1、2020 年高考数学年高考数学(理科理科) 终极冲刺卷终极冲刺卷 全国卷全国卷 I 1.已知复数 i( ,)zab a bR，且满足i1zz ，则ab( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知全集 1,0,1, ,32U ，集合0,1,2A， 1,10,B ， ，则 U C AB( ) A.1 B.0,1 C.1,2,3 D.1,0,1,3 3.已知: 12 :,p x x是方程 2 560xx的两根， 12 :5q xx ，则 p 是 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数 2 ln28f xxx的单调递增区间是( )
2、 A , 2 B,1 C 1, D4, 5.已知, a bR，不等式组 11 11 a b 剟 剟 ，表示的平面区域为 M，不等式组 22 22 ab ab ，表示的 平面区域为 N.现向平面区域 M 内随机抛撒一粒豆子，则该豆子落在平面区域 N 的概率是 ( ) A. 7 8 B. 6 7 C. 8 9 D. 4 5 6.执行下面框图，则输出结果S为（ ） A19 B29 C41 D55 7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图下图，则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为( ) A. 1 8 B. 1 7 C. 1 6 D. 1 5 8.已知 f x是定义域为, 的奇函数，满足
3、11fxfx 若 12f，则 12350ffff ( ) A50 B0 C2 D50 9.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，过焦点 F 向两条渐近线作垂线，垂足分 别为,M N，若四边形OMFN的面积为3，其中 O 为坐标原点，则该双曲线的焦距为( ) A.2 B. 3 C.3 D.4 10.已知函数 2 (43)3 ,0, ( ) log (1) 1,0 a xaxa x f x xx (0a，且1a )在R上单调递减，且关 于 x 的方程( )2f xx恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( ) A. 2 0, 3 B. 2 3 , 3 4
4、C. 1 23 , 3 34 D. 1 23 , 3 34 11.ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若 2 3 2coscos 22 AB C ，且ABC的面 积为 2 1 4 c，则C ( ) A. 6 B. 3 C. 6 ， 5 6 D. 3 ， 2 3 12.已知函数 32 1f xxaxx 在, 上是单调函数， 则实数 a 的取值范围是( ) A. , 33, B. 3, 3 C. , 33, D. 3, 3 13.已知向量4,6 ,2,abx 满足/ /ab，其中 Rx，那么b _. 14.若 2 2 n x x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开
5、式中的常数项是 _. 15.已知圆 22 22 :()()(R,0)Cxayar ar与直线 1 4 y 相切，则圆 C 所过的定点为 _. 16.已知函数 sin 2f xx ，若 5 2 1212 ff ，则函数 f x 的单调递增区间为 _. 17.已知数列 n a 是等差数列，其前 n 项和为 n S，且 53 3Sa ， 46 8aa. (1)求 n a; (2)设2n nn ba，求数列 n b 的前 n 项和 n T. 18.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面 ,/,2,1ABCD ADAB ABDC ADDCAPAB，点E为棱PC的中点. (1)求证:BEDC; (2)若F为
6、棱PC上一点，满足BF AC，求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值. 19.为庆祝新中国成立七十周年 ， 某地在每周末的晚上 8 点到 10 点半会举行灯光展.灯光展共 涉及 10000 盏灯，每 盏灯在某一时刻亮灯的概率均为 (0) 1PP ，并且是否亮灯彼此相互 独立.现统计了其中 100 盏灯在一场灯光 展中亮灯的时长（单位:min)，得到下面的频数表： 亮灯时长/min 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数 10 20 40 20 10 以样本中 100 盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. (1)试估计的 p 值. (2)设 X 表示这 10
