1、2020 年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 12020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 2下列运算正确的是（ ） A （ab）2a2b2 Ba2+a2a4 C （a2）3a5 Da2a3a6 3下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A内角和为 360 B对角线互相平分 C对角线相等 D对角线互相垂直 4某校 5 名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是 86，95，97，90， 88，这组数据的中位数是（ ） A97 B90 C95 D88 5中国华为麒麟
2、985 处理器是采用 7 纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞 进了 120 亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将 120 亿个用科 学记数法表示为（ ） A1.2109个 B12109个 C1.21010个 D1.21011个 6下列命题是真命题的是（ ） A两直线平行，同位角相等 B相似三角形的面积比等于相似比 C菱形的对角线相等 D相等的两个角是对顶角 7下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 8如图，ABC 的内切圆O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB5，BC 13，CA12，则阴影部分（即四
3、边形 AEOF）的面积是（ ） A4 B6.25 C7.5 D9 9函数 y的大致图象是（ ） A B C D 10如图，直线 ykx+b 交坐标轴于 A（2，0） ，B（0，3）两点，则不等式 kx+b0 的解 集是（ ） Ax3 B2x3 Cx2 Dx2 11已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：ac0，b2a0，b2 4ac0，ab+c0，正确的是（ ） A B C D 12在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出发，按“向上向 右向下向右” 的方向依次不断移动， 每次移动 1 个单位长度， 其移动路程如图所示， 第一次移动到点 A1， 第二次
4、移动到点 A2， 第 n 次移动到点 An， 则点 A2020的坐标是 （ ） A （1010，0） B （1010，1） C （1009，0） D （1009，1） 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13函数 y的自变量 x 的取值范围是 14从31，0，3 这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是 15如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截若 ab，1130，230，则3 的度数 为 度 16 如图， AB 是O 的直径， C、 D 是O 上的两点， AOC120， 则CDB 17设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 18阅读材料：设
5、（x1，y1） ， （x2，y2） ，如果 ，则 x1y2x2y1，根据该材料 填空，已知 （4，3） ， （8，m） ，且 ，则 m 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： （2020）0+4sin60+|3| 20先化简，再求值： （1），然后从 0，1，2 三个数中选择一个恰当 的数代入求值 21 某校为了庆祝建国七十周年， 决定举办一台文艺晚会， 为了了解学生最喜爱的节目形式， 随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲” ， “舞蹈” ， “小品” ， “相声”和“其 它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图 中信息，解答下列题：
6、 最喜爱的节目 人数 歌曲 15 舞蹈 a 小品 12 相声 10 其它 b （1）在此次调查中，该校一共调查了 名学生； （2）a ；b ； （3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有 1200 名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数 22 如图， 小明为了测量小河对岸大树 BC 的高度， 他在点 A 测得大树顶端 B 的仰角为 45， 沿斜坡走 3米到达斜坡上点 D，在此处测得树顶端点 B 的仰角为 30，且斜坡 AF 的 坡比为 1：2求大树 BC 的高度约为多少米？（1.732，结果精确到 0.1） 23为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划用
7、400 元购买 10 个体育用品，备选体 育用品及单价如表： 备用体育用品 足球 篮球 排球 单价（元） 50 40 25 （1）若 400 元全部用来购买足球和排球共 10 个，则足球和排球各买多少个； （2）若学校先用一部分资金购买了 a 个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和 篮球，此时正好剩余 30 元，求 a 的值 24如图，ABC 内接于O，ACBC，CD 是O 的直径，与 AB 相交于点 G，过点 D 作 EFAB，分别交 CA、CB 的延长线于点 E、F，连接 BD （1）求证：EF 是O 的切线； （2）求证：BD2ACBF 25如图，过线段 AB 的端点 B 作射线
8、BGAB，P 为射线 BG 上一点，以 AP 为边作正方 形 APCD，且点 C、D 与点 B 在 AP 两侧，在线段 DP 上取一点 E，使EAPBAP， 直线 CE 与线段 AB 相交于点 F（点 F 与点 A、B 不重合） （1）求证：AEPCEP； （2）判断 CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）试探究 AE+EF+AF 与 2AB 是否相等，并说明理由 26如图，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴相交于点 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴 相交于点 C （1）求该函数的表达式； （2）点 P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点 P 作 PQBC，
