1、已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x2，则集合 AB（ ） Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 2 （5 分）设复数 z 满足|z+i|1，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A （x+1）2+y21 B （x1）2+y21 Cx2+（y+1）21 Dx2+（y1）21 3 （5 分）已知 a，blo，clog2，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 4 （5 分）已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75现发现在收集这些数据时， 其中的两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90在对错误 的数
2、据进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 s2，则（ ） A 70，s275 B 70，s2 75 C 70，s275 D 70，s2 75 5 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的最小正周期为 ，其图象关于直线 x对称，则|的最小值为（ ） A B C D 6 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1， 1，2，3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三数起，每一个数都等 于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列” ，则 （a1a3a22）+（a2a4a32）+（a3a5a42）+（a
3、2013a2015a20142）（ ） A1 B0 C1007 D1006 7 （5 分）已知变量 x，y 满足，则 z2x+y 的取值范围为（ ） A2，2 B （，2） C （，2 D2，+） 第 2 页（共 23 页） 8 （5 分）已知三个向量 ， ， 共面，且均为单位向量， 0，则| + |的取值范 围是（ ） A1，+1 B1， C， D1，1 9 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M，N，|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线
4、C 的离心率为（ ） A B C D 10 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ex若对任意的 xa， a+1，不等式 f（x+a）f2（x）恒成立，则实数 a 的最大值是（ ） A B C D2 11 （5 分）已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心，PAPBPC2， ABC90，则三棱锥 OABC 体积的最大值是（ ） A B1 C D 12 （5 分）已知函数，对于函数 f（x）有下述四个结论： （1）函数 f（x）在其定义域上为增函数； （2）对于任意的 a0，a1，都有成立； （3）f（x）有且仅有两个零点； （4）若 f（x
5、0）0，则 ylnx 在点（x0，lnx0）处的切线与 yex在点处 的切线为同一直线 其中所有正确的结论有（ ） A （1） （2） （3） B （1） （3） C （2） （3） （4） D （3） （4） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）在（x1） （x+1）8的展开式中，x5的系数是 14 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a10，a23a1，则 15 （5 分）已知点 A（0，1） ，B（1，0） ，C（t，0） ，点 D 是直线 AC 上的动点，若| 第 3 页（共 23 页） 2|
6、恒成立，则最小正整数 t 16 （5 分）已知点 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点（点 A 在 x 轴上方） ，与 y 轴的正半轴相交于点 N，点 Q 是抛物线不同于 A，B 的点，若 2+，则|BF|：|BA|：|BN| 三、解答题： 共三、解答题： 共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：
7、共 60 分分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求的值； （2）若，b2，求ABC 的面积 S 18 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形， PA面 ABCD，BAD120， E， F 分别是 CD，PC 的中点 （1）求证：平面 AEF平面 PAB； （2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45，求二面角 FAED 的 余弦值 19已知椭圆+y21，P 是椭圆的上顶点，过 P 作斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆于另 一点 A，设点 A 关于原点的对称点为 B （1）求PAB 面积的最大值； （2）
8、设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内部，求斜率 k 的取值范围 20设函数（xR，实数 a0，+） ，e2.71828是自然对数的底数， ） 第 4 页（共 23 页） （）若 f（x）0 在 xR 上恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立，求证：实数 m 的最大值大于 2.3 21某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以 下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验 n 次； （2）混合检验，将其中 k（kN*且 k 2） 份血液样本分别取样混合在一起检验 若检验结果为阴性， 这 k 份
9、的血液全为阴性， 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 （）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （）试运用
