1、2020 年四川省成都市中考数学终极预测试卷（一）年四川省成都市中考数学终极预测试卷（一） 一、选择题 1港珠澳大桥总长度 5500000 米被称为“新世界七大奇迹之一”，则数字 5500000 用科学 记数法表示为（ ） A55105 B5.5106 C0.55105 D5.5105 2如图，该几何体的俯视图是（ ） A B C D 3如图，点 A、B、C 是O 上的点，AOB80，则ACB 的度数是（ ） A30 B40 C45 D80 4二次根式有意义时，x 的取值范围是（ ） A Bx Cx Dx 5下列运算正确的是（ ） A（a+1）2a2+1 B3ab2ca2b3ab C（2ab2
2、）38a3b6 Dx3 xx4 6如图，直线 AB，CD 相交于点 O，PEAB 于点 E，PFCD 于点 F，且AOC50， 则EPF（ ） A50 B60 C40 D30 7若点 M（a，2），N（3，b）关于原点对称，则 a+b（ ） A5 B5 C1 D1 8分式方程有增根，则增根为（ ） A0 B1 C1 或 0 D5 9下列各曲线表示的 y 与 x 之间的关系中，y 不是 x 的函数的是（ ） A B C D 10若二次函数 yx24x+m 的图象经过 A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3）三点，则 y1、y2、y3的关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1
3、y2 Dy2y3y1 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上） 11因式分解：2x34x2+2x 12 反比例函数 y， 当 x0 时， y 随 x 的增大而增大 那么 m 的取值范围是 13 如图， 点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点， 若 OM3， BC10， 则 OB 的长为 14如图，在ABC 中，C46，将ABC 沿着直线 l 折叠，点 C 落在点 D 的位置， 则12 的度数是 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 15（1）计算：（1）02cos45+（） 1 （2）
4、关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2mx+m+30 有两个不相等的实数根，求 m 的 最大整数值 16化简求值：当 x时，求分式（x1）的值； 17如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座 BC 的长为 0.60 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB75，点 A、H、F 在同一条直线上，支架 AH 段的长为 1 米，HF 段的长为 1.50 米，篮板底部支架 HE 的长为 0.75 米 （1）求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE 的度数 （2）求篮板顶端 F 到地面的距离（结果精确到 0.1 米；参考数据：cos750.2588， sin750.965
5、9，tan753.732，1.732，1.414） 18如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，2）、B（4，0）、C（1，0） （1）请直接写出点 A 关于 y 轴对称的点 D 的坐标； （2）将ABC 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90得到A1B1C1，请画出A1B1C1并求点 A 在这一旋转中经过的路程 （3）将ABC 以点 C 为位似中心，放大 2 倍得到A2B2C，请写出一个点 A2的坐标并画 出A2B2C（所画图形必须在所给的网格内） 19如图， 反比例函数 y与一次函数 yax+b 的图象交于点 A（2，6）、 点 B（n， 1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
6、（2）点 E 为 y 轴上一个动点，若 SAEB5，求点 E 的坐标 20如图，ABC 内接于O，ADBC，OEBC，若BAC45 （1）求证：OEBC； （2）将ACD 沿 AC 折叠为ACF，将ABD 沿 AB 折叠为ABG，延长 FC 和 GB 相 交于点 H，若 BD6，CD4，求 AD 的长； （3）作 OMAB 于 M，ONAC 于 N，在（2）的条件下求 一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上） 21已知方程组，当 m 时，x+y0 22已知点 P（a，b）是双曲线 y（c 为常数）和直线 yx+1 的一个交点，则 a2+b2+c2的值是
