1、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（ ） A13107kg B0.13108kg C1.3107kg D1.3108kg 3 （3 分）如图，ab，170，则2 等于（ ） A20 B35 C70 D110 4 （3 分）抛物线 y3x23 向右平移 3 个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ） Ay3（x3）23 By3x2 Cy3（x+3）23 Dy3x26 5 （3 分） 某 6 人活动小组为了解本组成员的年龄情况， 作了一次调查， 统计的年龄如下 （单 位：岁） ：1
2、2，13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（ ） A12，14 B12，15 C15，14 D15，13 6 （3 分）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ） 函数 yx；函数 yx2；函数 y A B C D都不是 7 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，以下四个结论：a0； c0；b24ac0；0，正确的是（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 8 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 Bx8x2x4 Cx2x3x6 D （x）2x20 9 （3 分）如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB10，点 E
3、 是点 D 关于 AB 的对称点， M 是 AB 上的一动点， 下列结论： BOE60； CEDDOB； DMCE；CM+DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）如图，在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中，点 P 以每秒 2cm 的速度从点 A 出 发，沿 ABBC 的路径运动，到点 C 停止过点 P 作 PQBD，PQ 与边 AD（或边 CD） 交于点 Q，PQ 的长度 y（cm）与点 P 的运动时间 x（秒）的函数图象如图所示当点 P 运动 2.5 秒时，PQ 的长是（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 二、填空题：二、填
4、空题： 11 （3 分）因式分解：a34a 12 （3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，O 的半径为 6，则这个正六边形的边心 距 OM 的长为 第 3 页（共 25 页） 13 （3 分）阅读理解：引入新数 i，新数 i 满足分配律，结合律，交换律，已知 i21，那 么（1+i） （1i） 14 （3 分）袋子中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中 随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了 100 次后，发现有 30 次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有 个 15 （3 分）已知是方程组的解，则 3ab 16 （3 分）对于函数
5、 y，当函数值 y1 时，自变量 x 的取值范围是 17 （3 分）如图，把正方形铁片 OABC 置于平面直角坐标系中，顶点 A 的坐标为（3，0） ， 点 P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 90，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，则正方形铁片连续旋转 2017 次后，点 P 的坐标为 三、解答题：三、解答题： 18计算： 19先化简，再求值： （+），其中 x1 20如图，已知ABC，请用圆规和直尺作出ABC 的一条中位线 EF（不写作法，保留作 图痕迹） 四、解答题：四、解答题： 21如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O
6、，点 E，F 在 BD 上，BEDF （1）求证：AECF； （2）若 AB6，COD60，求矩形 ABCD 的面积 第 4 页（共 25 页） 22某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并将 调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题： 组别 阅读时间 t （单位： 小时） 频数（人数） A 0t1 8 B 1t2 20 C 2t3 24 D 3t4 m E 4t5 8 F t5 4 （1）图表中的 m ，n ； （2）扇形统计图中 F 组所对应的圆心角为 度； （3） 该校共有学生 1500 名， 请估计该校有多少名学生的每周
7、平均课外阅读时间不低于 3 小时？ 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y（x0）的图象与直线 yx2 交于点 A （3，m） （1）求 k、m 的值； （2）已知点 P（n，n） （n0） ，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2 于点 M， 过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y（x0）的图象于点 N 当 n1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； 第 5 页（共 25 页） 若 PNPM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 五、解答题：五、解答题： 24如图，AB 是O 的直径，AC 是上半圆的弦，过点 C 作O 的切线 DE 交 AB
