1、某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5，现用 分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件那么此样本的容 量 n 4 （5 分） 从 1， 2， 3 中任选两个数字构成一个两位数， 则该两位数是偶数的概率为 5 （5 分）如图所示流程图中，若输入 x 的值为4，则输出 c 的值为 6 （5 分）若双曲线的离心率为 2，则实数 m 的值为 7 （5 分）已知 yf（x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）ex+1，则 f（ln2） 的值为 8 （5 分）已知等比数列an为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a
2、22，S37，则 a5 的值为 9 （5 分）如图，PA平面 ABC，ACBC，PA4，BC1，E，F 分别为 AB， PC 的中点，则三棱锥 BEFC 的体积为 第 2 页（共 25 页） 10 （5 分）设 A（x，y）|3x+4y7，点 PA，过点 P 引圆（x+1）2+y2r2（r0）的 两条切线 PA，PB，若APB 的最大值为，则 r 的值为 11 （5 分）设函数，其中 0若函数 f（x）在0，2上恰有 2 个 零点，则 的取值范围是 12 （5 分）若正实数 a，b，c 满足 aba+2b，abca+2b+c，则 c 的最大值为 13 （5 分）设函数 f（x）x3a2x（a0
3、，x0） ，O 为坐标原点，A（3，1） ，C（a，0） 若 对此函数图象上的任意一点 B，都满足成立，则 a 的值为 14 （5 分）若数列an满足 a10，a4n1a4n2a4n2a4n33， 其中 nN*，且对任意 nN*都有 anm 成立，则 m 的最小值为 二、 解答题 （本大题共二、 解答题 （本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 （14 分）在ABC 中，设 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，记
4、ABC 的面积为 S， 且 （1）求角 A 的大小； （2）若 c7，求 a 的值 16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D、E 分别是棱 BC、CC1上的点（点 D 不同于点 C） ，且 ADDE，F 为棱 B1C1上的点，且 A1FB1C1 求证： （1）平面 ADE平面 BCC1B1； （2）A1F平面 ADE 第 3 页（共 25 页） 17 （14 分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的 号召，对环境进行了大力整治目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外 地游客某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园数据
5、显示， 近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 ，其中 x 为每天的时刻若在凌晨 6 点 时刻，测得空气质量指数为 29.6 （1）求实数 m 的值； （2）求近期每天在4，22时段空气质量指数最高的时刻 （参考数值：ln61.8） 18 （16 分）已知椭圆的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间 的距离为 8，直线 l：yk（xm） （mR）与椭圆 C 相交于 P、Q 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k2 若 m0，求 k1k2的值； 若，求实数 m 的值 19 （16 分）若函数 yf（x）在 xx0处取得极大值或极小值
6、，则称 x0为函数 yf（x）的 极值点设函数 f（x）x3tx2+1（tR） （1）若函数 f（x）在（0，1）上无极值点，求 t 的取值范围； （2）求证：对任意实数 t，在函数 f（x）的图象上总存在两条切线相互平行； （3）当 t3 时，若函数 f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，间；这样 的平行切线共有几组？请说明理由 20 （16 分）已知数列an，其中 nN* （1）若an满足 第 4 页（共 25 页） 当 q2，且 a11 时，求 a4的值； 若存在互不相等的正整数 r，s，t，满足 2sr+t，且 ar，as，at成等差数列，求 q 的值 （2）设数列an的