10、概率统计的知识，若 E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） ； （）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln61.7918 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分选考选考 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程（ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（+）3，射
11、线 OM：与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 选考选考 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知定义域在 R 上的函数 f（x）|x+1|+|x2|的最小值为 a （1）求 a 的值； （2）若 p，q，r 为正实数，且 p+q+ra，求证：p2+q2+r23 第 5 页（共 23 页） 2020 年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷（理科） （年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷（理科） （4 月月 份）份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题
12、给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x2，则集合 AB（ ） Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 【分析】解不等式求得集合 A、B，根据交集的定义写出 AB 【解答】解：集合 Ax|x22x30x|1x3， Bx|log2x2x|0x4， 则集合 ABx|0x3 故选：B 【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题 2 （5 分）设复数 z 满足|z+i|1，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A （x+1）2+y21 B （x1）2+y
13、21 Cx2+（y+1）21 Dx2+（y1）21 【分析】设 zx+yi（x，yR） ，代入|z+i|1，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：设 zx+yi（x，yR） ， 由|z+i|1，得|x+（y+1）i|1， 即， z 在复平面内对应的点的轨迹为 x2+（y+1）21 故选：C 【点评】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3 （5 分）已知 a，blo，clog2，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 【分析】分别判断 a，b，c 的取值范围即可得到结论 第 6 页（共 23 页） 【解答】解：a1，blo（0，1） ，clog20， ab
14、c 故选：A 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本 题的关键，比较基础 4 （5 分）已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75现发现在收集这些数据时， 其中的两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90在对错误 的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 s2，则（ ） A 70，s275 B 70，s2 75 C 70，s275 D 70，s2 75 【分析】根据题意，分析可得：数据更正前后，数据的总和不变，其波动变小了，结合 平均数、方差的定义分析可得结论 【解答】解：根据题意，两个数据记录有误
15、，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记 录为 90，则这些数据的总和不变， 则在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 不变，即 70， 但数据的波动变小了，故 s275； 故选：A 【点评】本题考查数列的平均数、方差的计算，注意分析平均数、方差的定义与统计意 义 5 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的最小正周期为 ，其图象关于直线 x对称，则|的最小值为（ ） A B C D 【分析】利用正弦函数的周期性求得 的值，再利用它的图象的对称性，求得|的最小 值 【解答】解：函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的最小正周期为， 2 根据其图象关于
16、直线 x对称，可得 2+k+，kZ，即 k， 第 7 页（共 23 页） 则|的最小值为， 故选：B 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题 6 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1， 1，2，3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三数起，每一个数都等 于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列” ，则 （a1a3a22）+（a2a4a32）+（a3a5a42）+（a2013a2015a20142）（ ） A1 B0 C1007 D1006 【分析】直接利用数列的关系式的应用求出
17、关系式所表现的规律，进一步求出结果 【解答】解：由于 a1a3a221211， a2a4a3213221， a3a5a4225321 所以： （a1a3a22）+（a2a4a32）+（a3a5a42）+（a2013a2015a20142）1+（1） +1+（1）+11 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于中档题型 7 （5 分）已知变量 x，y 满足，则 z2x+y 的取值范围为（ ） A2，2 B （，2） C （，2 D2，+） 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线 过 A
18、时，最大，从而得出目标函数 z2x+y 的取值范围 【解答】解：画出变量 x，y 满足表示的平面区域： 将目标函数变形为 z2x+y，作出目标函数对应的直线， 直线过 A（0，2）时，直线的纵截距最大，z 最大，最大值为 2； 则目标函数 z2x+y 的取值范围是（，2 故选：C 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值 8 （5 分）已知三个向量 ， ， 共面，且均为单位向量， 0，则| + |的取值范 围是（ ） A1，+1 B1， C， D1，1 【分析】根据题意，可设（1，0） ，（0，1） ，（x，y） ，得|+| ，结合图形求出
