1、2020 年四川省成都市中考数学训练试卷（四）年四川省成都市中考数学训练试卷（四） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的倒数是（ ） A B C D 2下列几何体，俯视图是正方形的是（ ） A正方体 B球 C圆锥 D圆柱体 3若分式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 4在ABC 中，BC，AC5，则 AB 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 52016 年参加成都市中考的人数为 11.7 万人，将 11.7 万用科学记数法表示为（ ） A1.17105 B11.7104 C0.017106 D1.17106 6下列计算正确的是（ ） A（5）2
2、B484 C2 38 D （2017）00 7在平面直角坐标系中，下列函数图象经过原点的是（ ） Ay2x+3 By Cyx（ x2 ） Dyx1 8二次函数 y（x1）22 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 9如图，ABC 内接于O，OBC25，则A 的度数为（ ） A70 B65 C60 D50 10如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A7 B9 C10 D11 二填空题二填空题 11不等式 3x14 的解集为 12直角三角
3、形一直角边的长是 3，斜边长是 5，则此直角三角形的面积为 13某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30，高为 4m，则扶梯的长度是 m 14在某公益活动中，某社区对本社区的捐款情况进行了统计，如图是该社区捐款情况的条 形统计图，则本次捐款金额的中位数是 元 三解答题（三解答题（ 15 （1）计算： （1）2+2sin30+（2017）0 （2）解方程组： 16化简： （） 17如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得 大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 45，若坡角FAE30，求
4、大树的高度（结果保留根号） 18如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的 A 盘被等分成 4 个扇形，小亮转动 的 B 盘被等分成 3 个扇形，两人分别转动转盘一次 （1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色） ； （2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由 19如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（1，3） ，B（3， n）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）在 x 轴上找一点 P，使|PAPB|的值最大，求满足条件的点 P 的坐标及PAB 的面 积 20如图，
5、O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O 于点 E，交 BC 于点 D，过点 E 作直线 lBC （1）判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 F，求证：BEEF； （3）在（2）的条件下，若 DE4，DF3，求 AF 的长 B 卷 一.填空题 21若 xy1，则代数式 52x+2y 的值是 22已知关于 x 的分式方程1 的解为正数，则 m 的取值范围是 23如图，将长为 2，宽为 a 的矩形纸片（1a2）按照以下方法裁剪：剪去一个边长 等于矩形宽度的正方形 （称为第一次操作） ； 把剩下的矩形剪去一个边长等于此时矩形 宽度的正方形
6、（称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第三次操作后，剩下的图形 恰好是正方形，则 a 的值为 24如图，菱形 ABCD 中，ABC60，AB2，E、F 分别是边 BC 和对角线 BD 上的动 点，且 BEDF，则 AE+AF 的最小值为 25如图，AB 为O 的直径，AC 为O 的弦，BAC 的平分线交O 于 D，DEAC 交 AC 的延长线于 E， 连接 OE 交 AD 于 F， 若 cosBAC， AF8， 则 DF 的长为 二.解答题 26科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程： 在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；对宿舍楼进行防辐射处理，已知防
