1、若正比例函数 ykx 的图象经过点（3，9） ，则 k 的值为（ ） A3 B3 C D 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A4a22a22a2 B （a3）2a6 C （3a）+（a）4 D （ab） （ab）b2a2 6 （3 分）如图，已知ABC 的面积为 8，在 BC 上截取 BDBA，作ABC 的平分线交 AD 于点 P，连接 PC，则BPC 的面积为（ ） A2 B4 C5 D6 7 （3 分）已知直线 yx+1 与 y2x+a 的交点在第一象限，则 a 的值可以是（ ） 第 2 页（共 26 页） A0 B1 C1 D2 8 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC
2、、BD 相交于点 O，BD24，tanABD， 则线段 AB 的长为（ ） A9 B12 C15 D18 9 （3 分）如图，在O 中，BAC15，ADC20，则ABO 的度数为（ ） A70 B55 C45 D35 10 （3 分） 在同一平面直角坐标系中， 先将抛物线 A： yx22 通过左右平移得到抛物线 B， 再将抛物线 B 通过上下平移得到抛物线 C： yx22x+2， 则抛物线 B 的顶点坐标为 （ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）在实数
3、 0、2、中，最小的数是 12 （3 分）如图，五边形 ABCDE 的外角中，123475，则A 的度数 是 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上， 若点 A 的坐标为（3，4） ，AB2，ADx 轴，则点 C 的坐标为 第 3 页（共 26 页） 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M、N，满足 ABMN，点 P 是 BC 的中点， 连接AN、 PM， 若 AB6， 则当 AN+PM 的值最小时， 线段 AN 的长度为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出
4、过程） 15 （5 分）计算： （3）3+（5）0+（1） 1 16 （5 分）化简：（a） 17 （5 分）尺规作图：如图，AC 为O 的直径求作：O 的内接正方形 ABCD （要求： 不写作法，保留作图痕迹） 18 （5 分）如图，已知：在ABC 中，BAC90，延长 BA 到点 D，使 ADAB，点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点求证：DFBE 19 （7 分）世界卫生组织预计：到 2025 年，全世界将会有一半人面临用水危机为了倡导 “节约用水，从我做起” ，某县政府决定对县直属机关 500 户家庭一年的月平均用水量进 行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平均用水量（单位：吨）
5、 ，并将调查结果绘制 第 4 页（共 26 页） 成如图所示的条形统计图和扇形统计图 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数和众数； （3）估计该县直属机关 500 户家庭的月平均用水量不少于 12 吨的约有多少户？ 20 （7 分）如图，小华和同伴春游时，发现在某地小山坡的点 E 处有一棵小桃树，他们想 利用皮尺测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离 （即 DE 的长度） ， 小华站在点 B 处， 让同伴移动平面镜至点 C 处，此时小华在平面镜内可以看到点 E，且测得 BC6 米，CD 24 米，CDE135已知小华的身高
6、AB1.5 米，请根据以上数据，求 DE 的长度 （结果保留根号） 21 （7 分）某公司计划购买 A、B 两种类型的电脑，已知购买一台 A 型电脑需要 0.5 万元， 购买一台 B 型电脑需要 0.3 万元，该公司准备投入资金 y 万元，全部用于购进 20 台这两 种类型的电脑，设购进 A 型电脑 x 台 （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2） 若购进 B 型电脑的数量不超过 A 型电脑数量的 3 倍， 则该公司至少需要投入资金多 少万元？ 22 （7 分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球， 这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红
7、球，则获得 1 份奖品，若摸到 黑球，则没有奖品 （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ； 第 5 页（共 26 页） （2） 如果小芳有两次摸球机会 （摸出后不放回） ， 求小芳获得 2 份奖品的概率 （请用 “画 树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23 （8 分）如图，已知以 RtABC 的边 AB 为直径作ABC 的外接圆O，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F （1）求证：EF 是O 切线； （2）若 AB15，EF10，求 AE 的长 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+