8、的延长线 于点 E，过点 A 作切线 DE 的垂线，垂足为 D，且与O 交于点 F，设DAC，CEA 的度数分别是 ， （1）用含 的代数式表示 ，并直接写出 的取值范围； （2）连接 OF 与 AC 交于点 O，当点 O是 AC 的中点时，求 ， 的值 25已知抛物线 y1ax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（4，0） （1）求抛物线 y1的函数解析式； （2）如图，将抛物线 y1沿 x 轴翻折得到抛物线 y2，抛物线 y2与 y 轴交于点 C，点 D 是线段 BC 上的一个动点，过点 D 作 DEy 轴交抛物线 y1于点 E，求线段 DE 的长度的 最大值； （3）
9、在（2）的条件下，当线段 DE 处于长度最大值位置时，作线段 BC 的垂直平分线交 DE 于点 F，垂足为 H，点 P 是抛物线 y2上一动点，P 与直线 BC 相切，且 S P ：SDFH 2，求满足条件的所有点 P 的坐标 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2020 年广东省茂名市中考数学一模试卷年广东省茂名市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题： 1 （3 分）如图，数轴上两点 A，B 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数为（ ） A6 B6 C0 D无法确定 【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出 B 表示的数
10、即可 【解答】解：数轴上两点 A，B 表示的数互为相反数，点 A 表示的数为6， 点 B 表示的数为 6， 故选：B 【点评】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键 2 （3 分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（ ） A13107kg B0.13108kg C1.3107kg D1.3108kg 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与
11、小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：130 000 000kg1.3108kg 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）如图，ab，170，则2 等于（ ） A20 B35 C70 D110 【分析】先根据平行线的性质得出3 的度数，再根据对顶角相等求解 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：ab，170， 3170， 2170， 故选：C 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时
12、注意：两直线平行，同位角相等 4 （3 分）抛物线 y3x23 向右平移 3 个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ） Ay3（x3）23 By3x2 Cy3（x+3）23 Dy3x26 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可 【解答】解：y3x23 向右平移 3 个单位长度，得到新抛物线的表达式为 y3（x3） 23， 故选：A 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加 下减 5 （3 分） 某 6 人活动小组为了解本组成员的年龄情况， 作了一次调查， 统计的年龄如下 （单 位：岁） ：12，13，14，15，15，15，这组数据
13、中的众数，平均数分别为（ ） A12，14 B12，15 C15，14 D15，13 【分析】观察这组数据发现 15 出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为 15，将六个 数据相加求出之和，再除以 6 即可求出这组数据的平均数 【解答】解：这组数据中，12 出现了 1 次，13 出现了 1 次，14 出现了 1 次，15 出现 了 3 次， 这组数据的众数为 15， 这组数据分别为：12、13、14、15、15、15 这组数据的平均数14 故选：C 【点评】此题考查了众数及算术平均数，众数即为这组数据中出现次数最多的数，算术 第 9 页（共 25 页） 平均数即为所有数之和与数的个数的商 6
14、 （3 分）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ） 函数 yx；函数 yx2；函数 y A B C D都不是 【分析】函数是中心对称图形，对称中心是原点 【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数是中心对称图形 故选：C 【点评】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的性质、中心对称图形的定义等 知识，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于基础题 7 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，以下四个结论：a0； c0；b24ac0；0，正确的是（ ） A B C D 【分析】由抛物线开口向上可得出 a0，结论正确；由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴
15、可得出 c0， 结论错误； 由抛物线与 x 轴有两个交点， 可得出b24ac 0，结论正确；由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，可得出0，结论错误综 上即可得出结论 【解答】解：抛物线开口向上， a0，结论正确； 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴， c0，结论错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，结论正确； 抛物线的对称轴在 y 轴右侧， 0，结论错误 故选：C 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与 x 轴的交点，观察函数图 象逐一分析四条结论的正误是解题的关键 8 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 Bx8x2x
