1、已知集合 S，则 ST（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数，则 z 的虚部为（ ） A B C D 3 （5 分）设 a，bR，则 ab 是|a|b 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A20+2 B20+2 C16+2 D16+2 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S101，S307，则 S40（ ） A5 B10 C15 D20 6 （5 分）如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x1 及曲线 y
2、ex1 围成，现向矩形区域 OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ） A B C D 第 2 页（共 24 页） 7 （5 分）在椭圆1 内，通过点 M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为 （ ） A9x16y+70 B16x+9y250 C9x+16y250 D16x9y70 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 x0，y0，n1，则输出的 x，y 的值满足 （ ） A B C Dxy2 9 （5 分）已知 a0，b0，并且成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ） A16 B12 C9 D8 10 （5 分）已知点 M 的坐标（x，y）满足不等式组，N 为直
3、线 y2x+2 上 任一点，则|MN|的最小值是（ ） A B C1 D 11 （5 分）已知偶函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，且满足 f（2）0，当 x0 时， xf（x）2f（x） ，则使得 f（x）0 的 x 的取值范围为（ ） A （，2）（0，2） B （，2）（2，+） C （2，0）（0，2） D （2，0）（2，+） 12 （5 分）如图，正方形 ABCD 内接于圆 O：x2+y22，M，N 分别为边 AB，BC 的中点， 已知点 P（2，0） ，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时，的取值范围是（ ） 第 3 页（共 24 页） A1，1 B C2，2 D
4、二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量 （2，1） ， （1，3） ， （3，2） ，若，则 14 （5 分）已知函数 f（x）asinx（aR） ，若函数 f（x）在（0，）的零点个数为 2 个，则当 x0，f（x）的最大值为 15 （5 分）若二项式的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常 数项为 16 （5 分）已知双曲线的左右顶点分别是 A、B，右焦点 F，过 F 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M、N 两点，P 为直线 l 上的点，当APB 的外接圆面 积达到最小时，点 P
5、恰好落在 M（或 N）处，则双曲线的离心率是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，已知 a2+b2c24S （1）求角 C； （2）若 c2，求ba 的取值范围 18 （12 分）如图，边长为 3 的正方形 A
6、BCD 所在平面与等腰直角三角形 ABE 所在平面互 相垂直，AEAB，且， （）求证：MN平面 BEC； （）求二面角 NMEC 的余弦值 第 4 页（共 24 页） 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线 yk（x+1）与 C 相切于点 A，|AF|2 （）求抛物线 C 的方程； （）设直线 l 交 C 于 M，N 两点，T 是 MN 的中点，若|MN|8，求点 T 到 y 轴距离的 最小值及此时直线 l 的方程 20 （12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀 硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出
7、反面，棋子向前跳出两站， 直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望； （2）证明：； （3）求 P99，P100的值 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+xax2，aR （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求 a 的值； （2）设 g（x）f（x）+（a3）x，试讨论函数 g（x）的单调性； （3） 当 a2 时， 若存在正实数 x1， x2满足 f （x1） +f （x2） +3x1x20， 求证： x1+x2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分
8、分.请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按照所做的如果多做，那么按照所做的 第一题计分第一题计分. 22（10 分） 在平面直角坐标系中， 曲线（ 为参数） 经过伸缩变换 得到曲线 C2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C2的普通方程； （） 设曲线 C3的极坐标方程为， 且曲线 C3与曲线 C2相交于 M， N 两点，点 P（1，0） ，求的值 第 5 页（共 24 页） 23已知函数 f（x）|x+1|x5| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）tx2x 的解集非空，求 t 的取值范围 第 6 页
