1、2019 年末到 2020 年 3 月 16 日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到 15 万人，将数据 15 万用科学记数表示为（ ） A1.5104 B1.5103 C1.5105 D1.5102 4 （3 分）计算 a4a2的结果是（ ） Aa8 Ba6 Ca4 Da2 5 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A Bx2 C Dx0 6 （3 分）不透明袋子中有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机 取出 1 个球，是红球的概率是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，直线 AC 和直线 BD 相交于点 O，若1+270，则BOC
2、 的度数是 （ ） A100 B115 C135 D145 8 （3 分）若关于 x 的方程 kx22x10 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 25 页） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk1 9 （3 分）在一次函数 y（2m1）x+1 中，y 的值随着 x 值的增大而减小，则它的图象不 经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10 （3 分）如图，已知点 A 为反比例函数 y（x0）的图象上一点，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，若OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A3 B3 C6 D6 二填空题（共二填空题（共 7
3、小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）11 的平方根是 12 （4 分）已知，|a2|+|b+3|0，则 ba 13 （4 分）分解因式：m481m2 14 （4 分）点 M（3，1）到 x 轴距离是 15 （4 分）圆锥的母线长为 3，底面圆的半径为 2，则这个圆锥的全面积为 16 （4 分）如图，六边形 ABCDEF 的六个内角都等于 120，若 ABBCCD3cm，DE 2cm，则这个六边形的周长等于 cm 17 （4 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（，0）和（m，y） ，对称 轴为直线 x1，下列 5 个结论：其中正确的结论
4、为 （注：只填写正确结论的 第 3 页（共 25 页） 序号） abc0；a+2b+4c0；2ab0；3b+2c0；abm（amb） ， 三解答题（一） （共三解答题（一） （共 3 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：+（）0+sin45（2019）0 19 （6 分）先化简，再从 2、3、4 中选一个合适的数作为 x 的值代入求值 （） 20 （6 分）已知：ABC 中，ABAC （1）求作：ABC 的外接圆； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC12，求O 的面积 四解答题
5、（二） （共四解答题（二） （共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）2019 年 9 月 10 日是我国第 35 个教师节，某中学德育处发起了感恩小学恩师的 活动， 德育处要求每位同学从以下三种方式中选择一种方式表达感恩： A 信件感恩， B 信 息感恩，C当面感恩为了解同学们选择以上三种感恩方式的情况，德育处随机对本校 部分学生进行了调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； （2）本次调查在选择 A 方式的学生中有两名男生和两名女生来自
6、于同一所小学，德育处 第 4 页（共 25 页） 打算从他们四个人中选择两位在主题升旗仪式上发言，请用画树状图或列表的方法求恰 好选到一男一女的概率 22 （8 分）如图，一名滑雪爱好者先从山脚下 A 处沿登山步道走到点 B 处，再沿索道乘坐 缆车到达顶部 C 已知在点 A 处观测点 C， 得仰角为 35， 且 A， B 的水平距离 AE1000 米，索道 BC 的坡度 i1：1，长度为 2600 米，求山的高度（即点 C 到 AE 的距离） （参 考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，1.41，结果保留整数） 23 （8 分）某超市购进一批水杯，其中 A 种水杯
7、进价为每个 15 元，售价为每个 25 元；B 种水杯进价为每个 12 元，售价为每个 20 元 （1）该超市平均每天可售出 60 个 A 种水杯，后来经过市场调查发现，A 种水杯单价每 降低 1 元，则平均每天的销量可增加 10 个为了尽量让顾客得到更多的优惠，该超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元，结果当天销售 A 种水杯获利 630 元，求 m 的值 （2）该超市准备花费不超过 1600 元的资金购进 A、B 两种水杯共 120 个，其中 B 种水 杯的数量不多于 A 种水杯数量的两倍请设计获利最大的进货方案，并求出最大利润 五解答题（三） （共五解答题（三） （共 2 小题，每题小
8、题，每题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，连结 OA、OB、OC， 延长 BO 与 AC 交于点 D，与O 交于点 F，延长 BA 到点 G，使得BGFGBC，连 接 FG （1）求证：FG 是O 的切线； （2）若O 的半径为 4 当 OD3，求 AD 的长度； 当OCD 是直角三角形时，求ABC 的面积 第 5 页（共 25 页） 25 （10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴交于点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1
9、）求抛物线的解析式； （2）如图所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求ABP 的面积的最大值； （3）如图所示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐 标；并探究：在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 第 6 页（共 25 页） 2020 年广东省珠海八中中考数学一模试卷年广东省珠海八中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一选择题（共选择题（共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）的相反数是（ ） A B C D 【分析
