1、2020 年年全国全国高考数学高考数学(理科理科) 终极冲刺卷（一）终极冲刺卷（一） 1.若集合 120 ,ln0Ax xxBxx，则AB( ) A 12xx B 1xx C 1xx D 2xx 2.设复数 z 满足( )1i2iz （其中 i 为虚数单位），则下列结论正确的是( ) A. 2z B.z 的虚部为 i C. 2 2z D.z 的共轭复数为1i 3.已知双曲线 22 1: 1 10 xy C mm 与双曲线 2 2 2: 1 4 y Cx 有相同的渐近线，则双曲线 1 C的离 心率为( ) A. 5 4 B. 5 C. 5 D. 5 2 4.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当
2、水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一 半若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为( ) A.1 B. 2 C. 3 D 2 3 3 5.已知数列 n a 的前 n 项和为 n S，且 1212 5,2,23(3) nnn aaaaan ，则 6 S ( ) A.567 B.637 C.657 D.727 6. 26 3 ()x x 的展开式中的常数项为( ) A60 3 B 6 3 C 135 D45 7.如图所示是函数 yf x的导数 y fx的图像，下列四个结论： f x在区间3,1上是增函数； f x在区间2,4上是减函数，在区间1,2上是增函数： 1x 是 f x的极大值点
3、； 1x 是 f x的极小值点. 其中正确的结论是( ) A B C D 8.函数 ( )4sin(0) 3 f xx 的最小正周期是3，则其图象向左平移 6 个单位长度后 得到的函数的一条对称轴是（ ） A 4 x B 3 x C 5 6 x D 19 12 x 9.执行如图所示程序框图输出的S值为（ ） A 20 21 B 19 21 C 215 231 D 357 506 10.算法统宗 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内 方五尺外方七尺有奇 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示5 2，当 内方的边长为 5 时， 外方的边长为5 2， 略大于
4、 7，如图所示，在外方内随机取一点， 则此点取自内方的概率为( ) A 1 2 B 2 2 C 5 7 D 25 49 11.已知函数 32 1 1 3 ( 1)f xxaxaxa在 1212 ,x xxx 处的导数相等，则不等式 12 f xxm 恒成立时 m 的取值范围为( ) A., 1 B.,0 C.,1 D. 4 , 3 12.已知ABC， ，是球 O的球面上的三点， 2AB ，2 3AC ，60ABC，且三棱锥 OABC的体积为 4 6 3 ，则球O的体积为( ) A.24 B.48 C.16 3 D.32 3 13.在 ABC中，角, ,A B C 所对的边分别是, ,a b c
5、 已知 1 4 bca-= ，2sin3sinBC=， 则cos A 的值为_ 14.若正数a b ，满足 2 ea a ， 2e ln1b b ，则ab _. 15. 12 ,e e为两个不共线的向量， 121212 3 ,42 ,312aee bee cee ，以, b c为基底表示 向量a _. 16.已知F是抛物线 2 :8C yx的焦点，M是C上一点， FM的延长线交y轴于点N， 若M为FN的中点，则FN _. 17.如图， 在几何体ABCDEF中， / /160ABCD ADDCCBABC ， ， 四边形ACFE为 矩形，10FBMN， ，分别为EF AB， 的中点. (1)求证:
6、/ /MN平面FCB； (2) 若直线AF与平面FCB所成的角为30，求平面MAB与平面FCB夹角的余弦值. 18.已知数列 n a 中，1 2 2,3aa， 其前 n 项和 n S满足 11 21 nnn SSS ， 其中2n ， * nN. (1)求证：数列 n a 为等差数列，并求其通项公式. (2)设2 n nn ba ， n T为数列 n b 的前 n 项和，求使 2 n T 的 n 的取值范围. 19.最近几年汽车金融公司发展迅猛，主要受益于监管层面对消费进入门槛的降低，互联网 信贷消费的推广普及，以及汽车销售市场规模的扩张.下图是 201-2017 年汽车金融行业资产 规划统计图
7、(单位:亿元): (1) 以年份 2013，2014，为横坐标，汽车金融行业资产规模(单位:亿元)为纵坐标，求 y 关 于 x 的线性回归方程； (2) 利用(1)中的回归方程，预计 2018 年汽车金融行业资产规模.(精确到亿元) 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx $1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy xnx ，aybx $ (其中x y,为样本平均值) 参考数据: 5 7 1 4.620 10 ii i x y ， 5 7 1 20154.619 10 i i y . 20.已知椭圆 22 22