9、（共 24 页） 2020 年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科）年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项. 1 （5 分）已知集合 S，则 ST（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 【分析】解不等式求出集合 T，根据交集的定义写出 ST 【解答】解：集合 S1，2，3， Tx|0x|1x3，
10、则 ST1，2 故选：B 【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数，则 z 的虚部为（ ） A B C D 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 则 z 的虚部为： 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）设 a，bR，则 ab 是|a|b 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到 结果 【解答】解：若 ab0，则|a|ab，|a|b；
11、若 ba0，则|a|a0b，|a|b； 第 7 页（共 24 页） 若 a0b，则|a|a0b，|a|b； 或由|a|a，ab 可得|a|b，可知充分条件成立； 当 a3，b2 时，则|a|b，此时 ab，可知必要条件不成立； ab 是|a|b 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题 4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A20+2 B20+2 C16+2 D16+2 【分析】 ：由三视图可知：该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为 2，4， 高为 2 的直角梯形，棱柱的高为 2即可得出 【解答】解：由三视
12、图可知：该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为 2， 4，高为 2 的直角梯形，棱柱的高为 2 S12+22+2+22+16+2， 故选：C 【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱柱的表面积计算公式，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S101，S307，则 S40（ ） A5 B10 C15 D20 【 分 析 】 推 导 出 S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30成 等 比 数 列 ， 从 而 ，求出 S203，由此能求出 S40 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，S101，S307，
13、 S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列， 1，S201，7S20，S307 成等比数列， 第 8 页（共 24 页） ， 解得 S203（或 S202，舍） ， S10，S20S10，S30S20，S40S30分别为 1，2，4，8， S40S30+87+815 故选：C 【点评】本题考查等比数列的前 40 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 6 （5 分）如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x1 及曲线 yex1 围成，现向矩形区域 OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ） A B C D 【分析】求出阴影部分的面
14、积，以面积为测度，即可得出结论 【解答】解：由题意，阴影部分的面积为e2， 矩形区域 OABC 的面积为 e1， 该点落在阴影部分的概率是 故选：D 【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题 7 （5 分）在椭圆1 内，通过点 M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为 （ ） A9x16y+70 B16x+9y250 C9x+16y250 D16x9y70 【分析】设出以点 M（1，1）为中点的弦两端点为 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，利用点差 法可求得以 M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率再由点斜式可求得直线方程 【解答】解：设以点 M（1，1）为中点
15、的弦两端点为 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ， 第 9 页（共 24 页） 则 x1+x22，y1+y22 又， 得：0 又据对称性知 x1x2， 则， 以点 M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率 k， 中点弦所在直线方程为 y1（x1） ， 即 9x+16y250 故选：C 【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求以及点差法 在求解直线方程中的应用 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 x0，y0，n1，则输出的 x，y 的值满足 （ ） A B C Dxy2 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x，y 的值
16、，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得 x0，y0，n1 执行循环体，x，y， 第 10 页（共 24 页） 不满足条件 x+y， 执行循环体， n2， x+， y+ 1， 不满足条件 x+y，执行循环体，n3，x+， y+， 不满足条件 x+y，执行循环体，n4，x1，y， 不满足条件 x+y，执行循环体，n5，x1，y， 不满足条件 x+y，执行循环体，n8，x12，y， 此时，满足条件 x+y，退出循环，输出 x 的值为 2，y 的值为， 可得此时 x，y 的值满足 xy 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题