7、辐射 费 y 万元与科研所到宿舍楼的距离 xkm 之间的关系式为 ya+b （0x9） 当科研所 到宿舍楼的距离为 1km 时，防辐射费用为 720 万元；当科研所到宿舍楼的距离为 9km 或 大于 9km 时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理设每公里修路的费用为 m 万元， 配套工程费 w防辐射费+修路费 （1）当科研所到宿舍楼的距离 x9km 时，防辐射费 y 万元，a ，b ； （2）若每公里修路的费用为 90 万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少 km 时，配套工 程费最少？ （3）如果配套工程费不超过 675 万元，且科研所到宿舍楼的距离小于 9km，求每公里修 路费用 m 万元的
8、最大值 27如图，BM、DN 分别平分正方形 ABCD 的两个外角，且MAN45，连接 MN （1）猜想以线段 BM、DN、MN 为三边组成的三角形的形状，并证明你的结论； （2）若AMN 为等腰直角三角形，探究线段 BM、DN 之间的数量关系； （3）当 MNAD 时，直接写出的值 28如图，抛物线 yx22x+a（a0）与 y 轴相交于 A 点，顶点为 M，直线 yxa 分别与 x 轴、y 轴相交于 B、C 两点，并且与直线 MA 相交于 N 点 （1）若直线 BC 和抛物线有两个不同交点，求 a 的取值范围，并用 a 表示点 M、A 的坐 标； （2）将NAC 沿 y 轴翻折，若点 N
9、的对称点 N恰好落在抛物线上，AN与抛物线的 对称轴相交于点 D，连接 CD，求 a 的值及NCD 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、A、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的倒数是（ ） A B C D 【分析】根据乘积是 1 的两个数互为倒数解答 【解答】解：（）（）1， 的倒数是 故选：C 2下列几何体，俯视图是正方形的是（ ） A正方体 B球 C圆锥 D圆柱体 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：A正方体
10、的俯视图是正方形，故本选项符合题意； B球的俯视图是圆，故本选项不合题意； C正立放置的圆锥的俯视图是圆，故本选项不合题意； D正立放置的圆柱体的俯视图是圆，故本选项不合题意 故选：A 3若分式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案 【解答】解：若分式有意义，则 x+20， 解得：x2 故选：B 4在ABC 中，BC，AC5，则 AB 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据等腰三角形的性质直接写出答案即可 【解答】解：ABC 中，BC， ABAC， AC5， AB5， 故选：D 52016 年参加成都市中考的人数
11、为 11.7 万人，将 11.7 万用科学记数法表示为（ ） A1.17105 B11.7104 C0.017106 D1.17106 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：11.7 万1170001.17105 故选：A 6下列计算正确的是（ ） A（5）2 B484 C2 38 D （2017）00 【分析】直接利用有理数的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分 别化简得出答案 【解答】解：A、（5）2，故此选项错误； B、484，正确； C、2 3 ，故此选项错误； D、 （2017）0
12、1，故此选项错误 故选：B 7在平面直角坐标系中，下列函数图象经过原点的是（ ） Ay2x+3 By Cyx（ x2 ） Dyx1 【分析】将（0，0）代入各选项进行判断即可 【解答】解：A、当 x0 时，y3，不经过原点，故本选项错误； B、当 x0 时，y无意义，不经过原点，故本选项错误； C、当 x0 时，y0，经过原点，故本选项正确； D、当 x0 时，y1，不经过原点，故本选项错误 故选：C 8二次函数 y（x1）22 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标 【解答
13、】解：因为 y（x1）22 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，2） 故选：C 9如图，ABC 内接于O，OBC25，则A 的度数为（ ） A70 B65 C60 D50 【分析】 由 OBOC， 得OCBOBC， 而OBC25， 得到OCBOBC25， 因此COB1802525130，由圆周角定理得到ACOB 【解答】解：OBOC，OBC25， OCBOBC25， COB1802525130， ACOB13065 故选：B 10如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长
