB， OC 的中点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F
9、， 已知 OB=8. （1）求证：四边形 AEFD 为菱形. （2）求四边形 AEFD 的面积. （3）若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 D)，点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G，使得以点 A，P， Q，G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，试说明理由. 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.答案: A 解：如图，连接 ， 设 交 于 四边形 ，四边形 都是正方形， ， ， ， ， ， ， 共线， ， ， 共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设 ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， （负根已经舍弃） ，
10、， ， ， ， ， ， 故答案为： 【分析】 连接EC， CH， 设AB交CR于点J， 利用正方形的性质， 易证ACE=45 ， ACB=BCI=90 ， 据此利用推出点 B，C，H 共线，点 A，C，I 共线，再证明 ECPHCQ，利用相似三角形的对 应边成比例，求出 PC，CQ 的长，利用平行四边形的判定可证得四边形 ABQC 是平行四边形，利 用平行四边形的性质，可得到 AB，CQ 的长，利用勾股定理建立关于 a 的方程，解方程求出 AC， BC 的长，然后利用三角形的面积求出 CJ 的长，继而可求出 CR 的长。21 教育网 2.答案: A 解：设投影三角尺的对应边长为 ， 三角尺与投
11、影三角尺相似， ， 解得 故答案为：A 【分析】由题意可知三角尺与投影三角尺相似，再利用相似三角形的对应边成比例就可求出投影 三角尺的对应边的长。www.21-cn- 3.答案: B 解：过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 C 作 CFx 轴于点 F， 由题意可知 ODCOBA ODC 和 OBA 的位似比为 , 解之： 点 C 在第三象限 . 故答案为：B. 【分析】过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 C 作 CFx 轴于点 F，利用位似三角形的两个三角形 相似，可证得 ODC OBA，利用相似三角形的性质，分别求出 CF，OF 的长，即可得到点 C 的坐标。【来源：21世纪教育网】
12、 4.答案: B 解：设 AF=y，BF=x， 正方形 EFGH 的边长 GH=y-x， EG=GF=（y-x）, 正方形 ABCD 的面积为 x2+y2 ， 正方形 EFGH 的面积为（y-x）2 ， EDBG，EDO=GBO， ED=BG，EOD=BOG， EODGOB， EO=GO， GO=EG=（y-x）, GP=GO， GP=（y-x） ， GH:GP=， PH：PG= DHGB， DHPBGH， ， 即得， x=()y . 故答案为：B. 【分析】设 AF=y，BF=x，可得正方形 EFGH 的边长 GH=y-x，即得 EG=GF=（y-x）,根 据正方形的面积公式可得正方形 AB
13、CD 的面积为 x2+y2 ， 正方形 EFGH 的面积为 （y-x） 2 ， 先 证 EODGOB，可得 EO=GO，可得 GO=EG=（y-x） ，从而可得 GP=GO=（y-x） ， 从而可得 PH：PG=， 由于 DHGB，可得 DHPBGH，利用相似三角形对应边成比例 可得 DH：GB=x:y=， 代入正方形的面积进行计算即得结论.【来源：21cnj*y.co*m】 二、填空题 5.答案: 15 ；20 解： ， ， ， 和 是等腰直角三角形， ， ， 米， 米， 米， （米 ， （米 ， ， ， （米 ； 过 作 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ， ， 四边形 和四边形 是矩形，
