1、2020 年年全国卷全国卷 I 高考数学高考数学(理科理科)终极冲刺卷（模拟五）终极冲刺卷（模拟五） 1.已知复数 z 满足 (12i)1z，则z ( ) A. 12 i 55 B. 12 i 55 C. 12 i 55 D. 12 i 55 2.已知集合 2 |23 0AxxxZ， 1 |1 2 x Bx y ，则AB( ) A.(0 3， B.0 3， C.1 2 3， D.0 1 2 3， 3.若实数a b ，满足00ab， ，则“ab”是“lnababln”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲线 22 22 :1(00)
2、 xy Cab ab ，的一条渐近线的斜率为 3 4 ，焦距为 10，则双曲线 C 的方程为( ) A 22 1 3218 xy B 22 1 34 xy C 22 1 916 xy D 22 1 169 xy 5.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛 中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019 年女排世界杯于 9 月 14 日至 9 月 29 日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以 11 战全胜且只丢 3 局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国 70 华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两 届当选女排世界杯 MVP
3、，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后 4 人和主教练 郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们 4 人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于 郎平同一侧的概率为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） A 11 12 B6 C 11 2 D 22 3 7.已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，平面与此正方体相交，如果正方体 1111 ABCDABC D的八个顶点中恰好有 m 个点到平面的距离等于 (03)dd，那么下列 结论中一定正确的是( ) A.6m B.5m C.4m D.3m
4、 8.函数 ( )costanf xxx 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 9.已知a b，均为单位向量，若 23ab ，则向量a与b的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 10.已知函数 3 2 120 ( ) 2log (2 )0 a xxa x f x xax ， ， 的最小值为 2，则 a 的值为 ( ) A.18 B.0 C.2 D.-2 11.已知以圆 2 2 :14Cxy的圆心为焦点的抛物线 1 C与圆 C 在第一象限交于 A 点，B 点 是抛物线： 2 2: 8Cxy上任意一点，BM与直线 2y 垂直，垂足为 M，则BMAB 的最 大值为(
5、 ) A1 B2 C-1 D8 12.若函数 32 ( )1f xxaxx有且只有一个零点，则实数a的取值范围为( ) A( )0， B() 1， C(0)， D(1)， 13.在 5 1x的展开式中， 2 x的系数为_. 14.已知直线 2yx 与曲线 lnyxa 相切，则a的值为_. 15.在ABC中，角A B C ， ，的对边分别为a b c，且sincos3sincos0CBBC ，则角 A 的取值范围为_. 16.某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体的体积的 最大值为_. 17.已知 n S为数列 n a 的前项n和，已知 0 n a ， 2 243
6、nnn aaS. （1）求 n a 的通项公式； （2）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前项n和. 18.如图， 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O， 58ABAC， ， 点E F ，分别在AD CD， 上， 5 3 AECF，EF交BD于点H. 将DEF沿EF折到D EF的位置， 5D O . （1）证明：DH平面ABCD； （2）求二面角ABDO 的余弦值. 19.2019 新型冠状病毒在 2020 年 1 月 12 日被世界卫生组织命名为 2019-nCoV.冠状病毒是一 个大型病毒家族， 它可引起感冒以及中东呼吸综合征 （MERS） 和严重急性呼吸综合征 （SA
7、RS） 等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.从这次的新型冠状 病毒确诊病例来看，这次新型冠状病毒感染人后的潜伏期在 7 天左右，一般不超过 14 天， 受感染者在没有明显症状的潜伏期也有传染性.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关 信息，得到如下表格： 潜伏期 （单位： 天） 0,2 (2,4 4,6 (6,8 (8,10 (10,12 (12,14 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）； （2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与
8、患者年龄的关系，以潜伏 期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下22列 联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有 关； 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 65 50 岁以下 100 总计 200 （3）以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 5 人，从这 5 人中抽取 2 人完成访谈问卷，求这 2 人中恰有 1 人潜伏期超过 6 天的概率. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd
9、. 2 0) (P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.已知函数 2 1 ( )ln () 2 f xxaxx aR. （1）若 ( )f x在定义域上不单调，求a的取值范围； （2）设 1 aem n e ， ，分别是( )f x的极大值和极小值，且Smn，求S的取值范围. 21.已知对称轴为坐标轴的椭圆C的焦点分别为 12 3 0()0)3(FF， 点 3 1 2 M ， 在C上. （1）求椭圆C的方程； （2）设不过原点O的直线 (:0,0)
10、l ykxm km 与椭圆C交于P Q ，两点，且直线 OP PQ OQ， 的斜率依次成等比数列，则当 OPQ 的面积为 7 4 时，求直线PQ的方程. 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为 2cos sin x y (为参数)，直线l的方程为1xy. 以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C和直线l的极坐标方程. （2）已知射线OM的极坐标方程是 3 ，且与曲线C和直线l在第一象限的交点分别为 P Q，求PQ的长. 23.已知函数 1 ( )(0)f xxmxm m （1）若1m ，求不等式 5f x 的解集； （2）当函数 f x的最小值取得最小值时，求m的值.