19、它的最大、最小值 【解答】解：三个向量 ， ， 共面，且均为单位向量， 0， 可设 （1，0） ， （0，1） ， （x，y） ， 则 + （1x，1y） ，| |1； | + |， 它表示单位圆上的点到定点 P（1，1）的距离， 其最大值是 PNr+|OP|1+，最小值是|OP|r1， | + |的取值范围是1，+1 第 9 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的 距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题 9 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，P 是双曲线在第
20、一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M，N，|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，由MF2N 60，可得F1PF260，由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60，即可 求出双曲线 C 的离心率 【解答】解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a， |PF1|4a，|PF2|2a， MF2N60，F1PF260， 由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60， ca，
21、 e 故选：B 【点评】本题考查双曲线 C 的离心率，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档 题 10 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ex若对任意的 xa， a+1，不等式 f（x+a）f2（x）恒成立，则实数 a 的最大值是（ ） 第 10 页（共 23 页） A B C D2 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为 f（|x+a|）f2（|x|）恒成 立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数， 不等式 f（x+a）f2（x）恒成立等价为 f（|x+a|）f2（|x|）恒成
22、立， 当 x0 时，f（x）ex 不等式等价为 e|x+a|（e|x|）2e2|x|恒成立， 即|x+a|2|x|在a，a+1上恒成立， 平方得 x2+2ax+a24x2， 即 3x22axa20 在a，a+1上恒成立， 设 g（x）3x22axa2， 则满足， ， 即， a， 故实数 a 的最大值是 故选：C 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本 题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度 11 （5 分）已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心，PAPBPC2， ABC90，则三棱锥 OABC 体积的最大值是（ ） A B1 C
23、 D 【分析】P 到平面 ABC 上的射影 G 是ABC 的外心，即 AC 中点，则球的球心在 PG 的 延长线上，设 PGh，则 OG2h，由 OB2OG2PB2PG2，解得 h1，从而 AG CGBG，三棱锥 OABC 体积取最大值时，BGAC，由此能求出三棱锥 O ABC 体积的最大值 【解答】解：如图，P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心， 第 11 页（共 23 页） PAPBPC2，ABC90， P 到平面 ABC 上的射影 G 是ABC 的外心，即 AC 中点， 则球的球心在 PG 的延长线上，设 PGh，则 OG2h， OB2OG2PB2PG2，4（2h）24
24、h2，解得 h1， AGCGBG， 三棱锥 OABC 体积取最大值时，BGAC， 三棱锥 OABC 体积的最大值为： V1 故选：B 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12 （5 分）已知函数，对于函数 f（x）有下述四个结论： （1）函数 f（x）在其定义域上为增函数； （2）对于任意的 a0，a1，都有成立； （3）f（x）有且仅有两个零点； （4）若 f（x0）0，则 ylnx 在点（x0，lnx0）处的切线与 yex在点处 的切线为同一直线 其中所有正确的结论有（ ） A （1） （2） （3）
25、B （1） （3） C （2） （3） （4） D （3） （4） 【分析】求出函数的定义域，判断函数的单调性，函数的值判断等式是否成立，判断函 数的零点个数，切线方程判断命题的真假即可 【解答】解：函数，定义域为： （0，1）（1，+） 第 12 页（共 23 页） （1）f（x）lnx1+，f（x）， 可得函数 f（x）在（0，2） ， （2+，+）上单调递增；在（2，1） ， （1，2+） 上单调递减 因此函数 f（x）在其定义域上为增函数，不正确； （2）对于任意的 a0，a1，f（）（ln）lnaf（a） ，因此： 对于任意的 a0，a1，都有成立；正确 （3）如图所示，分别画出函数
26、 ylnx，y的图象f（x）有且仅有两个零点，正确； （4）若 f（x0）0，即 lnx01+， ylnx 的导数为：y，在点（x0，lnx0）处的切线的斜率为：，所以切线方程为： ylnx0（xx0），即 y1，即 y， 与 yex的导数为： yex， 在点处的切线的斜率为：， 切线方程为： （x+lnx0） ，即 yx+（1+）x+， 为同一直线所以（4）正确； 故选：C 【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 数形结合思想方法的应用，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13
27、 （5 分）在（x1） （x+1）8的展开式中，x5的系数是 14 第 13 页（共 23 页） 【分析】将求 x5的系数问题转化为二项式（x+1）8的展开式的 x4的系数减去 x5的系数， 即可求出展开式中 x5的系数 【解答】解：（x1） （x+1）8x（x+1）8（x+1）8 （x1） （x+1）8展开式中 x5的系数等于（x+1）8展开式的 x4的系数减去 x5的系数， （x+1）8展开式的通项为 展开式中 x5的系数是 C84C8514， 故答案为：14 【点评】本题考查二项式定理的应用，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式 的指定项问题，考查学生的转化能力 14 （5 分）记