7、前 n 项和为 bn，数列bn的前 n 项和为 cn，cnbn+23，nN*，若 a11，a22，且恒成立，求 k 的最小值 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）直线 l：2xy+30 经过矩阵 M变换后还是直线 l，求矩阵 M 的特征 值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2cos以极点 O 为原点，极轴 Ox 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 求直线 l 被圆 C 截得的弦长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 x、y、z
8、，满足 x+y+z3xyz，求 xy+yz+xz 的最小值 必做题必做题（第（第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）分请把答案写在答题纸的指定区域内） 24 （10 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AD1， ，点 E 是棱 PB 的中点 （1）求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值； （2）求二面角 BECD 的余弦值 25 （ 10分 ） 已 知 数 列 an 满 足a1 1 ， a2 3 ， 且 对 任 意 nN*， 都 有 成立 第 5 页（共 25 页） （1）求 a3的值；
9、（2）证明：数列an是等差数列 第 6 页（共 25 页） 2019 年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分.不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）答题纸的指定位置上） 1 （5 分）已知集合 A（，1，B1，1，2，则 AB 1，1 【分析】逐一判断元素与两集合的关系，再求交集得解 【解答】解：因为：1A，1B， 1A，1B， 2B，2A， 故 AB1，1， 故答案为：1
10、，1 【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题 2 （5 分）设复数 za+i（其中 i 为虚数单位） ，若，则实数 a 的值为 1 【分析】由已知得 a21，得 a1 【解答】解：za+i， a2+12，a21，a1 故答案为：1 【点评】本题考查了复数的运算性质，属基础题 3 （5 分）某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5，现用 分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件那么此样本的容 量 n 80 【分析】根据数量比 2：3：5 得到 A 被抽的比例，进而得到抽到的数量 【解答】解：n n80 故答案是 80 【点评】
11、本题主要考查分层抽样方法 4 （5 分）从 1，2，3 中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为 【分析】先写出从 1，2，3 中任选两个数字构成一个两位数，再找出两位数是偶数，然 第 7 页（共 25 页） 后相比就可以了 【解答】解：从 1，2，3 中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13，23，21，31， 32，共 6 个基本事件， 其中满足条件的有 2 个， 故两位数是偶数的概率为： 【点评】从 1，2，3 中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为 p（A） 5 （5 分）如图所示流程图中，若输入 x 的值为4，则输出 c 的值为 4 【分析】模拟流程
12、图的运行过程，即可得出程序运行后输出的 c 值 【解答】解：模拟流程图的运行过程如下， 输入 x4 时，x4+22， x2+20， x0+22， c224， 则输出 c4 故答案为：4 【点评】本题考查了程序运行的应用问题，是基础题 6 （5 分）若双曲线的离心率为 2，则实数 m 的值为 6 【分析】由双曲线的离心率为 2，利用双曲线的简单性质，由已知条件能求出实数 m 的 第 8 页（共 25 页） 值 【解答】解：双曲线的离心率为 2， 2， 解得 m6 故答案为：6 【点评】本题考查双曲线中实数 m 的值的求法，解题时要认真审题，熟练掌握双曲线线 的简单性质，是基础题 7 （5 分）已
