1、有 A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5，现用分层抽样的方法招募 n 名志愿者，若在 A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么 n 4 （3 分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的 中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从 双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 5 （3 分）执行如图的伪代码，则输出 x 的值为 6 （3 分）已知 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的取值范围是 7 （3 分）在四边形 ABCD 中，已知 +2 ，4 ，5 3 ，其中， ， 是不共线的向量，则四边形 ABCD
2、 的形状是 8 （3 分）以双曲线1 的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 9（3 分） 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形， 侧面积为 6， 则该圆锥的体积等于 10 （3 分）设公差不为零的等差数列an满足 a37，且 a11，a21，a41 成等比数列， 则 a10等于 11 （3 分）已知 是第四象限角，且 cos，那么的值为 12 （3 分）已知直线 ya（x+2） （a0）与函数 y|cosx|的图象恰有四个公共点 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，其中 x1x2x3x4，则 x4+ 13 （3 分）已知点 P 在圆 M： （xa）2+（
3、ya+2）21 上，A，B 为圆 C：x2+（y4）2 第 2 页（共 25 页） 4 上两动点，且 AB2，则的最小值是 14 （3 分）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2A+sin2B2sin2C，则+的最 小值为 三三.解答题：解答题： 15 （14 分）在ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 （a，sinC sinB） ， （b+c，sinA+sinB） ，且 （1）求角 C 的大小 （2）若 c3，求ABC 的周长的取值范围 16 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，ABAD， ABBC （1）求
4、证：BC平面 PAD； （2）平面 PAD平面 ABCD 17 （14 分）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫现有扶贫工作组 到某山区贫困村实施脱贫工作经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水 果种植，2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水 果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人 数必须小于种植的人数从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（xZ，1x9）从事水 果包装、销售经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高， 而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为
5、（3x）万元（参考数据：1.131.331， 1.1531.521，1.231.728） （1）至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元） ，至少抽出多少户从事包装、销售工作？ （2）至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、 第 3 页（共 25 页） 销售的户数；若不能，请说明理由 18（14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C：+1 （ab0） 的离心率为， 且过点（，） ，点 P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D （1）
6、求椭圆 C 的标准方程； （2）求PCD 面积的最大值 19 （16 分）已知函数 f（x）exx2ax（a0） （1）当 a1 时，求证：对于任意 x0，都有 f（x）0 成立； （2）若函数 yf（x）恰好在 xx1和 xx2两处取得极值，求证：lna 20 （16 分）设等比数列an的公比为 q（q0，q1） ，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3a4， 数列bn的前 n 项和 Tn 满足 2Tnn（bn1） ，nN*，b21 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）是否存在常数 t，使得Sn+为等比数列？说明理由； （3）设 cn，对于任意给定的正整数 k（k2） ，是否存在正整数