14、是（ ） A7 B9 C10 D11 【分析】根据勾股定理求出 BC 的长，根据三角形的中位线定理得到 HGBCEF， EHFGAD，求出 EF、HG、EH、FG 的长，代入即可求出四边形 EFGH 的周长 【解答】解：BDDC，BD4，CD3，由勾股定理得：BC5， E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， HGBCEF，EHFGAD， AD6， EFHG2.5，EHGF3， 四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH2（2.5+3）11 故选：D 二填空题二填空题 11不等式 3x14 的解集为 x1 【分析】直接利用一元一次不等式的解法进而分析得出答案 【解答】解
15、：3x14， 则 3x3， 解得：x1 故答案为：x1 12直角三角形一直角边的长是 3，斜边长是 5，则此直角三角形的面积为 6 【分析】 根据勾股定理可以求得另一条直角边的长， 然后即可求得此直角三角形的面积 【解答】解：直角三角形一直角边的长是 3，斜边长是 5， 另一条直角边为4， 此直角三角形的面积为：6， 故答案为：6 13某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30，高为 4m，则扶梯的长度是 8 m 【分析】根据含 30的直角三角形的性质解答即可 【解答】解：自动扶梯，其倾斜角为 30，高为 4m， 则扶梯的长度是 248m， 故答案为：8 14在某公益活动中，某社区对本社区的捐款情况
16、进行了统计，如图是该社区捐款情况的条 形统计图，则本次捐款金额的中位数是 200 元 【分析】由统计图可知，捐款金额为 50 元的有 5 人，100 元的有 18 人，200 元的有 17 人，200 元以上的有 8 人，共有 48 人参加捐款，中位数是将捐款金额从小到大排列后处 在第 24、25 位都是 200 元，因此捐款金额的中位数是 200 元 【解答】解：共有 5+18+17+848 人参加捐款， 将捐款金额从小到大排列，处在第 24、25 位的两个数都是 200 元， 因此中位数是 200 元， 故答案为：200 三解答题三解答题 15 （1）计算： （1）2+2sin30+（20
17、17）0 （2）解方程组： 【分析】 （1）本题涉及零指数幂、平方、特殊角的三角函数值、三次根式化简 4 个知识 点在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算 结果 （2）根据加减消元法解方程即可得解 【解答】解： （1） （1）2+2sin30+（2017）0 1+22+1 1+12+1 1； （2）， 得 3y3，解得 y1； 把 y1 代入得 x12， 解得 x3 故原方程组的解是 16化简： （） 【分析】先计算括号内减法，然后计算乘法 【解答】解（） x+2 17如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得 大树顶
18、端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 45，若坡角FAE30，求大树的高度（结果保留根号） 【分析】过点 D 作 DGBC 于 G，DHCE 于 H，设 BC 为 x 米，根据矩形的性质得出 DGCH，CGDH，再利用锐角三角函数的性质求 x 的值即可 【解答】解：如图，过点 D 作 DGBC 于 G，DHCE 于 H， 则四边形 DHCG 为矩形 故 DGCH，CGDH， 在直角三角形 AHD 中， DAH30，AD6 米， DH3 米，AH3米， CG3 米， 设 BC 为 x 米， 在直角三角形 ABC 中，ACx 米，
19、DG（3+x）米，BG（x3）米， 在直角三角形 BDG 中，BGDGtan30， x3（3+x）， 解得：x9， BC（9）米 答：大树的高度为（9）米 18如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的 A 盘被等分成 4 个扇形，小亮转动 的 B 盘被等分成 3 个扇形，两人分别转动转盘一次 （1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色） ； （2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由 【分析】 （1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，根据概率公式即可得答案； （2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，继而可得小亮获胜，得到