17、时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9 （5 分）已知 a0，b0，并且成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ） A16 B12 C9 D8 【分析】a0，b0，并且成等差数列，可得+2，利用“乘 1 法”与 基本不等式的性质即可得出 【解答】解：a0，b0，并且成等差数列， +2， 则 a+9b （+） （a+9b） （10+） （10+2） 8当且仅当 a3b2 时取等号 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 第 11 页（共 24 页） 10 （5 分）已知点 M 的坐标（x，y）满足不等式组，N
18、为直线 y2x+2 上 任一点，则|MN|的最小值是（ ） A B C1 D 【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可 【解答】解：点 M 的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点 M 的坐 标（x，y）满足不等式组，N 为直线 y2x+2 上任一点，则|MN|的最小值， 就是两条平行线 y2x+2 与 2x+y40 之间的距离：d 故选：B 【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算 能力 11 （5 分）已知偶函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，且满足 f（2）0，当 x0 时， xf（x）2f（x） ，则使得
19、f（x）0 的 x 的取值范围为（ ） A （，2）（0，2） B （，2）（2，+） C （2，0）（0，2） D （2，0）（2，+） 【分析】作为选择题，可以通过特殊点法解决，在所给不等式中令 x2 可得该处导函数 为正，结合选项即可确定正确答案 第 12 页（共 24 页） 【解答】解：在 xf（x）2f（x）中， 令 x2，得 2f（2）2f（2）0， f（2）0， 可知 f（x）在 x2 处是递增趋势， 故使 f（x）0 的 x2， 根据偶函数的对称性， 可知当 x0 时，x2， 故选：B 【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调区间，难度适中 12 （5 分）如图，正方形 ABC
20、D 内接于圆 O：x2+y22，M，N 分别为边 AB，BC 的中点， 已知点 P（2，0） ，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时，的取值范围是（ ） A1，1 B C2，2 D 【分析】由平面几何知识可得 OMON，设 M（cos，sin） ，用 表示出和，得 到关于 的函数，根据三角函数的性质得出答案 【解答】解：圆 O 的半径 r，正方形的边长为 1， OMON1，设 M（cos，sin） ，则 N（cos（） ，sin（） ） ，即 N（ sin，cos） ， （cos2，sin） ，（sin，cos） ， 2sinsincos+sincos2sin， 1sin1，22sin2，
21、故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的性质，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 13 页（共 24 页） 13 （5 分）已知向量 （2，1） ， （1，3） ， （3，2） ，若，则 1 【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出 【解答】解：由向量 （2，1） ， （1，3） ， （3，2） ， + （2+，1+3） ， ， 3（1+3）2（2+） ，解得 1 故答案为：1 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 14 （5 分
22、）已知函数 f（x）asinx（aR） ，若函数 f（x）在（0，）的零点个数为 2 个，则当 x0，f（x）的最大值为 a 【分析】讨论 a0 时，函数 yf（x）在区间（0，）上有且只有一个零点， 在区间（，）上有且只有一个零点；求出 f（x）在 x0，上的最大值； a0 时，函数 f（x）在 x（0，）上无零点，从而求出 f（x）的最大值 【解答】解：因为函数 f（x）asinx（aR） ， 且 x（0，）时，sinx（0，1； 所以当 a0 时，asinx（0，a， yf（x）在区间（0，）上单调递增，函数 f（x）在（0，）上有且只有一个零点； yf（x）在区间（，）上单调递减，函数
23、 f（x）在（，）上有且只有一个零点； 所以 a0，解得 a； 所以 f（x）在 x0，上的最大值是 f（）a； a0 时，f（x）asinx0 在 x（0，）上恒成立，函数 f（x）无零点，不合题意； 综上，f（x）在 x0，上的最大值是 a 第 14 页（共 24 页） 故答案为：a 【点评】本题主要考查了三角函数的单调性与函数零点的判定定理，是基础题目 15 （5 分）若二项式的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常 数项为 15 【分析】根据题意求出 n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，令 x 的幂指数等于 0， 求得 r 的值，即可求得展开式中常数项的值 【解答】解
24、：由二项式展开式中只有第 4 项的二项式系数最大， 即展开式有 7 项，n6； 展开式中的通项公式为 Tr+1 （1）rx6 r； 令 6r0，求得 r4， 故展开式中的常数项为（1）415 故答案为：15 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项 公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 16 （5 分）已知双曲线的左右顶点分别是 A、B，右焦点 F，过 F 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M、N 两点，P 为直线 l 上的点，当APB 的外接圆面 积达到最小时，点 P 恰好落在 M（或 N）处，则双曲线的离心率是 【分析】设 P（c，m） ，分别求出