7、l，m（klm） ， 使得 ck，c1，cm成等差数列？若存在，求出 l，m（用 k 表示） ，若不存在，说明理由 附加题附加题选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）设旋转变换矩阵 A，若A，求 adbc 的值 选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参数方程数方程 22 （10 分）自极点 O 作射线与直线 cos3 相交于点 M，在 OM 上取一点 P，使 OMOP 第 4 页（共 25 页） 12，若 Q 为曲线（t 为参数）上一点，求 PQ 的最小值 23在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 上的动点 M（x，y） （x0）到点 F（2，0）的距离 减去 M 到直
8、线 x1 的距离等于 1 （1）求曲线 C 的方程； （2）若直线 yk（x+2）与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角 互补 24已知数列an满足 a1，（n2） （1）求数列an的通项公式； （2）设数列an的前 n 项和为 Sn，用数学归纳法证明：Snn+ln（） 第 5 页（共 25 页） 2019 年江苏省无锡市高考数学一模试卷年江苏省无锡市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题：填空题： 1 （3 分）设集合 Ax|x0，Bx|2x1，则 AB x|0x1 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x0，Bx|2x
9、1； ABx|0x1 故答案为：x|0x1 【点评】考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算 2 （3 分）设复数 z 满足 （1+i）z13i（其中 i 是虚数单位） ，则 z 的实部为 1 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（1+i）z13i，得 z， z 的实部为1 故答案为：1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （3 分）有 A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5，现用分层抽样的方法招募 n 名志愿者，若在 A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么 n 36 【分析】学生人数比例为 3：4：5，用
10、分层抽样方法抽取 n 名志愿者，每个个体被抽到的 概率相等，A 高校恰好抽出了 9 名志愿者，即可求出 【解答】解：学生人数比例为 3：4：5， A 高校恰好抽出了 9 名志愿者， n936， 故答案为：36 【点评】一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本这样使得样本更具 有代表性 4 （3 分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的 中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从 第 6 页（共 25 页） 双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，
11、则田忌的马获胜的概率为 【分析】基本事件总数 n339，田忌的马获胜包含的基本事件有：m3 种，由此能 求出田忌的马获胜的概率 【解答】解：现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛， 基本事件总数 n339， 田忌的马获胜包含的基本事件有：m3 种， 田忌的马获胜的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 5 （3 分）执行如图的伪代码，则输出 x 的值为 25 【分析】分析程序的功能，计算 x 的值，根据循环条件得出程序运行后输出的 x 值 【解答】解：模拟程序的运行过程，如下； x0， 执行循环体
12、，x1，x1 不满足条件 x20，执行循环体，x2，x4 不满足条件 x20，执行循环体，x5，x25 满足条件 x20，终止循环，程序运行后输出 x25 故答案为：25 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，考查了对应思想的应用，属于基础题 6 （3 分）已知 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的取值范围是 0，3 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 第 7 页（共 25 页） 【解答】解：由 x，y 满足约束条件作出可行域如图， 化目标函数为 yx+z，由图可知，当直线 yx+z 与原点（0，0）时，z 有最
13、小值 0； 当直线 yx+z 过 A（1，2）时，z 有最大值 3 zx+y 的取值范围是0，3 故答案为：0，3 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 7 （3 分）在四边形 ABCD 中，已知 +2 ，4 ，5 3 ，其中， ， 是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是 梯形 【分析】由已知四边形 ABCD 中，且不 共线，我们可以求出向量，结合向量平行的性质，我们易判断向量与的关系， 进而判断出四边形 ABCD 的形状 【解答】解：， +82 故 AD 与 BC 平行，且长度不等 故四边形 ABCD 是以 AD 和 BC 为底边的梯形 故答案为：梯形