11、 参考答案及解析参考答案及解析 1.答案：B 解析： 因为 (12i)1z ， 所以 11 (12i)12i12 i 12i(12i)(12i)555 z ， 所以 12 i 55 z . 故选 B. 2.答案：D 解析：因为 2 23 0| 131,0,1,2,3Axxxxx 剟?Z|Z， 1 |1 |0 2 x Bx yx x ，所以 0,1,2,3AB .故选 D. 3.答案：C 解析：设 lnf xxx，显然 f x在(0, )上单调递增. ab， f af b，即lnlnaabb，故充分性成立. lnlnaabb， f af b，ab，故必要性成立. 故“ab”是“lnlnaabb”
12、的充要条件，故选 C. 4.答案：D 解析：焦距为 10，5c ，曲线的焦点坐标为5 0 ， 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线的斜率为 3 4 ， 22 3 ,25 4 b ab a ，解得4,3ab，所求的双曲线方程为： 22 1 169 xy 5.答案：B 解析：4 人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们 4 人随机站于两侧，则不 同的排法有 222 422 C A A24种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有 22 22 2A A8种，所以所求概率 81 243 P ，故选 B. 6.答案：D 解析： 执行程序框图， 可得02
13、Sn， 满足条件， 1 2 S ，4n ， 满足条件， 113 244 S ， 6n ，满足条件， 11111 24612 S ，8n ，由题意，此时应该不满足条件，退出循环， 输出S的值为 1122 8 123 ，故选 D 7.答案：B 解析：如图（1）恰好有 3 个点到平面 的距离为 d；如图（2）恰好有 4 个点到平面 的 距离为 d；如图（3）恰好有 6 个点到平面 的距离为 d，所以本题答案为选项 B. 8.答案：B 解析：显然 sin ,tan0 ( )costan sin ,tan0 xx f xxx xx ，其定义域为 |, 2 x xkk Z.结合选项 可知选 B. 9.答案
14、：B 解析：由 23ab ，得 2 (2 )3ab， 即 22 443aba b ，设单位向量a与b的夹角为， 则有144cos3，解得 1 cos 2 . 又 0,，所以 3 . 10.答案：A 解析： 由题意可知，0a 且1a ， 若01a， 则0x 时， 2 ( )2log (2 ) a f xxa单调递增， ( )(,log (2 ) a f xa ，易知此时 ( )f x在定义域内没有最小值，所以1a ，当0x 时， 3 ( )12f xxxa， 2 ( )312fxx令 ( )0fx 得2x ，当 (0,2)x 时， ( )0fx 当 (2,)x时，( )0fx ，所以 ( )f
15、x在2x 处取得极小值，也是最小值，为 3 (2)212 216faa ，当0x 时， 2 ( )2log (2 ) a f xxa在( ,0 单调递减 所以 2 ( )2log (2 ) a f xxa在0x 处取得最小值，为(0)2log (2 ) a fa ，若 162log (2 ) a aa 则2log (2 ) 2 a a ，则2aa，得0a 与1a 矛盾；若 162log (2 )2 a aa ，易知无解；若 162log (2 ) a aa ，则162a ，得18a ，综上18a 11.答案：A 解析：因为 2 2 :14Cxy的圆心1,0 所以，可得以1,0为焦点的抛物线方程
16、为 2 4yx， 由 2 2 2 4 14 yx xy ，解得1,2A， 抛物线 2 2: 8Cxy的焦点为0,2F，准线方程为 2y ， 即有1BMABBFABAF， 当且仅当 , ,(A B F A在,B F之间)三点共线，可得最大值 1. 12.答案：B 解析：函数 32 ( )1f xxaxx有且只有一个零点，等价于关于 x 的方程 23 1axxx 有且只有一个实根显然0x ， 方程 2 11 ax xx 有且只有一个实根 设函数 2 11 ( )g xx xx ，则 3 233 122 ( )1 xx g x xxx 设 32 ( )2, ( )31 0h xxxh xx ， h
17、x为增函数， 又 10h当0x 时， 0g x， ( )g x为增函数； 当01x时， 0g x ， ( )g x为减函数； 当1x 时， 0g x ， ( )g x为增函数；( )g x在1x 时取极小值 1 当 x 趋向于 0 时， ( )g x趋向于正无穷大；当x趋向于负无穷大时， ( )g x趋向于负无穷大；又当x趋向于正无穷大时， ( )g x趋向于正无穷大( )g x图象大致如图所示： 方程 2 11 ax xx 只有一个实根时，实数 a 的取值范围为( ,1) ，故选 B 13.答案：10 解析：51x展开式通项为 15 r r r TCx ，令2x，所以 2 x的系数为 2 2