20、结论不公平 【解答】解： （1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有 12 种 红 蓝 黄 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （黄，黄） 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 则两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率为； （2）不公平 上面等可能出现的 12 种结果中，有 3 种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是， 即小明获胜的概率是； 小亮获胜的概率为 1， 而，即小亮获胜的概率大， 这个“配色”游戏对双方是不公平的 19如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A
21、（1，3） ，B（3， n）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）在 x 轴上找一点 P，使|PAPB|的值最大，求满足条件的点 P 的坐标及PAB 的面 积 【分析】 （1）通过反比例函数过点 A，求出反比例函数的表达式，进而求出点 B 的坐标， 进而求解； （2）证明|PAPB|PAPB|AB 为最大，即可求出点 P 的坐标，利用PAB 的面 积 SSAAPSAABAA（xBxP） ，即可求解 【解答】解： （1）反比例函数过点 A，则 m133， 故反比例函数的表达式为：y， 将点 B 的坐标代入上式并解得：n1，故点 B（3，1） ， 将点 A、B
22、 的坐标代入一次函数表达式得，解得， 故直线 AB 的表达式为：yx+2； （2）过点 A 作 x 轴的对称轴 A（1，3） ，连接 AB 交 x 轴于点 P， |PAPB|PAPB|AB 为最大， 由点 A、B 的坐标，同理可得直线 AP 的表达式为：yx， 令 y0，则 x5，故点 P（5，0） ， PAB 的面积 SSAAPSAABAA（xBxP）（3+3）（3+5）6 20如图，O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O 于点 E，交 BC 于点 D，过点 E 作直线 lBC （1）判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 F，求
23、证：BEEF； （3）在（2）的条件下，若 DE4，DF3，求 AF 的长 【分析】 （1）连接 OE由题意可证明，于是得到BOECOE，由等腰三角 形三线合一的性质可证明 OEBC，于是可证明 OEl，故此可证明直线 l 与O 相切； （2）先由角平分线的定义可知ABFCBF，然后再证明CBEBAF，于是可得 到EBFEFB，最后依据等角对等边证明 BEEF 即可； （3）先求得 BE 的长，然后证明BEDAEB，由相似三角形的性质可求得 AE 的长， 于是可得到 AF 的长 【解答】解： （1）直线 l 与O 相切 理由：如图 1 所示：连接 OE AE 平分BAC， BAECAE OEB
24、C lBC， OEl 直线 l 与O 相切 （2）BF 平分ABC， ABFCBF 又CBECAEBAE， CBE+CBFBAE+ABF 又EFBBAE+ABF， EBFEFB BEEF （3）由（2）得 BEEFDE+DF7 DBEBAE，DEBBEA， BEDAEB ，即，解得；AE AFAEEF7 21若 xy1，则代数式 52x+2y 的值是 7 【分析】所求式子后两项提取2 变形后，将 xy 的值代入计算即可求出值 【解答】解：xy1， 52x+2y52（xy）5+27 故答案为：7 22已知关于 x 的分式方程1 的解为正数，则 m 的取值范围是 m 1 【分析】去分母将分式方程转
25、化为整式方程 x2x22m0，根据关于 x 的分式方程 1 的解为正数，得出 14（22m）0，且22m0，求出 m 的范 围，再将（x+2） （x2）0 的 m 的值去掉即可 【解答】解：去分母得 m（x+2）（x+m） （x2）（x+2） （x2） ， 整理，得 x2x22m0， 关于 x 的分式方程1 的解为正数， 方程 x2x22m0 的解为正数， 14（22m）0，22m0， m1， x2 时，m0；x2 时，m2， m1， 故答案为：m1 23如图，将长为 2，宽为 a 的矩形纸片（1a2）按照以下方法裁剪：剪去一个边长 等于矩形宽度的正方形 （称为第一次操作） ； 把剩下的矩形剪
26、去一个边长等于此时矩形 宽度的正方形（称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第三次操作后，剩下的图形 恰好是正方形，则 a 的值为 或 【分析】根据 a 的求值范围不同进行讨论，求出满足题意的 a 值即可 【解答】解：第一次操作后剩下的矩形长为：2a， 第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：2a，2a2， 当 2a2a2，a时，2a2（2a2） ， 解得：a； 当 2a2a2，a时，2（2a）2a2， 解得：a； 综上所述，a 的值为或； 故答案为：或 24如图，菱形 ABCD 中，ABC60，AB2，E、F 分别是边 BC 和对角线 BD 上的动 点，且 BEDF，则 AE+AF 的最小值为
