1、如图是某个几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ） A长方体 B三棱柱 C三棱锥 D四棱锥 3 （3 分）下列各式中，计算结果为 a7（ ） Aa6+a Ba2a5 C （a3）4 Da14a2 4 （3 分）如图，直尺经过一块三角板 DCB 的直角顶点 B，若将边 AB 绕点 B 顺时针旋转， ABC20，C30，则DEF 度数为（ ） A25 B40 C50 D80 5 （3 分）直线 ykx 过点 A（m，n） ，B（m3，n+4） ，则 k 的值是（ ） A B C D 6 （3 分）若线段 AD、AE 分别是ABC 的 BC 边上的中线和高线，则（ ） AADAE BADAE CAD
2、AE DADAE 7 （3 分）若直线 l1经过点 A（0，6） ，直线 l2经过点（3，2）且 l1与 l2关于 y 轴对称， 则 l1、l2与 x 轴交点之间的距离为（ ） A1 B C3 D 8 （3 分）如图，点 I 为ABC 角平分线交点，AB8，AC6，BC4，将ACB 平移使 其顶点 C 与 I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ） 第 2 页（共 29 页） A9 B8 C6 D4 9 （3 分）如图，半径为 5 的O 中，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于 E，AB8，F 是 上一点，连接 AF，DF，则 tanF 的值为（ ） A B C D2 10 （3 分）如图，二次函
3、数 yax2ax+c（a、c 都是常数且 a0）的图象，如果 xm 时， y0，那么 xm1 时，函数值（ ） Ayc Byc Cyc D0yc 二、填空题共二、填空题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分计分计 12 分分 11 （3 分）因式分解 4xx3 12 （3 分）如图，把边长为 6 的正三角形剪去三个三角形得到一个正边形 DFHKGE，则这 个正六边形的面积为 13 （3 分）已知反比例函数 y（k0） ，点 A（m，y1） ，B（m+2，y2）是函数图象上两 第 3 页（共 29 页） 点，且满足1，则 k 的值为 14 （3 分）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰
4、好拼成一个既无缝隙又不重叠的四 边形 EFGH，若 EH4，EF5，那么线段 AD 与 AB 的比等于 三三.解答题（共解答题（共 11 小题，共小题，共 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算：82 2|2 | 16 （5 分）解方程：1 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，利用尺规作图法在边 AB 上求作 一点 D，使 CD 分ABC 为两个等腰三角形 （保留作图痕迹，不写作法） 18 （5 分）如图，点 E 是ABC 的 BC 边上的一点，AECAED，EDEC，D B，求证：ABAC 19 （7 分）我校草根文学社为了了解学生课外阅
5、读情况，抽样调查了部分学生每周用于课 外阅读的时间，过程如下： 第 4 页（共 29 页） 数据收集，从全校随机抽取 20 名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如 下（单位：分） 30 60 81 50 40 110 130 146 90 100 60 81 120 140 70 81 10 20 100 81 整理下分段整理样本数据并补全表格 课外阅读时间 x（分） 0x40 40x80 80x120 120x160 等级 D C B A 人数 3 8 分析数据：补全下列表格中的统计量 平均数 中位数 众数 80 得出结论： （1）用样本中的统计量估计我校学生每周用于课外阅读时间的
6、情况等级为 ； （2）假设平均阅读一本课外书的时间为 160 分钟，请你选择样本中的平均数估计我校学 生每人一年（按 52 周计算）平均阅读多少本课外书？ 20 （7 分）如图，为某景区五个景点 A、B、C、D、E 的平面示意图，B、A 在 C 的正东方 向，D 在 C 的正北方向，D 和 E 均在 B 的北偏西 18方向上，E 在 A 的西北方向上，C、 D 相距 1000 米，E 在 BD 的中点处，求景点 B、A 之间的距离 （结果保留整数） （参考数据：sin180.3；cos180.9；tan180.3；sin720.9；cos720.3； tan723.1；1.4） 21 （7 分
