1、将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号 盒子的概率为 9 （5 分）若抛物线 x24y 的焦点到双曲线 C：（a0，b0）的渐近线距离等 于，则双曲线 C 的离心率为 10 （5 分）设 m，n 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题： 第 2 页（共 23 页） 若 m，m，则 ； 若 m，m，则 ； 若 m，mn，则 n； 若 m，则 m 其中的正确命题序号是 11 （5 分）设 x0，y0，向量 （1x，4） ， （x，y） ，若 ，则 x+y 的最小 值为 12 （5 分）在ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知|
2、，|4，ACB， 则 13 （5 分）已知正数 a，b，c 满足 b2+2（a+c）bac0，则的最大值为 14 （5 分）若（m0）对一切 x4 恒成立，则实数 m 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （15 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，AB，BC1，E，F 分别是 AB， PC 的中点，DEPA （）求证：EF平面 PAD； （）求证：平面 PAC平面 PDE 16 （15 分）在三角
3、形 ABC 中，已知， （1）求角 A 的值； （2）若ABC 的面积为，求边 BC 的长 17 （15 分）建造一个容积为 8m3、深为 2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造 价分别为 120 元/m2和 80 元/m2 （1）求总造价 y（单位：元）关于底边一边长 x（单位：m）的函数解析式，并指出函数 第 3 页（共 23 页） 的定义域； （2）如果要求总造价不超过 2080 元，求 x 的取值范围； （3）求总造价 y 的最小值 18 （15 分）在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆1，若圆 O：x2+y2R2（R0）的 一条切线与椭圆 C 有两个交点 A，B，且0 （1）求
4、圆 O 的方程； （2）已知椭圆 C 的上顶点为 M，点 N 在圆 O 上，直线 MN 与椭圆 C 相交于另一点 Q， 且2，求直线 MN 的方程 19 （15 分）已知函数 （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率为 2，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数 a 的取值范围 20 （15 分）已知数列an、bn、cn，对于给定的正整数 k，记 bnanan+k，cnan+an+k （nN*） 若对任意的正整数 n 满足：bnbn+1，且cn是等差数列，则称数列an为“H （k） ”数列 （1）若数列an的前 n 项和为 Snn2，证明：
5、an为 H（k）数列； （2）若数列an为 H（1）数列，且 a11，b11，c25，求数列an的通项公式； （3）若数列an为 H（2）数列，证明：an是等差数列 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 A，B，且 ABBA （1）求实数 a； （2）求矩阵 B 的特征值 第 4 页
6、（共 23 页） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线为参数） 现以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x1，x2，x3（0，+） ，且满足 x1+x2+x33x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x13 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定
7、区域内作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，已知棱 AB，AD，AP 两两垂直，长度分别为 1， 2，2若，且向量与夹角的余弦值为 （1）求实数 的值； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 25 （10 分）已知（1+x）2n+1a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1，nN*记 Tn（2k+1）an k （1）求 T2的值； （2）化简 Tn的表达式，并证明：对任意的 nN*，Tn都能被 4n+2 整除 第 5 页（共 23 页） 2020 年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷年
8、江苏省南京师大附中高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上位置上 1 （5 分）集合 A0，ex，B1，0，1，若 ABB，则 x 0 【分析】推导出 AB，ex0，从而 ex1，由此能求出结果 【解答】解：因为集合 A0，ex，B1，0，1，ABB， 所以 AB，又 ex0，所以 ex1，所以 x0 故答案为：0 【点评】本题考查实数值的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 2
9、（5 分）已知复数 z（i 是虚数单位） ，则 z 的虚部是 1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z， 复数 z的虚部是1 故答案为：1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）log24+log42 【分析】利用对数运算性质即可得出 【解答】解：原式2+2+ 故答案为： 【点评】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 第 6 页（共 23 页） 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值，模拟程序的运
