1、第第 13 讲讲 数数图形数数图形 认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形； 学会数基本图形的个数； 掌握数图形的规律。 一、学会数图形一、学会数图形 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方 形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数， 关键是要从基本图形入手。 首先要弄清图形中包含的基本图形是什么， 有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时 就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种
2、基本图形的个数，就需 要仔细地观察， 灵活地运用有关的知识和思考方法， 掌握数图形的规律， 才能获得正确的结果。 二、解题策略二、解题策略 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 考点一：基本图形考点一：基本图形 例 1、数出下图中有多少条线段？ 【解析】 方法一： 我们可以采用以线段左端点分类数的方法。 以 A 点为左端点的线段有： AB、 教学目标 知识梳理 典例分析 AC、AD 3 条；以 B 点为左端点的线段有：BC、BD 2 条；以 C 点为左端点的线段有：CD 1 条。所以，图中共有线段 3+2+1=
3、6（条）。 方法二：把图中线段 AB、BC、CD 看做基本线段来数，那么，由 1 条基本线段构成的线 段有：AB、BC、CD 3 条；由 2 条基本线段构成的线段有:AC、BD 2 条；由 3 条基本线段构 成的线段有：AD 1 条。所以，图中一共有 3+2+1=6（条）线段。 例 2、数出图中有几个角？ 【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 方法一：以 OA 为一边的角有：AOB、AOC、AOD 3 个；以 OB 为一边的角还有： BOC、 BOD 2 个； 以 OC 为一边的角还有： COD 1 个。 所以， 图中共有角 3+2+1=6 （个） 。 方法二：把图中AOB、BO
4、C、COD 看做基本角来数，那么，由 1 个基本角构成的 角有：AOB、BOC、COD 3 个；由 2 个基本角构成的角有: AOC、BOD 2 个；由 3 个基本角构成的角有：AOD 1 个。所以，图中一共有 3+2+1=6（个）角。 例 3、数出右图中共有多少个三角形？ 【解析】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以 PA 为边的三角形有：PAB、PAC、 PAD、 3 个； 以 PB 为边的三角形还有： PBC、 PBD 2 个； 以 PC 为边的三角形还有： PCD 1 个。所以，图中共有三角形 3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 PAB、PBC、PCD 看做基本三角形来数，
5、那么，由 1 个基本三角形构成的三角形有：PAB、PBC、PCD 3 个；由 2 个基本三角形构成的三角形有: PAC、PBD 2 个；由 3 个基本三角形构成的三角 形有：PAD 1 个。所以，图中一共有 3+2+1=6（个）三角形。方法三：我们发现，要数出图 中三角形的个数，只需数出线段 AD 中包含几条线段就可以了，即 3+2+1=6（个）。所以图 中共有 6 个三角形。 例 4、数出下图中有多少个长方形？ 【解析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线 段 CD 上有 3+2+1=6（条）线段，其中每一条与 AC 中一条线段对应，分别作为长方形的长和
6、 宽，这里共有 6 1=6（个）长方形，而 AC 上共有 2+1=3（条）线段也就有 6 3=18（个）长方 形。它的计算公式为： 长方形的总数=长边线段的总数 宽边线段的总数： （3+2+1） （2+1）=18（个） 例例 5、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为 1 的正方形） 【解析】图中边长为 1 个长度单位的正方形有 3 3=9 个，边长为 2个长度单 位的正方形有 2 2=4 个，边长为 3 个长度单位的正方形有 1 1=1 个。所以图中的正方形总数 为：1+4+9=14 个。 经进一步分析可以发现， 由相同的 n n 个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方 形
7、总数为：1 12 2n n。 考点二：较复杂的问题考点二：较复杂的问题 例 1、有 5 个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？ 【解析】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同 学。 从图上可以看出，第 1 个同学要与其余 4 个同学握手共握手 4 次；第 2 个同学还要与其余 3 个 同学握手共握手 3 次，第 3 个同学要与其余 2 个同学握手共握手 2 次；第 4 个同学还要与最后 1 个同学握手共握手 1 次。所以，一共要握手 4+3+2+1=10（次） 例例 2、从广州到北京的某次快车中途要停靠 8 个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车
8、的车票？这些车票中有多少种不同的票价？ 【解析】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有 10 个站，共有 1+2+3+9=45 条线段，因此要准备 45 种不同的车票。由于这些车站之间的距 离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有 45 种不同的票 价。 例 3、求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米） 【解析】要求图中的线段长度总和，可以这样计算： AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE =1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352 厘米 从上面