8、bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0， 3） ，且与 x 轴交于另一点 B，将抛物线的顶点记为 D （1）求该抛物线的表达式； （2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出 符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （12 分）问题提出 （1）如图 1，已知等腰ABC，BABC，ABC80，试在ABC 所在的平面内找一 点 P，使得APC40： 问题探究 （2）如图 2，在ABC 中，BC4，A60，求ABC 面积的最大值与周长的最大 值； 问题解决 （3）如图 3，正方形 ABCD 是张叔叔家菜地示意图，其中 AB200 米，张叔叔计划在
9、菜 地中修建一个鱼塘（四边形 CEFG） ，已知点 E 为 AB 中点，点 F 在边 AD 上，CEF 第 6 页（共 26 页） 90，CGF120，为了容纳更多的垂钓者，要求这个鱼塘的周长和面积尽可能大， 你认为张叔叔的想法是否能实现？若能，求出这个四边形 CEFG 周长的最大值；若不能， 请说明理由 第 7 页（共 26 页） 2020 年陕西省中考数学全真模拟数学试卷（年陕西省中考数学全真模拟数学试卷（A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的）每小题只有
10、一个选项是符合题意的） 1 （3 分）的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答 【解答】解：的相反数是 故选：C 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2 （3 分）如图，下面几何体的俯视图中没有圆的是（ ） A B C D 【分析】俯视图是从几何体的正面看所得到的视图，分别找出四个几何体的俯视图可得 答案 【解答】解：A、正方体的俯视图是正方形，故此选项符合题意； B、球的俯视图是圆形，故此选项不符合题意； C、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； D、圆柱的俯视图是圆形，故此选项不符合题意； 故选：A 【点
11、评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的正面看 所得到的视图 3 （3 分）如图，已知 ABCD，BC 平分ABE，C35，则BED 的度数是（ ） 第 8 页（共 26 页） A60 B68 C70 D72 【分析】由 ABCD，BC 平分ABE，C35，根据两直线平行，内错角相等，易 求得ABE 的度数，继而求得答案 【解答】解：ABCD，C35， ABCC35， BC 平分ABE， ABE2ABC70， ABCD， BEDABE70 故选：C 【点评】此题考查了平行线的性质注意两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数 形结合思想的应用 4 （3 分）若正比例函数
12、 ykx 的图象经过点（3，9） ，则 k 的值为（ ） A3 B3 C D 【分析】由正比例函数图象上一点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关 于 k 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：正比例函数 ykx 的图象经过点（3，9） ， 93k， k3 故选：A 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足 函数关系式 ykx+b 是解题的关键 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A4a22a22a2 B （a3）2a6 C （3a）+（a）4 D （ab） （ab）b2a2 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本
13、题 第 9 页（共 26 页） 【解答】解：4a22a22，故选项 A 错误； （a3）2a6，故选项 B 错误； （3a）+（a）4a，故选项 C 错误； （ab） （ab）b2a2，故选项 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法 6 （3 分）如图，已知ABC 的面积为 8，在 BC 上截取 BDBA，作ABC 的平分线交 AD 于点 P，连接 PC，则BPC 的面积为（ ） A2 B4 C5 D6 【分析】根据等腰三角形底边上的三线合一的性质可得 APPD，然后根据等底等高的 三角形面积相等求出BPC 的面积等于ABC 面积的一半
14、，代入数据计算即可得解 【解答】解：BDBA，BP 是ABC 的平分线， APPD， SBPDSABD，SCPDSACD， SBPCSBPD+SCPDSABD+SACDSABC， ABC 的面积为 8， SBPC84 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形底边上的三线合一的性质，三角形的面积的运用，利用 等底等高的三角形的面积相等求出BPC 的面积与ABC 的面积的关系是解题的关键 7 （3 分）已知直线 yx+1 与 y2x+a 的交点在第一象限，则 a 的值可以是（ ） A0 B1 C1 D2 【分析】可以先计算出交点坐标，再根据交点在第一象限（即横纵坐标都为正数）分析 解答； 【解答】解