14、【点评】本题考查的知识点是平面向量共线的性质，其中根据2，判断线 段 AD 与 BC 的平行关系及长度关系是解答本题的关键 第 8 页（共 25 页） 8 （3 分）以双曲线1 的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 y212x 【分析】由双曲线的性质，确定抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线标准方程 【解答】解：双曲线1 的右焦点为（3，0） ， 抛物线的焦点为（3，0） ， 抛物线标准方程为 y212x， 故答案为：y212x 【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能 力，比较基础 9 （3 分） 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形， 侧面积为 6， 则该圆锥的体
15、积等于 3 【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为 r，则母线长为 2r，由侧面面积求得 r， 再由圆锥体积公式求解 【解答】解：如图， 设圆锥的底面半径为 r，则母线长为 2r， 高为 则其侧面积 S2r26，解得 r 圆锥的高为 3 其体积 V333， 故答案为：3 【点评】本题考查柱、锥、台体体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题 10 （3 分）设公差不为零的等差数列an满足 a37，且 a11，a21，a41 成等比数列， 则 a10等于 21 【分析】由已知条件得出，并列出有关公差的方程，求出 公差的值，利用等差数列的性质可求出 a10的值 第 9 页（共 25 页）
16、 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，则 d0，则 a1a32d72d，a2a3d 7d，a4a3+d7+d， 由于 a11，a21，a41 成等比数列，则，即（6d）2 （62d） （6+d） ，化简得 d22d0，由于 d0，解得 d2， 因此，a10a3+7d7+7221 故答案为：21 【点评】本题考查等比数列的性质，解决本题的关键在于将题中条件进行转化，考查计 算能力，属于中等题 11 （3 分）已知 是第四象限角，且 cos，那么的值为 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin 的值，再利用诱导公式、两角和的三角 公式求得要求式子的值 【解答】解： 是第四象限角，且 co
17、s，sin， ， 故答案为： 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和的三角公式的应用， 属于基础题 12 （3 分）已知直线 ya（x+2） （a0）与函数 y|cosx|的图象恰有四个公共点 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，其中 x1x2x3x4，则 x4+ 2 【分析】分别作出直线与函数 y|cosx|的图象，可得当直线 ya（x+2）与 y|cosx|的图 象相切，它们恰有四个公共点， D 为切点，运用导数的几何意义和同角的商数关系，即可得到所求值 【解答】解：分别作出直线 ya（x+2） （a0） 与函数 y|co
18、sx|的图象， 第 10 页（共 25 页） 可得当直线 ya（x+2）与 y|cosx|的图象相切， 它们恰有四个公共点， 且 D 为切点， 可得 ycosx 的导数为 ysinx， 即 asinx4，a（x4+2）cosx4， 即 sinx4（x4+2）cosx4， 则 x4+2， 则 x4+2 故答案为：2 【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查导数的几何意义、同角的 商数关系，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题 13 （3 分）已知点 P 在圆 M： （xa）2+（ya+2）21 上，A，B 为圆 C：x2+（y4）2 4 上两动点，且 AB2，则的最小值是 191
19、2 【分析】由向量数量积可得PE2PE23，只需求得 PE 的最小值即可 得的最小值 【解答】解：如图，圆 M： （xa）2+（ya+2）21 的圆心 M 在直线 yx2 上， 圆心 C 到 AB 的距离为 1， 点 C 到直线 yx2 的距离 d， AB 的中点 E 到圆心 M 的最短距离为 31， PE 的最小值为 32 第 11 页（共 25 页） 可 得 （ PE2 PE2 3 的最小值是 1912 故答案为：1912 【点评】本题考查了向量的数量积运算，考查了转化思想，属于难题 14 （3 分）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2A+sin2B2sin2C，则+的最 小值为 【
20、分析】由已知条件结合正弦定理和余弦定理即可求出 3tanAtanC，再利用两角和的正 切三角函数公式求出 tanB，然后利用基本不等式即可求出答案 【解答】解：2sin2A+sin2B2sin2C， 由正弦定理得 2a2+b22c2， 结合余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得 3b4ccosA， 再由正弦定理得 3sinB4sinCcosA， 则 3（sinAcosC+cosAsinC）4sinCcosA，即 3tanAtanC tanBtan（A+C） + 第 12 页（共 25 页） 当且仅当时取等号 +的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了基本不等式