8、:10 xy Eab ay 过点 23 , 22 Q ，椭圆上异于短轴两端点的动点 P 与 其短轴两端点连线的斜率乘积为 1 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 12 F F,分别为E的左、 右焦点， 直线l过点F且与E相交于A B,两点， 当 22 2F A F B uuu r uuu r 时， 求 2 ABF的面积. 21.设函数 ln ( ) x f x x . (1)求证: 1 ( ) e f x (其中 e 自然对数的底数)； (2)若关于 x 的方程 ( )1f xax 有两个不同的实数根，求 a 的取值范围. 22.已知曲线 22 :39C xy（），A 是曲线 1 C
9、上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半 轴为极轴，建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O 逆时针旋转90得到点 B，设 点 B 的轨迹为曲线 2 C. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）射线 5 0 6 p（）与曲线 1 C， 2 C分别交于 P，Q 两点，定点 40M （， ），求 MPQ 的 面积. 23.已知函数 | 1|3f xxx . (1)解不等式 1f xx ； (2)设函数 f x的最小值为 c，实数 a，b 满足00ababc， ，求证： 22 +1 +1+1 ab ab . 参考参考答案及解析答案及解析 【参考【参考答案】：答案】：
10、1-5：ADCCB 6-10：CDDDA 11-12：CB 13： 1 4 14：2e 15： 17 1827 bc 16：6 【解析【解析】： 1： 12Axx ； 12ABxx . 故选：A 2：由(1 i) 2iz ，得 2i2i(1 i) 1 i 1 i(1 i)(1 i) z ， |2z ，z 的虚部为 1， 22 (1 i)2iz ，z 的共轭复数为1 i， 故选 D 3：解：双曲线 22 1: 1 10 xy C mm 与双曲线 2 2 2: 1 4 y Cx 有相同的渐近线， 可得 10 2 m m ，解得2m ，此时双曲线 22 1 1 2 : 8 xy C，则双曲线 1 C
11、的离心率为： 28 5 2 故选：C 4：正方体的对角线长为2 3， 故当正方体旋转的新位置的最大高度为2 3， 又因为水的体积是正方体体积的一半， 容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为3 故选：C 5：由题意得，3n 时， 112 3() nnnn aaaa ，即 1 12 3 nn nn aa aa ，所以 1 nn aa 是以 7 为首项， 3 为公比的等比数列， 所以 4 6123456 ()()()77 97 3637Saaaaaa ， 故选 B. 6： 26 3 ()x x 的展开式的第1r 项为 6 212 3 66 3 3 r r r rrr CxC x x ，
12、 当1230r，即4r 时， 12 3 6 3135 r rr C x ， 26 3 ()x x 的展开式中的常数项为 135. 7：由题意，31x 和2 4x 时， 0fx ；12x 和4x 时， 0fx ， 故函数 yf x在3, 1 和2,4上单调递减，在1,2和4,上单调递增， 1x 是 f x的极小值点，2x 是 f x的极大值点， 故正确，答案为 D 8：函数 4sin0 3 f xx 的最小正周期是3，则函数 2 4sin 33 f xx ，经 过平移后得到函数解析式为 224 4sin4sin 36339 yxx ，由 24 3 29 xkkZ，得 3 212 xkkZ，当1k
13、 时， 19 12 x . 9：由程序框图知，输出 1111 1 3243 521 23 S 111111 (1)()() 232435 111111357 ()1) 2123222223506 （，故选 D. 10：由题意可得 25,=50SS 内方外方 ， 则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为 251 502 ，故选：A 11：由题得 2 2f xxaxa.由函数 f x在 1 x， 122 ()xxx 处的导数相等，得 12 2xxa. 12 f xxmQ 恒成立，( 2) 1mfa a 恒成立. 令 2g afa 321 2221 3 aaaaa 32 4 21) 1 3 (aa