14、， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， 【分析】根据题意易证ANE 和 BNF 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得 AE=EN，BF=FN，由此可求出 AE，BF 的长，利用解直角三角形求出 AN，BN 的长，再根据 AB=AN-BN 求出 AB 的长；过点 C 作 CHl 于点 H，过点 B 作 PQl，交 AE 于点 P，交 CH 于 点 Q，利用矩形的判定和性质，可得到 EF，QH 的长，再证明 AEFCHM，利用相似三角形 的对应边成比例可得到 CH 与 HM 的比值，设 MH=3x，CH=5x，用含 x 的代
15、数式表示出 CQ，BQ 的长，然后证明 APBBQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于 x 的方程，解方程求 出 x 的值，即可得到 BQ 的长，从而可求出 BC 的长。21 教育名师原创作品 6.答案: 解： 在 中， ， ， ， ， 与 相似的格点三角形的两直角边的比值为 ， 若该三角形最短边长为 4，则另一直角边长为 8，但在 网格图形中，最长线段为 ，但此 时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段，故最短直角 边长应小于 4，在图中尝试，可画出 ， ， 的三角形， ， ， ， 此时 的面积为： ， 为面积最大的三角形，其斜边长为： . 故答案为：
16、 . 【分析】利用勾股定理可求出 AB 的长，就可得到 ABC 的两直角边之比，分情况进行讨论，利 用相似三角形的判定和性质，可以画出符合题意的三角形。21*cnjy*com 7.答案: 2；-1 解：点 E，F，D 在一条直线上 DFC=CFE=EBC=90 CDF+DCF=90 又ADF+CDF=90 ADF=DCF 把 BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处 BC=CF=AD 在 ADE 和 FCD 中， AD=CF ADF=DCF DFC=DAE ADEFCD DF=AE=2 设 BE=X 则 EF=X AEF=AED AFE=DAE=90 AFEDAE
17、 AE2=EF DE X(X+2)=4 X +2X-4=0 解得：x= -1 或 x=- -1(舍去) 故答案为：2； -1. 【分析】利用余角的性质可证得ADF=DCF ，再利用折叠的性质，可得到 BC=CF=AD，由此 可证得 ADEFCD，利用全等三角形的对应边相等，可得到 AE 的长，然后证明 AFEDAE，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出 x 的值，即可得到 DF，BE 的长。 三、综合题 8.答案: （1）证明AC=BC，C=60 ， ABC 是等边三角形， AC=AB，A=60 ， 由题意，得 DB=DP，DA=DB， DA=DP，ADP 是等边三角形 AP=AD= AB=
18、 AC （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将 沿过点 的直线折叠， 情形一：当点 落在线段 上的点 处时，如图 中， ， ， ， ， 情形二：当点 落在线段 上的点 处时，如图 中， 同法可证 ， ， 综上所述，满足条件的 的值为 或 . （3）如图 3 中，过点 作 于 ，过点 作 于 . ， ， ， ， 当 时，设 ，则 ， ， ， ， ， 观察图形可知当 时，存在两次不同的折叠，使点 落在 边上两个不同的位置. 【分析】 （1）根据有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形，易证 ABC 是等边三角形，利 用等边三角形的性质，可得到 AC=AB，A=60 ，再证明 A
19、DP 是等边三角形，即可证得结论。 （2）利用勾股定理求出 AB 的长，再证明 ADH 和 ABC 相似，利用相似三角形的对应边成比 例，就可求出 DH 的长；将B 沿着过点 D 的直线折叠，分情况讨论：当点 B 落在线段 CH 上的 点 P1处时，可得到 DP1的长，利用勾股定理求出 HP1的长，然后根据 AP1=AH+HP1代入计算可求 出 AP1的长；当点 B 落在线段 AH 上的点 P2处时，可得到 HP2的长，然后根据 AP2=AH-HP2代入 计算可求出 AP2的长；综上所述可得 AP 的长。 （3）添加辅助线，过点 C 作 CHAB 于点 H，过点 D 作 DPAC 于点 P，利