16、4 Cx2x3x6 D （x）2x20 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （A）原式2x2，故 A 不正确； （B）原式x6，故 B 不正确； （C）原式x5，故 C 不正确； （D）原式x2x20，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于 基础题型 9 （3 分）如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB10，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点， M 是 AB 上的一动点， 下列结论： BOE60； CEDDOB； DMCE；CM+DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4
17、【分析】根据和点 E 是点 D 关于 AB 的对称点，求出DOBCOD BOE60， 求出CED， 即可判断； 根据圆周角定理求出当 M 和 A 重合时MDE 60 即可判断；求出 M 点的位置，根据圆周角定理得出此时 DF 是直径，即可求出 DF 长， 即可判断 【解答】解：，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点， ， 第 11 页（共 25 页） DOBBOECOD60，正确； CEDCOD30，正确； 的度数是 60， 的度数是 120， 只有当 M 和 A 重合时，MDE60， CED30， 只有 M 和 A 重合时，DMCE，错误； 做 C 关于 AB 的对称点 F，连接 CF，交
18、 AB 于 N，连接 DF 交 AB 于 M，此时 CM+DM 的 值最短，等于 DF 长， 连接 CD， ，并且弧的度数都是 60， D60，CFD30， FCD180603090， DF 是O 的直径， 即 DFAB10， CM+DM 的最小值是 10，正确； 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理，轴对称最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理 求出各个角的度数和求出 M 的位置是解此题的关键 10 （3 分）如图，在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中，点 P 以每秒 2cm 的速度从点 A 出 发，沿 ABBC 的路径运动，到点 C 停止过点 P 作 PQBD，PQ 与边 AD（或边
19、 CD） 交于点 Q，PQ 的长度 y（cm）与点 P 的运动时间 x（秒）的函数图象如图所示当点 P 运动 2.5 秒时，PQ 的长是（ ） 第 12 页（共 25 页） A2cm B3cm C4cm D5cm 【分析】根据运动速度乘以时间，可得 PQ 的长，根据线段的和差，可得 CP 的长，根据 勾股定理，可得答案 【解答】解：点 P 运动 2.5 秒时 P 点运动了 5cm， CP853cm， 由勾股定理，得 PQ3cm， 故选：B 【点评】本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键 二、填空题：二、填空题： 11 （3 分）因式分解：a34a a（a+2） （a2） 【分析】首先提
20、取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：a34aa（a24）a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题 关键 12 （3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，O 的半径为 6，则这个正六边形的边心 距 OM 的长为 3 【分析】根据正六边形的性质求出BOM，利用余弦的定义计算即可 【解答】解：连接 OB， 第 13 页（共 25 页） 六边形 ABCDEF 是O 内接正六边形， BOM30， OMOBcosBOM63； 故答案为：3 【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计
21、算，掌握正多边形的中心角的计算公式、 熟记余弦的概念是解题的关键 13 （3 分）阅读理解：引入新数 i，新数 i 满足分配律，结合律，交换律，已知 i21，那 么（1+i） （1i） 2 【分析】根据定义即可求出答案 【解答】解：由题意可知：原式1i21（1）2 故答案为：2 【点评】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义，本题属于基础题型 14 （3 分）袋子中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中 随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了 100 次后，发现有 30 次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有 3 个 【分析】首先求出
22、摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个 【解答】解： 摸了 100 次后，发现有 30 次摸到红球， 摸到红球的频率0.3， 袋子中有红球、白球共 10 个， 这个袋中红球约有 100.33 个， 故答案为：3 【点评】此题考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率同时也考查 了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 第 14 页（共 25 页） 15 （3 分）已知是方程组的解，则 3ab 5 【分析】首先把方程组的解代入方程组，即可得到一个关于 a，b 的方程组，+即可 求得代数式的值 【解答】解：是方程组的解， ， +得，3ab5， 故答案