13、知 yf（x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）ex+1，则 f（ln2） 的值为 3 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（ln2）的值，又由函数为奇函数，可得 f（ ln2）f（ln2） ，计算可得答案 【解答】解；根据题意，当 x0 时，f（x）ex+1，则 f（ln2）eln2+13； 又由函数 f（x）为奇函数，则 f（ln2）f（ln2）3； 故答案为：3 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题 8 （5 分）已知等比数列an为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a22，S37，则 a5 的值为 16 【分析】利用等比数
14、列的通项公式、前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此 能求出 a5 【解答】解：等比数列an为单调递增数列， 设其前 n 项和为 Sn，a22，S37， ， 解得 a11，q2， a512416 故答案为：16 【点评】本题考查数列的第 5 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能 第 9 页（共 25 页） 力与计算能力，属于基础题 9 （5 分）如图，PA平面 ABC，ACBC，PA4，BC1，E，F 分别为 AB， PC 的中点，则三棱锥 BEFC 的体积为 【分析】推导出，F 到平面 ABC 的距离 d2， 三棱锥 BEFC 的体积为 VBEFCVFBCE，由此能求
15、出三棱锥 BEFC 的体积 【解答】解：PA平面 ABC，ACBC，PA4， BC1，E，F 分别为 AB，PC 的中点， ， F 到平面 ABC 的距离 d2， 三棱锥 BEFC 的体积为： VBEFCVFBCE 故选： 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系， 考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 10 （5 分）设 A（x，y）|3x+4y7，点 PA，过点 P 引圆（x+1）2+y2r2（r0）的 两条切线 PA，PB，若APB 的最大值为，则 r 的值为 1 【分析】根据题意，设直线 l 为 3x+4y7，圆（x+1）2+y2r2的圆心为
16、M；由二元一次 不等式的几何意义可得集合 A 的几何意义， 进而分析可得若APB 的最大值为， 必有 MP 的距离最小，此时 P 在直线 3x+4y7 上且 MP 与直线 l 垂直，结合直线与圆的位置 关系分析可得答案 【解答】解：根据题意，设直线 l 为 3x+4y7，圆（x+1）2+y2r2的圆心为 M， 则 A（x，y）|3x+4y7，为直线 3x+4y7 的上方以及直线部分， 第 10 页（共 25 页） 过点 P 引圆（x+1）2+y2r2（r0）的两条切线 PA，PB，若APB 的最大值为，必 有 MP 的距离最小， 此时 P 在直线 3x+4y7 上且 MP 与直线 l 垂直，
17、此时|MP|2，APMAPB， 则有 r|MP|sinAPM21， 即 r 的值为 1； 故答案为：1 【点评】本题考查直线与圆的方程和位置关系，注意分析APB 取得最大值的条件 11 （5 分）设函数，其中 0若函数 f（x）在0，2上恰有 2 个 零点，则 的取值范围是 ，） 【分析】根据题意，设 f（x）在 y 轴右侧与 x 轴的第二个交点横坐标为 ，第三个交点的 横坐标为 ，则有 +2，+3，解可得 ，结合 题意分析可得2，解可得 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，设在 y 轴右侧与 x 轴的第二个交点横坐标 为 ，第三个交点的横坐标为 ， 则有 +2，+3， 解可得 ， 第 1
18、1 页（共 25 页） 若函数 f（x）在0，2上恰有 2 个零点，则2， 解可得：， 即 的取值范围为，） ； 故答案为：，） 【点评】本题考查正弦函数的图象变换，涉及函数的零点，注意结合正弦函数的图象分 析 12 （5 分）若正实数 a，b，c 满足 aba+2b，abca+2b+c，则 c 的最大值为 【分析】由 aba+2b可求 ab 的范围，而 abca+2b+c，可求 c，可求 【解答】解：aba+2b，a0，b0， ab8， 1， abca+2b+c， （ab1）ca+2b， c1+的最大值 故答案为： 【点评】本题主要考查了不等式的性质及基本不等式的求解，属于基础试题 13 （
19、5 分）设函数 f（x）x3a2x（a0，x0） ，O 为坐标原点，A（3，1） ，C（a，0） 若 对此函数图象上的任意一点 B，都满足成立，则 a 的值为 【分析】先设 B（x，x3a2x） ， （xa） （x2+ax3）0，再利用高次不等式的解法，及 韦达定理讨论方程 x2+ax30 的正根的值即可， 【解答】解：设 B（x，x3a2x） ，由向量的数量积运算有： 则（3，1） ，（x，x3a2x） ，（a，0） ，（xa，x3a2x） ， 因为， 所以0， 即 3（xa）（x3a2x）0， 第 12 页（共 25 页） 即（xa） （x2+ax3）0， 又 a0，由韦达定理可得， 方程