18、 5 110C 故答案为：10 14.答案：3 解析：依题意得 1 y xa ，因此曲线lnyxa在切点处的切线的斜率等于 1 xa ， 1 1 xa ，1xa . 此时， 0y ，即切点坐标为1,0a 相应的切线方程是11yxa ， 即直线 2yx ， 12a ，3a 15.答案： 0, 6 解析：sincos3sincos0CBBC可以化为 222222 30 22 acbabc cb acab ， 整理得 222 2cab， 所以 22222 32 33 cos 2442 bcabcbc A bcbcbc ，当且仅当3bc时取等号， 故 0, 6 A . 16.答案： 2 27 解析：圆
19、柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心 O ，圆柱的上底面与棱 锥侧面的交点 N 在侧面的中线AM上. 正四面体棱长为3， 31 ,1 22 BMO MBO， 2 AO ， 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 1 0 2 r. 由三角形相似得 2 1 2 2 rh ，即 22 2hr ， 圆柱的体积 22 2(12 )Vr hrr， 3 2 121 (12 ) 327 rrr rr ，当且仅当12rr ，即 1 3 r 时取等号， 圆柱的最大体积为 2 27 . 17.答案：（1）当1n 时， 2 1111 24343aaSa，因为0 n a ，所以 1 3a . 当2n 时，
20、22 111 2243434 nnnnnnn aaaaSSa ， 即 111 2 nnnnnn aaaaaa ，因为 0 n a ，所以 1 2 nn aa . 所以数列 n a 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 21 n an； （2）由（1）知， 1111 21 232 2123 n b nnnn 所以数列 n b 前 n 项和为： 12 111111111 235572123646 n bbb nnn 18.答案：（1）由已知得ACBD，ADCD， 又由AECF得 AECF ADCD ，故/ /ACEF. 因此EFHD，从而 EFDH 由5AB ，8, 4ACAO， 得 22
21、3DOBOABAO . 由/EFAC得 1 3 OHAE DOAD .所以1OH ， 2D HDH. 于是 22222 215D HOHD O，故 D HOH. 又D HEF，而OHEFH， 所以D H 平面ABCD. （2）如图，以H为坐标原点，HF的方向为 x 轴的正方向， 建立空间直角坐标系H xyz ，则0,0,0H，4, 1,0A ， 0, 4,0B，4, 1,0C， 0,0,2D， ( 4,3,0)BA ，0,4,2BD . 设 111 ,mx y z是平面ABD的法向量， 则 0 0 m BA m BD ，即 11 11 430 420 xy yz ，所以可以取3,4, 8m 因
22、菱形 ABCD 中有BOOC， 又由（1）知,D HOCOCBD O平面 所以4,0,0nOC是平面BOD的法向量， - 设二面角ABDO为，由于为锐角， 于是cos 3 43 89 cos, 89|894 m n m n m n . 因此二面角ABDO的余弦值是 3 89 89 . 19.答案：（1） 1 (1 8532055 31072509 1000 x 130 11 15 13 5)5.4. （2）根据题意可得潜伏期不超过 6 天的应抽取的人数为 85205310 200120 1000 ，潜伏期 超过 6 天的应抽取的人数为 250130155 20080 1000 ， 补充完整的列
23、联表如下： 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 2 2 200 (65 4555 35)25 2.0833.841 120 80 100 10012 K ， 所以没有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关. （3）由题可知这 5 人中潜伏期不超过 6 天的人数为 85205310 53 1000 ，潜伏期超过 6 天 的人数为 250130155 52 1000 . 记这 5 人中潜伏期不超过 6 天的人为 123 ,B B B，潜伏期超过 6 天的人为 12 ,G G， 则样本空间