7、）春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两家水果店，平时以同样的价格出售品 质相同的草莓， “草莓节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，顾客的折后付款金额 y甲、 y乙（单位：元）与标价应付款金额 x（单位：元）之间的函数关系如图所示 第 5 页（共 29 页） （1）求 y甲、y乙关于 x 的函数关系式； （2） “草莓节”期间，如何选择甲、乙两家水果店购买草莓更省钱？ 22 （7 分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐，假设这三种可能性 相同，现有甲、乙两人经过该路口，求下列事件的概率： （1）甲经过路口时左拐的概率； （2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率 23 （8
8、分）如图，AB 是O 直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，BD 是O 的切线，AD 与 BC 相交于点 E，与O 相交于点 F，连接 BF （1）求证：BDBE； （2）若 DE2，BD2，求 AE 的长 24 （10 分）如图，抛物线 W 的图象与 x 轴交于 A、O 两点，顶点为点 B（1，1） （1）求抛物线 W 的表达式； （2）将抛物线 W 绕点 A 旋转 180得到抛物线 V，使抛物线 V 的顶点为 E，试通过计算 判断抛物线 V 是否过点 B； （3）在抛物线 W 或 V 的图象上是否存在点 D，使 SEBDSEBO？若存在，请求出点 D 的坐标 第 6 页（共 29 页）
9、 25 （12 分）发现问题： （1）如图 1，AB 为O 的直径，请在O 上求作一点 P，使ABP45 （不必写作 法） 问题探究： （2）如图 2，等腰直角三角形ABC 中，A90，ABAC3，D 是 AB 上一点， AD2，在 BC 边上是否存在点 P，使APD45？若存在，求出 BP 的长度，若不 存在，请说明理由 问题解决： （3） 如图 3， 为矩形足球场的示意图， 其中宽 AB66 米、 球门 EF8 米， 且 EBFA 点 P、Q 分别为 BC、AD 上的点，BP7 米，BPQ135，一位左前锋球员从点 P 处带 球，沿 PQ 方向跑动，球员在 PQ 上的何处才能使射门角度（E
10、MF）最大？求出此时 PM 的长度 第 7 页（共 29 页） 2020 年陕西省西安市交大附中中考数学四模试卷年陕西省西安市交大附中中考数学四模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合分，每小题只有一个选项是符合题意的）题意的） 1 （3 分）下列各数不是无理数的是（ ） A B C D 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答
11、】解：，是无理数；，是整数，属于有理数 故选：D 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2 （3 分）如图是某个几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ） A长方体 B三棱柱 C三棱锥 D四棱锥 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱 【解答】解：观察图形可知，展开图是由三个全等的矩形，和两个全等的三角形构成， 符合三棱柱的展开图特征， 这个几何体是三棱柱 故选：B 【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的 展开图，通过结合立体图形与
12、平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键 3 （3 分）下列各式中，计算结果为 a7（ ） Aa6+a Ba2a5 C （a3）4 Da14a2 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断 第 8 页（共 29 页） 即可 【解答】解：Aa6与 a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； Ba2a5a7，故本选项符合题意； C （a3）4a12，故本选项不合题意； Da14a2a16，故本选项不合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记 幂的运算法则是解答本题的关键 4 （3 分）如图，直尺经