20、 x2+ax30 有一正根，一负根， 由高次不等式可得： 不等式（xa） （x2+ax3）0，在 x0 时恒成立， 则：xa 为方程 x2+ax30 的正根， 即 2a230， 又 a0， 则 a， 故答案为： 【点评】本题考查了向量的数量积运算及高次不等式的解法，属中档题 14 （5 分）若数列an满足 a10，a4n1a4n2a4n2a4n33， 其中 nN*，且对任意 nN*都有 anm 成立，则 m 的最小值为 8 【分析】根据题意，分析数列an的前 5 项，结合递推公式分析可得在 a4n3、a4n2、a4n 1、a4n中，最大为 a4n1，设 bna4n1，分析可得 b1a36，且
21、bn+1bn+6，将其变 形可得 bn+18（bn8） ，分析可得数列bn8为首项为 682，公比为的等比数列， 结合等比数列的通项公式求出数列bn通项公式，则有 a4n18，据此分析 an m 恒成立可得答案 【解答】解：根据题意，数列an满足 a10，a4n1a4n2a4n2a4n33， ； 当 n1 时，有 a3a2a2a13，则 a23，a36，a43，a5， 分析可得：在 a4n3、a4n2、a4n1、a4n中，最大为 a4n1， 设 bna4n1，则有 b1a36， 第 13 页（共 25 页） 且 bn+1bn+6， 变形可得： bn+18 （bn8） ，分析可得数列bn8为首项
22、为 682，公比为的 等比数列， 则 bn8（2）（）n 1 ， 则 bn8， 则 a4n18， 若对任意 nN*都有 anm 成立，则 m8，即 m 的最小值为 8； 故答案为：8 【点评】本题考查数列的递推公式，注意分析数列a4n1的通项公式，属于综合题 二、 解答题 （本大题共二、 解答题 （本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 （14 分）在ABC 中，设 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，记ABC
23、的面积为 S， 且 （1）求角 A 的大小； （2）若 c7，求 a 的值 【分析】 （1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得 bcsinAbccosA，结合范 围 A（0，） ，可求 tanA1，进而可求 A 的值 （2）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，由正弦定理可求得 a 的值 【解答】解： （1）由，得 bcsinAbccosA， 因为 A（0，） ， 所以 tanA1， 可得：A（6 分） （2）ABC 中，cosB， 所以 sinB， 第 14 页（共 25 页） 所以：sinCsin（A+B）sinAcosB+cosA
24、sinB，（10 分） 由正弦定理，得，解得 a5，（14 分） （评分细则：第一问解答中不交代“A（0，） ”而直接得到“A”的，扣（1 分） ； 第二问解答中不交代“由正弦定理得的” ，扣（1 分） ） 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本 关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转 化思想，属于基础题 16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D、E 分别是棱 BC、CC1上的点（点 D 不同于点 C） ，且 ADDE，F 为棱 B1C1上的点，且 A1FB1C1 求证： （1）平面 ADE平面 B
25、CC1B1； （2）A1F平面 ADE 【分析】 （1）推导出 BB1AD， ADDE，从而 AD平面 BCC1B1，由此能证明平面 ADE 平面 BCC1B1 （2）推导出 BB1平面 A1B1C1，BB1A1F，A1FB1C1，从而 A1F平面 BCC1B1，再 由 AD平面 BCC1B1，得 A1FAD，由此能证明 A1F平面 ADE 【解答】证明： （1）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1平面 ABC，（2 分） 因为 AD平面 ABC，所以 BB1AD， 又因为 ADDE，在平面 BCC1B1中，BB1与 DE 相交， 所以 AD平面 BCC1B1， 又因为 AD平面 ADE，