21、的应用，是中档题 三三.解答题：解答题： 15 （14 分）在ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 （a，sinC sinB） ， （b+c，sinA+sinB） ，且 （1）求角 C 的大小 （2）若 c3，求ABC 的周长的取值范围 【分析】 （1）由向量平行的性质，正弦定理可得 a2+b2c2ab，由余弦定理得：cosC ，即可得解 C 的值 （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：a+b+c2sin（A+）+3， 由 0A，利用正弦函数的性质即可求解 【解答】解： （1）由向量 （a，sinCsinB） ， （b+c，sinA+sinB） ，且
22、 ， 得：a（sinA+sinB）（b+c） （sinCsinB） 由正弦定理，得：a（a+b）（b+c） （cb） 化为：a2+b2c2ab，由余弦定理，得：cosC， 所以，C， （2）因为 C， 所以，BA，由 B0，得：0A， 由正弦定理，得：2， ABC 的周长为：a+b+c2（sinA+sinB）+32sinA+sin（A）+3， 2sin（A+）+3， 由 0A，得：A+，sin（A+）1， 第 13 页（共 25 页） 所以，周长 C2sin（A+）+3（6，2+3 【点评】本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的 应用在解三角形中的综合应用，考查了
23、计算能力和转化思想，属于中档题 16 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，ABAD， ABBC （1）求证：BC平面 PAD； （2）平面 PAD平面 ABCD 【分析】 （1）证明 BCAD，然后证明 BC平面 PAD （2）作 DEPA 于 E，说明 DE平面 PAB，推出 DEAB，结合 ADAB，证明 AB 平面 PAD，然后证明平面 PAD平面 ABCD 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 中，因为 ABAD，ABBC， 所以，BCAD，BC 在平面 PAD 外， 所以，BC平面 PAD， （2）作 DEPA 于 E， 因为平面
24、PAD平面 PAB，而平面 PAD平面 PABAB， 所以，DE平面 PAB， 所以，DEAB，又 ADAB，DEADD， 所以，AB平面 PAD， AB 在平面 ABCD 内， 所以，平面 PAD平面 ABCD 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应 用，考查空间想象能力以及计算能力 17 （14 分）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫现有扶贫工作组 到某山区贫困村实施脱贫工作经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水 果种植，2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方
25、面请有关专家对水 果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人 数必须小于种植的人数从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（xZ，1x9）从事水 果包装、销售经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高， 而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 （3x）万元（参考数据：1.131.331， 1.1531.521，1.231.728） （1）至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元） ，至少抽出多少户从事包装、销售工作？ （2）至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能
26、，请求出从事包装、 销售的户数；若不能，请说明理由 【分析】 （1 设至 2020 年底，种植户平均收入16，解不等式得 x，即可求出答案； （2）设至 2018 年底，每户平均收入为 f（x）万元，1.35，解不等式 得 x，即可求出答案 【解答】解： （1）设至 2020 年底，种植户平均收入16， 设其解为 xx020（1） ， 由题意所给数据知 1.151+1.2，解得 3x04， 又 xZ，1x9， 则 x4， 即至少抽取 20 户， 答：至少抽出 20 户从事包装、销售工作， 第 15 页（共 25 页） （2）设至 2018 年底，每户平均收入为 f（x）万元， 则 f（x），
27、假设能达到 1.35 万元，则 f（x）1.35，xZ，1x9， 则1.35， 即 3x230x+700，xZ，1x9， 解得 x4，5，6， 答：当抽出从事包装、销售的户数不少于 20 户且不超过 30 户时，能达到，否则，不能 【点评】本题主要考查函数在实际生活中的应用、也是高考的热点，它可以综合地考查 中学数学思想与方法，体现知识的交汇 18（14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C：+1 （ab0） 的离心率为， 且过点（，） ，点 P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求P
28、CD 面积的最大值 【分析】 （1）利用椭圆的离心率求得，将（，）代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值 （2）设 P（m，n） ，m0，n0，且.可得 S 第 16 页（共 25 页） 设 P 处的切线为：x2y+t0，t0由8y24ty+t240， 16t2+1280t2时SPCD取得最大值， 【解答】解： （1）由已知得， 点（，）代入+1 可得 代入点（，）解得 b21， 椭圆 C 的标准方程： （2）可得 A（2，0） ，B（0，1） 设 P（m，n） ，m0，n0，且. PA：，PB：， 可得 C（0，） ，D（） 由可得 x S 设 P 处的切线为：x2y+t0，t0 8y24