20、用等腰三角形的性 质，易证 AH=HB，利用勾股定理求出 CH 的长，利用解直角三角形求出 BD 的长，即可得到 AD 的长，由此可求出 a 的取值范围。 9.答案: （1）解：四边形 ABCD 是正方形， ADBC DAF=F， 又 AG 平分DAE DAF=EAF EAF=F， EA=EF 又=1，AB=BC=2， BE=EC=1， 在 Rt ABE 中，由勾股定理得，EA= CF=EF-EC= -1 （2）解：EA=EF，EGAF AG=GF 又AGD=FGC，DAG=F DAGCFG DG=CG， 点 G 是 CD 的中点。 设 CD=2，则 CG=1， 由知，CF=AD=2 由题意
21、EGCGFC， EC= ，BE= = 【分析】 （1）利用正方形的性质可知 ADBC，再利用平行线的性质和角平分线的性质，可证得 EAF=F，利用等角对等边可证得 EA=EF，结合已知，利用勾股定理求出 EA，EC 的长，即可 求出 CF 的长。 （2）利用等腰三角形的性质，可得到 AG=GF，再证明 DAGCFG，利用全等三角形的对 应边相等，可证得 DG=CG，即可证得结论；利用已知条件易证 EGCGFC，利用相似三角 形的性质，求出 EC，BE 的长，然后求出 CE 与 BE 的比值。 10.答案: （1）证明：因为 DEAC，所以BED=C。 又因为 EFAB，所以B=FEC，所以 B
22、DE EFC （2）解：因为 EFAB，所以 因为 BC=12， 所以 ，所以 BE=4 因为 EFAB， 所以 EFC BAC， 因为 、所以 设 EFC 的面积为 S1 ， ABC 的面积为 S， 所以 因为 S1=20，所以 S=45。 所以 ABC 的面积是 45。 【分析】 （1）利用平行线的性质，可知BED=C，B=FEC，利用相似三角形的判定定理， 可证得结论。 （2）利用平行线分线段成比例定理可求出 BE 的长;利用 EFAB，可证得 EFC BAC， 利用相似三角形的性质，可求出 EC 与 BC 的比值，利用相似三角形的面积等于相似比的平方，就 可求出 ABC 的面积。 11
23、.答案: （1）解：如图 1 中， AFG 是等腰三角形 理由：AE 平分BAC， 12， DFAE， AHFAHG90 ， AHAH， AHFAHG（ASA） ， AFAG， AFG 是等腰三角形 （2）解：如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG AFAG， AFGAGF， AGFOGL， OGLOLG， OGOL， OLAB， DLODFB， ， 四边形 ABCD 是矩形， BD2OD， BF2OL， BF2OG （3）解：如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKACDA90 ， DAKCAD， ADKACD， ， S1 OGDK，S2 BFAD
24、， 又BF2OG， ， ， 设 CD2x，AC3x，则 AD2 x， （4）tanBAE 的值为 或 【解答】 （4）设 OG 为 a，AG 为 k。 如图 4，连接 EF ， 当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在线段 OA 上 AF=AG，BF=2OG， AF=AG=k，BF=2a， AB=k+2a，AC=2（k+a） ， AD2=2（k+a）2-（k+2a）2 ， AD =3k2+4ka， 由ABE=DAF-90 ，BAE=ADF，得 ABEDAF， ， ，BE= 根据题意得， 10 2a =AD（k+2a） ， AD2=10ka， 即 10ka=3k2+4ka， k=2a， AD=2
25、 a， BE= ，AB4a ， tanBAE= = 如图 5，当点 F 在线段 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF AF=AG，BF=2OG， AF=AG=k，BF=2a， AB=k-2a，AC=2（k-a） AD2AC2CD22（ka）2（k2a）23k24ka ， ABEDAF90 ，BAEADF ， ABEDAF ， ， ， BE ， 根据题意得，10 2a =AD（k-2a） ， AD2=10ka 即 10ka=3k -4ka， k= a， AD a ， BE= = a，AB= a tanBAE= = 综上可知，tanBAE 的值为 或 。 【分析】 （1）如图