10、行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行过程，可得： 第一次运行：k1 时， 第二次运行：k2 时， 第三次运行：此时 k3 满足 k3，退出循环，输出， 故答案为： 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 5 （5 分）在ABC 中，a4，b5，c6，则 1 【分析】利用余弦定理求出 cosC，cosA，即可得出结论 【解答】解：ABC 中，a4，b5，c6， cosC，cosA sinC，sinA， 1 故答案为：1 第 7 页（共 23 页） 【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较
11、基础 6 （5 分）已知函数，0若 f（x）是奇函数，则 的值为 1 【分析】利用两角和的正弦公式化简 f（x）的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求出 的值，可得函数的解析式，从而求得的值 【解答】解：函数2sin（x+） ，0， 若 f（x）是奇函数，则 ， f（x）2sin（x+）2sinx，则2sin1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性，属于基础题 7 （5 分）已知 f（x）|log3x|，若 a，b 满足 f（a1）f（2b1） ，且 a2b，则 a+b 的 最小值为 【分析】若 a，b 满足 f（a1）f（2b1） ，且 a2b，则（a1） （
12、2b1）1，则 b 且 a1，即 a+b，构造函数，利用导数法，可得函数的最小值 【解答】解：f（x）|log3x|，若 a，b 满足 f（a1）f（2b1） ，且 a2b， 则（a1） （2b1）1， 则 b且 a10，即 a1 即 a+ba+， 由令 g（a），则 g（a）， 令 g（a）0，则 a1， 当 a（1，1+）时，g（a）0， 当 a（1+，+）时，g（a）0， 故当 a1+时，g（a）取最小值， 故答案为： 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，难度中 档 8 （5 分）将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3
13、的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号 盒子的概率为 【分析】 基本事件总数 n339， 黑白两球均不在 1 号盒子包含的基本事件总数 m2 24，由此能求出黑白两球均不在 1 号盒子的概率 【解答】解：将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中， 基本事件总数 n339， 黑白两球均不在 1 号盒子包含的基本事件总数 m224， 黑白两球均不在 1 号盒子的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题 9 （5 分）若抛物线 x24y 的焦点到双曲线 C：（a0，b0）的渐近线距离等 于
14、，则双曲线 C 的离心率为 3 【分析】先求出抛物线 x24y 的焦点坐标为（0，1） ，和双曲线的一条渐近线方程为 y x，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出 【解答】解：抛物线 x24y 的焦点坐标为（0，1） ，双曲线 C：（a0，b 0）的一条渐近线方程为 yx， ， e3， 故答案为：3 【点评】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题 10 （5 分）设 m，n 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题： 第 9 页（共 23 页） 若 m，m，则 ； 若 m，m，则 ； 若 m，mn，则 n； 若 m，则 m 其中的正确命题序号是 【分析】在中，
15、与 相交或平行；在中，由面面垂直的判断定理得 ；在 中，n 或 n；在中，由线面垂直的判定定理得 m 【解答】解：由 m，n 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，知： 在中，若 m，m，则 与 相交或平行，故错误； 在中，若 m，m，则由面面垂直的判断定理得 ，故正确； 在中，若 m，mn，则 n 或 n，故错误； 在中，若 m，则由线面垂直的判定定理得 m，故正确 故答案为： 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 11 （5 分）设 x0，y0，向量 （1x，4） ， （x，y） ，若 ，则
16、 x+y 的最小 值为 9 【分析】先根据向量平行得到+1，再利用基本不等式即可求出最值 【解答】解：因为 ， 所以 4x+（1x）y0， 又 x0，y0， 所以+1， 故 x+y（+） （x+y）5+9 当，+1 同时成立，即 x3，y6 时，等号成立 （x+y）min9 故答案为：9 【点评】本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题 12 （5 分）在ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知|，|4，ACB， 则 6 第 10 页（共 23 页） 【分析】用表示出，根据 CP计算 CB，再计算的值 【解答】解：点 P 是边 AB 的中点， +， +， 34+cos+|2，