13、过一块三角板 DCB 的直角顶点 B，若将边 AB 绕点 B 顺时针旋转， ABC20，C30，则DEF 度数为（ ） A25 B40 C50 D80 【分析】利用三角形的外角的性质求出DAB，再利用平行线的性质解决问题即可 【解答】解：DABC+ABC，C30，ABC20， DAB20+3050， EFAB， DEFDAB50， 故选：C 【点评】本题考查旋转的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 5 （3 分）直线 ykx 过点 A（m，n） ，B（m3，n+4） ，则 k 的值是（ ） A B C D 【分析】将点 A，点 B 坐标代入解析式可求 k
14、 的值 【解答】解：直线 ykx 过点 A（m，n） ，B（m3，n+4） ， 第 9 页（共 29 页） k 故选：B 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足 图象解析式是本题的关键 6 （3 分）若线段 AD、AE 分别是ABC 的 BC 边上的中线和高线，则（ ） AADAE BADAE CADAE DADAE 【分析】根据三角形的高和中线解答即可 【解答】解：如图所示： 故选：A 【点评】此题考查三角形的高、中线问题，画出图形解答即可 7 （3 分）若直线 l1经过点 A（0，6） ，直线 l2经过点（3，2）且 l1与 l2关于 y 轴对称， 则
15、 l1、l2与 x 轴交点之间的距离为（ ） A1 B C3 D 【分析】由对称性可知 l2经过点（3，2） 、 （0，6） ，由待定系数法求出 l2解析式为 y x6，则可求 l2与 x 轴的交点为（，0） ，再由 l1与 l2与 x 轴的交点关于 y 轴对称， 则可求 l1与 x 轴的交点为（，0） ，即可求解 【解答】解：l1与 l2关于 y 轴对称， l2经过点（3，2） 、 （0，6） ， 设 l2解析式为 ykx+b， 则有， 解得， 第 10 页（共 29 页） yx6， l2与 x 轴的交点为（，0） ， l1与 l2关于 y 轴对称， l1与 x 轴的交点为（，0） ， l1
16、、l2与 x 轴交点之间的距离为， 故选：D 【点评】本题考查一次函数的图象与性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法， 理解直线关于 y 轴对称时，对应点的特点是解题的关键 8 （3 分）如图，点 I 为ABC 角平分线交点，AB8，AC6，BC4，将ACB 平移使 其顶点 C 与 I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A9 B8 C6 D4 【分析】 连接 AI、 BI， 因为三角形的内心是角平分线的交点， 所以 AI 是CAB 的平分线， 由平行的性质和等角对等边可得：ADDI，同理 BEEI，所以图中阴影部分的周长就 是边 AB 的长 【解答】解：连接 AI、BI， 点 I 为AB
17、C 的内心， AI 平分CAB， CAIBAI， 由平移得：ACDI， CAIAID， BAIAID， ADDI， 同理可得：BEEI， DIE 的周长DE+DI+EIDE+AD+BEAB8， 即图中阴影部分的周长为 8， 第 11 页（共 29 页） 故选：B 【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌 握三角形的内心是角平分线的交点是关键 9 （3 分）如图，半径为 5 的O 中，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于 E，AB8，F 是 上一点，连接 AF，DF，则 tanF 的值为（ ） A B C D2 【分析】连接 OB、BD，如图，根据垂径定理得到
18、 AEBE4，则利用勾股定理可计算 出 OE3，接着在 RtBDE 中根据正切的定义得到 tanDBE2，然后根据圆周角定理 即可得到 tanF 的值 【解答】解：连接 OB、BD，如图， CD 是O 的直径，弦 ABCD， AEBEAB4， 在 RtOBE 中，OE3， 在 RtBDE 中，tanDBE2， FABD， tanF2 故选：D 第 12 页（共 29 页） 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理 10 （3 分）如图，二次函数 yax2ax+c（a、c 都是常数且 a0）的图象，如果 xm 时，
19、 y0，那么 xm1 时，函数值（ ） Ayc Byc Cyc D0yc 【分析】由题意抛物线的对称轴 x，根据图象与 x 轴的交点位置，得出 m10，再 根据二次函数的性质解决问题 【解答】解：抛物线的对称轴 x， 根据函数图象可知，0， xm 时，y0， x1mx2， 1m10， x0 时，yc， 根据图象可知：当 x时，y 随 x 的增大而减小， xm1 时，函数值 yc， 故选：C 【点评】本题考查二次函数与 x 轴的交点，解题的关键是确定 m10，要学会灵活运 用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题共二、填空题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分计分计 12 分