10、】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，即可得出答案 【解答】解：的相反数是， 故选：C 【点评】本题考查了相反数的意义解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数 就是在这个数前面添上“”号 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0学生易把相反数 的意义与倒数的意义混淆 2 （3 分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称的定义，结合选项进行判断即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考
11、查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的特点 3 （3 分）2019 年末到 2020 年 3 月 16 日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到 15 万人，将数据 15 万用科学记数表示为（ ） 第 7 页（共 25 页） A1.5104 B1.5103 C1.5105 D1.5102 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：15 万151041.5105 故选：C
12、 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）计算 a4a2的结果是（ ） Aa8 Ba6 Ca4 Da2 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解：a4a2a4+2a6 故选：B 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加 5 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A Bx2 C Dx0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式 得到答案 【解答】解：由题意得，12x0
13、， 解得，x， 故选：A 【点评】本题考查的是二次根式、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负 数、分式的分母不为 0 是解题的关键 6 （3 分）不透明袋子中有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机 取出 1 个球，是红球的概率是（ ） A B C D 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二 者的比值就是其发生的概率 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：袋子装有 3 个红球，2 个白球， 从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是 故选：D 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相
14、同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 7 （3 分）如图，直线 AC 和直线 BD 相交于点 O，若1+270，则BOC 的度数是 （ ） A100 B115 C135 D145 【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论 【解答】解：12，1+270， 1235， BOC1801145， 故选：D 【点评】本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力 8 （3 分）若关于 x 的方程 kx22x10 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk1 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解答】解：当该方程
15、是一元二次方程时， 由题意可知：4+4k0， k1， k0， k1 且 k0， 当该方程时一元一次方程时， k0，满足题意， 故选：D 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型 第 9 页（共 25 页） 9 （3 分）在一次函数 y（2m1）x+1 中，y 的值随着 x 值的增大而减小，则它的图象不 经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由 y 的值随着 x 值的增大而减小可得出 2m10，再利用一次函数图象与系数 的关系可得出一次函数 y（2m1）x+1 的图象经过第一、二、四象限，进而可得出一 次函数 y（2m1）x+1
16、的图象不经过第三象限 【解答】解：在一次函数 y（2m1）x+1 中，y 的值随着 x 值的增大而减小， 2m10 2m10，10， 一次函数 y（2m1）x+1 的图象经过第一、二、四象限， 一次函数 y（2m1）x+1 的图象不经过第三象限 故选：C 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k0，b 0ykx+b 的图象在一、二、四象限”是解题的关键 10 （3 分）如图，已知点 A 为反比例函数 y（x0）的图象上一点，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，若OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A3 B3 C6 D6 【分析】再根据反比例函数的比例系数
17、 k 的几何意义得到|k|2，然后去绝对值即可得 到满足条件的 k 的值 【解答】解： ABy 轴， SOAB|k|， 第 10 页（共 25 页） |k|3， k0， k6 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y图象中任 取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 二填空题（共二填空题（共 7 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）11 的平方根是 【分析】根据正数有两个平方根可得 11 的平方根是 【解答】解：11 的平方根是 故答案为： 【点评】此题主要考查了平方根，