26、所以平面 ADE平面 BCC1B1（6 分） 解： （2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1平面 A1B1C1，（8 分） 第 15 页（共 25 页） 因为 A1F平面 A1B1C1，所以 BB1A1F， 又因为 A1FB1C1， 在平面 BCC1B1中，BB1B1C1B1， 所以 A1F平面 BCC1B1，（10 分） 在（1）中已证得 AD平面 BCC1B1， 所以 A1FAD，又因为 A1F平面 ADE，AD平面 ADE， 所以 A1F平面 ADE（14 分） 【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，
27、是中档题 17 （14 分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的 号召，对环境进行了大力整治目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外 地游客某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园数据显示， 近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 ，其中 x 为每天的时刻若在凌晨 6 点 时刻，测得空气质量指数为 29.6 （1）求实数 m 的值； （2）求近期每天在4，22时段空气质量指数最高的时刻 （参考数值：ln61.8） 【分析】 （1）将 x6 代入，可得 m 的值， （2）根据导数和函数最值的关系即可求出 【解答】 解：（1） 由题 f （
28、6） 29.6， 代入， 解得 m12， （2） 由已知函数求导得： f （x） +600 （12x）（+） 令 f（x）0 得 x12， x （4，12） 12 （12，22） f（x） + 0 f（x） 单调递增 极大值 单调递减 所以函数在 x12 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12 时 第 16 页（共 25 页） 答： （1）实数 m 的值为 12； （2）每天空气质量指数最高的时刻为 12 时 【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了导数和函数的最值的关系，属于 中档题 18 （16 分）已知椭圆的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间 的距离为 8，
29、直线 l：yk（xm） （mR）与椭圆 C 相交于 P、Q 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k2 若 m0，求 k1k2的值； 若，求实数 m 的值 【分析】 （1）由焦距可求出 c 的值，再由两准线间的距离可得出 a 的值，进而求出 b 的 值，从而得到椭圆 C 的方程； （2）由 m0，可得点 P 和点 Q 关于原点对称，设 P（x0，y0） ，可得出点 Q（x0， y0） ，代入椭圆 C 的方程可得，然后利用两点连线的斜率公式可得出 k1k2 的值； 方法一：写出直线 AP 的方程为 yk1（x+2） ，将该直线方程与
30、椭圆 C 的方程联立，可 求出点 P 的坐标，再由，得，将 k2代入点 P 的坐标化简后可得出 点 Q 的坐标，再由 P、Q、M 三点共线，得，结合向量的坐标运算可求出 m 的 值； 方法二：将直线 l 的方程代入椭圆的方程，消去 y，列出韦达定理，由两点的斜率公式结 合，将韦达定理代入化简计算可得出 m 的值 【解答】解： （1）椭圆 C 中，2c2，两准线间的距离为，得， 所以 a2，c1，所以， 因此椭圆 C 的方程为； （2）设点 P（x0，y0） ，由于 m0，则 Q（x0，y0） ， 第 17 页（共 25 页） 由，得 所以 由得 A（2，0） 方法一：设点 P（x1，y1） ，
31、设直线 AP 的方程为 yk1（x+2） ， 联立，消去 y 得， 由韦达定理可得，所以， 代入直线 AP 的方程得，所以， 由，得，整体代换得 设 M（m，0） ，由 P、Q、M 三点共线得， 即， 化简得，所以，m1； 方法二：设点 P（x1，y1） 、Q（x2，y2） ，联立， 消去 y 得（4k2+3）x28k2mx+4k2m2120， 由韦达定理可得， 而 ， 第 18 页（共 25 页） 化简得，得 m2k2+mk22k20，显然 k20， 所以 m2+m20，解得 m1 或 m2（舍去） 此时0，因此 m1 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理的应用，考查计算能力与