7、000 盏灯在某一时刻亮灯的数目. 求 X 的数学期望 E X和方差()D X; 若随机变量 Z 满足 () XE X Z D X ，则可认为 0,1ZN.假设当49005100X 时，灯光 展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留 为整数). 附:某盏灯在某一时刻亮灯的概率p 亮灯时长 灯光展总时长 ； 若 2 ,ZN ，则0.6827PZ，220.9545PZ， 330.9973PZ 20.已知 12 ,F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，离心率为 1 2 ，,M N是平面内两 点，满足 12 2FMMF ，线段
8、1 NF的中点P在椭圆上， 1 FMN 周长为 12. （1）求椭圆C的方程； （2）若过(0,2)的直线l与椭圆C交于, A B，求OA OB（其中O为坐标原点)的取值范围. 21.已知函数 ( )2 ln()lnf xxaxax. （1）当a e 时，求曲线 ( )yf x 在1x 处的切线方程; （2）讨论函数 ( )f x的零点个数. 22.已知曲线 1 C的参数方程为： 4cos , 3sin x y （为参数） ， 2 C的参数方程为： 8cos , 3sin x y （为参数） (1)化 1 C、 2 C的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若直线l的极坐标方
9、程为：2 sin cos7 ，曲线 1 C上的点P对应的参数 2 ， 曲线 2 C上的点Q对应的参数0，求PQ的中点M到直线l的距离 23.已知函数 13 ( ) 22 f xxx . （1）求不等式 ( ) 3f x 的解集； （2）若关于 x 的不等式 1 ( )|1| 2 f xa 的解集是空集，求实数 a 的取值范围. 参考答案及解析参考答案及解析 1.答案：B 解析：由已知，得 22 i1iabab ，根据复数相等的定义，得 22 1 1 aba b ，解得 0 1 a b ，于是1ab ，故选 B. 2.答案：A 解析：1,3 UA ， 1,31,0,1() UA Bl ，故选：A
10、. 3.答案：A 解析： 12 ,x x是方程 2 560xx的两根， 12 5xx ， 即p q ； 当 12 2,7xx 时， 12 5xx ，但 12 ,x x不是方程 2 560xx的根，即q p ，故选 A. 4.答案：D 解析：由 2 280xx得： , 24,x U ， 令 2 28txx，则 lnyt ， , 2x 时， 2 28txx为减函数； 4,x时， 2 28txx为增函数； lnyt 为增函数， 故函数 2 ln28f xxx的单调递增区间是4,， 故选：D. 5.答案：A 解析：如图所示，不等式组 11 11 a b ，表示的平面区域 M 为图中的四边形ABCD所围
11、成 的区域. 易知直线22ab 分别交直线1a 与 b 轴于点 1 1,(0,1) 2 EF .所以 1 | 2 BE ，| 1BF ， 所以 1111 | |1 2224 BEF SBEBF ，易得DHGBEF，所以 1 4 DHGBEF SS ，所 以阴影部分的面积 2 17 222 42 ABCDBEF SSS ，所以豆子落在平面区域 N 内的概率 2 7 7 2 28 ABCD S S . 6.答案：C 解析：第一次运算i1，2n ，1S ，执行循环； 第二次运算i2，4n ，5S ，执行循环； 第三次运算i3，6n ，11S ，执行循环； 第四次运算i4，8n ，19S ，执行循环；
12、 第五次运算i5，10n ，29S ，执行循环； 第六次运算i6，12n ，41S ，结束循环，输出41 7.答案：D 解析：设正方体的棱长为 1，由三视图可知，正方体被切掉的部分为三棱锥，如图。 所以正方体切掉部分的体积为 111 1 1 1 326 ， 所以剩余部分体积为 15 1 66 ， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 1 5 . 故选：D。 8.答案：C 解析： f x是奇函数，且11fxfx， 111 ,00fxfxf xf， 则 2f xf x，则 42f xf xf x， 即函数 f x是周期为 4 的周期函数， 12f， 200ff， 31 2112ffff， 400
13、ff， 则 123420200ffff， 则 12350ffff 1212344950ffffff 12202ff故选：C. 9.答案：D 解析：由双曲线的离心率为 2 可得 2 2 4 c a ，又 222 abc，所以 3 b a ，因为( ,0)F c到渐 近线 b yx a 的距离 22 bc dFMFNb ab ，所以 22 OMONcba，故 1 223 2 OMFOMFN SSab 四边形 ，得3ab ，又3 b a ，所以 1,3,2abc，故该 双曲线的焦距为24c . 10.答案：C 解析：由( )f x在R上递减可知 340 13 31,0134 a a aa ，由方程(
14、 )2f xx恰好 有两个不相等的实数解，可知 1 32,12a a ， 12 33 a，又 3 4 a 时，抛物线 2 (43)3yxaxa与直线 2yx相切，也符合题意，实数a的去范围是 1 23 , 3 34 ，故选 C. 11.答案：A 解析： 2 3 2coscos 22 AB C ， 1 coscos 2 ABAB=， 即cos cossin sincos cossin sin2sin sinABABABABAB= 1 2 ， 1 sin sin 4 AB ， ABC的面积为 2 1 4 c， 2 111 sinsin 224 bcAacBc，sin 2 c A b ，sin 2