26、1 中， AFG 是等腰三角形利用全等三角形的性质证明即可 （2）如图 2 中， 过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L ， 则AFGOLG 首先证明 OGOL ， 再证明 BF2OL 即可解决问题 （3）如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K ， 则DKACDA90 ，利用相似 三角形的性质解决问题即可 （4）设 OGa ， AGk 分两种情形：如图 4 中，连接 EF ， 当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF 分别求解即可解决问题www-2-1-cnjy-com 12.答案: （1）解
27、：如图 1 中， 过点 作 于 ， ， 点 到直线 的距离为 （2）解：如图 2 中，当 时，过点 作 于 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点 到直线 的距离为 如图 3 中，当 时，过点 作 于 同法可证 是等腰直角三角形， ， 点 到直线 的距离为 设 为所求的距离 第一种情形：如图 4 中，当点 落在 上时，连接 ，延长 交 于 ， ， ， ， ，即 ， 如图 5 中，当点 落在 上时，连接 ，过点 作 于 ， ， ， ， ， ， 第二种情形：当 与 相交，不与 相交时，当点 在 上时， ， 即 ， 如图 6 中，当点 落在 上时，设 交 于 ，过点 作 于 ，过点 作 交 于 ，连
28、接 【出处：21 教育名师】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 第三种情形：当 经过点 时，如图 7 中，显然 综上所述， 或 【分析】 （1）过点 C作 CHOF 于点 H，再利用解直角三角形求出 CH 的长。 （2）分情况讨论：当 CPOF 时，过点 C作 CMOF 于点 M，利用平行线的性质求出 O 的度数，由此可证得 OCM 是等腰直角三角形，再利用解直角三角形求出 CM 的值；当 CPDG 时，过点 C作 CNGF 于点 N，同理可证得 OCN 是等腰直角三角形，再利用 解直角三角形求出 CN 的值；设 d 为所求的距离，分情况
29、讨论： 如图 4 中，当点 A 落在 DE 上时，连接 OA ，延长 ED 交 OC 于 M ，利用勾股定理求出 AM 的长，就可以求出 d 的值； 如图 5 中，当点 落在 上时，连接 ，过点 作 于 ，利用勾股定理求 出 d 的值；第二种情形：当 与 相交，不与 相交时，当点 在 上时，求出 d 的值； 如图 6 中， 当点 落在 上时， 设 交 于 ， 过点 作 于 ， 过点 作 交 于 ， 连接 ； 利用全等三角形的判定和性质及相似三角形的判 定和性质，求出 OQ 的长，然后求出 d 的值，即可得到 d 的取值范围；第三种情形：当 经过 点 时，如图 7 中，显然 综上所述可得 d 的
30、值。 【版权所有：21 教育】 13.答案: （1）解： ACD=B，A=A ADCACB AC2=AD AB （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC，A=C， 又BFE=A， BFE=C，-6 分 又FBE=CBF， BFEBCF， BF2=BE BC， BC2= AD= （3）解：如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G， 四边形 ABCD 是菱形， ABDC，BAC= BAD， ACEF， 四边形 A EGC 为平行四边形， AC=EG，CG=AE，EAC=G， EDF= BAD， EDF=BAC， EDF=G， 又DEF=GED， EDFEGD， DE2=EF EG，
31、又EG=AC=2EF， DE2=2EF ， DE= EF， 又 DG= DF=5 ， DC=DG-CG=5 -2 【分析】 （1）利用两个角相等的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质列比例式即可得出结 果； （2）由平行四边形的性质得出 AD=BC，A=C，再根据两个角分别相等的两个三角形相似求 出 BFEBCF，于是由对应边成比例可得 BF2=BE BC，则 BC 的长可求，AD 的长也可知； （3）分别延长 EF，DC 相交于点 G，由两组对边分别平行可得四边形 A EGC 为平行四边形，可 得 EDFEGD，于是由相似三角形的性质得出 DE2=EF EG，结合 EG=AC=2EF, 可