27、 2 【分析】如图，BC 的下方作CBT30，在 BT 上截取 BT，使得 BTAD，连接 ET， AT证明ADFTBE（SAS） ，推出 AFET，AE+AFAE+ET，根据 AE+ETAT 求 解即可 【解答】解：如图，BC 的下方作CBT30，在 BT 上截取 BT，使得 BTAD，连接 ET，AT 四边形 ABCD 是菱形，ABC60， ADCABC60，ADFADC30， ADBT，ADFTBE30，DFBE， ADFTBE（SAS） ， AFET， ABTABC+CBT60+3090，ABADBT2， AT2， AE+AFAE+ET， AE+ETAT， AE+AF2， AE+AF
28、的最小值为 2， 故答案为 2 255如图，AB 为O 的直径，AC 为O 的弦，BAC 的平分线交O 于 D，DEAC 交 AC 的延长线于 E， 连接 OE 交 AD 于 F， 若 cosBAC， AF8， 则 DF 的长为 5 【分析】连接 BD，过 D 作 DHAB 于 H，根据 cosDOHcosCAB，设 OD5x，则 AB10x，OH3x，DH4x由勾股定理得：AD280x2，证EAD DAB 求出 AD2AEABAE10x，得出 AE8x，根据ODFEAF 即可得到结论 【解答】解：过 D 作 DHAB 于 H，连接 BD、OD， 则CABDOH， cosDOHcosCAB，
29、设 OD5x，则 AB10x，OH3x，DH4x 在 RtADH 中，由勾股定理得：AD2（4x）2+（5x+3x）280x2， DEAC，AB 是O 直径， AEDADB90， EADBAD（角平分线定义） ， EADDAB， ， AD2AEABAE10x， AE8x， ODAE， ODFEAF， ， AF8， DF5 故答案为：5 26科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程： 在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射 费 y 万元与科研所到宿舍楼的距离 xkm 之间的关系式为 ya+b （0x9） 当科研所 到宿舍楼的距离
30、为 1km 时，防辐射费用为 720 万元；当科研所到宿舍楼的距离为 9km 或 大于 9km 时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理设每公里修路的费用为 m 万元， 配套工程费 w防辐射费+修路费 （1）当科研所到宿舍楼的距离 x9km 时，防辐射费 y 0 万元，a 360 ，b 1080 ； （2）若每公里修路的费用为 90 万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少 km 时，配套工 程费最少？ （3）如果配套工程费不超过 675 万元，且科研所到宿舍楼的距离小于 9km，求每公里修 路费用 m 万元的最大值 【分析】 （1）当科研所到宿舍楼的距离为 9km 或大于 9km 时，辐射影响忽略
31、不计，不进 行防辐射处理，所以当科研所到宿舍楼的距离 x9km 时，防辐射费 y0 万元，根据题 意得方程组，即可求出 a，b 的值； （2）科研所到宿舍楼的距离为 xkm，配套工程费为 w 元，分两种情况：当 x9 时， w360+1080+90x90+720，当 x9 时，w90x，分别求出最小值， 即可解答； （3）根据配套工程费不超过 675 万元，且科研所到宿舍楼的距离小于 9km，列出不等式 组，即可解答 【解答】 解： （1） 当科研所到宿舍楼的距离为 9km 或大于 9km 时， 辐射影响忽略不计， 不进行防辐射处理， 当科研所到宿舍楼的距离 x9km 时，防辐射费 y0 万元
32、， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：0，360，1080 （2）科研所到宿舍楼的距离为 xkm，配套工程费为 w 元， 当 x9 时，w360+1080+90x90+720， 当0 时，即 x4，w 有最小值，最小值为 720 万元； 当 x9 时，w810， 当 x9 时，w 有最小值，最小值为 810 万元， 当 x4 时，w 有最小值，最小值为 720 万元； 即当科研所到宿舍楼的距离 4km 时，配套工程费最少 （3）由题意得：， 由得：， 由得：， ， w， 60m80， 每公里修路费用 m 万元的最大值为 80 27如图，BM、DN 分别平分正方形 ABCD 的两个外角，且MA
33、N45，连接 MN （1）猜想以线段 BM、DN、MN 为三边组成的三角形的形状，并证明你的结论； （2）若AMN 为等腰直角三角形，探究线段 BM、DN 之间的数量关系； （3）当 MNAD 时，直接写出的值 【分析】 （1）过点 A 作 AFAN 并截取 AFAN，连接 BF、FM，根据同角的余角相等 求出13，然后利用“边角边”证明ABF 和ADN 全等，根据全等三角形对应边 相等可得 BFDN，FBANDA135，再求出FAMMAN45，然后利用 “边角边”证明AFM 和ANM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 FMNM，再 求出FBM 是直角三角形，然后利用勾股定理判断即可； （2
