1、2020 年高考新课标数学（理科）模拟试题年高考新课标数学（理科）模拟试题（全国卷（全国卷 1） 考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分满分 150150 分分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1、以下判断正确的个数是（ ） 相关系数rr,值越小，变量之间的相关性越强； 命题“存在01, 2 xxRx”的否定是“不存在01, 2 xxRx”； “qp”为真是“p”为假的必要不充分条件； 若回归直线的斜率估计值是
2、 1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08. 023. 1xy. A4 B2 C.3 D1 2、已知集合|12Ax x， 1 2 |log1Bxx ，则AB A|04xx B| 22xx C|02xx D|13xx 3、设, a b是非零向量，则“存在实数，使得ab”是“| |abab”的 A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC的顶点 3 , 1,1 , 1BA， 顶点C在第一象限， 若点yx, 在ABC的内部，则yxz的取值范围是 A.2 , 31 B.2 , 0 C.2 , 13 D.31 , 0 5、
3、在如图的程序框图中，( ) i f x为( ) i f x的导函数，若 0( ) sinfxx，则输 出的结果是 Asinx Bcosx C sinx D cosx 6、使函数)2cos()2sin(3)( xxxf是偶函数，且在 4 ,0 上 是减函数的的一个值是 A 6 B 3 C 3 4 D 6 7 7、已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 12 1aa， 2 1 nn Sa ，则下列命题错误的是( ) A. 21nnn aaa B. 13599100 aaaaa C. 2469899 aaaaa D. 12398100 100SSSSS 8、如图阴影部分 1 C是曲线xy 与
4、xy 所围成的封闭图形，A是两曲线在第一象限的交点，以原 点O为圆心，OA为半径作圆， 取圆的第一象限的扇形OCAB部分图形为 2 C， 在 2 C内随机选取m个点， 落在 1 C内的点有n个，则运用随机模拟的方法得到的的近似值 A、 m n 2 3 B、 n m 3 C、 m n3 D、 n m 3 2 9、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： 三棱锥的体积为 1 6 三棱锥的四个面全是直角 三角形, 三棱锥四个面的面积中最大的值是 3 2 所有正确的说法 A、 B、 C、 D、 10、已知双曲线)0,( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右顶点分别为BA,右焦点为F,过点
5、F且垂直于x轴 的直线l交双曲线于NM,两点,P为直线l上的一点，当APB的外接圆面积达到最小值时,点P恰 好在 M(或 N)处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 11、将边长为 5 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，顶点 B 移动至 B 处，在以点 B，A，C，为顶点的 四面体 ABCD 中，棱 AC、BD 的中点分别为 E、F，若 AC6，且四面体 ABCD 的外接球球心落在 四面体内部，则线段 EF 长度的取值范围为（ ） A 14 ,2 3 2 B 14 ,4 2 C 3,2 3 D 3,4 12、已知函数 2 1 ln(1)(0) 2 xaxafaxxa的值域
6、与函数 ff x的值域相同，则a的 取值范围为（ ） A. 0,1 B. 1, C. 4 0, 3 D. 4 , 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13、已知 4 ( )(21)f xx,设 4234 01234 (21)xaa xa xa xa x，则 1234 234=aaaa_. 14、已知,A F P分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若 2PFAPAF 恒成立，则双曲线的离心率为 。 15、已知数列 n a的前n项和 1 22n nn Sa ， 若不等式 2
7、 235 n nna对 * n N 恒成立， 则整数的最大值为_. 16、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动（无滑动滚动），点 D 恰好经过坐标原点，设顶点,B x y的轨迹方程是 yf x，则19f_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17
8、、（12 分）图 1 是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 1,2,ABBEBF60 .FBC将其沿,AB BC折起使得BE与BF重合， 连结DG,如图 2. （1） 证明：图 2 中的 , ,A C G D四点共面，且平面ABC 平面BCGE;（2）求图 2 的二面角B CG A 的大小。 18、 （12 分）在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，已知12c，64b，O为ABC 的外接圆圆心.（1）若 5 4 cosA，求ABC的面积S；（2）若点D为BC边上的任意一点， 11 34 DODAABAC，求Bsin的值. 19、（12 分）已知函数 ln
9、1xxf x ， 2 2g xxx（1）求函数 yf xg x的极 值；（2）若m为整数，对任意的0x都有 0f xmg x成立，求实数m的最小值 20、（12 分）某医药开发公司实验室有 * ()n nN瓶溶液，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有 如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合 在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就 要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n . （1） 若5n ， 其中2瓶中含有细菌R， 采用方案一， 求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； （
10、2）现对该n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为 (01)PP剟.若采用方 案一， 需检验的总次数为， 若采用方案二， 需检验的总次数为.(i)若与的期望相等.试求P关 于n的函数解析式 ( )Pf n ；(ii)若 1 4 1eP ，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数 的期望.求n的最大值.参考数据：ln20.69，ln31.10，ln51.61，ln71.95 . 21、（12 分）已知点1 0F ，直线 4lxP ：，为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足 为点M，且 11 0 22 PFPMPFPM . （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点 1 F作 直线