15、：由方程组 第 10 页（共 26 页） 解得： 所以两直线的交点坐标为（，） 已知两直线的交点在第一象限， ，即 解得：a1 由于 21 故选：D 【点评】本题主要考查一次函数与系数的关系，有一定的难度；再一次函数的图象问题 上， “交点”往往是解题的关键点，这里提到的“交点”有时指的是函数图象之间的交点， 有时指的是函数图象与坐标轴的交点，在不同的题目里，根据需要找出这些“交点”是 解题的关键 8 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD24，tanABD， 则线段 AB 的长为（ ） A9 B12 C15 D18 【分析】根据菱形的性质得出 ACBD，
16、AOCO，OBOD，求出 OB，由 tanABD 可求出 AO，根据勾股定理求出 AB 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCO，OBOD， AOB90， BD24， OB12， 第 11 页（共 26 页） tanABD， AO9， 在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB15， 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此 题的关键 9 （3 分）如图，在O 中，BAC15，ADC20，则ABO 的度数为（ ） A70 B55 C45 D35 【分析】根据圆周角定理可得出AOB 的度数，再由 OAOB，可求出ABO 的度数 【
17、解答】解：连接 OA、OC， BAC15，ADC20， AOB2（ADC+BAC）70， OAOB（都是半径） ， ABOOAB（180AOB）55 故选：B 【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 等于这条弧所对的圆心角的一半 10 （3 分） 在同一平面直角坐标系中， 先将抛物线 A： yx22 通过左右平移得到抛物线 B， 第 12 页（共 26 页） 再将抛物线 B 通过上下平移得到抛物线 C： yx22x+2， 则抛物线 B 的顶点坐标为 （ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】平移不改变抛物线的开口方向与
18、开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据 抛物线的顶点式可求抛物线解析式 【解答】解：抛物线 A：yx22 的顶点坐标是（0，2） ，抛物线 C：yx22x+2（x 1）2+1 的顶点坐标是（1，1） 则将抛物线 A 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到抛物线 C 所以抛物线 B 是将抛物线 A 向右平移 1 个单位得到的，其解析式为 y（x1）22， 所以其顶点坐标是（1，2） 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系关键是明确抛物线的平移实质 上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分
19、，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）在实数 0、2、中，最小的数是 【分析】根据“正数肯定大于负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小”来分析； 【解答】解：因为在实数范围内，负数0正数 所以、2 两个数较小 又因为2 所以 即最小的数是 故答案为 【点评】本题主要考查在实数范围内比较数字的大小，重点掌握“两个负数比大小，绝 对值大的反而小”这个规律是解题的关键 12 （3 分）如图，五边形 ABCDE 的外角中，123475，则A 的度数是 120 第 13 页（共 26 页） 【分析】根据多边形的外角和求出与A 相邻的外角的度数，然后根据邻补角的和等于 180列式求解即可 【解答】解
20、：123475， 与A 相邻的外角36075436030060， A18060120 故答案为：120 【点评】本题考查了多边形的外角和，利用多边形的外角和等于 360 度进行计算是解决 问题的关键 13 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上， 若点 A 的坐标为（3，4） ，AB2，ADx 轴，则点 C 的坐标为 （6，2） 【分析】根据矩形的性质和 A 点的坐标，即可得出 C 的纵坐标为 2，设 C（x，2） ，根据 反比例函数图象上点的坐标特征得出 k2x34， 解得 x6， 从而得出 C 的坐标为 （6， 2） 【解答】解：点 A 的坐
21、标为（3，4） ，AB2， B（3，2） ， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， ADx 轴， BCx 轴， C 点的纵坐标为 2， 设 C（x，2） ， 矩形 ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上， k2x34， x6， 第 14 页（共 26 页） C（6，2） ， 故答案为（6，2） 【点评】本题考查了据反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得 C 的纵坐标 为 2 是解题的关键 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M、N，满足 ABMN，点 P 是 BC的中点， 连接AN、 PM， 若AB6， 则当AN+PM的值最小时，