28、 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a10，a23a1，则 4 【分析】根据 a23a1，可得公差 d2a1，然后利用等差数列的前 n 项和公式将用 a1表示，化简即可 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，则 由 a10，a23a1可得，d2a1， ， 故答案为：4 【点评】本题考查等差数列前 n 项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础 题 15 （5 分）已知点 A（0，1） ，B（1，0） ，C（t，0） ，点 D 是直线 AC 上的动点，若| 2|恒成立，则最小正整数 t 4 【分析】先设出 D（x，y） ，得到 AD 的方程为：x+tyt0，由|2|得到圆的方程， 第
29、14 页（共 23 页） 结合点到直线的距离公式，求出 t 的最小值即可 【解答】解：设 D（x，y） ，由 D 在 AC 上，得：+y1，即 x+tyt0， 由|2|，2， 得： （x）2+（y+）2， 依题意，线段 AD 与圆（x）2+（y+）2，至多有一个公共点， ，解得：t2+，或 t2， t 是使|2|恒成立的最小正整数， t4， 故答案为：4 【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决 问题的能力，属于中档题 16 （5 分）已知点 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点（点 A 在 x 轴上方）
30、，与 y 轴的正半轴相交于点 N，点 Q 是抛物线不同于 A，B 的点，若 2+，则|BF|：|BA|：|BN| 2：3：4 【分析】 点 F，设直线 AB 的方程为，所以点 N （） ， 由 2 第 15 页（共 23 页） +可知点 A 是线段 NF 的中点，所以点 A（） ，联立直线 AB 与抛物线的 方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，由韦达定理可知，xBp，然 后利用抛物线的定义逐一用含有 p 的式子表示出线段|BF|、|BA|和|BN|的长，即可得解 【解答】解：由题可知，点 F，设直线 AB 的方程为， 令 x0，则 y，点 N（） ， 2+，点 A 是线段 NF 的中
31、点，点 A（） ， 联 立， 得， ， ， 由抛物线的定义可知，|BF|，|BA|， |BN|BA|+|AN|BA|+|AF|， |BF|：|BA|：|BN| 故答案为：2：3：4 【点评】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，熟练运用抛物线的定义处 理线段长度是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题 三、解答题： 共三、解答题： 共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考
32、生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求的值； （2）若，b2，求ABC 的面积 S 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及和差角公式，诱导公式化简可得 sinC2sinA，再结 合正弦定理即可求解； （2）由已知结合余弦定理可求 a，c，然后结合三角形的面积公式即可求解 第 16 页（共 23 页） 【解答】解： （1）由正弦定理可得， 整理可得，sinBcosA+sinAcosB2sinCcosB+2sinBcosC， 所以 sin（A+B）2sin（B+C） ， 即 sinC2sinA 由正弦
33、定理可得，2， （2）由余弦定理可得， 解可得，a1，c2，b2， 又因为 sinB， 所以ABC 的面积 S 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，及三角形的面积公式的综 合应用，属于中档试题 18 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形， PA面 ABCD，BAD120， E， F 分别是 CD，PC 的中点 （1）求证：平面 AEF平面 PAB； （2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45，求二面角 FAED 的 余弦值 【分析】 （1）先判断 RtADE，AEED，得到 AE平面 PAB，再根据面面垂直的判定 定理，证明
34、出即可； （2）连接 AM，则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角，根据题意得到 AEAM，求 出 PA，以 AB，AE，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 AEF 的法向量 和平面 ADE 的法向量，再利用夹角公式求出二面角的余弦值即可 第 17 页（共 23 页） 【解答】解： （1）证明：底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，BAD120， 故ADE60，DE，ADa， 由 AE2AD2+DE22ADDEcos60a2+2a， 所以 AE2+DE2AD2，故 RtADE，AEED， 又 ABCD，所以 AEAB， 又 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD
35、， 所以 AEPA，又 ABPAA， 所以 AE平面 PAB，又 AE平面 AEF， 故平面 AEF平面 PAB； （2）连接 AM，则由（1）知，AE平面 PAB， 则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角， 在 RtAME 中，tanAME， 当 AM 最小时，即 AMPB 时，AME 取得最大值 45，此时 AEAM， 设 PAx，则由 PAABPBAM 得， ax，解得， 根据题意，以 AB，AE，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 B （a， 0， 0） ， E （0， 0） ， C （， 0） ， P （0， 0，） ， F （） ， ， 设平面 AEF
36、的法向量为， 由，得， 又平面 AED 的法向量为， 由 cos， 因为二面角 FAED 为钝角， 所以二面角 FAED 的余弦值为 第 18 页（共 23 页） 【点评】本题考查线线，线面，面面垂直的判断与性质定理的应用，考查了向量法求二 面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题 19已知椭圆+y21，P 是椭圆的上顶点，过 P 作斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆于另 一点 A，设点 A 关于原点的对称点为 B （1）求PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内部，求斜率 k 的取值范围 【分析】 （1）由题意设直线 PA 的