25、 PA、PB 所在直线的斜率，利用到角公式得 tanAPB， 得到 tanAPB 取得最小值时，|m|b，得到 b，由此可得双曲线的离心率 【解答】解：A（a，0） ，B（a，0） ，F（c，0） ，直线 l 的方程为 xc， 设 P（c，m） ，则， tanAPB| 第 15 页（共 24 页） 当且仅当|m|+取得最小值，即|m|b 时，tanAPB 取得最大值，即APB 最大 根据正弦定理，此时APB 的外接圆半径达到最小值，即APB 的外接圆面积达到最小 值 b，ab，即双曲线的离心率为 故答案为： 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，不等式的性质，属于中档题 三、解答题：共三、解答题
26、：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，已知 a2+b2c24S （1）求角 C； （2）若 c2，求ba 的取值范围 【分析】 （1）由已知利用三角形面积公式，余弦定理可求 tanA 的值，结合范围 0A， 可求 A 的值 （2）由正弦
27、定理把边化为角的正弦值，利用三角恒等变换化简与计算ba 的取值范 围 【解答】解： （1）4Sb2+a2c2， 2abcosC4absinC， cosCsinC， tanC， 又 0C， C； （2）c2，C， 由正弦定理4， 可得：a4sinA，b4sinB， 第 16 页（共 24 页） ba4（sinBsinA）4sin（A）sinA4（cosA+sinA） 4sin（A+） ， A（0，） ，A+（，） ， sin（A+）（，1， 4sin（A+）（2，4， 即ba 的取值范围是（2，4 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦、余弦定理与三角形内角和定理的应用 问题，是中档题 18
28、 （12 分）如图，边长为 3 的正方形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 ABE 所在平面互 相垂直，AEAB，且， （）求证：MN平面 BEC； （）求二面角 NMEC 的余弦值 【分析】 （）过 M 作 MFDC 交 CE 于 F，连接 MF，BF证明推出 MNBF， 然后证明 MN平面 BEC； （）以 A 为坐标原点，所在方向为 x，y，z 轴正方向，建立平面直角坐标 系，求出平面 MEC 的法向量，平面 MNE 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 的余弦值即可 【解答】（） 证明： 过 M 作 MFDC 交 CE 于 F， 连接 MF， BF 因为 MFDC， 所以（2 分
29、） 又，所以故，（4 分） 所以四边形 NBFM 为平行四边形，故 MNBF， 第 17 页（共 24 页） 而 BF平面 BEC，MN平面 BEC， 所以 MN平面 BEC；（6 分） （）解：以 A 为坐标原点，所在方向为 x，y，z 轴正方向，建立平面 直角坐标系，则 E（3，0，0） ，N（0，1，0） ，M（1，0，2） ，C（0，3，3） 平面 MEC 的法向量为，设平面 MNE 的法向量为， 则，即，不妨设 x11，则， ， 所求二面角的余弦值为：（12 分） 【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的求法，直线与平面平行的判定定 理的应用，考查空间想象能力以及计算能力 1
30、9 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线 yk（x+1）与 C 相切于点 A，|AF|2 （）求抛物线 C 的方程； （）设直线 l 交 C 于 M，N 两点，T 是 MN 的中点，若|MN|8，求点 T 到 y 轴距离的 第 18 页（共 24 页） 最小值及此时直线 l 的方程 【分析】 （）设 A（x0，y0） ，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为 0，结合抛物 线的定义，可得抛物线方程； （）由题意可得直线 l 的斜率不为 0，设 l：xmy+n，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立 抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等
31、式可得所求直线 方程 【解答】解： （）设 A（x0，y0） ，直线 yk（x+1）代入 y22px， 可得 k2x2+（2k22p）x+k20， 由（2k22p）24k40，解得 p2k2，解得 x01， 由|AF|1+2，即 p2， 可得抛物线方程为 y24x； （）由题意可得直线 l 的斜率不为 0，设 l：xmy+n，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立抛物线方程可得 y24my4n0， 16m2+16n0，y1+y24m，y1y24n， |AB|8， 可得 nm2， 2m，2m2+n+m2 +m2+11213， 当且仅当m2+1，即 m21，即 m1， T 到 y 轴的距离
32、的最小值为 3， 此时 n1，直线的方程为 xy10 【点评】 本题考查抛物线的方程的求法， 注意运用直线和抛物线相切的条件： 判别式为 0， 考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题 20 （12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀 硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站， 直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn 第 19 页（共 24 页） （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望； （2）