9、垂足为点 Q，连接 PC 求线段 PQ 的最大值； 若以点 P、C、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标 2020 年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 12020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案 【解答】解：2020 的倒数是， 故选：C 2下列运算正确的是（ ） A （ab）2a2b2 Ba2+a2a4 C （a2）3a5 Da2a3a6 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相
10、加；幂的乘方，底数不 变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解： A 选项，积的乘方： （ab）2a2b2，正确 B 选项，合并同类项：a2+a22a2，错误 C 选项，幂的乘方： （a2）3a6，错误 D 选项，同底数幂相乘：a2a3a5，错误 故选：A 3下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A内角和为 360 B对角线互相平分 C对角线相等 D对角线互相垂直 【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案 【解答】解：矩形和菱形的内角和都为 360，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对 角线垂直且平分， 矩形具有而菱形不具有的性质为对角
11、线相等， 故选：C 4某校 5 名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是 86，95，97，90， 88，这组数据的中位数是（ ） A97 B90 C95 D88 【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可 【解答】解：将小明所在小组的 5 个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97， 所以这组数据的中位数为 90 分， 故选：B 5中国华为麒麟 985 处理器是采用 7 纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞 进了 120 亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将 120 亿个用科 学记数法表示为（ ） A1.2
12、109个 B12109个 C1.21010个 D1.21011个 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：120 亿个用科学记数法可表示为：1.21010个 故选：C 6下列命题是真命题的是（ ） A两直线平行，同位角相等 B相似三角形的面积比等于相似比 C菱形的对角线相等 D相等的两个角是对顶角 【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可 【解答
13、】解：两直线平行，同位角相等，A 是真命题； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，B 是假命题； 菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C 是假命题； 相等的两个角不一定是对顶角，D 是假命题； 故选：A 7下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 故选：C 8如图，ABC 的
14、内切圆O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB5，BC 13，CA12，则阴影部分（即四边形 AEOF）的面积是（ ） A4 B6.25 C7.5 D9 【分析】利用勾股定理的逆定理得到ABC 为直角三角形，A90，再利用切线的性 质得到 OFAB，OEAC，所以四边形 OFAE 为正方形，设 OEAEAFr，利用切 线长定理得到 BDBF5r，CDCE12r，所以 5r+12r13，然后求出 r 后可 计算出阴影部分（即四边形 AEOF）的面积 【解答】解：AB5，BC13，CA12， AB2+CA2BC2， ABC 为直角三角形，A90， AB、AC 与O 分别相切于点
15、 E、F OFAB，OEAC， 四边形 OFAE 为正方形， 设 OEr， 则 AEAFr， ABC 的内切圆O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F， BDBF5r，CDCE12r， 5r+12r13， r2， 阴影部分（即四边形 AEOF）的面积是 224 故选：A 9函数 y的大致图象是（ ） A B C D 【分析】y的大致图象是由 y向左平移 1 个单位得到，由此即可判断； 【解答】解：y的大致图象是由 y向左平移 1 个单位得到， y的图象是双曲线，图象在一、三象限， 函数 y的大致图象是 D 故选：D 10如图，直线 ykx+b 交坐标轴于 A（2，0） ，B（0，3）
16、两点，则不等式 kx+b0 的解 集是（ ） Ax3 B2x3 Cx2 Dx2 【分析】看在 x 轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可 【解答】解：直线 ykx+b 交 x 轴于 A（2，0） ， 不等式 kx+b0 的解集是 x2， 故选：D 11已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：ac0，b2a0，b2 4ac0，ab+c0，正确的是（ ） A B C D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：图象开口向下，与