23、为：5 【点评】本题主要考查了方程组的解的定义，求得 3ab 的值是解题的关键 16 （3 分）对于函数 y，当函数值 y1 时，自变量 x 的取值范围是 2x0 【分析】先求出 y1 时 x 的值，再由反比例函数的性质即可得出结论 【解答】解：当 y1 时，x2， 当函数值 y1 时，2x0 故答案为：2x0 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键 17 （3 分）如图，把正方形铁片 OABC 置于平面直角坐标系中，顶点 A 的坐标为（3，0） ， 点 P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 90，第一次旋转至图位置
24、，第二次旋转至图位置，则正方形铁片连续旋转 2017 次后，点 P 的坐标为 （6053，2） 【分析】首先求出 P1P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题 【解答】解：第一次 P1（5，2） ， 第二次 P2（8，1） ， 第三次 P3（10，1） ， 第四次 P4（13，2） ， 第五次 P5（17，2） ， 第 15 页（共 25 页） 发现点 P 的位置 4 次一个循环， 20174504 余 1， P2017的纵坐标与 P1 相同为 2，横坐标为 5+125046053， P2017（6053，2） ， 故答案为（6053，2） 【点评】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等
25、知识，解题的关键是学会从 特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型 三、解答题：三、解答题： 18计算： 【分析】直接利用即负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化 简得出答案 【解答】解：原式3+1（2）22 441 1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 19先化简，再求值： （+），其中 x1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：当 x1 时， 原式 3x+2 1 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础 题型 20如图，已知ABC，请用圆规和直尺作出ABC 的一条中位线 EF（不写作法，保留作
26、 图痕迹） 第 16 页（共 25 页） 【分析】作线段 AB 的垂直平分线得到 AB 的中点 E，作 AC 的垂直平分线得到线段 AC 的中点 F线段 EF 即为所求 【解答】解：如图，ABC 的一条中位线 EF 如图所示， 方法：作线段 AB 的垂直平分线得到 AB 的中点 E，作 AC 的垂直平分线得到线段 AC 的 中点 F线段 EF 即为所求 【点评】本题考查复杂作图、三角形的中位线的定义、线段的垂直平分线的性质等知识， 解题的关键是掌握基本作图，属于中考常考题型 四、解答题：四、解答题： 21如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，BED
27、F （1）求证：AECF； （2）若 AB6，COD60，求矩形 ABCD 的面积 【分析】 （1）由矩形的性质得出 OAOC，OBOD，ACBD，ABC90，证出 OE OF，由 SAS 证明AOECOF，即可得出 AECF； （2）证出AOB 是等边三角形，得出 OAAB6，AC2OA12，在 RtABC 中，由 勾股定理求出 BC6，即可得出矩形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， OAOC，OBOD，ACBD，ABC90， 第 17 页（共 25 页） BEDF， OEOF， 在AOE 和COF 中， AOECOF（SAS） ， AECF； （2）解：O
28、AOC，OBOD，ACBD， OAOB， AOBCOD60， AOB 是等边三角形， OAAB6， AC2OA12， 在 RtABC 中，BC6， 矩形 ABCD 的面积ABBC6636 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、 勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出 BC 是解决问题的关键 22某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并将 调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题： 组别 阅读时间 t （单位： 小时） 频数（人数） A 0t1 8 B 1t2 20 C 2t3
29、24 D 3t4 m E 4t5 8 F t5 4 （1）图表中的 m 16 ，n 30 ； （2）扇形统计图中 F 组所对应的圆心角为 18 度； 第 18 页（共 25 页） （3） 该校共有学生 1500 名， 请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于 3 小时？ 【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）360F 组所对应的百分数即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可得到结论 【解答】解： （1）m810%20%16，n24（810%）10030； （2）扇形统计图中 F 组所对应的圆心角为：36018； （3） 由题意得， 每周平均课外阅读时间不低于 3 小时的学生
30、数为： 1500 （20%+10%+5%） 525 名 故答案为：16，30，18 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图 获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y（x0）的图象与直线 yx2 交于点 A （3，m） （1）求 k、m 的值； （2）已知点 P（n，n） （n0） ，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2 于点 M， 过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y（x0）的图象于点 N 当 n1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由；