14、a ， 则 2 4441g aaaa a. 当 )0(a , 时， 0g a ；当 ) 1(0a,时， 0g a. g a在()0,上单调递减，在(0 ) 1 ,上单调递增， min 01g ag， min1mg a.故选 C. 12： 在ABC中，由2,2 3,60ABACABC， 得 sinsin ACAB ABCACB ，即 3 2 1 2 sin 22 3 ACB ， ,ABAC30ACB，则90BAC. 则ABC外接圆的圆心为BC边的中点，设为D，连接OD，则OD为棱锥OABC的高。 由棱锥OABC的体积为 4 6 3 ，得 114 6 22 3 323 VOD ， 2 2.OD 又
15、 22 4BCABAC ， 棱锥OABC的外接球的半径 2 2 2 222 3R . 则球O的表面积为 2 42 348. 故答案为：48. 13： 1 4 bca，2sin3sinBC， 23bc， 由可得 3 2 , 2 c ac b. 再由余弦定理可得 2 22 222 9 4 1 4 cos 234 c cc bca A bcc c ， 故答案为： 1 4 . 14：对式子两边同时取对数，则有 2 eln2lnlnln2 a aaaa a ， 2e ln1ln ln1ln2ln1ln1ln ln1ln2bbbbb b ， 观察两式等号左边的结构.发现它们具有统函数结构 ( )lnf x
16、xx ， 又函数 ( )f x在定义 域内单调递增，故有ln1ba ，将相加，得 2eab . 15：设( ,R)axbyc x y， 则 121212 3(42 )( 312 )eexeeyee， 即 1212 3(43 )(212 )eexy exy e， 所以 431 2123 xy xy ，解得 1 18 7 27 x y ，所以 17 1827 abc . 16：如图所示， 不妨设点M位于第一象限， 设抛物线的准线与 x轴交于点 F ， 做MBl与点B，NAl 与点A， 由抛物线的解析式可得准线方程为2x，则2AN ，4FF ， 在直角梯形ANFF中，中位线 3 2 ANFF BM
17、， 由抛物线的定义有: 3MFMB，结合题意，有 3MNMF， 线段FN的长度: 3 36FNFMNM 。 17：(1) 取BC的中点Q，连接 ,NQ FQ ，则 1 ,/ / 2 NQAC NQAC. 又 1 ,/,/ / 2 MFA MFACMFNQ MFNQ， 则四边形MNQF为平行四边形，即 / /MNFQ. FQ平面,FCB MN 平面FCB， / /MN平面FCB. (2) 由/ /, 1,60ABCD ADDCCBABC ， 可得90 ,3,2ACBACAB . 因为四边形ACFE为矩形，,ACBCAC平面FCB， 则AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即30AFC，3FC.
18、222 10,FBFBFCCBFCBC，则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 333 ( 3,0,0), (0,1,0),0,3 ,0, 3 ,1, 3 222 ABMMAMB 设( , , )mx y z为平面MAB的法向量.则 0 0 MA m MB m ，即 3 30 2 3 30 2 xz xyz 取2 3x ，则(2 3,6,1)m 为平面MAB的一个法向量 又( 3,0,0)CA为平面FCB的一个法向量 2 332 3 cos, 7|73 m CA m CA m CA 故平面MAB与平面FCB夹角的余弦值为 2 3 7 . 18：1.由 * 11 212, nnn SSSnn
19、N 可得 11 1 nnnn SSSS 即 1 12 nn aan 又 21 1aa 数列 n a 是首项 1 2a ，公差为 1 的等差数列 通项公式 2111 n ann 综上所述，结论为：数列 n a 是等差数列，通项公式 1 n an. 2.由题 1 知： 1 n an 1 21 2 n n nn ban 数列 n b的前 n 项和为 n T 则 21 1111 231 2222 nn n Tnn 231 11111 231 22222 nn n Tnn 两式相减可得 231 11111 11 22222 nn n Tn 21 1111 21 2222 nn n Tn 1 1 21 1
20、1 12 1 2 n n n 3 3 2n n 由 2 n T 可得 3 32 2n n 即 3 10 2n n 设 3 1 2n n f n 则 11 432 1110 222 nnn nnn f nf n f n在 * N上单调递减 110f ， 11 20,30 44 ff 当1,2nn时 0f n ，当 * 3nnN时 0f n n的取值范围为3n 且 * nN 综上所述，结论为：n 的取值范围为3n 且 * nN. 19：(1)由已知可得， 20132014201520162017 2015 5 x ， 5 2 22 222 1 2101210 i i xx ， 5 74 1 54.