22、线段AN的长度为 2 【分析】过 P 作 PEBD 交 CD 于 E，连接 AE 交 BD 于 N，过 P 作 PMAE 交 BD 于 M，当 M、N 分别与 M、N重合时，此时 AN+PMAE 的值最小，根据勾股定理得到 AE 3，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：过 P 作 PEBD 交 CD 于 E，连接 AE 交 BD 于 N，过 P 作 PMAE 交 BD 于 M，当 M、N 分别与 M、N重合时，此时 AN+PMA+ENAEN+PMAE 的值最小， P 是 BC 的中点， E 为 CD 的中点， PEBD， ABBD，ABPE， PEBD，PMAE， 四边形 PENM是
23、平行四边形， PEMN， ABMNMN，满足题中条件， 第 15 页（共 26 页） AE3， ABCD， ABNEDN， 2， AN2，即 AN2 【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称最短距离问题，平行三角形的判定和性质， 三角形的中位线的性质，相似三角形的，正确的作出 M，N 的位置是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）计算： （3）3+（5）0+（1） 1 【分析】按照乘方、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂的意义解题即可 【解答】解：原式27+14+（1）31 【点评】本题主要考查乘方、零指数
24、幂、算术平方根、负整数指数幂的意义，这些知识 点需要牢牢记住，细心计算，这样才能在计算题中又稳又快的拿到分数 16 （5 分）化简：（a） 【分析】首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可 【解答】解：（a） 【点评】此题主要考查了分式的混合运算，要熟练掌握，要注意运算顺序，式与数有相 同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的 17 （5 分）尺规作图：如图，AC 为O 的直径求作：O 的内接正方形 ABCD （要求： 不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作互相垂直的两条直径 AC，BD 即可解决问题 【解答】解：如图，正方形 ABCD 即为所求 第 16 页（共 26
25、 页） 【点评】本题考查作图复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型 18 （5 分）如图，已知：在ABC 中，BAC90，延长 BA 到点 D，使 ADAB，点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点求证：DFBE 【分析】证出 FE 是ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出 FEAB，FEAB， 得出EFCBAC90，得出DAFEFC，ADFE，证明ADFFEC 得出 DFEC，即可得出结论 【解答】证明：BAC90， DAF90， 点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点， AFFC，BEEC，FE 是ABC 的中位线， FEAB，FE
26、AB， EFCBAC90， DAFEFC， ADAB， ADFE， 在ADF 和FEC 中， ADFFEC（SAS） ， 第 17 页（共 26 页） DFEC， DFBE 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质；熟 练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键 19 （7 分）世界卫生组织预计：到 2025 年，全世界将会有一半人面临用水危机为了倡导 “节约用水，从我做起” ，某县政府决定对县直属机关 500 户家庭一年的月平均用水量进 行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平均用水量（单位：吨） ，并将调查结果绘制 成如图所示的条形统计图和扇形统计图
27、 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数和众数； （3）估计该县直属机关 500 户家庭的月平均用水量不少于 12 吨的约有多少户？ 【分析】 （1）根据用水 10 吨的人数和所占的百分比可以求得本次调查的户数，从而可以 求得用水 11 吨的户数，进而可以将条形统计图补充完整； （2）根据（1）中的条形统计图，可以写出中位数和众数； （3）根据统计图中的数据可以求得该县直属机关 500 户家庭的月平均用水量不少于 12 吨的约有多少户 【解答】解： （1）本次调查的户数为：1020%50， 用水 11 吨的住户有：5040%2