18、关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互 为相反数 12 （4 分）已知，|a2|+|b+3|0，则 ba 9 【分析】根据非负数的性质可求出 a、b 的值，再将它们代 ba中求解即可 【解答】解：|a2|+|b+3|0， a20，b+30， a2，b3， 则 ba（3）29 故答案为：9 【点评】本题考查了非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的 和为零，那么每一个加数也必为零 13 （4 分）分解因式：m481m2 m2（m9） （m+9） 【分析】首先提公因式 m2，再利用平方差进行二次分解即可 【解答】解：原式m2（m281） ， m2（m9） （m+9） 故答案
19、为：m2（m9） （m+9） 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，一般来说，如果可以先提取公 因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解 第 11 页（共 25 页） 14 （4 分）点 M（3，1）到 x 轴距离是 1 【分析】根据点到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到 y 轴的距离是点的横坐标的绝对 值，可得答案 【解答】解：M（3，1）到 x 轴距离是 1 故答案为：1 【点评】本题考查了点的坐标，利用点到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值，点到 y 轴的距 离是点的横坐标的绝对值是解题关键 15 （4 分）圆锥的母线长为 3，底面圆的半径为 2，则这个圆锥的全面积为 10
20、【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半 径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积，然后求得底面积， 二者相加即可求得全面积 【解答】解：圆锥的侧面积3226， 底面积为 224， 所以全面积为：6+410 故答案为：10 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面 圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了扇形的面积公式 16 （4 分）如图，六边形 ABCDEF 的六个内角都等于 120，若 ABBCCD3cm，DE 2cm，则这个六边形的周长等于 17 cm 【分析】凸六边形 ABCDEF，并不是一
21、规则的六边形，但六个角都是 120，所以通过 适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解 【解答】解：分别作直线 AB、CD、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点 G、H、P， 如图所示： 第 12 页（共 25 页） 六边形 ABCDEF 的六个角都是 120， 六边形 ABCDEF 的每一个外角的度数都是 60， APF、BGC、DHE、GHP 都是等边三角形， GCBC3cm，DHDEEH2cm， GH3+3+28（cm） ， FAPAPGABBG8332（cm） ， EFPHPFEH8224（cm） 六边形的周长为 2+3+3+3+2+417（cm） ； 故答案为：17 【点评】
22、本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形， 从而求得周长是非常完美的解题方法，注意学习并掌握 17 （4 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（，0）和（m，y） ，对称 轴为直线 x1，下列 5 个结论：其中正确的结论为 （注：只填写正确结论 的序号） abc0；a+2b+4c0；2ab0；3b+2c0；abm（amb） ， 第 13 页（共 25 页） 【分析】根据抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线对称轴为直线 x1，得 到 b2a，则 b0，根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c0，所以 abc0；由 x ，y0，得到a+b+c
23、0，即 a+2b+4c0；由 ab，a+b+c0，得到b+2b+c 0，即 3b+2c0；由 x1 时，函数值最小，则 ab+cm2amb+c（m1） ，即 a bm（amb） 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴为直线 x1， b2a，则 2ab0，所以错误； b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， abc0，所以错误； x时，y0， a+b+c0，即 a+2b+4c0，所以正确； ab，a+b+c0， b+2b+c0，即 3b+2c0，所以正确； x1 时，函数值最小， 当 xm 时，ab+cam2mb+c， abm（amb） ，所以错误 故答案为 【点评】本
24、题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 yax2+bx+c（a0） ，二次 项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛 物线向下开口；IaI 还可以决定开口大小，IaI 越大开口就越小一次项系数 b 和二次项 系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异） 抛物线与 y 轴交于（0， c） 抛物线与 x 轴交点个数：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b2 第 14 页（共 25 页） 4ac0 时，抛物线与