17、 |2， 42cos4， （+）+6 故答案为：6 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题 13 （5 分）已知正数 a，b，c 满足 b2+2（a+c）bac0，则的最大值为 【分析】由 b2+2（a+c）bac0 得（b+a+c）2ac+（a+c）2+（a+c）2 （a+c）2再解关于 b 的不等式即可 【解答】解：由 b2+2（a+c）bac0 得（b+a+c）2ac+（a+c）2+（a+c） 2 （a+c）2， b+a+c（a+c） ，b（a+c） ， ，当且仅当 ac 时取等 故答案为 【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属中档题 14 （5 分）若（m0）对一切 x4
18、 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （， ） 第 11 页（共 23 页） 【分析】等价于（m2x1） （mx+1）0，m 分1m0，及 m1 两类 讨论，利用函数的单调性即可求得答案 【解答】解：等价于（m2x1） （mx+1）0， x1，x2， 若（m0）对一切 x4 恒成立，则 m0， 当1m0 时，则4，解得1m， 当 m1 时，则4，解得 m1 故答案为： （，） 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查构造函数思想与分类讨论思想的综合运用，考 查导数法判定函数的单调性，属于难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡
19、指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （15 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，AB，BC1，E，F 分别是 AB， PC 的中点，DEPA （）求证：EF平面 PAD； （）求证：平面 PAC平面 PDE 【分析】 （）连接 EC，并延长与 DA 的延长线交于 N，则 E 是 AC 的中点，可得 EF PA，即可证明 EF平面 PAD； （）证明 DE平面 PAC，再证明平面 PAC平面 PDE 【解答】证明： （）连接 EC，并延长与 DA 的延长线交于 N，则 E 是 AB 的中点， 因为 F 是 PC 的中点
20、，（5 分） 第 12 页（共 23 页） 所以 EFPN， 又 EF平面 PAD，PN平面 PAD， 故 EF平面 PAD （7 分） （）设 ACDEG，由AEGCDG 及 E 为 AB 中点得， 又因为 AB，BC1，所以 AC，AGAC 所以， 又BAC 为公共角，所以GAEBAC 所以AGEABC90，即 DEAC （10 分） 又 DEPA，PAACA， 所以 DE平面 PAC （12 分） 又 DE平面 PDE，所以平面 PAC面 PDE （14 分） 【点评】本题以四棱锥为例，考查了空间的直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂 直的判定，属于中档题 16 （15 分）在三角形
21、ABC 中，已知， （1）求角 A 的值； （2）若ABC 的面积为，求边 BC 的长 【分析】 （1）先根据已知条件求出 tanC，再由 tanAtan（B+C）求出 tanA，从而求出 角 A； （2）设 BCa，利用正弦定理得求出 AB，再利用 tanB求出 sinB，所以ABC 的面 积为：S，所以 a1，即 BC1 第 13 页（共 23 页） 【解答】解： （1）在ABC 中，tanB，cosC，C（，） ， sinC，故 tanC3， 所以， 0A，所以 A； （2）由（1）知 A450，设 BCa， 利用正弦定理： 得：AB， 又，解得 sinB， 所以ABC 的面积为：S，
22、所以 a1，即 BC1 【点评】本题主要考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，是中档题 17 （15 分）建造一个容积为 8m3、深为 2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造 价分别为 120 元/m2和 80 元/m2 （1）求总造价 y（单位：元）关于底边一边长 x（单位：m）的函数解析式，并指出函数 的定义域； （2）如果要求总造价不超过 2080 元，求 x 的取值范围； （3）求总造价 y 的最小值 【分析】 （1）底边一边长 x，则另一边长为，由题意可知 y320（x+）+480 （x 0） ； （2）令 y2080 即可求出 x 的取值范围； （3）利用基本不等式
23、求得 x+，当且仅当 x，即 x2 时，等号成立， 从而求出总造价 y 的最小值 【解答】解： （1）底边一边长 x，则另一边长为， 第 14 页（共 23 页） y2（x+）320（x+）+480， 总造价 y 关于底边一边长 x 的函数解析式为：y320（x+）+480 （x0） ； （2）由（1）可知：y320（x+）+480， 令 y2080 得，320（x+）+4802080， 解得：1x4， 当 x1，4时，总造价不超过 2080 元； （3）x0，x+，当且仅当 x，即 x2 时，等号成立， y320（x+）+4803204+4801760， 当 x2 时，总造价 y 的值最小，
24、最小值为 1760 元 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 18 （15 分）在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆1，若圆 O：x2+y2R2（R0）的 一条切线与椭圆 C 有两个交点 A，B，且0 （1）求圆 O 的方程； （2）已知椭圆 C 的上顶点为 M，点 N 在圆 O 上，直线 MN 与椭圆 C 相交于另一点 Q， 且2，求直线 MN 的方程 【分析】 （1）假设圆的切线，与椭圆联立，得出两根之和及两根之积，由数量积为零得 圆的半径，即求出圆的方程； （2）设 Q，N 的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的 关系求出坐标，进而求出直线方程 【解答】