31、若 PNPM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）将 A 点代入 yx2 中即可求出 m 的值，然后将 A 的坐标代入反比例函数 中即可求出 k 的值 （2）当 n1 时，分别求出 M、N 两点的坐标即可求出 PM 与 PN 的关系； 由题意可知：P 的坐标为（n，n） ，由于 PNPM，从而可知 PN2，根据图象可求出 n 的范围 【解答】解： （1）将 A（3，m）代入 yx2， m321， A（3，1） ， 将 A（3，1）代入 y， k313， （2）当 n1 时，P（1，1） ， 令 y1，代入 yx2， x21， x3， M（3，
32、1） ， PM2， 令 x1 代入 y， y3， N（1，3） ， PN2 PMPN， 第 20 页（共 25 页） P（n，n） ，n0 点 P 在直线 yx 上， 过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2 于点 M， M（n+2，n） ， PM2， PNPM， 即 PN2， PN|n|， |2 0n1 或 n3 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与 一次函数的解析式，本题属于基础题型 五、解答题：五、解答题： 24如图，AB 是O 的直径，AC 是上半圆的弦，过点 C 作O 的切线 DE 交 AB 的延长线 于点 E，过点 A 作切线 DE
33、的垂线，垂足为 D，且与O 交于点 F，设DAC，CEA 的度数分别是 ， （1）用含 的代数式表示 ，并直接写出 的取值范围； （2）连接 OF 与 AC 交于点 O，当点 O是 AC 的中点时，求 ， 的值 第 21 页（共 25 页） 【分析】 （1） 首先证明DAE2， 在 RtADE 中， 根据两锐角互余， 可知 2+90， （045） ； （2）连接 OF 交 AC 于 O，连接 CF只要证明四边形 AFCO 是菱形，推出AFO 是 等边三角形即可解决问题； 【解答】解： （1）连接 OC DE 是O 的切线， OCDE， ADDE， ADOC， DACACO， OAOC， OCA
34、OAC， DAE2， D90， DAE+E90， 2+90（045） （2）连接 OF 交 AC 于 O，连接 CF AOCO， ACOF， FAFC， FACFCACAO， CFOA，AFOC， 四边形 AFCO 是平行四边形， OAOC， 第 22 页（共 25 页） 四边形 AFCO 是菱形， AFAOOF， AOF 是等边三角形， FAO260， 30， 2+90， 30， 30 【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、菱形的判定等边三角形的判定和性质等知 识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所 学知识解决问题，属于中考常考题型 25已知抛物线 y1
35、ax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（4，0） （1）求抛物线 y1的函数解析式； （2）如图，将抛物线 y1沿 x 轴翻折得到抛物线 y2，抛物线 y2与 y 轴交于点 C，点 D 是线段 BC 上的一个动点，过点 D 作 DEy 轴交抛物线 y1于点 E，求线段 DE 的长度的 最大值； （3）在（2）的条件下，当线段 DE 处于长度最大值位置时，作线段 BC 的垂直平分线交 DE 于点 F，垂足为 H，点 P 是抛物线 y2上一动点，P 与直线 BC 相切，且 S P ：SDFH 2，求满足条件的所有点 P 的坐标 第 23 页（共 25 页） 【分析】 （1）将
36、点 A（1，0）和点 B（4，0）代入 y1ax2+bx4 即可得到结论； （2）由对称性可知，得到抛物线 y2的函数解析式为 y2x2+3x+4，求得直线 BC 的解 析式为：yx+4，设 D（m，m+4） ，E（m，m23m4） ，其中 0m4，得到 DE m+4（m23m4）（m1）2+9，即可得到结论； （3）由题意得到BOC 是等腰直角三角形，求得线段 BC 的垂直平分线为 yx，由（2） 知，直线 DE 的解析式为 x1，得到 H（2，2） ，根据 S P ：SDFH2，得到 r， 由于P 与直线 BC 相切，推出点 P 在与直线 BC 平行且距离为的直线上，于是列方 程即可得到结
37、论 【解答】解： （1）将点 A（1，0）和点 B（4，0）代入 y1ax2+bx4 得：a1，b 3， 抛物线 y1的函数解析式为：y1x23x4； （2）由对称性可知，抛物线 y2的函数解析式为：y2x2+3x+4， C（0，4） ，设直线 BC 的解析式为：ykx+q， 把 B（4，0） ，C（0，4）代入得，k1，q4， 直线 BC 的解析式为：yx+4， 设 D（m，m+4） ，E（m，m23m4） ，其中 0m4， DEm+4（m23m4）（m1）2+9， 0m4，当 m1 时，DEmax9； 此时，D（1，3） ，E（1，6） ； （3）由题意可知，BOC 是等腰直角三角形， 第
38、 24 页（共 25 页） 线段 BC 的垂直平分线为：yx， 由（2）知，直线 DE 的解析式为：x1， F（1，1） ， H 是 BC 的中点， H（2，2） ， DH，FH， SDFH1， 设P 的半径为 r， S P ：SDFH2， r， P 与直线 BC 相切， 点 P 在与直线 BC 平行且距离为的直线上， 点 P 在直线 yx+2 或 yx+6 的直线上， 点 P 在抛物线 y2x2+3x+4 上， x+2x2+3x+4， 解得：x12+，x22， x+6x2+3x+4， 解得：x32+，x42， 符合条件的点 P 坐标有 4 个，分别是（2+，） ， （2，） ， （2+，4 ） ， （2，4+） 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，折叠的性质，二次函数的最大值问题， 第 25 页（共 25 页） 等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直线与圆的位置关系，正确的理解 题意是解题的关键