25、 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 三解答题（一） （共三解答题（一） （共 3 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：+（）0+sin45（2019）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别 化简得出答案 【解答】解：原式3+1+1 4+11 4 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 19 （6 分）先化简，再从 2、3、4 中选一个合适的数作为 x 的值代入求值 （） 【分析】首先计算括号里面的减法，然后再算括号外的除法，化简后，根据分式有意义 的条件确定 x
26、的取值，再代入 x 的值即可 【解答】解：原式， （） ， ， x+2， x20，x40，x+20， x2 或 4 或2， x 取 3， 当 x3 时，原式3+25 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序，正确把分式进行化简 20 （6 分）已知：ABC 中，ABAC （1）求作：ABC 的外接圆； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC12，求O 的面积 第 15 页（共 25 页） 【分析】 （1）作线段 BC 的垂直平分线 AD，线段 AB 的垂直平分线 EF，最小 AD 交 EF 于点 O，以 O
27、 为圆心，OA 为半径作O 即可 （2）设 BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，连接 OB利用勾股定理求出 OB2即可 【解答】解： （1）如图，O 即为所求 （2）设 BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，连接 OB 由题意得：OD4，BDCDBC6， 在 RtOBD 中，OB2OD2+BD242+6252， O 的面积OB252 【点评】本题考查复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 四解答题（二） （共四解答题（二） （共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）2019 年 9 月 10
28、日是我国第 35 个教师节，某中学德育处发起了感恩小学恩师的 活动， 德育处要求每位同学从以下三种方式中选择一种方式表达感恩： A 信件感恩， B 信 息感恩，C当面感恩为了解同学们选择以上三种感恩方式的情况，德育处随机对本校 部分学生进行了调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： 第 16 页（共 25 页） （1） 扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 120 ， 并补全条形统计图； （2）本次调查在选择 A 方式的学生中有两名男生和两名女生来自于同一所小学，德育处 打算从他们四个人中选择两位在主题升旗仪式上发言，请用画树状图或列表的方法求
29、恰 好选到一男一女的概率 【分析】 （1）由 A 类别人数及其所占百分比可得总人数，用 360乘以 C 部分人数所占 比例可得；据此即可补全条形图； （2）分别用树状图和列表两种方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好选到一男一女 的概率结果数，利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）被调查的总人数为 1525%60（人） ，C 类的总人数602515 20（人） 所以扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 360120， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：120； （2）画树状图如下： 共有 12 种可能的结果，恰好选到一男一女的结果有 8 个， P（选到一男一女） 【点评】此题
30、考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用解 第 17 页（共 25 页） 题时注意：概率所求情况数与总情况数之比一般来说，用样本去估计总体时，样本 越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确 22 （8 分）如图，一名滑雪爱好者先从山脚下 A 处沿登山步道走到点 B 处，再沿索道乘坐 缆车到达顶部 C 已知在点 A 处观测点 C， 得仰角为 35， 且 A， B 的水平距离 AE1000 米，索道 BC 的坡度 i1：1，长度为 2600 米，求山的高度（即点 C 到 AE 的距离） （参 考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，1.41
31、，结果保留整数） 【分析】作 CDAE 于点 D，BFCD 于点 F证四边形 BEDF 是矩形，由 BC2600 米 知米 、米 由AE 1000米 知 米结合CAD35求解可得 【解答】解：如图，作 CDAE 于点 D，BFCD 于点 F 又BEAD， 四边形 BEDF 是矩形 在 RtBCF 中，BC 的坡度 i1：1， CBF45 BC2600 米， 米 米 A，B 的水平距离 AE1000 米， 米 CAD35， 第 18 页（共 25 页） （米） 答：山高 CD 约为 1983 米 【点评】本题考查解直角三角形坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问 题需要的条件 23 （8
32、 分）某超市购进一批水杯，其中 A 种水杯进价为每个 15 元，售价为每个 25 元；B 种水杯进价为每个 12 元，售价为每个 20 元 （1）该超市平均每天可售出 60 个 A 种水杯，后来经过市场调查发现，A 种水杯单价每 降低 1 元，则平均每天的销量可增加 10 个为了尽量让顾客得到更多的优惠，该超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元，结果当天销售 A 种水杯获利 630 元，求 m 的值 （2）该超市准备花费不超过 1600 元的资金购进 A、B 两种水杯共 120 个，其中 B 种水 杯的数量不多于 A 种水杯数量的两倍请设计获利最大的进货方案，并求出最大利润 【分析】 （1）
33、直接利用 A 种水杯单价每降低 1 元，平均每天的销量可增加 10 个，用 m 表示出 A 种水杯的销量，再根据销量每件利润630，进而解方程得出答案； （2）设购进 A 种水杯 x 个，则 B 种水杯（120x）个求得利润 y 关于 x 的一次函数， 再利用 x 的取值范围和一次函数的增减性求出 y 的最大值 【解答】解： （1）超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元，则单件利润为（m15）元， 销量为60+10（25m）（31010m）个，依题意得： （m15） （31010m）630， 解得：m122，m224， 答：为了尽量让顾客得到更多的优惠，m22 （2）设购进 A 种水杯 x