32、得 DE=EF，再根据相似三角形的性质列式，两者结合可得求得 DG 的长， 则 DC 的长可求. 14.答案: （1）证明：DFAE，EFAD， 四边形 AEFD 是平行四边形. 四边形 ABOC 是正方形， OBOCABAC，ACEABDRt. 点 D，E 是 OB，OC 的中点， CEBD， ACEABD(SAS)， AEAD， AEFD 是菱形. （2）解：如图 1，连结 DE. S ABD AB BD ， S ODE OD OE ， S AEDS正方形ABOC2 S ABD S ODE 642 824， S菱形AEFD2S AED48. （3）解：由图 1，连结 AF 与 DE 相交于
33、点 K，易得 ADK 的两直角边之比为 1:3. 1）当 AP 为菱形一边时，点 Q 在 x 轴上方，有图 2、图 3 两种情况： 如图 2，AG 与 PQ 交于点 H， 菱形 PAQG菱形 ADFE， APH 的两直角边之比为 1:3. 过点 H 作 HNx 轴于点 N，交 AC 于点 M，设 AM=t. HNOQ，点 H 是 PQ 的中点， 点 N 是 OP 中点， HN 是 OPQ 的中位线， ONPN8t. 又1390 2，PNHAMH90 ， HMAPNH， ， HN3AM3t， MHMNNH83t. PN3MH， 8t =3(83t)，解得 t2. OP2ON2(8t)12， 点
34、P 的坐标为(12，0). 如图 3， APH 的两直角边之比为 1:3. 过点 H 作 HIy 轴于点 I，过点 P 作 PNx 轴交 IH 于点 N，延长 BA 交 IN 于点 M. 1390 2，AMHPNH， AMHHNP， ，设 MHt， PN3MH3t， AMBMAB3t8， HN3AM3(3t8) 9t24. 又HI 是 OPQ 的中位线， OP2IH， HIHN， 8t9t24，解得 t4. OP2HI2(8t)24， 点 P 的坐标为(24，0). 2）当 AP 为菱形一边时，点 Q 在 x 轴下方，有图 4、图 5 两种情况： 如图 4， PQH 的两直角边之比为 1:3.
35、 过点 H 作 HMy 轴于点 M，过点 P 作 PNHM 于点 N. MH 是 QAC 的中位线， HM 4. 又1390 2，HMQN， HPNQHM， ，则 PN ， OM . 设 HNt，则 MQ3t. MQMC， 3t8 ，解得 t . OPMN4t ， 点 P 的坐标为( ，0). 如图 5， PQH 的两直角边之比为 1:3. 过点 H 作 HMx 轴于点 M，交 AC 于点 I，过点 Q 作 NQHM 于点 N. IH 是 ACQ 的中位线， CQ2HI，NQCI4. 1390 2，PMHQNH， PMHHNQ， ，则 MH NQ . 设 PMt，则 HN3t， HNHI， 3
36、t8+ ，解得 t . OPOMPMQNPM4t ， 点 P 的坐标为( ，0). 3）当 AP 为菱形对角线时，有图 6 一种情况： 如图 6， PQH 的两直角边之比为 1:3. 过点 H 作 HMy 轴于点 M，交 AB 于点 I，过点 P 作 PNHM 于点 N. HIx 轴，点 H 为 AP 的中点， AIIB4，PN4. 1390 2，PNHQMH90 ， PNHHMQ， ，则 MH3PN12，HIMHMI4. HI 是 ABP 的中位线， BP2HI8，即 OP16， 点 P 的坐标为(16，0). 综上所述，点 P 的坐标为(12，0)，(24，0)，( ，0)，( ，0)，(
37、16，0). 【分析】 （1）根据两组对边分别平行可证四边形 AEFD 是平行四边形，利用正方形的性质可得 OB OCABAC，ACEABD90 .根据线段中点的定义可得 CEBD，根据“SAS”可证 ACEABD ，可得 AE=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证； （2）如图 1，连结 DE. 根据三角形的面积公式求出 S ABD AB BD,16， S ODE OD OE=8，利用 S AEDS正方形ABOC2 S ABD S ODE =24，由 S菱形AEFD2S AED即可求 出结论； （3）由图 1，连结 AF 与 DE 相交于点 K，易得 ADK 的两直角边之比为 1:3. 分两种情况讨论： 当 AP 为菱形一边时，点 Q 在 x 轴上方，有图 2（ APH 的两直角边之比为 1:3） ；图 3( APH 的两直角边之比为 1:3).两种情况；当 AP 为菱形一边时，点 Q 在 x 轴下方，有图 4( PQH 的 两直角边之比为 1:3 )、图 5( PQH 的两直角边之比为 1:3)两种情况；据此分别解答即可.