29、ty+t240，16t2+1280t2 此时，方程组的解即点 P（，）时，SPCD取得最大值，最大值为 1 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于难题 19 （16 分）已知函数 f（x）exx2ax（a0） （1）当 a1 时，求证：对于任意 x0，都有 f（x）0 成立； 第 17 页（共 25 页） （2）若函数 yf（x）恰好在 xx1和 xx2两处取得极值，求证：lna 【分析】 （1）先求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出， （2）根据题意可得 x1，x2是方程 f（x）0 的两个实数根，不妨设 x1x2，可以判断 a1，
30、分别根据函数零点存在定理可得 f（x1）f（x2）0，可得a a0， 即可得到 a， 则 f （） （） ， 设 t0，再根据函数 g（t）（2tet）et+1，求导，借助于（1）的结论即可证明 【解答】证明： （1）当 a1 时，f（x）exx2x， 则 f（x）exx1， f（x）ex10， （x0） ， f（x）exx1 单调递增， f（x）f（0）0， f（x）单调递增， f（x）f（0）10， 故对于任意 x0，都有 f（x）0 成立； （2）函数 yf（x）恰好在 xx1和 xx2两处取得极值 x1，x2是方程 f（x）0 的两个实数根，不妨设 x1x2， f（x）exaxa，f（
31、x）exa， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）单调递增，至多有一个实数解，不符合题意， 当 a0 时，f（x）0 的解集为（，lna） ，f（x）0 的解集为（lna，+） ， f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增， f（x）minf（lna）alna， 由题意，应有 f（lna）alna0，解得 a1， 此时 f（1）0， 存在 x1（1，lna）使得 f（x1）0， 当 f（2a1）e2a 12a2， 设 s2a11， 第 18 页（共 25 页） h（s）es（s+1）2， h（s）ess1， 由（1）可知 h（s）h（1）e20， 存在 x2（lna，
32、2a1）使得 f（x2）0， a1 满足题意， f（x1）f（x2）0， aa0， a， f （） a（） ， 设t0， et， 设 g（t）（2tet）et+1， g（t）2（t+1et）et， 由（1）可知，g（t）2（t+1et）et0 恒成立， g（t）单调递减， g（t）g（t）0， 即 f（）0， lna 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、等价转化方法、 对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题 20 （16 分）设等比数列an的公比为 q（q0，q1） ，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3a4， 数列bn的前 n 项和 Tn 满足 2Tnn
33、（bn1） ，nN*，b21 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）是否存在常数 t，使得Sn+为等比数列？说明理由； 第 19 页（共 25 页） （3）设 cn，对于任意给定的正整数 k（k2） ，是否存在正整数 l，m（klm） ， 使得 ck，c1，cm成等差数列？若存在，求出 l，m（用 k 表示） ，若不存在，说明理由 【分析】 （1）等比数列an的公比为 q（q0，q1） ，根据 2a1a3a4，利用通项公式 可得，可得 a1可得通项公式 an数列bn的前 n 项和 Tn 满足 2Tnn （bn1） ，nN*，b21利用 n2 时，2bn2（TnTn1） ，化为： （n2）b
34、n（n1） bn1+1，当 n3 时，两边同除以（n2） （n1） ，可得：， 利用累加求和即可得出 bn （2）由（1）可知：an，q0，q1可得 Sn分类讨论：t 时，计算q 即可得出结论若 t时，则 Sn+ +设A，B （其中 A，B0） q+不为常数，即可判断出结论 （3）由（1）可知：bn2n3cn，假设对于任意给定的正整数 k（k 2） ， 存在正整数 l， m （klm） ， 使得 ck， c1， cm成等差数列 则+， 整理得：2m+1，取 l2k，即可得出结论 【解答】解： （1）等比数列an的公比为 q（q0，q1） ，2a1a3a4， ，可得 a1 anqn 1 数列bn
35、的前 n 项和 Tn 满足 2Tnn（bn1） ，nN*，b21 n2 时，2bn2（TnTn1）n（bn1）（n1） （bn11） ， 化为： （n2）bn（n1）bn1+1， 第 20 页（共 25 页） 当 n3 时，两边同除以（n2） （n1） ，可得：， 利用累加求和可得：b2+1，化为：bn2n3（n3） ， 当 n1 时，2b1b11，解得 b11， 经过验证 n1，2 时也满足 bn2n3 （2）由（1）可知：an，q0，q1 Sn 若 t时，则 Sn+，q 即数列Sn+是公比为 q 的等比数列 若 t时，则 Sn+ 设A，B （其中 A，B0） 则q+不为常数 综上：存在 t
36、时，使得数列Sn+是公比为 q 的等比数列 （3）由（1）可知：bn2n3 cn， 假设对于任意给定的正整数 k（k2） ，存在正整数 l，m（klm） ，使得 ck，c1，cm成 等差数列 则+，整理得：2m+1， 取 l2k，则 2m+1（4k+1） （2k+1） ，解得 m4k2+3k 即存在 l2k，m4k2+3k符合题意 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、累加求和方法、数列递 第 21 页（共 25 页） 推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 附加题附加题选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）设旋转变换矩阵 A，若A，求