20、分 第 13 页（共 29 页） 11 （3 分）因式分解 4xx3 x（x+2） （x2） 【分析】先提出公因式，再用平方差公式因式分解 【解答】解：4xx3 x（x24） x（x+2） （x2） 故答案是：x（x+2） （x2） 【点评】本题考查的是因式分解，先提出公因式，再用平方差公式因式分解 12 （3 分）如图，把边长为 6 的正三角形剪去三个三角形得到一个正边形 DFHKGE，则这 个正六边形的面积为 6 【分析】 先求出ADE 是等边三角形， 再证明 ADDFBF2， 即可求出 S正六边形DFHKGE 6SADE 【解答】解：六边形 DFHKGE 是正六边形， EDFDFHFHK
21、KGEGED120，DEDF， ADEAED60， ADE 是等边三角形， ADDEAE， 同理：BHBFFH， ADDFBF2， S正六边形DFHKGE6SADE6226， 故答案为：6 【点评】本题主要考查的是正多边形和圆，熟知等边三角形的性质及正六边形的性质是 解题的关键 13 （3 分）已知反比例函数 y（k0） ，点 A（m，y1） ，B（m+2，y2）是函数图象上两 点，且满足1，则 k 的值为 4 第 14 页（共 29 页） 【分析】根据题意可以用含 k 的式子表示出 y1和 y2，然后根据1，即可求得 k 的值 【解答】解：反比例函数 y（k0） ，点 A（m，y1） ，B（
22、m+2，y2）是函数图象上 两点， y1，y2， 1， 1， 解得，k4， 故答案为：4 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出 k 的值，利用反比例函数的性质解答 14 （3 分）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四 边形 EFGH，若 EH4，EF5，那么线段 AD 与 AB 的比等于 【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形 EFGH 是矩形，由“AAS”可证 RtAHE RtCFG，可得 AHCFFN，再由勾股定理及直角三角形的面积公式求出 AD，AB 的长，即可求解 【解答】解：如图： 第 15 页（共 29
23、 页） 由折叠的性质可得：12，34，AEEMBE，DHHN，CFFN， 2+390， HEF90， 同理四边形 EFGH 的其它内角都是 90， 四边形 EFGH 是矩形 EHFG； 又1+490，4+590， 15， 同理578， 18， RtAHERtCFG（AAS） ， AHCFFN， 又HDHN， ADHF， 在 RtHEF 中，EH4，EF5，根据勾股定理得 HFAD， SEFHEFEHHFEM， EM， AB2AE2EM， AD：AB41：40， 故答案为： 【点评】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属 于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形
24、状和大小不变，折叠以后的图形与原 图形全等 三三.解答题（共解答题（共 11 小题，共小题，共 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算：82 2|2 | 【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可 求出值 第 16 页（共 29 页） 【解答】解：原式8（2） 22+ 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键 16 （5 分）解方程：1 【分析】利用解分式方程的步骤和完全平方公式，平方差公式即可得出结论 【解答】解：去分母得， （x+3）22（x3）（x3） （
25、x+3） ， 去括号得，x2+6x+92x+6x29， 移项，系数化为 1，得 x6， 经检验，x6 是原方程的解 【点评】此题是解分式方程，主要考查了解分式方程的方法和完全平方公式，平方差公 式，解本题的关键是将分式方程转化为整式方程 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，利用尺规作图法在边 AB 上求作 一点 D，使 CD 分ABC 为两个等腰三角形 （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，连接 CD，根据直角三角形斜边上的中线性质 得到 DBDCDA 【解答】解：如图，点 D 为所作 第 17 页（共 29 页） 【点评】本题考查