28、0（户） ， 补全的条形统计图如右图所示； （2）由统计图中的数据可知，中位数是 11 吨、众数是 11 吨； （3）500（10%+20%+10%） 50040% 第 18 页（共 26 页） 200（户） 答：该县直属机关 500 户家庭的月平均用水量不少于 12 吨的约有 200 户 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本 题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 20 （7 分）如图，小华和同伴春游时，发现在某地小山坡的点 E 处有一棵小桃树，他们想 利用皮尺测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离 （即 DE 的长度） ， 小华站在点 B 处，
29、让同伴移动平面镜至点 C 处，此时小华在平面镜内可以看到点 E，且测得 BC6 米，CD 24 米，CDE135已知小华的身高 AB1.5 米，请根据以上数据，求 DE 的长度 （结果保留根号） 【分析】根据相似三角形的性质解答即可 【解答】解：过 E 作 EFBC 于 F， CDE135， EDF45， 设 EF 为 x 米，DFx 米，DEx 米， BEFC90， ACBECD， ABCEFC， ， 即， 解得：x8， 第 19 页（共 26 页） DE8， 答：DE 的长度为 8米 【点评】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答 21 （7 分）某公司计划购买 A、B
30、两种类型的电脑，已知购买一台 A 型电脑需要 0.5 万元， 购买一台 B 型电脑需要 0.3 万元，该公司准备投入资金 y 万元，全部用于购进 20 台这两 种类型的电脑，设购进 A 型电脑 x 台 （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2） 若购进 B 型电脑的数量不超过 A 型电脑数量的 3 倍， 则该公司至少需要投入资金多 少万元？ 【分析】 （1）由 A 型电脑费用+B 型电脑费用投入资金，可得 y 关于 x 的函数表达式； （2）由题意列出不等式，可得 x5，由一次函数的性质可求解 【解答】解： （1）y0.5x+0.3（20x）0.2x+6（0x20） ； （2）由题意可得：
31、20x3x， x5， y0.2x+6 中，0.20， y 随 x 的增大而增大， 当 x5 时，y 最小值0.25+67（万元） 答：该公司至少需要投入资金 7 万元 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出正确的 函数关系式是本题的关键 22 （7 分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球， 这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得 1 份奖品，若摸到 黑球，则没有奖品 （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ； （2） 如果小芳有两次摸球机会 （摸出后不放回） ， 求小芳获得 2 份奖
32、品的概率 （请用 “画 树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】 （1）直接利用概率公式求解； 第 20 页（共 26 页） （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然 后根据概率公式求解 【解答】解： （1）从布袋中任意摸出 1 个球，摸出是红球的概率； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为 2， 所以两次摸到红球的概率 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B
33、的概率 23 （8 分）如图，已知以 RtABC 的边 AB 为直径作ABC 的外接圆O，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F （1）求证：EF 是O 切线； （2）若 AB15，EF10，求 AE 的长 【分析】 （1）要证 EF 是O 的切线，只要连接 OE，再证FEO90即可； （2）先证明FEAFBE，根据相似三角形对应边成比例求出 AF5，BF20，BE 2AE再根据圆周角定理得出AEB90，利用勾股定理列方程，即可求出 AE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OE， B 的平分线 BE 交 AC 于 D， CBEABE
34、EFAC， CAEFEA 第 21 页（共 26 页） OBEOEB，CBECAE， FEAOEB AEB90， FEO90 EF 是O 切线 （2）解：在FEA 与FBE 中， FF，FEAFBE， FEAFBE， ， AFBFEFEF， AF（AF+15）1010， 解得 AF5 BF20 ， BE2AE， AB 为O 的直径， AEB90， AE2+BE2152， AE2+（2AE）2225， AE3 【点评】本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆 心与这点（即为半径） ，再证垂直即可 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx3a 经