24、12131112 ,B BB BB GB G ， 232122313212 ,B BB GB GB GB GG G ，共包含 10 个样本点. 记“2 人中恰有 1 人潜伏期超过 6 天”为事件 A，则 1112212231 ,AB GB GB GB GB G ， 32 ,B G ，事件 A 共包含 6 个样本点， 所以 63 ( ) 105 P A . 20.答案： （1）由已知 1 ( )(0,R)fxxa xa x ， 若 ( )f x在定义域上单调递增，则( )0fx ，即 1 ax x 在(0,)上恒成立， 而 1 2,)x x ，所以2a ； 若 ( )f x在定义域上单调递减，则
25、( )0fx ，即 1 +ax x 在(0,)上恒成立， 而 1 +2,)x x ，所以a. 因为 ( )f x在定义域上不单调，所以2a ，即 (2,)a. （2）由（1）知，欲使 ( )f x在(0,)有极大值和极小值，必须2a . 又 1 e e a ，所以 1 2e e a. 令 2 11 ( )0 xax fxxa xx 的两根分别为 12 ,x x， 即 2 10xax 的两根分别为 12 ,x x，于是 12 12 1 xxa x x . 不妨设 12 01xx ， 则 ( )f x在 1 (0,)x上单调递增，在 12 ,x x上单调递减，在 2 (,)x 上单调递增， 所以
26、12 (),()mf xnf x， 所以 22 12111222 11 ()()(ln)(ln) 22 Smxf xf xxaxxxaxx 22 121212 1 ()()ln(ln) 2 xxa xxxx 22 221121121 12 2122212 111 ()lnln()ln 222 xxxxxxx xx xx xxxxx 令 1 2 (0,1) x t x ，于是 11 ()ln 2 Stt t . 222 22121212 2 1212 ()211 2(2,e) e xxxxx x ta tx xx x ， 由 2 2 11 e + e t t ，得 2 1 1 e t . 因为
27、2 2 1111 1 (1+)+(1)0 22 S ttt ， 所以 11 ()ln 2 Stt t 在 2 1 (,1) e 上为减函数. 所以 42 2 e4e1 (0,) 2e S . 21.答案：(1)设椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab . 由题意可得 222 3,3ccab. 又由点 3 1, 2 M 在椭圆上，得 22 13 1 4ab . 结合解得 22 1,4ba，因此椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. (2)设 1122 (),()P x yQ xy ，得 222 148440kxkmxm， 2222 644 14440k mkm ，化简得 22 41
28、mk， 2 1212 22 844 , 1414 kmm xxx x kk . Q直线OP PQ OQ, 的斜率依次成等比数列， 2 12 12 yy k xx . 2 1212 kxmkxmk x x，化简得 2 12 0mk xxm， 22 2 2 8 0 14 k m m k ， 2 41k. 又0k ， 1 2 k .由知 2 2m ， 2 2 121 2 14PQkxxx x 22 2 4 12 14 km k . 又原点O到直线PQ的距离 2 1 m d k ， 1 2 OPQ SPQ d 2 2 22 14 mm k 2 7 2 4 mm. 解得 1 2 m 或 7 2 m .
29、直线PQ的方程为 11 22 yx或 17 22 yx 22.答案：(1)曲线 2 2 1 4 x y，化为极坐标方程为： 2 2 4 13sin ，直线l的极坐标方程为 cossin1. (2)设点 11 ,P ，则有 2 1 2 1 1 4 13sin 3 ，解得 1 1 4 13 13 3 ，即 4 13 , 133 P . 设点 22 ,Q ，则有 222 2 sincos1 3 ，解得 2 2 31 3 ，即 31, 3 Q . 所以 12 4 13 13 13 PQ . 23.答案：(1)当1m 时，不等式 ( )5f x 即为 115xx . 当1x 时，原不等式即为25x，解得 5 1 2 x ； 当11x 时，原不等式即为25(恒成立)，故11x ； 当1x 时，原不等式即为25x ，解得 5 2 x ，故 5 1 2 x. 综上所述，不等式 ( )5f x 的解集 55 | 22 xx . (2)因为0m ， 所以 11 2, 11 ( ), 1 2, xmx mm f xmxm mm xmxm m ， 易得 min 1 ( )(0)f xmm m ， 因为0m ， 所以 11 22mm mm ， 当且仅当 1 m m ，即 1m 时等号成立.