7、 23将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开铺平 后得到图， 其中 FM、 GN 是折痕， 若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等， 则 的值是 24如图，在边长为 4 正方形 ABCD 中，以 AB 为腰向正方形内部作等腰ABE，点 G 在 CD 上，且 CG3DG连接 BG 并延长，与 AE 交于点 F，与 AD 延长线交于点 H连接 DE 交 BH 于点 K若 AE2BF BH，则 SCDE 25已知点 P（a+1，a1）关于 x 轴的对称点在反比例函数 y（x0）的图象上，y 关于 x 的函数 yk2x2 （2k+1） x+1 的图象与坐标轴只
8、有两个不同的交点 A， B， 则PAB 的面积为 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其 中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花设改造后剩余油菜花地所占面积为 ym2 （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）若改造后观花道的面积为 13m2，求 x 的值； （3）若要求 0.5x1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值 27已知：如图（1），在ABC 中，ABBC2CD，ABCDCB120，AC 交 BD 于点 E （1）如图 1：作 BMCA 于 M，求证：DCEBME；
9、（2）如图 2：点 F 为 BC 中点，连接 AF 交 BD 于点 G，当 ABa 时，求线段 FG 的长度 （用含 a 的代数式表示）； （3）如图 3：在（2）的条件下，将ABG 沿 AG 翻折得到AKG，延长 AK 交 BD 于点 H，若 BH5，求 CE 的长 28如图 1，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B，C，已知点 A 和 C 的坐标分别是（4，0） 和（0，4），点 P 在抛物线 yx2+bx+c 上 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）如图 2，当点 P 在线段 AC 的上方，点 P 的横坐标记为 t，过点 P 作 PMAC 于点 M，当 PM时，求点 P
10、 的坐标； （3） 若点 E 是抛物线对称轴上与点 D 不重合的一点， F 是平面内的一点， 当四边形 CPEF 是正方形时，求点 P 的坐标 参考答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有 一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1港珠澳大桥总长度 5500000 米被称为“新世界七大奇迹之一”，则数字 5500000 用科学 记数法表示为（ ） A55105 B5.5106 C0.55105 D5.5105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移
11、动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：数字 5500000 用科学记数法表示为 5.5106 故选：B 2如图，该几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案 解：从上面看有两层，底层的左边是一个正方形，上层是三个正方形 故选：D 3如图，点 A、B、C 是O 上的点，AOB80，则ACB 的度数是（ ） A30 B40 C45 D80 【分析】根据圆周角定理得到ACBAOB，即可计算出ACB 解：AOB80， ACBAOB40 故选：B 4二次根式有意义时，x 的取值范
12、围是（ ） A Bx Cx Dx 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，列不等式求解 解：根据二次根式的意义，被开方数 32x0，解得 x故选 A 5下列运算正确的是（ ） A（a+1）2a2+1 B3ab2ca2b3ab C（2ab2）38a3b6 Dx3 xx4 【分析】根据完全平方公式判断 A；根据单项式除以单项式的法则判断 B；根据积的乘方 的运算法则判断 C；根据同底数幂的乘法法则判断 D 解：A、（a+1）2a2+2a+1，故本选项错误； B、3ab2ca2b，故本选项错误； C、（2ab2）38a3b6，故本选项错误； D、x3 xx4，故本选项正确 故选：D 6如图
13、，直线 AB，CD 相交于点 O，PEAB 于点 E，PFCD 于点 F，且AOC50， 则EPF（ ） A50 B60 C40 D30 【分析】首先由邻补角定义得出AOF180AOC，然后根据垂直的定义得出 OEPOFP90，再根据四边形的内角和定理得出结果 解：AOC50， AOF180AOC130 PEAB 于点 E，PFCD 于点 F， OEPOFP90， EPF360AOFOEPOFP50 故选：A 7若点 M（a，2），N（3，b）关于原点对称，则 a+b（ ） A5 B5 C1 D1 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得 a、b 的值，进而可得答 案 解：点