17、y 轴交于正半轴，能得到：a0，c0， ac0，故正确； 对称轴 x1， 1，a0， b2a， b2a0，故正确 图象与 x 轴有 2 个不同的交点，依据根的判别式可知 b24ac0，故错误 当 x1 时，y0，ab+c0，故错误； 故选：A 12在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出发，按“向上向 右向下向右” 的方向依次不断移动， 每次移动 1 个单位长度， 其移动路程如图所示， 第一次移动到点 A1， 第二次移动到点 A2， 第 n 次移动到点 An， 则点 A2020的坐标是 （ ） A （1010，0） B （1010，1） C （1009，0） D （100
18、9，1） 【分析】根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环，从而可得出点 A2020的坐标 【解答】解：A1（0，1） ，A2（1，1） ，A3（1，0） ，A4（2，0） ，A5（2，1） ，A6（3，1） ， 20204505， 所以 A2020的坐标为（5052，0） ， 则 A2020的坐标是（1010，0） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于 0，故分母 x+10，解得 x 的 范围 【解答】解：根据分式有意义的条件得：x+10， 解得：x1 故答案为：x1 14从31
19、，0，3 这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是 【分析】五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得 【解答】解：在31，0，3 这五个数中，负数有3 和1 这 2 个， 抽取一个数，恰好为负数的概率为， 故答案为： 15如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截若 ab，1130，230，则3 的度数 为 100 度 【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案 【解答】解：ab， 34， 12+42+3，1130，230， 13030+3， 解得：3100 故答案为：100 16 如图， AB 是O 的直径， C、 D 是O 上的两点， AOC120， 则CDB 30 【分析
20、】先利用邻补角计算出BOC，然后根据圆周角定理得到CDB 的度数 【解答】解：BOC180AOC18012060， CDBBOC30 故答案为 30 17设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 0 【分析】直接根据根与系数的关系求解 【解答】解：x1、x2是方程 x2x10 的两根， x1+x21，x1x21， x1+x2+x1x2110 故答案为：0 18阅读材料：设 （x1，y1） ， （x2，y2） ，如果 ，则 x1y2x2y1，根据该材料 填空，已知 （4，3） ， （8，m） ，且 ，则 m 6 【分析】根据材料可以得到等式 4m38，即可求 m
21、； 【解答】解： （4，3） ， （8，m） ，且 ， 4m38， m6； 故答案为 6； 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： （2020）0+4sin60+|3| 【分析】 直接利用二次根式的性质和零指数幂的性质、 绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+42+3 1+22+3 4 20先化简，再求值： （1），然后从 0，1，2 三个数中选择一个恰当 的数代入求值 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的 值代入计算可得 【解答】解：原式（） ， 当 x0 时，原式1 21 某校为了庆祝建国七十周年， 决定举办一台文艺晚
22、会， 为了了解学生最喜爱的节目形式， 随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲” ， “舞蹈” ， “小品” ， “相声”和“其 它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图 中信息，解答下列题： 最喜爱的节目 人数 歌曲 15 舞蹈 a 小品 12 相声 10 其它 b （1）在此次调查中，该校一共调查了 50 名学生； （2）a 8 ；b 5 ； （3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有 1200 名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数 【分析】（1） 从表格和统计图中可以得到喜欢 “小品” 的人数为 12 人， 占
23、调查人数的 24%， 可求出调查人数， （2）舞蹈占 50 人的 16%可以求出 a 的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到 b 的 值， （3）先计算“歌曲”所占的百分比，用 360去乘即可， （4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数 【解答】解： （1）1224%50 人 故答案为 50 （2）a5016%8 人， b5015812105 人， 故答案为：8，5 （3）360108 答： “歌曲”所在扇形的圆心角的度数为 108； （4）1200240 人 答：该校 1200 名学生中最喜爱“相声”的学生大约有 240 人 22 如图， 小明为了测量小
24、河对岸大树 BC 的高度， 他在点 A 测得大树顶端 B 的仰角为 45， 沿斜坡走 3米到达斜坡上点 D，在此处测得树顶端点 B 的仰角为 30，且斜坡 AF 的 坡比为 1：2求大树 BC 的高度约为多少米？（1.732，结果精确到 0.1） 【分析】作 DHAE 于点 H，作 DGBC 于点 G，如图，由勾股定理得出 求出 DHCG3m，则 AH2DH6m，设 BCxm，则 BG （x3）m，得出，解方程即可得出答案 【解答】解：作 DHAE 于点 H，作 DGBC 于点 G，如图， 则四边形 DGCH 为矩形， 在 RtADH 中， AH2DH， AH2+DH2AD2， DHCG3m，