26、了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了 直角三角形斜边上的中线性质 18 （5 分）如图，点 E 是ABC 的 BC 边上的一点，AECAED，EDEC，D B，求证：ABAC 【分析】由 SAS 证明AED 与AEC 全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的 判定解答即可； 【解答】证明： （1）在AED 与AEC 中 AEDAEC（SAS） ， DC， DB， BC， ABAC； 第 18 页（共 29 页） 【点评
27、】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，关键是根据 SAS 证明 AED 与AEC 全等 19 （7 分）我校草根文学社为了了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课 外阅读的时间，过程如下： 数据收集，从全校随机抽取 20 名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如 下（单位：分） 30 60 81 50 40 110 130 146 90 100 60 81 120 140 70 81 10 20 100 81 整理下分段整理样本数据并补全表格 课外阅读时间 x（分） 0x40 40x80 80x120 120x160 等级 D C B A 人数 3 5 8 4
28、分析数据：补全下列表格中的统计量 平均数 中位数 众数 80 81 81 得出结论： （1）用样本中的统计量估计我校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为 B ； （2）假设平均阅读一本课外书的时间为 160 分钟，请你选择样本中的平均数估计我校学 生每人一年（按 52 周计算）平均阅读多少本课外书？ 【分析】根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估 计或计算得到（1） （2）结果 【解答】解：填表如下： 课外阅读时间 x（分） 0x40 40x80 80x120 120x160 等级 D C B A 人数 3 5 8 4 分析数据：补全下列表格中的统计量 平均数 中
29、位数 众数 80 81 81 第 19 页（共 29 页） （1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是 81，平均数是 80，都是 B 等级， 故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为 B； （2）以平均数来估计：5226（本） 故假设平均阅读一本课外书的时间为 160 分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一 年（按 52 周计算）平均阅读 26 本课外书 故答案为：5，4，81，81，B 【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识准确把握三数（平均数、中位数、众 数）和理解样本和总体的关系是关键 20 （7 分）如图，为某景区五个景点 A、B、C、D、E 的平面示意图，B、A 在
30、 C 的正东方 向，D 在 C 的正北方向，D 和 E 均在 B 的北偏西 18方向上，E 在 A 的西北方向上，C、 D 相距 1000 米，E 在 BD 的中点处，求景点 B、A 之间的距离 （结果保留整数） （参考数据：sin180.3；cos180.9；tan180.3；sin720.9；cos720.3； tan723.1；1.4） 【分析】过点 E 作 EFAC 于 F，在 RtBCD 中，求得 BD，在 RtBEF 中，求得 EF 和 BF，进而求得 AF，于是得到结论 【解答】解：由题意得，C90，CBD72，CAE45， 过点 E 作 EFAC 于 F， 在 RtBCD 中，
31、 第 20 页（共 29 页） BD（米） ， E 在 BD 的中点处， BE（米） ， 在 RtBEF 中， EFBEcos180.9500（米） ， BFEFtan185000.3150（米） ， AFEF500（米） ， ABAFBF500150350（米） 答：景点 B、A 之间的距离为 350 米 【点评】此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形 中求解是解直角三角形的常规思路 21 （7 分）春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两家水果店，平时以同样的价格出售品 质相同的草莓， “草莓节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，顾客的折后付款金额 y甲、 y乙（单