14、M（a，2），N（3，b）关于原点对称， a3，b2， a+b1， 故选：D 8分式方程有增根，则增根为（ ） A0 B1 C1 或 0 D5 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方 程的增根 解：， 去分母得：6xx+5， 解得：x1， 经检验 x1 是增根 故选：B 9下列各曲线表示的 y 与 x 之间的关系中，y 不是 x 的函数的是（ ） A B C D 【分析】根据函数的意义即可求出答案函数的意义反映在图象上简单的判断方法是： 做垂直 x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点 解：根据函数的意义可知：对于自变量 x 的任何值，y 都
15、有唯一的值与之相对应，所以只 有选项 C 不满足条件 故选：C 10若二次函数 yx24x+m 的图象经过 A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3）三点，则 y1、y2、y3的关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线 x2，根据 x2 时，y 随 x 的增大而减小，即可得出答案 解：yx24x+m， 图象的开口向上，对称轴是直线 x2， C（4，y3）关于直线 x2 的对称点是（0，y3）， 102， y2y3y1， 故选：D 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，
16、答案写在答题卡上） 11因式分解：2x34x2+2x 2x（x1）2 【分析】先提取公因式 2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 解：2x34x2+2x 2x（x22x+1） 2x（x1）2 故答案为 2x（x1）2 12 反比例函数y， 当x0时， y随x的增大而增大 那么m的取值范围是 m 【分析】根据反比例函数 y（k0）的性质可得到 13m0，然后解不等式即可 解：反比例函数 y，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， 13m0， m 故答案为：m 13 如图， 点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点， 若 OM3， BC10， 则 OB
17、的长为 【分析】已知 OM 是ADC 的中位线，再结合已知条件则 DC 的长可求出，所以利用勾 股定理可求出 AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则 BO 的长即可求出 解：四边形 ABCD 是矩形， D90， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OMAB， OM 是ADC 的中位线， OM3， DC6， ADBC10， AC2， BOAC， 故答案为 14如图，在ABC 中，C46，将ABC 沿着直线 l 折叠，点 C 落在点 D 的位置， 则12 的度数是 92 【分析】由折叠的性质得到DC，再利用外角性质即可求出所求角的度数 解：由折叠的性质得：DC46， 根据外角性质得：
18、13+C，32+D， 则12+C+D2+2C2+92， 则1292 故答案为：92 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 15（1）计算：（1）02cos45+（） 1 （2）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2mx+m+30 有两个不相等的实数根，求 m 的 最大整数值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算； （2） 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m10 且4m24 （m1）（m+3） 0，然后求出两不等式的公共部分即可 解：（1）原式312+4 31 +4 2+3； （2）根据题意得 m10 且4m24（m
19、1）（m+3）0， 解得 m且 m1 16化简求值：当 x时，求分式（x1）的值； 【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值 解：原式（x1） ， 当 x时，原式2 17如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座 BC 的长为 0.60 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角ACB75，点 A、H、F 在同一条直线上，支架 AH 段的长为 1 米，HF 段的长为 1.50 米，篮板底部支架 HE 的长为 0.75 米 （1）求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE 的度数 （2）求篮板顶端 F 到地面的距离（结果精确到 0.1 米；参考数据：co