25、 AH2DH6m， 设 BCxm，则 BG（x3）m， 在 RtBAC 中，BAC45， ACBCxm， CHDG（x+6）m， 在 RtBDG 中，BDG30， tan30， ， 解得，x15.3 答：大树 BC 的高度约为 15.3 米 23为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划用 400 元购买 10 个体育用品，备选体 育用品及单价如表： 备用体育用品 足球 篮球 排球 单价（元） 50 40 25 （1）若 400 元全部用来购买足球和排球共 10 个，则足球和排球各买多少个； （2）若学校先用一部分资金购买了 a 个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和 篮球，此时正好剩余
26、 30 元，求 a 的值 【分析】 （1）设购买足球 x 个，排球 y 个，根据总价单价数量结合用 400 元购买足 球和排球共 10 个，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由购买排球的数量，可得出购买足球和篮球的数量，根据总价单价数量，即可 得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）设购买足球 x 个，排球 y 个， 根据题意得：， 解得： 答：购买足球 6 个，排球 4 个 （2）购买了 a 个排球， 购买了个足球，个篮球 根据题意得：25a+50+4040030， 解得：a4 答：a 的值为 4 24如图，ABC 内接于O，ACB
27、C，CD 是O 的直径，与 AB 相交于点 G，过点 D 作 EFAB，分别交 CA、CB 的延长线于点 E、F，连接 BD （1）求证：EF 是O 的切线； （2）求证：BD2ACBF 【分析】 （1）根据圆的对称性即可求出答案 （2）先证明BCDBDF，利用相似三角形的性质可知：，利用 BCAC 即 可求证 BD2ACBF 【解答】证明： （1）ACBC，CD 是圆的直径， 由圆的对称性可知：ACDBCD， CDAB， ABEF， CDFCGB90， OD 是圆的半径， EF 是O 的切线； （2）CD 是圆的直径， CBD90， BDF+CDBCDB+BCD90， BDFBCD， BCD
28、BDF， ， BD2BCBF， BCAC， BD2ACBF 25如图，过线段 AB 的端点 B 作射线 BGAB，P 为射线 BG 上一点，以 AP 为边作正方 形 APCD，且点 C、D 与点 B 在 AP 两侧，在线段 DP 上取一点 E，使EAPBAP， 直线 CE 与线段 AB 相交于点 F（点 F 与点 A、B 不重合） （1）求证：AEPCEP； （2）判断 CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）试探究 AE+EF+AF 与 2AB 是否相等，并说明理由 【分析】（1） 四边形 APCD 正方形， 则 DP 平分APC， PCPA， APDCPD45， 即可求解； （2）
29、AEPCEP，则EAPECP，而EAPBAP，则BAPFCP，又 FCP+CMP90，则AMF+PAB90即可求解； （3）证明PCNAPB（AAS） ，则 CNPBBF，PNAB，即可求解 【解答】解： （1）证明：四边形 APCD 正方形， DP 平分APC，PCPA， APDCPD45， PEPE， AEPCEP（SAS） ； （2）CFAB，理由如下： AEPCEP， EAPECP， EAPBAP， BAPFCP， FCP+CMP90，AMFCMP， AMF+PAB90， AFM90， CFAB； （3）过点 C 作 CNPB CFAB，BGAB， FCBN， CPNPCFEAPPAB
30、， 又 APCP， PCNAPB（AAS） ， CNPBBF，PNAB， AEPCEP， AECE， AE+EF+AFCE+EF+AF BN+AF PN+PB+AF AB+CN+AF AB+BF+AF 2AB， 即 AE+EF+AF2AB 26如图，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴相交于点 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴 相交于点 C （1）求该函数的表达式； （2）点 P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点 P 作 PQBC，垂足为点 Q，连接 PC 求线段 PQ 的最大值； 若以点 P、C、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标 【分析】 （1）设
31、交点式 ya（x+1） （x4） ，再展开可得到4a2，解得 a，然 后写出抛物线解析式； （2）作 PNx 轴于 N，交 BC 于 M，如图，先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式 为 yx+2， 设 P （t， t2+t+2） ， 则 M （t， t+2） ， 用 t 表示出 PMt2+2t， 再证明PQMBOC，利用相似比得到 PQt2+t，然后利用二次函数的性 质解决问题； 讨论：当PCQOBC 时，PCQCBO，PCx 轴，利用对称性可确定此时 P 点坐标；当CPQOBC 时，CPQCBO，则CPQMPQ，所以PCM 为 等腰三角形， 则 PCPM，利用两点间的距离公式得到 t2+
32、（t2+t+22）2（t2+2t）2，然 后解方程求出 t 得到此时 P 点坐标 【解答】解： （1）抛物线解析式为 ya（x+1） （x4） ， 即 yax23ax4a， 则4a2，解得 a， 所以抛物线解析式为 yx2+x+2； （2）作 PNx 轴于 N，交 BC 于 M，如图， BC2， 当 x0 时，yx2+x+22，则 C（0，2） ， 设直线 BC 的解析式为 ymx+n， 把 C（0，2） ，B（4，0）得，解得， 直线 BC 的解析式为 yx+2， 设 P（t，t2+t+2） ，则 M（t，t+2） ， PMt2+t+2（t+2）t2+2t， NBMNPQ， PQMBOC， ，即 PQ， PQt2+t（t2）2+， 当 t2 时，线段 PQ 的最大值为； 当PCQOBC 时，PCQCBO， 此时 PCOB，点 P 和点 C 关于直线 x对称， 此时 P 点坐标为（3，2） ； 当CPQOBC 时，CPQCBO， OBCNPQ， CPQMPQ， 而 PQCM， PCM 为等腰三角形， PCPM， t2+（t2+t+22）2（t2+2t）2， 解得 t， 此时 P 点坐标为（，） ， 综上所述，满足条件的 P 点坐标为（3，2）或（，）