15、c B a ， 由可得 2 1 44 c ab ，即 2 cab， 2 11 sin 24 abcc， 1 sin 2 C ， 6 c 或 5 6 c ， 当 5 6 c ，由 51 coscos 62 AB，可得 31 cos1 2 AB ，不合题意，故舍去， 故 6 C ，故选：A 12.答案：B 解析：由 32 1f xxaxx ， 得到 2 321fxxax ， 因为函数在 , 上是单调函数， 所以 2 3210fxxax 在, 恒成立， 则 2 412033aa ， 所以实数 a 的取值范围是 3, 3 . 13.答案：13 解析： 由题意，426x3x 2, 3b 2 2 2313
16、b 14.答案：180 解析：由于 2 2 n x x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则该展开式只有 11 项， 111n ，得10n . 又 2 10 2 x x 的展开式通项为 5 5 10 2 1010 2 2 C()C2 k k kkkk xx x ， 令 5 50 2 k ，得2k ，因此，展开式中的常数项为 22 10 C245 4180. 15.答案： 1 (0, ) 4 解析：由圆 C 的方程为 22 22 ()()xayar，可知圆心坐标为 2 ( ,)a a，所以圆心在抛物线 2 xy上，抛物线的准线方程为 1 4 y ，因为圆 C 与直线 1 4 y 相切，所以由
17、抛物线的定 义可知，圆 C 所过的定点为 1 (0, ) 4 . 16.答案： 5 ( , ), 1212 kkkZ 解析：函数 sin( )(2)f xx ，若()( 5 2 1212 )ff， 则函数的周期为()()( 55 ,sin1,sin1 1261 ( 2 ) 6 )ff ， 故 2 62 k，且 5 2 , 62 kkZ，即 2 3 kkZ,. 故取 ,sin( )( 3 )2? 3 f xx. 令 2 22 232 kxk剟，求得 5 ( , ), 1212 kkkZ 17.答案：(1) n a 是等差数列， 53 5Sa ，又 533 3,0Saa 由 465 82aaa ，
18、得 5 4a ，设 n a 的公差为 d，则 53 24aad ， 2d， 3 (3)2(3) n aandn (2) 1 2(3) 2 nn nn ban ， 2341 ( 2) 2( 1) 20 2(4) 2(3) 2 nn n Tnn 34512 2( 2) 2( 1) 20 2(4) 2( 3) 2 nn n Tnn 23412 22 2222(3) 2 nn nn TTn 1 2 8 12 8(3)2 12 n n n 2 (4) 216 n n 即 2 (4) 216 n n Tn . 18.答案：(1) 依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得 (0,0,0),
19、(1,0,0), (2,2,0),(0,2,0), (0,0,2)ABCDP ，由E为棱PC的中点，得 (1,1,1)E 所以(0,1,1),(2,0,0)BEDC，故0BE DC，所以BEDC. (2) (1,2,0),( 2, 2,2),(2,2,0),(1,0,0)BCCPACAB ， 由点F在棱PC上，设(01)CFCP， 故(12 ,22 ,2 )BFBCCFBCCP， 由BFAC， 得0B F A C， 因此2(1 2 )2(22 )0 ， 解得 3 4 即 1 1 3 (, ) 2 2 2 BF ， 设1, ,nx y z为平面FAB的法向量，则 1 1 0 0 nAB nBF
20、即 0 113 0 222 x xyz ， 不妨令1z ，可得 1 (0, 3,1)n 为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量 2 (0,1,0)n 则 12 12 12 33 10 cos, 1010 1 nn n n nn ， 所以平面FAB与平面ABP夹角的余弦值为 3 10 10 . 19.答案： (1)由题意知， 一盏灯的亮灯时长为550.1650.2750.4850.2950.1=75 (min)。 且灯光展的总时长为 150min. 所以估计每盏灯在某一时刻亮灯的概率 751 1202 p . (2) 根据题意，知 1 10000, 2 XB ， 111 10000500
21、0,1000012500 222 E XD X 根据题意，得 50001 100 502500 X ZX 当49005100X时，22Z 又0,1ZN， 所以22220.9545PZPZ ， 所以49005100220.9545PZPZ 。 所以估计在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长为 49005100150 0.9545143PZ150（min） 20.答案：（1）连接 2 PF， 12 2FMMF ， 122 FFF M， 2 F是线段 1 F M的中点，P是线段 1 F N的中点， 2 1 / 2 PFMN ， 由椭圆的定义知， 12 | | 2PFPFa ， 1 FMN 周长为 1