34、个，则 B 种水杯（120x）个设获利 y 元， 依题意得：， 解不等式组得：40x53， 利润 y（2515）x+（120x） （2012）2x+960 20， y 随 x 增大而增大， 当 x53 时，最大利润为：253+9601066（元） 答：购进 A 种水杯 53 个，B 种水杯 67 个时获利最大，最大利润为 1066 元 第 19 页（共 25 页） 【点评】此题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，一元二次方程应用的关 键是理解题意找到等式两边的平衡条件，列出方程求一次函数应用最值关键是求出自 变量的取值范围 五解答题（三） （共五解答题（三） （共 2 小题，每题小题，
35、每题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，连结 OA、OB、OC， 延长 BO 与 AC 交于点 D，与O 交于点 F，延长 BA 到点 G，使得BGFGBC，连 接 FG （1）求证：FG 是O 的切线； （2）若O 的半径为 4 当 OD3，求 AD 的长度； 当OCD 是直角三角形时，求ABC 的面积 【分析】 （1）连接 AF，分别证BGF+AFG90，BGFAFB，即可得OFG 90，进一步得出结论； （2）连接 CF，则ACFABF，证ABOACO，推出CAOACF，证 ADOCDF， 可求出 DF， BD 的
36、长， 再证ADBFDC， 可推出 ADCD7， 即AD2 7，可写出 AD 的长； 因为ODC 为直角三角形， DCO 不可能等于 90， 所以存在ODC90或COD 90，分两种情况讨论：当ODC90时，求出 AD，AC 的长，可进一步求出ABC 的面积；当COD90时，OBC 是等腰直角三角形，延长 AO 交 BC 于点 M，可求 出 MO，AM 的长，进一步可求出ABC 的面积 【解答】 （1）证明：连接 AF， BF 为O 的直径， BAF90，FAG90， 第 20 页（共 25 页） BGF+AFG90， ABAC， ABCACB， ACBAFB，BGFABC， BGFAFB， A
37、FB+AFG90，即OFG90， 又OF 为半径， FG 是O 的切线； （2）解：连接 CF，则ACFABF， ABAC，AOAO，BOCO， ABOACO（SSS） ， ABOBAOCAOACO， CAOACF， AOCF， ， 半径是 4，OD3， DF1，BD7， 3，即 CDAD， ABDFCD，ADBFDC， ADBFDC， ， ADCDBDDF， ADCD7，即AD27， AD（取正值） ； ODC 为直角三角形，DCO 不可能等于 90， 存在ODC90或COD90， 第 21 页（共 25 页） 当ODC90时， ACOACF， ODDF2，BD6， ADCD， ADCDAD
38、212， AD2，AC4， SABC4612； 当COD90时， OBOC4， OBC 是等腰直角三角形， BC4， 延长 AO 交 BC 于点 M， 则 AMBC， MO2， AM4+2， SABC4（4+2）8+8， ABC 的面积为 12或 8+8 第 22 页（共 25 页） 【点评】本题考查了圆的有关概念及性质，切线的判定定理，相似三角形的判定及性质， 直角三角形的存在性质等，解题关键是在求直角三角形的存在性及三角形 ABC 的面积时 注意分类讨论思想的运用等 25 （10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴
39、交于点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求ABP 的面积的最大值； （3）如图所示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐 标；并探究：在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意可设抛物线解析式为 ya（x3）2+6，将 B（0，3）代入可得 a ，则可求解析式； 第 23 页（共 25 页） （2）连接 PO，设 P（n，n2+2n+3） ，分别求出 SBPOn，SAPOn
40、2+3n+， SABO，所以 SABPSBOP+SAOPSABOn2+n（n）2+，当 x时，SABP的最大值为； （3）设 D 点的坐标为（t，t2+2t+3） ，过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G，则 DGt 3，CG6（t2+2t+3）t22t+3，在 RtCGD 中，CGDG，所以（t 3）t22t+3，求出 D（3+3，3） ，所以 AG3，GD3，连接 AD，在 Rt ADG 中，ADAC6，CAD120，在以 A 为圆心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点 为 Q 点， 此时， CQDCAD60， 设 Q （0， m） ， AQ 为圆 A 的半径， AQ2OA2+QO2 9+m23
41、6，求出 m3或 m3，即可求 Q 【解答】解： （1）抛物线顶点坐标为 C（3，6） ， 可设抛物线解析式为 ya（x3）2+6， 将 B（0，3）代入可得 a， yx2+2x+3； （2）连接 PO， BO3，AO3， 设 P（n，n2+2n+3） ， SABPSBOP+SAOPSABO， 第 24 页（共 25 页） SBPOn， SAPOn2+3n+， SABO， SABPSBOP+SAOPSABOn2+n（n）2+， 当 x时，SABP的最大值为； （3）存在，设 D 点的坐标为（t，t2+2t+3） ， 过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G， 则 DGt3，CG6（t2+2t+3）t
42、22t+3， ACD30， 2DGDC， 在 RtCGD 中， CGDG， （t3）t22t+3， t3+3或 t3（舍） D（3+3，3） ， AG3，GD3， 连接 AD，在 RtADG 中， AD6， 第 25 页（共 25 页） ADAC6，CAD120， 在以 A 为圆心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点， 此时，CQDCAD60， 设 Q（0，m） ，AQ 为圆 A 的半径， AQ2OA2+QO29+m2， AQ2AC2， 9+m236， m3或 m3， 综上所述：Q 点坐标为（0，3）或（0，3） 【点评】本题考查二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角 三角形和圆的知识综合解题是关键