34、） 根据角平分线的定义求出CBMCDN45， 再求出ABMADN135， 然后根据正方形的每一个角都是 90求出BAM+NAD45，三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和BAM+AMB45， 从而得到NADAMB， 再求出 ABM 和NDA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可； （3） 连接 BD 并延长交 MN 延长线于点 G， 易证DGN 和BGM 均为等腰直角三角形， 从而得出 GNDN、 GMBM， 设 BMx、 DNy， 由 DN2+BM2MN2知 MN （yx） ，从而有 x2+y2（yx）2，解之可得 x（2）y，从而得出答案 【解答】解： （1）以 BM，DN
35、，MN 为三边围成的三角形为直角三角形 证明如下：如图，过点 A 作 AFAN 并截取 AFAN，连接 BF、FM， 1+BAN90， 3+BAN90， 13， 在ABF 和ADN 中， ， ABFADN（SAS） ， BFDN，FBANDA135， FAN90，MAN45， 1+2FAMMAN45， 在AFM 和ANM 中， ， AFMANM（SAS） ， FMNM， FBP180FBA18013545， FBP+PBM45+4590， FBM 是直角三角形， FBDN，FMMN， 以 BM，DN，MN 为三边围成的三角形为直角三角形； （2）BM、DN 分别平分正方形的两个外角， CBMC
36、DN45， ABMADN135， MAN45， BAM+NAD45， 在ABM 中，BAM+AMBMBP45， NADAMB， 在ABM 和NDA 中， ， ABMNDA， AMN 是等腰直角三角形， ； （3）连接 BD 并延长交 MN 延长线于点 G，如图 2， 由题意知GDNGBM90，ADN135， MNAD， GND45， G90GND45， DGN 和BGM 均为等腰直角三角形， GNDN，GMBM， 由（1）知，DN2+BM2MN2， 设 BMx，DNy， 则 GMx，GNy， MN（yx） ， x2+y2（yx）2， x1（2+）y（舍） ，x2（2）y， 28如图，抛物线 y
37、x22x+a（a0）与 y 轴相交于 A 点，顶点为 M，直线 yxa 分别与 x 轴、y 轴相交于 B、C 两点，并且与直线 MA 相交于 N 点 （1）若直线 BC 和抛物线有两个不同交点，求 a 的取值范围，并用 a 表示点 M、A 的坐 标； （2）将NAC 沿 y 轴翻折，若点 N 的对称点 N恰好落在抛物线上，AN与抛物线的 对称轴相交于点 D，连接 CD，求 a 的值及NCD 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、A、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于 x 的方
38、程，再由直线 BC 和抛物线有 两个不同交点可知0，求出 a 的取值范围，令 x0 求出 y 的值即可得出 A 点坐标， 把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出 M 点的坐标； （2）利用待定系数法求出直线 MA 的解析式，联立两直线的解析式可得出 N 点坐标，进 而可得出 N点坐标，根据 SNCDSNACSADC可得出结论； （3）分点 P 在 y 轴左侧与右侧两种情况：先用 a 表示出点 N，P 的坐标，代入抛物线解 析式中，即可得出结论 【解答】解： （1）由题意得，整理得 2x2+5x4a0， 25+32a0，解得 a， a0， a且 a0， 令 x0，得 ya， A（0，a） ，
39、yx22x+a（x+1）2+1+a， M（1，1+a） （2）设直线 MA 的解析式为 ykx+b（k0） ， A（0，a） ，M（1，1+a） ， ，解得， 直线 MA 的解析式为 yx+a， 联立得，解得， N（，） ， 点 N是点 N 关于 y 轴的对称点， N（，） ， 将点 N的坐标代入 yx22x+a 得， a2+a+a， 解得 a或 a0 （舍去） ， A（0，） ，C（0，） ，M（1，） ，|AC|， SNCDSNACSADC|AC|xN|AC|x0| （31） ； （3）如图，当点 P 在 y 轴左侧时， 四边形 APCN 是平行四边形， AC 与 PN 互相平分，N（，） ， P（，） ； 将点 P 的坐标代入 yx22x+a 得，a2+a+a，解得 a或 a0（舍） ， P（，） ； 当点 P 在 y 轴右侧时， 四边形 ACPN 是平行四边形， NPAC 且 NPAC， N（，） ，A（0，a） ，C（0，a） ， P（，） ； 将点 P的坐标代入 yx22x+a 得， a2a+a， 解得 a或 a0 （舍） ， P（，） ； 综上所述，当点 P（，）和 P（，）时，A、C、P、N 能构成平行四边形