25、解： （1）假设圆的切线的斜率存在时，设切线方程 ykx+b，设 A（x，y） ，B（x， y） 联立与椭圆的方程整理： （1+2k2）x2+4kbx+2b260， 第 15 页（共 23 页） x+x ， xx ， yy k2xx+kb （ x+x ） +b2 +， 因为：0，所以：xx+yy0， 可得 2b26+b26k20，b22+2k2； 又与圆相切，所以R， b2R2（1+k2），由得，2+2k22k2R2+R2， R22， 所以圆的方程 x2+y22； （2）由题意得 M（0，） ，设 Q（m，n） ，N（a，b） ，（a，b） ，（m a，nb） ， 由题意得：， a，b； 而又
26、由题意：，解得：4n2490，n（舍） ，n， m，a，b0，即 N（，0） ， 所以直线 MN 的方程1， 即直线 MN 的方程+0，y+0 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题 19 （15 分）已知函数 （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率为 2，求函数 f（x）的单调区间； （2）若函数 f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求导，由导数的结合意义可求得 a0，进而得到函数解析式，再解关于导 函数的不等式即可得到单调区间； （2）分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解 第 16 页（共 23 页） 【 解 答 】 解 ：（
27、1 ） 函 数f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， + ）， ， 则 f（1）2（a+1）2，解得 a0， f（x）2xlnx+1（x0） ，f（x）2（lnx+1） ， 令 f（x）0，解得；令 f（x）0，解得； 函数 f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为； （2） 函数在区间 （1， e） 上是一条不间断的曲线， 由（1）知，f（x）2（ax+1） （lnx+1） ， 当 a0 时，对任意 x（1，e） ，ax+10，lnx+10，则 f（x）0，故函数 f（x） 在（1，e）上单调递增， 此时对任意的 x（1，e） ，都有成立，从而函数 f（x）在区间（1， e）上无零点
28、； 当 a0 时，令 f（x）0，解得或，其中， （i）若，即 a1，则对任意 x（1，e） ，f（x）0，故函数 f（x）在区间 （1，e）上单调递减， 由题意可得，解得， 其中， 即，故 a 的取值范围为2a1； 若，即，则对任意 x（1，e） ，f（x）0，所以函数 f（x）在 区间（1，e）上单调递增， 此时对任意 x（1，e） ，都有成立，从而函数 f（x）在区间（1， e）上无零点； 若，即，则对任意，所以函数在 区间上单调递增， 第 17 页（共 23 页） 对任意，函数 f（x）在区间上单调递减， 由题意可得，解得， 其中，即，所以 a 的取 值范围为， 综上所述，实数 a 的
29、取值范围为 【点评】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题， 考查分类讨论思想，运算求解能力以及逻辑推理能力，属于中档题目 20 （15 分）已知数列an、bn、cn，对于给定的正整数 k，记 bnanan+k，cnan+an+k （nN*） 若对任意的正整数 n 满足：bnbn+1，且cn是等差数列，则称数列an为“H （k） ”数列 （1）若数列an的前 n 项和为 Snn2，证明：an为 H（k）数列； （2）若数列an为 H（1）数列，且 a11，b11，c25，求数列an的通项公式； （3）若数列an为 H（2）数列，证明：an是等差数列 【分析】 （1
30、）直接利用定义法证明数列为 H（k）数列 （2）利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式 （3）直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列 【解答】证明： （1）当 n2 时，2n1 当 n1 时，a1S11 符合上式， 则：an2n1 所以：bnanan+k， 整理得：bn2k， cnan+an+k4n2k2 则 bnbn+1，cn+1cn4 对任意的正整数 n 满足 bnbn+1，且数列cn，是公差为 4 的等差数列， 所以：数列an为 H（k）数列； （2）由于 a11，b11，c25， 由数列an为 H（1）数列， 则数列cn是等差数列， 第 18 页（共 23 页） 且 c
31、13，c25， 所以：cn2n+1 即 an+an+12n+1 所以：an+1（n+1）ann， 则ann是常数列 所以：a110， 则：ann 验证：bnanan11， 所以：bnbn+1对任意正整数 n 都成立 所以：ann 附：an+an+12n+1， an+1+an+22n+3， 得：an+2an2 所以：a2k1a1+2（k1）2k1 a2ka2+2（k1）2k， 所以：ann 证明： （3）由数列an为 H（2）数列可知：cn是等差数列，记公差为 d cn+2cn（an+2+an+4）（an+an+2）bnbn+22d， 所以：bn+1bn+32d 则： （bnbn+1）+（bn+
32、2bn+3）2d2d0 又 bnbn+1， 所以：bnbn+1， 所以：数列bn为常数列， 则 bnanan+2b1 所以：cnan+an+22anb1 由 cn+1cn2（an+1an）d， 所以： 所以：an是等差数列 【点评】本题考查的知识要点：数列的定义的应用，赋值法的应用，定义性数列的应用， 第 19 页（共 23 页） 主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