37、方程代入椭圆中，求出 A 的坐标，进而由题意得 B 的 坐标，PAB 面积等于|OP|xAxB|，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大 值； （2）由（1）得，线段 PB 的中垂线过 PB 的中点，斜率是 PB 的斜率的负倒数，写出中 垂线的方程，令 x 等于 0 得出 y 值，在椭圆内部，纵坐标的绝对值小于 1，可求得 k 的取 值范围，注意 k 不为零 【解答】解： （1）由题意设直线 l 的方程：ykx+1， 代入抛物线方程整理得： （1+4k2）x2+8kx0， 所以 x， 所以 y所以 A 的坐标（，） ， 由题意得 B 的坐标（，） ， 所以三角形 PAB 的面积 S|OP|
38、xAxB|因为 k0， 所以 SPAB8|82（当且仅当 k时取到等号） ， 第 19 页（共 23 页） 所以PAB 面积的最大值为：2； （2）由（1）得：kPB，且 PB 的中点坐标（，） ， 所以线段 PB 的中垂线方程为：y4k（x） ， 令 x0，得 y， 由题意得|y|1，所以1， 解得：8k21， 所以：，且 k0， 所以斜率的取值范围为（，0）（0，） 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查基本不等式的应用，属于中档题 20设函数（xR，实数 a0，+） ，e2.71828是自然对数的底数， ） （）若 f（x）0 在 xR 上恒成立，求实数 a 的取值范围； （）若 exl
39、nx+m 对任意 x0 恒成立，求证：实数 m 的最大值大于 2.3 【分析】 （）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决； （）构造函数设，利用导数求出函数的最值，即可证明 【解答】解： （），f（x）0 在 xR 上恒成立， a， 设 h（x）， h（x）， 第 20 页（共 23 页） 令 h（x）0，解得 x， 当 x，即 h（x）0，函数单调递增， 当 x，即 h（x）0，函数单调递减， h（x）minh（）， 0a， 故 a 的取值范围为； （）设， ，g（x）0，可得；g（x）0，可得 g（x）在（，+）上单调递增；在上单调递减 g（x）g（）， ， 1.6，
40、g（x）2.3 由（）可得 exx+， exlnx 的最小值大于 2.3， 故若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立，则 m 的最大值一定大于 2.3 【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是构造函数，属于中档题 21某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以 下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验 n 次； （2）混合检验，将其中 k（kN*且 k 2） 份血液样本分别取样混合在一起检验 若检验结果为阴性， 这 k 份的血液全为阴性， 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性，
41、就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 （）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 第 21 页（共 23 页） 总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （）试运用概率统计的知识，若 E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） ； （）若，采用
42、混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln61.7918 【分析】 （）利用古典概率计算公式即可得出 （） （）由已知得 E1k，2的所有可能取值为 1，k+1可得， ，即可得出期望根据 E1E2，解得 k （） 由题意可知 E2E1， 得， 可得， 设，利用导数研究其单调性即可得出 【解答】解： （）P，（3 分） 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为（4 分） （） （）由已知得 E1k，2的所有可能取值为 1，k+1 ，
43、k+1k（1p）k（6 分） 若 E1E2，则 kk+1k（1p）k， k（1p）k1 p 关于 k 的函数关系式（kN*且 k2）（8 分） （）由题意可知 E2E1，得， ， 设（10 分） ， 第 22 页（共 23 页） 当 x3 时，f（x）0，即 f（x）在（3，+）上单调递减， 又 ln41.3863，ln51.6094， k 的最大值为 4（12 分） 【点评】本题考查了古典概率、相互对立事件的概率生寄死归、利用导数研究函数的单 调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分选考选考 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直
44、角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程（ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（+）3，射线 OM：与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 【分析】解： （I）利用 cos2+sin21，即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程 （II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由，联立即可解得设（2，2） 为点 Q 的极坐标，同理可解得利用|PQ|12|即可得出 【解答】解： （I）利用 cos2+sin21，把圆 C 的参数方程为参数） 化为（x1）2+y21， 22cos0，即 2cos （II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由，解得 设 （2， 2） 为点 Q 的极坐标， 由， 解得 12，|PQ|12|2 |PQ|2 【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 第 23 页（共 23 页） 选考选考 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知定义域在 R 上的函