32、推理 能力，属于难题 19 （16 分）若函数 yf（x）在 xx0处取得极大值或极小值，则称 x0为函数 yf（x）的 极值点设函数 f（x）x3tx2+1（tR） （1）若函数 f（x）在（0，1）上无极值点，求 t 的取值范围； （2）求证：对任意实数 t，在函数 f（x）的图象上总存在两条切线相互平行； （3）当 t3 时，若函数 f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，间；这样 的平行切线共有几组？请说明理由 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出 t 的范围即可； （2）假设平行，求出函数的导数，结合二次函数的性质得出矛盾，判断即可； （3）代入 t
33、的值，令（0） ，问题转化为（1） （28+10）0，判 断即可 【解答】解： （1）由函数 f（x）x3tx2+1，得 f（x）3x22tx， 由 f（x）0，得 x0，或 xt， 因函数 f（x）在（0，1）上无极值点，所以t0 或t1， 解得 t0 或 t（4 分） （2）方法一：令 f（x）3x22txp，即 3x22txp0，4t2+12p， 当 p 时 ， 0 ， 此 时 3x2 2tx p 0 存 在 不 同 的 两 个 解 x1， x2（8 分） （方法二：由（1）知 f（x）3x22tx，令 f（x）1，则 3x22tx10， 所以0，即对任意实数 t，f（x）1 总有两个不
34、同的实数根 x1，x2， 所 以 不 论t为 何 值 ， 函 数f （ x ） 在 两 点x x1， x x2处 的 切 线 平 行8 分） 设这两条切线方程为分别为 y（32tx1）x2+t+1 和 y（32tx2） 第 19 页（共 25 页） x2+t+1， 若两切线重合，则2+t+12+t+1， 即 2x1x2t（x1+x2） ， 而 x1+x2，化简得 x1x2， 此时4x1x20，与 x1x2矛盾， 所以，这两条切线不重合， 综上，对任意实数 t，函数 f（x）的图象总存在两条切线相互平行（10 分） （3）当 t3 时，f（x）x33x2+1，f（x）3x26x， 由（2）知 x
35、1+x22 时，两切线平行 设 A（x1，3+1） ，B（x2，3+1） ，不妨设 x1x2， 过点A的切线方程为：y（36x1）x 2+3+1（11 分） 所以，两条平行线间的距离 d， 化简得1+9，（13 分） 令（0） ，则 319（1）2， 即（1） （2+1）9（1）2，即（1） （28+10）0， 显然 1 为一解，28+100 有两个异于 1 的正根， 所以这样的 有 3 解，而（0） ，x1x2，x1+x22， 所以 x1有 3 解，所以满足此条件的平行切线共有 3 组（16 分） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查直 线的位置关系，是
36、一道综合题 20 （16 分）已知数列an，其中 nN* （1）若an满足 第 20 页（共 25 页） 当 q2，且 a11 时，求 a4的值； 若存在互不相等的正整数 r，s，t，满足 2sr+t，且 ar，as，at成等差数列，求 q 的值 （2）设数列an的前 n 项和为 bn，数列bn的前 n 项和为 cn，cnbn+23，nN*，若 a11，a22，且恒成立，求 k 的最小值 【分析】 （1）由 n1，2，3，计算累加可得所求值； 运用累加法和等比数列的求和公式，及基本不等式即可得到所求值； （2）运用作差法和变形，对 n 分类讨论可得所求最小值 【解答】解： （1）由an满足，
37、可得 a4a34，a3a22，a2a11，累加可得 a48； 因，可得 anan1qn 2， a2a11，q1 时，ann，满足题意； 当 q1 时，累加得 an+1+a1， 所以 an+a1， 若存在 r，s，t 满足条件，化简得 2qsqr+qt， 即 2qr s+qts2 2， 此时 q1（舍去） ， 综上所述，符合条件 q 的值为 1； （2）由 cnbn+23，可知 cn+1bn+33， 两式作差可得：bn+3bn+2+bn+1，又 b1a1c11，b2a1+a2，c2b1+b2， 可得 c11，c24， 可知 b34，b47，故 b3b2+b1， 所以 bn+2bn+1+bn对一切
38、的 nN*恒成立， 对 bn+3bn+2+bn+1，bn+2bn+1+bn， 两式进行作差可得 an+3an+2+an+1， 又由 b34，b47 可知 a31，a43， 故 an+2an+1+an（n2） ， 第 21 页（共 25 页） 又由 an+22an+1an+3（an+1+an）2an+1（an+2+an+1） （an+1+an）2an+1（an+2an+1）an+12+anan+2，n2， 所以|an+22an1an+3|an+12anan+2|， 所以当 n2 时|an+12anan+2|5， 当 n1 时|an+12anan+2|3，故 k 的最小值为 5 【点评】本题考查等