9、的计算中可以发现这样一个规律，算式中长 1 厘米的基本线段（我们把不能再划分的线 段称为基本线段） 出现了 4 次， 长 4 厘米的线段出现了 （3 2） 次， 长 2 厘米的线段出现了 （2 3） 次， 长 3 厘米的线段出现了 （1 4） 次， 所以， 各线段长度的总和还可以这样算： 1 4+4 （3 2） +2 （2 3）+3 （1 4） =1 （51）+4 （52） 2+2 （53） 3+3 （54） 4=52 厘米 上式中的 5 是线段上的 5 个点，如果设线段上的点数为 n，基本线段分别为 a1、a2、a(n 1)。以上各线段长度的总和为 L，那么 L= a1 (n1) 1+ a2
10、 (n2) 2+ a3 (n3)3+ a(n 1) 1 (n1) 例例 4、下图中共有多少个三角形？ 【解析】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的 个数相加。 （1）图中共有 6 个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有 3 个； （3）由三个小三角形组合的三角形有 4 个； （4）由六个小三角形组合的三角形有 1 个。 所以共有 6341=14 个三角形。 例例 5、数出下图中所有三角形的个数。 【解析】 和三角形 AFG 一样形状的三角形有 5 个； 和三角形 ABF 一样形状的三角形有 10 个； 和三角形 ABG 一样形状的三角形有 5 个
11、；和三角形 ABE 一样形的三角形有 5 个；和三角形 AMD 一样形状的三角形有 5 个，共 35 个三角形。 例例 6、如下图，平面上有 12 个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多 少个？ 【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出： （1）最小的正方形有 6 个； （2）由 4 个小正方形组合而成的正方形有 2 个； （3）中间还可围成 2 个正方形。 所以共有 622=10 个。 例例 7、数一数，下图中共有多少个三角形？ 我们可以分类来数： 1、单一的小三角形有 16 个； 2、两个小三角形组合的有 10 个； 3、四个小三角形组合的有 8 个；
12、 4、八个小三角形组合的有 2 个。 所以，图中一共有 161082=36 个三角形。 课堂狙击课堂狙击 1、数出下图中有多少条线段？ 【解析】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以 A 点为左端点的线段有 4 条；以 B 点 为左端点的线段有 3 条；以 C 点为左端点的线段有 2 条, 以 D 点为左端点的线段有 1 条。所 以图中共有线段 4+3+2+1=10（条）。 2、数出图中有几个角？ 【解析】 以 OA 为一边的角有 2 个； 以 OB 为一边的角还有 1 个； 以 OC 为一边的角还有： COD 1 个。所以，图中共有角 2+1=3（个）。 3、数出图中共有多少个三角形？ 实
13、战演练 【解析】我们可以采用按边分类数的方法。以 BA 为边的三角形有 4 个；以 AC 为边的三角形 还有 3 个；以 AD 为边的三角形还有 2 个，以 AE 为边的三角形还有 1 个。所以，图中共有三 角形 4+3+2+1=10（个）。 4、数出下图中有多少个长方形？ 【解析】长方形的总数=长边线段的总数 宽边线段的总数： （4+3+2+1） （3+2+1）=60（个） 5、银海学校三年级有 9 个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？ 【解析】 第一个班要和其余 8 个班比赛一次， 第二个班又要和剩下 7 个班比赛一次， 依次下去， 总数是：8+7+6+5+4+3+2+1=3
14、6 场。 6、从上海到武汉的航运线途中，有 9 个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同 的船票？ 【解析】算上上海、武汉一共有 11 个码头，一共有 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55 条线段，那么 算上往返的船票，一共是 110 种。 7、数一数，图中共有多少个三角形。 【解析】一共有 22+10=32 个。 8、下图中共有 8 个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？ 【解析】 一共 3+2+1=6 个。 课后反击 1、数出下图中有几个长方形？ 【解析】一共 5+4+3+2+1=15 个。 2、数出图中有几个角？ 【解析】一共 4+3+2+1=10
15、个。 3、数出图中共有多少个三角形？ 【解析】一共有（4+3+2+1）+（4+3+2+1）=20 个。 4、数出下图中有多少个长方形？ 【解析】一共有：4+1+1+1=7 个。 5、有 1，2，3，4，5，6，7，8 等 8 个数字各用一次，能组成多少个不同的两位数？ 【解析】个位为 8，十位可以有 7 种；个位为 7，十位也可以有 7 种；依次推，最后一共有： 56 种。 6、从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠 6 个大站，这次列车有几种不同票价？ 【解析】一共有 8 个站，那么一共有：7+6+5+4+3+2+1=28 条线段，那么一共有 28 种票价。 7、下面图中共有多少个三角形？
16、【解析】一共有：5+6+2+1=14 个。 8、下图中共有多少个正方形，多少个三角形？ 【解析】正方形一共有：4+4+1+1=10 个； 三角形一共有：16+16+8+4=44 个。 9、下图中共有 6 个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？ 【解析】一共有 5 个。 1、 下边三个图中都有一些三角形， 在图 A 中， 有个； 在图 B 中， 有_个； 在图 C 中， 有_ 个。 （第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 1 试） 【解析】5；8；5 直击赛场 2、数一数，图中有_个三角形。 （第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 2 试） 【解析】一共 20 个。 （1）认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形； （2）学会数基本图形的个数； （3)掌握数图形的规律 重点和难点突破：重点和难点突破： 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 本节课我学到了 我需要努力的地方是 重点回顾 名师点拨 学霸经验