32、位：元）与标价应付款金额 x（单位：元）之间的函数关系如图所示 （1）求 y甲、y乙关于 x 的函数关系式； （2） “草莓节”期间，如何选择甲、乙两家水果店购买草莓更省钱？ 【分析】 （1）利用待定系数法即可求出 y甲，y乙关于 x 的函数关系式； （2）当 0x20 时，显然到甲商店购买更省钱；当 x20 时，分三种情况进行讨论即 可 【解答】解： （1）设 y甲kx，把（20，16）代入， 得 20k16，解得 k0.8， 所以 y甲0.8x； 当 0x20 时，设 y乙ax， 第 21 页（共 29 页） 把（20，20）代入，得 20a20，解得 a1， 所以 y乙x； 当 x20
33、时，设 y乙mx+n， 把（20，20） ， （40，34）代入，得 ， 解得， 所以 y乙； （2）当 0x20 时，0.8xx，到甲商店购买更省钱； 当 x20 时，若到甲商店购买更省钱，则 0.8x0.7x+6，解得 x60； 若到乙商店购买更省钱，则 0.8x0.7x+6，解得 x60； 若到甲、乙两商店购买一样省钱，则 0.8x0.7x+6，解得 x60； 故当购买金额按原价小于 60 元时，到甲商店购买更省钱； 当购买金额按原价大于 60 元时，到乙商店购买更省钱； 当购买金额按原价等于 60 元时，到甲、乙两商店购买花钱一样 【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解
34、析式，正确求出函数解析 式进行分类讨论是解题的关键 22 （7 分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐，假设这三种可能性 相同，现有甲、乙两人经过该路口，求下列事件的概率： （1）甲经过路口时左拐的概率； （2）利用树状图或列表法求至少有一人直行的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出至少有一人直行的结果数，然后根据 概率公式求解 【解答】解： （1）甲经过路口时左拐的概率为； （2）画树状图为： 第 22 页（共 29 页） 共有 9 种等可能的结果数，其中至少有一人直行的有 5 种结果， 所以至少有一人直行的概率
35、为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 23 （8 分）如图，AB 是O 直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，BD 是O 的切线，AD 与 BC 相交于点 E，与O 相交于点 F，连接 BF （1）求证：BDBE； （2）若 DE2，BD2，求 AE 的长 【分析】 （1）利用圆周角定理得到ACB90，再根据切线的性质得ABD90， 则BAD+D90，然后利用等量代换证明BEDD，从而判断 BDBE； （2）利用圆周角定理得到AFB90，则根
36、据等腰三角形的性质 DFEFDE1， 再证明DFBDBA，利用相似比求出 AD 的长，然后计算 ADDE 即可 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ACB90， CAE+CEA90 而BEDCEA， CAE+BED90， BD 是O 的切线， BDAB， 第 23 页（共 29 页） ABD90 BAD+D90， 又AF 平分CAB， CAEBAD， BEDD， BDBE； （2）解：AB 为直径， AFB90，且 BEBD， DFEFDE1， FDBBDA， DFBDBA， ， DA2220， AEADDE20218 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了
37、圆周角定 理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质 24 （10 分）如图，抛物线 W 的图象与 x 轴交于 A、O 两点，顶点为点 B（1，1） （1）求抛物线 W 的表达式； （2）将抛物线 W 绕点 A 旋转 180得到抛物线 V，使抛物线 V 的顶点为 E，试通过计算 判断抛物线 V 是否过点 B； （3）在抛物线 W 或 V 的图象上是否存在点 D，使 SEBDSEBO？若存在，请求出点 D 的坐标 第 24 页（共 29 页） 【分析】 （1）把抛物线的解析式设成顶点式，代入原点坐标，便可求得解； （2） 根据对称性质求得 E 点坐标， 再根据变化后的抛物线的形状和大小与