20、s750.2588， sin750.9659，tan753.732，1.732，1.414） 【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出 cosFHE，进而得出答案； （2） 延长 FE 交 CB 的延长线于 M， 过 A 作 AGFM 于 G， 解直角三角形即可得到结论 解：（1）由题意可得：cosFHE， 则FHE60； （2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AGFM 于 G， 在 RtABC 中，tanACB， ABBC tan750.603.7322.2392， GMAB2.2392， 在 RtAGF 中，FAGFHE60，sinFAG， sin60， FG2.17（
21、m）， FMFG+GM4.4（米）， 答：篮板顶端 F 到地面的距离是 4.4 米 18如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，2）、B（4，0）、C（1，0） （1）请直接写出点 A 关于 y 轴对称的点 D 的坐标； （2）将ABC 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90得到A1B1C1，请画出A1B1C1并求点 A 在这一旋转中经过的路程 （3）将ABC 以点 C 为位似中心，放大 2 倍得到A2B2C，请写出一个点 A2的坐标并画 出A2B2C（所画图形必须在所给的网格内） 【分析】（1）利用关于 y 轴对称点的坐标特点直接得出答案即可； （2）找出点 A、B、C 绕坐标原点 O
22、顺时针旋转 90的对应点 A1、B1、C1的位置，然后 顺次连接即可得到A1B1C1； （3）将ABC 以点 C 为位似中心，放大 2 倍即可得到A2B2C，进而得出点 A2的坐标 解：（1）点 A 关于 y 轴对称的点 D 的坐标为（2，2）； （2）如图所示，A1B1C1即为所求，点 A 在这一旋转中经过的路程为 （3）如图所示，A2B2C 即为所求，点 A2的坐标为（1，4） 19如图， 反比例函数 y与一次函数 yax+b 的图象交于点 A（2，6）、 点 B（n， 1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点 E 为 y 轴上一个动点，若 SAEB5，求点 E 的坐标 【分
23、析】（1）先把 A 点坐标代入 y中求出 k 得到反比例函数解析式为 y，再 利用反比例函数解析式确定 B（12，1），然后利用待定系数法求一次解析式； （2）设一次函数图象与 y 轴的交点为 Q，易得 Q（0，7），设 E（0，m），利用三角形 面积公式，利用 SAEBSBEQSAEQ得到|m7|（122）5，然后解方程求出 m 即 可得到点 E 的坐标 解：（1）把 A（2，6）代入 y得 k2612， 反比例函数解析式为 y， 把 B（n，1）代入 y得 n12，则 B（12，1）， 把 A（2，6）、B（12，1）代入 yax+b 得，解得， 一次函数解析式为 yx+7； （2）设 y
24、x+7 与 y 轴的交点为 Q，易得 Q（0，7），设 E（0，m）， SAEBSBEQSAEQ5， |m7|（122）5，解得 m16，m28 点 E 的坐标为（0，6）或（0，8） 20如图，ABC 内接于O，ADBC，OEBC，若BAC45 （1）求证：OEBC； （2）将ACD 沿 AC 折叠为ACF，将ABD 沿 AB 折叠为ABG，延长 FC 和 GB 相 交于点 H，若 BD6，CD4，求 AD 的长； （3）作 OMAB 于 M，ONAC 于 N，在（2）的条件下求 【分析】（1）根据圆周角定理得到BOC90，根据等腰直角三角形的性质即可得 到结论； （2）根据折叠的性质得到G
25、ADB90，FADC90，GABBAD， FACCAD，AGAF，推出四边形 AGHF 是正方形，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，根据勾股定理和垂径定理即可得到结论 解：（1）BAC45， BOC90， OBOC，OEBC， OEBC； （2）ADBC， ADBADC90， 将ACD 沿 AC 折叠为ACF，将ABD 沿 AB 折叠为ABG， GADB90，FADC90，GABBAD，FACCAD，AG AF， GAF90， 四边形 AGHF 是正方形， H90， BD6，CD4， BGBD6，CFCD4，BC10， 设 ADx， AGAFGHHFx， BHx6，HCx4， BH2+C
26、H2CB2， （x6）2+（x4）2102， x12，（负值舍去）， AD12； （3）如图， AGAFAD12，BG6，CF4， AB6，AC4， OMAB 于 M，ONAC， BMAB3，CNAC2， OBOCBC5， OM，ON， 一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上） 21已知方程组，当 m 时，x+y0 【分析】方程组两方程相加表示出 x+y，根据 x+y 大于 0 确定出 m 的范围即可 解：， +得：3（x+y）3m+1，即 x+y， 由 x+y0，得到0， 解得：m， 故答案为： 22已知点 P（a，b）是双曲线 y（c 为常数）和直