22、11212 | 2(|)4412NFMNFMFPPFFFac ， 由离心率为 1 2 知， 1 2 c a ，解得2,1ac， 222 3bac， 椭圆C的方程为 22 1 43 xy . (2)当直线l的斜率不存在时，直线 0x ，代入椭圆方程 22 1 43 xy 解得3y ， 此时3OA OB ， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 2ykx ， 椭圆C的方程 22 34120xy整理得， 22 (34)1640kxkx， 设 1122 (,), (,)A x yB xy ，则 12 2 16 34 k xx k ， 12 2 4 34 x x k ， 222 (16 )4 4 (3
23、4)48(41) 0kkk ，解得 2 1 4 k 12 y y 12 (2)(2)kxkx= 222 2 1212 222 43212 12 2 ()44 343434 kkk k x xk xx kkk ， 1212 OA OBx xy y 2 22 412 12 3434 k kk = 22 222 16 12121625 3 344343 kk kkk ， 2 1 4 k ， 2 43 4k ， 2 11 0 434k ， 2 2525 0 434k ， 13 3 4 OA OB ， 综上所述，OA OB的取值范围为 13 3,) 4 . 21.答案：（1）当a e 时， ( )2()
24、lnf xxxex ， 则(1)2,( )2ln,(1)1 xe ffxxfe x ， 所以曲线 ( )yf x 在1x 处的切线方程是 2(1)(1)ye x ， 即(1 )10e xye . （2）显然0a ，函数 ( )f x的定义域为(0,),( )2lnln xa fxax x ， 令( )( )2lnln xa g xfxax x ，则 22 1 ( ) aax g x xxx ， 当0xa时， ( )0g x ，当xa时， ( )0g x ， 所以 ( )g x在(0, )a上单调递增，在( ,)a 上单调递减， 所以 ( )g x有最大值( )ln2g aa ， 当ln20a
25、，即 2 0ae时， ( )0g a ，于是 ( )0g x ，即 ( )0fx ， 所以 ( )f x在(0,)上单调递减，又( )0f a ，所以 ( )f x只有一个零点. 当ln20a ，即 2 ae时， ( )0g a ， (1)2ln1gaa ，令 2 ( )2ln1eh aaa a ， 则 22 ( )10 a h a aa ， 所以 ( )h a在 2 (,)e上单调递减， 22 ( )41e3e0h a ， 所以 (1)0g ； 22 22 22 2lnln0 aaaa g aaa aa ， 又 ( )0g a 且 ( )g x在(0, )a上单调递增，在( ,)a 上单调递
26、减， 所以存在 1 (1, )xa 使得 1 ()0g x ，存在 2 2 ( ,)xa a，使得 2 ()0g x ， 所以当 1 0xx 时， ( )0fx ，当 12 xxx 时， ( )0fx ， 当 2 xx 时， ( )0fx ，即 ( )f x在 1 (0,)x 上单调递减，在 12 (,)x x 上单调递增，在 2 ()x 上 单调递减. 又 ( )0f a ，且 12 xax ，所以 ( )f x在 12 (,)x x 内有唯一零点，且 12 ()0,()0f xf x ， 又 2222 (1)2ln0,2lnln2 ln0faf aaaaaaaa， 所以 ( )f x在 1
27、 (0,)x 与 2 (,)x内均有唯一零点. 故当 2 ae时，函数 ( )f x有三个零点， 因此当 2 0ae时，函数 ( )f x有一个零点；当 2 ae时，函数 ( )f x有三个零点. 22.答案：解：（1）曲线 22 22 12 :431,:1 649 xy CxyC， 曲线 22 22 12 :431,:1 649 xy CxyC， 其中曲线 1 C为圆心是4,3，半径是 1 的圆； 曲线 2 C为中心是坐标原点，焦点在x轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 （2）曲线 1 C中，当 2 时，点P的坐标为( 4 4) ， 同理点Q的坐标为(8 0) ， 故线段PQ的中点M
28、的坐标为(2 2) ， 又直线l的普通方程为 270xy ， 故点M直线l的距离为 22 2227 5 1( 2) d . 23.答案：（1） 13 3 22 xx ， 3 2 2123 6 x xx ，或 13 22 21(23) 6 x xx 剟 ，或 1 2 (21)(23) 6 x xx . 解得 3 2 2 x 或 13 22 x剟或 1 1 2 x ， 不等式( ) 3f x 的解集为 | 1 2xx 剟. （2） min 2 ( ) |21|23|(21)(23)| 4,2 ( )4f xxxxxf x ， 又 1 ( )|1| 2 f xa的解集是空集，2 ( ) |1|f xa的解集是空集， |1|4a ，解得 3,5a . 不等式 1 ( )|1| 2 f xa 的解集是空集，则实数 a 的取值范围为 3,5 .