37、 adbc 的值 【分析】本题可先将矩阵 A 代入，然后计算等于号左边的两个矩阵相乘，然后根据矩阵 相等得到 a、b、c、d 的值，即可得到结果 【解答】解：由题意，可知： 即： ， adbc（4）（1）322 【点评】本题主要考查矩阵的乘法运算及两个矩阵相等的概念本题属基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）自极点 O 作射线与直线 cos3 相交于点 M，在 OM 上取一点 P，使 OMOP 12，若 Q 为曲线（t 为参数）上一点，求 PQ 的最小值 【分析】先求出点 P 的轨迹的极坐标方程，并化为普通方程，可知点 P 在圆上，求出圆 心到直线的距
38、离，在该距离的基础上减去圆的半径，可得出 PQ 的最小值 【解答】解：设点 P 的极坐标为（，） ，设点 M 的极坐标为（1，） ，由于 OMOP 12，所以，112，则， 由于点 M 在直线 cos3 上，所以，化简得 4cos， 在该极坐标方程两边同时乘以 ，得 24cos，化为普通方程得 x2+y24x， 即（x2）2+y24， 所以，点 P 在圆（x2）2+y24 上， 在曲线（t 为参数）的参数方程中消去参数 t 得 xy+30， 第 22 页（共 25 页） 圆心到该直线的距离为， 因此，PQ 的最小值为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，解决本题的关键在于求出动点的轨迹方程，
39、 属于中等题 23在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 上的动点 M（x，y） （x0）到点 F（2，0）的距离 减去 M 到直线 x1 的距离等于 1 （1）求曲线 C 的方程； （2）若直线 yk（x+2）与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角 互补 【分析】 （1）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点 P 的 轨迹； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 直线与抛物线方程联立化为 k2x2+（4k28）x+4k20， （k0） 由于0，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线 FA 与直线 FB 的 斜率之和 0，即
40、可证明 【解答】解： （1）线 C 上的动点 M（x，y） （x0）到点 F（2，0）的距离减去 M 到直 线 x1 的距离等于 1， 所以动点 M 到直线 x2 的距离与它到点 F（2，0）的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线 y28x， 证明（2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，化为 k2x2+（4k28）x+4k20， （k0） 由于0， x1+x2，x1x24 直线FA与直线FB的斜率之和 ， 第 23 页（共 25 页） 分子k（2x1x28）0， 直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为 0， 直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补 【点评】本题
41、考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率 计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 24已知数列an满足 a1，（n2） （1）求数列an的通项公式； （2）设数列an的前 n 项和为 Sn，用数学归纳法证明：Snn+ln（） 【分析】 （1）由， （n2） 化简可得1，利用等 差数列的通项公式可得 an与 Sn （2）由（1）可得 Sn，下面利用数学归纳法证明：Snn+ln（） n1 时， 左边S1，根据 5lne6ln20，可得ln2可得 n1 时不等式成立 假设 nkN*时成立， 即 Skk+ln 则 nk+1 时， Sk+1Sk+1k+1+ ln，下面证明
42、：+lnln，即证明：， 令x令 f（x）xln（1+x） ，x利用导数研究函数的单调 性即可证明结论 【解答】解： （1）， （n2） 第 24 页（共 25 页） 1+， 1， a1，a11， 数列是以3 为首项，以1 为公差的等差数列， 3（n1）2n， 可得 an1 （2）由（1）可得：Snn 下面利用数学归纳法证明：Snn+ln（） n1 时，左边S1，5lne6ln20， ln2 右边1+ln2+ln2左边 此时不等式成立 假设 nkN*时成立，即 Skk+ln 则 nk+1 时，Sk+1Sk+1k+1+ln， 下面证明：k+1+lnk+1+ln， 即证明：+lnln， 即证明：， 令x 令 f（x）xln（1+x） ，x f（x）10， 函数 f（x）在 x内单调递增 f（x）f（0）0 第 25 页（共 25 页） xln（1+x） ，即成立， 因此 nk+1 时不等式也成立 综上可得：不等式对于nN*都成立 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数学归纳法、利用导数研究 函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难 题