33、证明：； （3）求 P99，P100的值 【分析】 （1）由题意得 X 的可能取值为 3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 （2）棋子先跳到第 n2 站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第 n1 站，再 掷出正面，其概率为，从而，由此能证明： （3）数列PnPn1（n1）是首项为PnPn1（n1） ，公比 为的等比数列 从而， 由此能求出 P99， P100 的值 【解答】解： （1）解：由题意得 X 的可能取值为 3，4，5，6， P（X3）（）3， P（X4）， P（X5）， P（X6）（）3 X 的分布列如下： X 3 4 5 6 P （2）证明：棋子先
34、跳到第 n2 站，再掷出反面，其概率为， 棋子先跳到第 n1 站，再掷出正面，其概率为， ，即， 第 20 页（共 24 页） （3）解：由（2）知数列PnPn1（n1）是首项为PnPn1（n1） ， ，公比为的等比数列 ， 由此得到， 由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏， 故 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查等差数列的性质等 基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+xax2，aR （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求 a 的值； （2）设 g（x）f（x）+（a3）x，试讨论函数 g（x）的单调
35、性； （3） 当 a2 时， 若存在正实数 x1， x2满足 f （x1） +f （x2） +3x1x20， 求证： x1+x2 【分析】 （1）求出函数的导数，求出 a 的值，代入检验判断即可； （2）求出 g（x）的解析式，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （3）代入 a2，求出 2+（x1+x2）x1x2lnx1x2，令 tx1x2，（t）t lnt（t0） ，根据函数的单调性证明即可 【解答】 （1）解：因为 f（x）lnx+xax2，所以 f（x）+12ax， 因为 f（x）在 x1 处取得极值，所以 f（1）1+12a0，解得：a1 验证：当 a1 时，f（x）+12x
36、（x0） ， 易得 f（x）在 x1 处取得极大值 （2）解：因为 g（x）f（x）+（a3）xlnxax2+（a2）x， 所以 g（x）（x0） ， 若 a0，则当 x（0，）时，g（x）0， 第 21 页（共 24 页） 所以函数 g（x）在（0，）上单调递增； 当 x（，+）时，g（x）0， 函数 g（x）在（，+）上单调递减 若 a0，g（x）（x0） ， 当 a2 时，易得函数 g（x）在（0，）和（，+）上单调递增，在（，） 上单调递减； 当 a2 时，g（x）0 恒成立，所以函数 g（x）在（0，+）上单调递增； 当2a0 时，易得函数 g（x）在（0，）和（，+）上单调递增，在
37、（， ）上单调递减 （3）证明：当 a2 时，f（x）lnx+x+2x2， 因为 f（x1）+f（x2）+3x1x20， 所以 lnx1+x1+2+lnx2+x2+2+3x1x20， 即 lnx1x2+2（+）+（x1+x2）+3x1x20， 所以 2+（x1+x2）x1x2lnx1x2， 令 tx1x2，（t）tlnt（t0） ， 则 （t）（t0） ， 当 t（0，1）时，（t）0， 所以函数 （t）tlnt（t0）在（0，1）上单调递减； 当 t（1，+）时，（t）0， 所以函数 （t）tlnt（t0）在（1，+）上单调递增 所以函数 （t）在 t1 时，取得最小值，最小值为 1 所以
38、2+（x1+x2）1， 即 2+（x1+x2）10， 所以 x1+x2或 x1+x21， 第 22 页（共 24 页） 因为 x1，x2为正实数，所以当 x1+x2时，x1x21， 此时不存在 x1，x2满足条件， 所以 x1+x2 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按照所做的如果多做，那么按照所做的 第一题计分第一题计分. 22（10 分） 在平面直角坐标系中， 曲线（ 为参数） 经过伸缩变换 得到曲线
39、 C2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C2的普通方程； （） 设曲线 C3的极坐标方程为， 且曲线 C3与曲线 C2相交于 M， N 两点，点 P（1，0） ，求的值 【分析】 （）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （）曲线（ 为参数）转换为直角坐标方程为 x2+y24， 经过伸缩变换得到曲线 C2 得到： （）曲线 C3的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为 ， 由于点 P（1，0）在直线 l 上， 故（t 为参数） 所以把直线的参数方程代入，得到 13t2+4t1
40、20， （t1和 t2为 M、N 对应的 第 23 页（共 24 页） 参数） 所以， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 23已知函数 f（x）|x+1|x5| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）tx2x 的解集非空，求 t 的取值范围 【分析】 （1）求出 f（x）的分段函数的形式，解不等式 f（x）1 可分 x1，1x 5，x5 三类讨论即可解得不等式 f（x）1 的解集； （2）原式等价于存在 xR，使 f（x）x2+xt
41、 成立，即f（x）x2+xmaxt， 设 g（x）f（x）x2+x，求出 g（x）的最大值即可得到 t 的取值范围 【解答】解： （1）当 x1 时，f（x）（x+1）+（x5）61，无解 当1x5 时，f（x）x+1+（x5）2x4， 2x41， x， x5， 当 x5 时，f（x）x+1（x5）6， 61，x5， 综上所述 f（x）1 的解集为，+） （2）原式等价于存在 xR，使 f（x）x2+xt 成立，即f（x）x2+xmaxt 设 g（x）f（x）x2+x 由（1）知 g（x） 第 24 页（共 24 页） 当 x1 时，g（x）x2+x6，其开口向下，对称轴为 x1，所以 g（x）g （1）8， 当1x5，开口向下，对称轴 x，所以 g（x）g（） 当 x5 时，开口向下，对称轴 x5，所以 g（x）g（5）14， 综上所述，t 的取值范围为（， 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