35、过点 A（1，0） 、C（0， 3） ，且与 x 轴交于另一点 B，将抛物线的顶点记为 D 第 22 页（共 26 页） （1）求该抛物线的表达式； （2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出 符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入二次函数 yax2+bx3a 求得 a、b 的值即 可确定二次函数的解析式； （2）分以 CD 为底和以 CD 为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起 P 点横坐标 和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx3a
36、经过点 A（1，0） 、C（0，3） ， 根据题意，得， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2）存在 如图， yx2+2x+3 对称轴为直线 x1 D（1，4） ， 若以 CD 为底边，则 P1DP1C， 设 P1点坐标为（x，y） ，根据勾股定理可得 P1C2x2+（3y）2，P1D2（x1）2+（4 y）2， 第 23 页（共 26 页） 因此 x2+（3y）2（x1）2+（4y）2， 即 y4x 又 P1点（x，y）在抛物线上， 4xx2+2x+3， 即 x23x+10， 解得 x1，x21，应舍去， x， y4x， 即点 P1坐标为（，） 若以 CD 为一腰， 点 P2在对
37、称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知， 点 P2与点 C 关于直线 x1 对称， 此时点 P2坐标为（2，3） 符合条件的点 P 坐标为（，）或（2，3） 【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题” ，结合二次函数图象 和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性 25 （12 分）问题提出 （1）如图 1，已知等腰ABC，BABC，ABC80，试在ABC 所在的平面内找一 点 P，使得APC40： 问题探究 （2）如图 2，在ABC 中，BC4，A60，求ABC 面积的最大值与周长的最大 值； 问题解决 （3）如图 3，正方形 ABCD 是张叔叔家菜
38、地示意图，其中 AB200 米，张叔叔计划在菜 地中修建一个鱼塘（四边形 CEFG） ，已知点 E 为 AB 中点，点 F 在边 AD 上，CEF 90，CGF120，为了容纳更多的垂钓者，要求这个鱼塘的周长和面积尽可能大， 你认为张叔叔的想法是否能实现？若能，求出这个四边形 CEFG 周长的最大值；若不能， 请说明理由 第 24 页（共 26 页） 【分析】 （1）如图 1 中，以 B 为圆心，BC 长为半径作B在优弧 AC 上取一点 P，连 接 PA、PC，则APC 即为所求； （2）如图 2 中，作线段 BC 的垂直平分线，在 BC 的垂直平分线上取一点 O，使得 BOC120，以 O
39、为圆心，OB 长为半径作O 交 BC 的垂直平分线于 A1当点 A 与点 A1重合时，ABC 的面积最大，此时ABC 是等边三角形，面积的最大值42 4 如图 3 中，作等边三角形O1BC，以 O1为圆心， O1B 为半径作O1延长 BA 交O1 于 D，连接 CD，首先证明 ACAD，推出 AB+ACAB+ADBD，推出 BD 的值最大时， ABC 的周长最大； （3） 能实现 首先证明EFC 的形状大小不变， 周长， 面积是定值， 要使得四边形 EFGC 的面积、周长最大，只要GFC 的面积最大，周长最大即可，由（2）可知，当 GFGC 时，GFC 的面积最大，周长最大； 【解答】解： （
40、1）如图 1 中，以 B 为圆心，BC 长为半径作B 在优弧 AC 上取一点 P，连接 PA、PC，则APC 即为所求； （2） 如图 2 中，作线段 BC 的垂直平分线， 在 BC 的垂直平分线上取一点 O， 使得BOC 120，以 O 为圆心，OB 长为半径作O 交 BC 的垂直平分线于 A1 第 25 页（共 26 页） BACBA1C60， 当点 A 与点 A1重合时，ABC 的面积最大，此时ABC 是等边三角形，面积的最大 值424 如图 3 中，作等边三角形O1BC，以 O1为圆心，O1B 为半径作O1延长 BA 交O1 于 D，连接 CD， DBO1C30，BACD+ACD60，
41、 DACD30， ACAD， AB+ACAB+ADBD， BD 的值最大时ABC 的周长最大， 当 BD 是为直径时，ABC 的周长最大，此时点 A 与 O1重合，ABC 是等边三角形， ABC 为等边三角形时，周长最大，最大值为 12 （3）能实现理由如下： 如图 4 中，连接 CF，作 GHCF 于 H 第 26 页（共 26 页） ABFEC90， AEF+BEC90，BEC+BCE90， AEFBCE， AEFBCE， ， ， AF50， EF50，EC100，CF250， EFC 的形状大小不变，周长，面积是定值， 要使得四边形 EFGC 的面积、周长最大， 只要GFC 的面积最大，周长最大即可， 由（2）可知，当 GFGC 时，GFC 的面积最大，周长最大， GFGC，GHCF，FGC120， FHHC125，GCH30 GCGF， 这个四边形 CEFG 周长的最大值50+100+150+（m） 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角 形的性质、圆的有关知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题