38、原抛物线相同， 开口方向相反，得新抛物线的解析式的二次项系数是原抛物线解析式的二次项系数的相 反数，进而新抛物线的解析式，再验证是否经过 B 点便可； （3）存在点 D，过 O 点作 BE 的平行线，此平行线与抛物线 W 的另一交点便是 D 点， 过（4，0）作 BE 的平行线，此平行线与抛物线 V 的交点便是 D 点，求出这些交点的 坐标便可 【解答】解： （1）抛物线的顶点为 B（1，1） ， 可设抛物线的解析式为 ya（x+1）21， 把 O（0，0）代入，得 0a1， a1， 抛物线的解析式为：y（x+1）21； （2）令 y0，有 y（x+1）210， 解得，x0 或2， A（2，0
39、） ， 将抛物线 W 绕点 A 旋转 180得到抛物线 V，使抛物线 V 的顶点为 E，B（1，1） ， E（3，1） ， 设抛物线 V 的解析式为：ya（x+3）2+1（a0） ， 将抛物线 W 绕点 A 旋转 180得到抛物线 V，抛物线 W 的解析式为：y（x+1） 21， a1， 抛物线 V 的解析式为：y（x+3）2+1， 当 x1 时，y4+131， 抛物线 V 是不经过点 B； （3）设直线 BE 的解析式为：ykx+b（k0） ，则 第 25 页（共 29 页） ， 解得， 直线 BE 的解析式为：yx2， 过 O 作 ODBE，与抛物线 W 交于 D 点，如图 1，则 SOB
40、ESDBE， 设 OD 的解析式为：yx+m， 把 O（0，0）代入得，m0， OD 的解析式为：yx， 联立方程组 解得，或， D（3，3） ； 过抛物线 V 与 x 轴的交点 F（4，0）作 FGBE，与抛物线 V 交于另一点 G，如图 2， OAAE2， SOAESAEF，SOABSABF， SOBESBEFSBEG， 第 26 页（共 29 页） 设直线 FG 的解析式为：yx+n， 把 F（4，0）代入得 n4， 直线 FG 的解析式为：yx4， 联立方程组， 解得，或， G（1，3） ， 当 D 点与 F 或 G 重合时，SEBDSEBO， 此时 D（4，0）或（1，3） ， 综上
41、，在抛物线 W 或 V 的图象上存在点 D，使 SEBDSEBO，D 的坐标为（3，3）或 （4，0）或（1，3） 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，存在性问题，旋转的性质， 等积三角形的面积，有一定的难度，第（3）题关键是根据夹在两平行线的等底三角形的 面积相等，作平行线为辅助线 25 （12 分）发现问题： （1）如图 1，AB 为O 的直径，请在O 上求作一点 P，使ABP45 （不必写作 法） 问题探究： （2）如图 2，等腰直角三角形ABC 中，A90，ABAC3，D 是 AB 上一点， AD2，在 BC 边上是否存在点 P，使APD45？若存在，求出 BP 的长
42、度，若不 存在，请说明理由 问题解决： （3） 如图 3， 为矩形足球场的示意图， 其中宽 AB66 米、 球门 EF8 米， 且 EBFA 点 P、Q 分别为 BC、AD 上的点，BP7 米，BPQ135，一位左前锋球员从点 P 处带 球，沿 PQ 方向跑动，球员在 PQ 上的何处才能使射门角度（EMF）最大？求出此时 PM 的长度 第 27 页（共 29 页） 【分析】 （1）如图 1 所示作直径 AB 的垂直平分线，交O 于点 P 和点 P，则点 P 和 点 P即为所求； （2）如图 2 和图 2所示：证明BPDCAP，根据相似三角形的性质得出比例式，设 BPx，则 PC6x，解方程，方
43、程的解即为 BP 的长度； （3）先证明一个基本事实：一条弧所对的圆周角大于圆外角；再在图 3 中过点 E、F 作 O，使O 与 PQ 相切于点 M，则此时EMF 最大；延长 AB、QP 交于点 N，证明 NEMNMF，利用相似三角形的性质得出比例式，计算即可解得 PM 的长 【解答】解： （1）如图所示：作 AB 的垂直平分线交O 于点 P、P，则点 P 或 P即为所 求； （2）存在 如图 2 和图 2所示： 第 28 页（共 29 页） 在ABC 中 BAC90，ABAC3，AD2 BC45，BD，BCAB6 BDP+BPD135 APD45 APC+BPD135 BDPAPC BPDC
44、AP 设 BPx，则 PC6x 解得 x13+，x23 BP3+或 BP3； （3）先证明以下事实：若点 A、E、F、G 均在O上，点 G为O外一点，则G G 证明：如图所示，连接 AF GEAF，EAFG GG，即一条弧所对的圆周角大于圆外角 如图 3，过点 E、F 作O，使O 与 PQ 相切于点 M，则此时EMF 最大 第 29 页（共 29 页） AB66 米、EF8 米，EBFA EB29 延长 AB、QP 交于点 N BNBP7，PNBP7，NE36，NF44 NN，NEMNMF90 NEMNMF NM2NENF NM12 PMNMPN127 答：当球员在 PQ 上距离点 P（127）米时，才能使射门角度最大，即 PM 的长 度为（127）米 【点评】本题属于圆的综合题，明确圆的相关性质及定理、熟练掌握相似三角形的判定 与性质及解方程等计算技能是解题的关键