27、线 yx+1 的一个交点，则 a2+b2+c2的值是 【分析】将 P（a，b）分别代入两解析式，根据纵坐标相等，建立等式，找到 a、c 之间 的关系式，利用非负数的性质解答即可 解：将 P（a，b）分别代入两解析式得，b，ba+1； 于是a+1； 整理得，4c2+（a2）20； 根据非负数的性质，c0，a2 见 a2 代入 yx+1 得，y2+1， 即 b 于是 a2+b2+c222 +（）2+02 故答案为： 23将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开铺平 后得到图， 其中 FM、 GN 是折痕， 若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等， 则 的值是
28、 【分析】连接 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得 PHMF 且正方形 EFGH 的面积正方形 ABCD 的面积，从而用 a 分别表示出线段 GF 和线段 MF 的长即可求解 解：连接 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，如图： 由折叠可知点 P、H、F、M 四点共线，且 PHMF， 设正方形 ABCD 的边长为 2a， 则正方形 ABCD 的面积为 4a2， 若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等 由折叠可知正方形 EFGH 的面积正方形 ABCD 的面积a2， 正方形 EFGH 的边长 GFa， HFGFa， MFPHa ，
29、 故答案为： 24如图，在边长为 4 正方形 ABCD 中，以 AB 为腰向正方形内部作等腰ABE，点 G 在 CD 上，且 CG3DG连接 BG 并延长，与 AE 交于点 F，与 AD 延长线交于点 H连接 DE 交 BH 于点 K若 AE2BF BH，则 SCDE 【分析】作 EMAB 于 M，EM 交 CD 于 N，如图，利用勾股定理计算出 BG5，再证 明HDGHAB，利用相似比计算出 HB，再证明BAFBHA 得到BFA BAH90，接着求出 BF 得到 MEBF，然后计算出 EN 后利用三角形面积公 式计算 解：作 EMAB 于 M，EM 交 CD 于 N，如图，则 ENCD， C
30、G3DG， DG1，CG3， 在 RtBCG 中，BG5， DGAB， HDGHAB， ，即，解得 HB， AE2BF BH，而 ABAE， AB2BF BH，即 AB：BFBH：AB， 而ABFHBA， BAFBHA， BFABAH90， BFEM， BF， MEBF， EN4， SCDE 4 故答案为 25已知点 P（a+1，a1）关于 x 轴的对称点在反比例函数 y（x0）的图象上，y 关于 x 的函数 yk2x2 （2k+1） x+1 的图象与坐标轴只有两个不同的交点 A， B， 则PAB 的面积为 或 8 【分析】先确定出点点 P 的坐标，再判断出函数 yk2x2（2k+1）x+1
31、的图象与 y 轴必 有一个交点，得出此函数图象与 x 轴只有一个交点，分两种情况，求出点 A 的坐标，最 后用三角形的面积公式计算即可得出结论 解：P（a+1，a1）关于 x 轴的对称点在反比例函数 y（x0）， （a+1）（a+1）8， a3，x0， 点 P 关于 x 轴的对称点在 y 轴的右侧， 点 P 也在 y 轴的右侧， a+10， a1， a3， P（4，2）， 令点 A 是函数 yk2x2（2k+1）x+1 与 x 轴的交点，点 B 是与 y 轴的交点， 令 x0 时，y1， B（0，1）， 函数 yk2x2（2k+1）x+1 始终与 y 轴有一个交点， 函数 yk2x2（2k+1
32、）x+1 的图象与坐标轴只有两个不同的交点 A，B， 函数 yk2x2（2k+1）x+1 与 x 轴只有一个交点 A， 当 k0 时，即函数解析式为 yx+1，为一次函数， A（1，0）， 如图，B（0，1），P（4，2）， 直线 BP 的解析式为 yx+1， 过点 A 作 ACy 轴交 BP 于 C， C（1，）， SABPAC |xPxB | ， 当 k0 时， 即函数 yk2x2 （2k+1） x+1 为二次函数， 此时抛物线与 x 轴只有一个交点， 令 y0，则 0k2x2（2k+1）x+1， （4k+1）24k24k+10， k， A（4，0）， PAy 轴， SPABPB xA8，
33、 故答案为或 8 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其 中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花设改造后剩余油菜花地所占面积为 ym2 （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）若改造后观花道的面积为 13m2，求 x 的值； （3）若要求 0.5x1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值 【分析】（1）直接利用直角三角形面积求法得出答案； （2）利用已知得出 y35，进而解方程得出答案； （3）利用配方法得出函数顶点式，再利用二次函数增减性得出答案 解：（1）由题意可得：y（