21、6204.6191010 ii i x yxy ， 5 1 5 2 1 5 ii i i i x yxy b xx $ 4 3 1 10 10 10 ， aybx $ 7 3 4.619 10 102015 2015 5 6 2.010 10， 故所求回归方程为 36 102.010 10yx $ . (2)当2018x 时， 36 1020182.010 108000y $ (亿元)， 即预计 2018 年汽车金融行业资产规模约为 8000 亿元. 20：(1)设 12 00BbBb,，, 为椭圆短轴的两端点，P x y,， 由于 12 PBPB yb yb kk xx 222 22 1 2
22、 ybb xa 22 2ab. 又点 Q 在椭圆 E 上， 22 13 1 24ab . 联立解得 2 2a ， 2 1b . 椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y. (2)设直线: 1l xmy ，代入 2 2 1 2 x y得 22 2210mymy . 设 1122 ,()()A x yB xy， ，则 1212 22 21 2,2 m yyy y mm . 22 F A F B uuu r uuu r 1122 11xyxy, 1212 11xxy y 1212 22mymyy y 2 1212 124my ym yy. 把代入整理得 2 22 2 7 2 2 m F A F B
23、 m uuu r uuu r ，解得1m . 由椭圆的对称性不妨取1m ，则可化为 2 3210yy ，解得 12 1 ,1 3 yy . 2 ABF 的面积 21 114 211 233 Syy . 21：(1) 2 ln1ln ( ),( ) xx f xfx xx ， 当 (0,e)x 时， ( )0fx ， ( )f x 在(0,e)上单调递增， 当 (e,)x时，( )0fx ， ( )f x 在(e,+ ) 上单调递减. max 11 ( )(e),( ) ee f xff x. (2)方程 ( )1f xax 有两个根可化为方程 2 ln xx a x 有两个根，令 2 ln (
24、 ) xx g x x ，则 3 12ln ( ) xx g x x ， 令( ) 12lnh xxx ， 则 2 ( )0 x h x x ， 且(1)0h， 所以当01x时，( )(1)0h xh， ( )0g x ，当1x 时，( ) (1)0h xh ， ( )0g x ， ( )g x 在(0,1)上单调递增，在(1, )上单调递减. 又当1x 时， ( )0, (1)1g xg，所以作出函数( )g x的大致图象如图所示， 结合函数图象的变化趋势猜想，当 (0,1)a 时符合题意， 下面给出证明， 当1a 时， max ( )1ag x，方程至多有一个解，不符合题意. 当0a 时，
25、方程只有一个解，不符合题意. 当 (0,1)a 时， (1)ga ， (1)0ga ， 1 ( )0 e g， 1 ( )0 e ga， 22 22222 ( )(ln)() 44 aa ga aaaaa ， 2 ( )0ga a . 所以方程在 1 ( ,1) e 与 2 (1, ) a 上各有一个根，符合题意. 综上，a 的取值范围为(0,1). 22：（1）曲线 22 1: 39Cxy（），把 cos sin x y ，代入可得曲线 1 C的极坐标方程为 6sin. 设 B， ，则 2 A（ ，），则有 6sin6cos 2 （） ，所以曲线 2 C极坐标方程为 6cos . （2）M
26、到射线 5 6 的距离 5 4sin2 6 d ， 射线 5 6 与曲线 1 C的交点 5 3 6 P （ ， ）， 射线 5 6 与曲线 2 C的交点 5 3 3 6 Q （， ）， 3 33PQ ，故 1 3 33 2 MPO SPQd . 23：（1） 1f xx ，即3|11|xxx . 当1x 时，不等式可化为421xx，解得1x ， 又1x ，x； 当13x时，不等式可化为21x ，解得1x ， 又13x，1 3x. 当3x 时，不等式可化为241xx，解得5x ， 又3x ，3 5x. 综上所得，13x，或35x，即15x， 原不等式的解集为1 5，. （2）证明：由绝对值不等式性质得，131|() ()|32xxxx ， 2c，即2ab . 令11ambn ， ，则11114mnambnmn， ， ， ， 22 2 11221144 41 11 2 mnab mn abmnmnmn mn ， 原不等式得证.