33、多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 A，B，且 ABBA （1）求实数 a； （2）求矩阵 B 的特征值 【分析】 （1）AB，BA，进而求解； （2）矩阵 B 的特征多项式为 f（）（2） （1） ，令 f（）0，进而求解 【解答】解： （1）因为 AB ，BA ， 且 ABBA，所以 a0； （2）因为 B，矩阵 B 的特征多项式为 f（）（2） （1） ， 令 f（）0，解得 2，1 【点评】考查矩阵的性质，矩阵的特征值，属于基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 2
34、2 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线为参数） 现以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 【分析】直线为参数）化为普通方程，圆 C 的极坐标方程 2cos 化为 直角坐标方程，求出圆 C 的圆心到直线 l 的距离，即可求弦 AB 的长 【解答】解：直线为参数）化为普通方程为 4x3y0，（2 分） 圆 C 的极坐标方程 2cos 化为直角坐标方程为（x1）2+y21，（4 分） 第 20 页（共 23 页） 则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为，（6 分） 所以（
35、10 分） 【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式， 考查学生的计算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x1，x2，x3（0，+） ，且满足 x1+x2+x33x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x13 【分析】依题意，再利用柯西不等式即可得证 【解答】证明：x1+x2+x33x1x2x3， ， ，当且仅当“x1x2x31”时取等号， 故 x1x2+x2x3+x3x13，即得证 【点评】本题考查柯西不等式的运用，属于基础题 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计
36、 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，已知棱 AB，AD，AP 两两垂直，长度分别为 1， 2，2若，且向量与夹角的余弦值为 （1）求实数 的值； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 【分析】 （1）根据已知条件即可建立坐标系：以 A 为坐标原点，分别以边 AB，AD，AP 第 21 页（共 23 页） 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点 P，A，B，C， D 点的坐标，利用向量与夹角的余弦
37、值为求出 的值 （2）求出平面 PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线 PB 与平面 PCD 所成 角的正弦值 【解答】解：以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立如图所示空间直 角坐标系； 则：A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ；，可得 C（， 2，0） （1）（，2，2） ，（1，2，0） ，向量与夹角的余弦值为 可得，解得 10（舍去）或 2 实数 的值为 2 ； （2）（2，2，2） ，（0，2，2） ，平面 PCD 的法向量 （x，y，z） 则且，即：x+yz0，yz0，x0，不妨去 yz1， 平面 P
38、CD 的法向量 （0，1，1） 又（1，0，2） 故 cos 直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为： 【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，直线和平面所成 角的方法，能求空间点的坐标，向量坐标的数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，理解 平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角，与直线的方向向量和法向量所成角的关系 第 22 页（共 23 页） 25 （10 分）已知（1+x）2n+1a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1，nN*记 Tn（2k+1）an k （1）求 T2的值； （2）化简 Tn的表达式，并证明：对任意的 nN*，Tn都能被 4n+2 整除 【
39、分析】 （1）由二项式定理得 ai，利用公式计算 T2的值； （2）由组合数公式化简 Tn，把 Tn化为（4n+2）的整数倍即可 【解答】解：由二项式定理，得 ai（i0，1，2，2n+1） ； （1）T2a2+3a1+5a0+3+530； （2 分） （2）因为（n+1+k）（n+1+k） （2n+1），（4 分） 所以 Tn（2k+1）ank （2k+1） （2k+1） 2（n+1+k）（2n+1） 2（n+1+k）（2n+1） 2（2n+1）（2n+1） 2（2n+1） （22n+）（2n+1） 22n+1 （2n+1）； （8 分） Tn（2n+1）（2n+1） （+）2（2n+1）； 第 23 页（共 23 页） 因为N*，所以 Tn能被 4n+2 整除； （10 分） 注意：只要得出 Tn（2n+1），就给（8 分） ，不必要看过程 【点评】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题