34、8x）（6x） x214x+48（0x6）； （2）由题意可得：y481335， 则 x214x+4835， 即（x1）（x13）0， 解得：x11，x213， 经检验得：x13 不合题意，舍去， 答：x 的值为 1； （3）yx214x+48 （x7）21 当 0.5x1 时，y 随 x 的增大而减小， 故当 x0.5 时，y 最大，ym2 27已知：如图（1），在ABC 中，ABBC2CD，ABCDCB120，AC 交 BD 于点 E （1）如图 1：作 BMCA 于 M，求证：DCEBME； （2）如图 2：点 F 为 BC 中点，连接 AF 交 BD 于点 G，当 ABa 时，求线段
35、FG 的长度 （用含 a 的代数式表示）； （3）如图 3：在（2）的条件下，将ABG 沿 AG 翻折得到AKG，延长 AK 交 BD 于点 H，若 BH5，求 CE 的长 【分析】 （1） 首先证明 BC2BM， 可得 CDBM， 根据 AAS 即可证明DCEBME （2）如图 2 中，作 FNAB 交 AB 的延长线于 N解直角三角形求出 AF，再利用相似三 角形的性质求出 FG （3）如图 3 中，作 FNAB 交 AB 的延长线于 N，BMAC 于 M设 ABa解直角三 角形求出 GH，BG（用 a 表示），构建方程求出 a 即可解决问题 【解答】（1）证明：如图 1 中， BCBA，
36、ABC120， ABCA30， BMAC， BMC90， BMBC， BC2CD，BC2BM， CDBM， BCD120， ECDEMB90， DECBEM， DCEBME（AAS） （2）解：如图 2 中，作 FNAB 交 AB 的延长线于 N CFBF，ABBC2CD， CDBF， DCBFBA120，CBBA， DCBFBA（SAS）， DBCBAF， BFGBFA， FBGFAB， ， 在 RtBFN 中，BFa，FBN60，N90， BNa，FNa， AFa， FGa （3）解：如图 3 中，作 FNAB 交 AB 的延长线于 N，BMAC 于 M设 ABa 由（2）可知：FGa，
37、AGAFFGa， FBGFAB， BG a， AKG 和ABG 关于直线 AG 对称， GAHBAF， DBCGAH， 又BGFAGH， BGFAGH， ， GHa， BHBG+GHa5， a14， BCAB14， BMAC， CMB90， CMBCcos307， DECBEM， ECEMCM 28如图 1，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B，C，已知点 A 和 C 的坐标分别是（4，0） 和（0，4），点 P 在抛物线 yx2+bx+c 上 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）如图 2，当点 P 在线段 AC 的上方，点 P 的横坐标记为 t，过点 P 作 PMAC 于点
38、 M，当 PM时，求点 P 的坐标； （3） 若点 E 是抛物线对称轴上与点 D 不重合的一点， F 是平面内的一点， 当四边形 CPEF 是正方形时，求点 P 的坐标 【分析】（1）将 A、C 点坐标代入二次函数表达，即可求解； （2）求出 PEPM2，即可求解； （3）分当 CE 为正方形一条边、CE 为正方形的对角线两种情况，求解即可 解：（1）将 A、C 点坐标代入二次函数表达式得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：yx23x+4， 则点 D 的坐标为（，）； （2）设：直线 AC 的表达式为：ykx+4， 将点 A 坐标代入上式得：04k+4，解得：k1， 则直线 AC 的表达式为：
39、yx+4， 过点 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于点 EM OAOC，CAB45，则EPM45， PEPM2， 设：点 P 坐标为（x，x23x+4），则点 E 坐标为（x，x+4）， PEx23x+4x4x24x2， 解得：x2， 则点 P 的坐标为（2，+4）或（2，4）； （3）当点 P在对称轴左侧时（左侧图）， 同所证，设 CHa，则点 P坐标为（a，4a）， 将点 P坐标代入二次函数表达式并解得：a（负值已舍去）， 点 P的坐标为（，）， 同理当点 P在对称轴右侧时（右侧图）， 点 P的坐标为（1，）或（，） 备注：本题如果是这样表述：当四边形 C，P，E，F 是正方形时，求点 P 的坐标 则需要考虑：CE 为正方形一条边时， 过点 E 作 EGy 轴，交 y 轴于点 G， ECG+PCG90，CEG+ECG90，CEGPGC， 而EGCCPF90，ECPC，ECGCPH， EGCH，则点 P 坐标为（，）