39、差数列和等比数列的综合，考查方程思想和运算能力，属于难题 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）直线 l：2xy+30 经过矩阵 M变换后还是直线 l，求矩阵 M 的特征 值 【分析】 设直线 l 上一点 （x， y） ， 经矩阵 M 变换后得到点 （x， y） ， 从而， 由变换后的直线还是直线 l，将点（x，y）代入直线 l 的方程，求出 a，d1， 从而矩阵 M 的特征多项式 f（）（a） （d）0，由此能求出矩 阵的 M 的特征值 【解答】解：设直线 l 上一点（x，y） ，经矩阵 M 变换后得到点（x，y） ， 所以，即， 因为变换后的直线还是直线 l，将点（x
40、，y）代入直线 l 的方程， 于是 2ax（x+dy）+30， 即（2a1）xdy+30，所以， 解得 a，d1，（6 分） 所以矩阵 M 的特征多项式 f（）（a） （d）0， 解 得 a ， 或 d ， 所 以 矩 阵 的M的 特 征 值 为与 1（10 分） 【点评】该题考查矩阵的特征值的求法，考查矩阵变换、矩阵的特征多项式等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2cos以极点 O 为原点，极轴 Ox 第 22 页（共 25 页） 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直线
41、l 的参数方程为（t 为参数） ， 求直线 l 被圆 C 截得的弦长 【分析】将极坐标方程转化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线的直角坐标方程， 求出圆心到直线 l 的距离 d，从而求出弦长即可 【解答】解：由 2cos，得 22cos， 所以 x2+y22x0， 所以圆 C 的普通方程为（x1）2+y21， 圆心 C（1，0） ，半径 r1，（3 分） 又，消去参数 t， 得直线 l 方程为：x+y20，（6 分） 所以圆心到直线 l 的距离 d， 所以直线 l被圆C 截得的弦长为： 2 （10 分） 【点评】本题考查了圆的极坐标方程和普通方程的转化，考查直线的参数方程和普通方 程的转化以
42、及求弦长问题，是一道常规题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 x、y、z，满足 x+y+z3xyz，求 xy+yz+xz 的最小值 【分析】由已知可得3，然后结合柯西不等式可得 xy+yz+xz（xy+yz+xz） （）（1+1+1）2，可求 【解答】解：因为 x+y+z3xyz， 所以3，（5 分） 又 xy+yz+xz 第 23 页（共 25 页） 由柯西不等式可得， （xy+yz+xz） （）（1+1+1）29， 所以 xy+xz+yz3，当且仅当 xyz1 时取等号， 所以，xy+xz+yz 的最小值为 3（10 分） 【点评】本题主要考查了柯西不等式在求解最值
43、中的应用，属于基础试题 必做题必做题（第（第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）分请把答案写在答题纸的指定区域内） 24 （10 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AD1， ，点 E 是棱 PB 的中点 （1）求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值； （2）求二面角 BECD 的余弦值 【分析】 （1）由 PA底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，可得 AB，AD，AP 两两垂直， 以 A 为原点，AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出的 坐标，由数量积
44、求夹角公式可得异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值； （2）分别求出平面 BEC 与平面 DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二 面角 BECD 的余弦值 【解答】解： （1）PA底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，AB，AD，AP 两两垂直， 以 A 为原点，AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 又AD1， A（0，0，0） ，B（，0，0） ，C（，1，0） ，D（0，1，0） ，P（0，0，） ， E 为棱 PB 的中点，E（，） （，1，） ，（0，1，） ， 第 24 页（共 25 页） cos， 异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值为； （2）由（1）得（，1，） ， 设平面 BEC 的法向量为，