11、 1 l（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积OAB的取值范围.（O为坐标原点） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，若多做，则按所做的第两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，若多做，则按所做的第 1 题记分题记分. 22、(选修 4-4 坐标系与参数方程) 以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线C的极坐标方程为 22 cos2a（aR,a为常数），过点(2,1)P、倾斜角为30的直线l的 参数方程满足 3 2 2 xt（t为参数）.（1）求曲线C的普通方程和直线l的
12、参数方程；（2）若直 线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且| | 2PAPB，求a和|PAPB的 值 23、(选修 4-5 不等式选讲) 已知函数 212()f xxmxmR 。（1）若1m，解不等 式 6f x ；（2）若 f x有最小值，且关于x的方程 2 1f xxx 有两个不等实根，求实 数m的取值范围。 20202020 年高考新课标（全国卷年高考新课标（全国卷 1 1）数学（理科）模拟试题（一）数学（理科）模拟试题（一） 答案解析答案解析 一、选择题一、选择题 1-6 题 B C B A C B 7-12 题 C B D A B D 二、填空题二、填空题 13、8
13、14、2 15、4 16、3 部分（选填题）压轴题解析部分（选填题）压轴题解析 11.解析：解析： 1(1)(1) 1 ax a x f x xax x ，1x 时， 0fx ；01x时， 0fx ， f x在0,1上递增，在1,上递减， max 3 11 2 f xfa，即 f x的值域为 3 ,1 2 a . 令 f xt，则 3 1 2 yffxf tta ， f t在0,1上递增，在1,上递减， 要使 yf t的值域为 3 ,1 2 a ，则 3 1 1 2 a ， 4 3 a ， a的取值范围是 4 , 3 ，故选 D. 12.解析：解析：由题意画出图形，可证 AC平面 BED，得到
14、球心 O 位于平面 BED 与平面 ACF 的交线 上，即直线 EF 上，由勾股定理结合 OAOB，OEEF，EFEB4 可得线段 EF 长度的取值范 围如图，由已知可得，ACBE，且 ACDE，AC平面 BED， E 是 AC 的中点，到点 A、C 的距离相等的点位于平面 ACF 内， 同理可知，到点 B、D 的距离相等的点位于平面 ACF 内， 球心 O 到点 A，B，C，D 的距离相等，球心 O 位于平面 BED 与平面 ACF 的交线上，即直 线 EF 上球心 O 落在线段 EF 上（不含端点 E、F）， 显然 EFBD，由题意 EA3，EB4，则 OA2OE2+9， 且 OB2OF2
15、+FB2OF2+EB2EF2（EFOE）2+16EF2OE2+162EFOE OAOB，OE2+9OE2+162EFOE，则， 显然 OEEF， 7 2 EF EF ，即 14 2 EF又 EFEB4， 14 4 2 EF故选：B 16 解：解： 由题意， 当42x 时， 顶点,B x y的轨迹是以点2,0A 为圆心， 以 2 为半径的 1 4 圆； 当22x 时，顶点,B x y的轨迹是以点0,0D为圆心，以2 2为半径的 1 4 圆； 当24x时，顶点,B x y的轨迹是以点2,0C为圆心，以 2 为半径的 1 4 圆； 当46x，顶点,B x y的轨迹是以点4,0A为圆心，以 2 为半径
16、的 1 4 圆， 与42x 的形状相同，因此函数 (yfx的图像在4,4恰好为一个周期的图像； 所以函数 yf x 的周期是 8；(19)(3)3ff，其图像如下： 三解答题三解答题 17. 解：（1）由已知得AD/BE，CG/BE，所以AD/CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G， D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE 因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE （2）作EHBC，垂足为H因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC 由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC=60 ，可求得BH=1，EH=3 以H为坐标原点，HC的方向为x轴的
17、正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz， 则A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，1，0） 设平面ACGD的法向量为n= （x， y， z） ， 则 0, 0, CG AC n n 即 30, 20. xz xy 所以可取n= （3， 6， 3） 又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以 3 cos, |2 n m n m n m 因此二面角BCGA的大小为30 18 解析：(1)由 5 4 cosA得 5 3 sinA， 5 2144 5 3 1228 2 1 sin 2 1 AbcS ABC 3 分 (2)由ACABDAD
18、O 4 1 3 1 ， 可得ACABAO 4 1 3 1 ， 于是AOACAOABAOAO 4 1 3 1 ， 5 分 即OACAOACOABAOABAOcos 4 1 cos 3 1 2 ， 又O为ABC的的外接圆圆心，则ABOABAO 2 1 cos， OACAOcos=AC 2 1 ，7 分 将代入得到 22 2 8 1 6 1 ACABAO128 8 1 144 6 1 401624解得 102AO 10 分 由正弦定理得10422 sin AOR B b ， 可解得 5 52 sinB12 分 19（1）令 2 ln1xhg xxxf xx（0x），则 2 21 h xx x x 1
19、 00 2 xh x， 2 0 1 xh x， 所以 f xg x的单调递增区间为 1 0, 2 ，单调递减区间为 1 , 2 所以 f xg x在 1 2 x 处取极大值 1 ln2 4 ，无极小值 （2）依题知，当1x 时， 2 230 3 mm， 又m为整数，当1m时，由（1）知 f xg x的极大值为 1 ln20 4 ，所以m的最小值为 1 20.（1）记事件为A为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R”， 事件B为“第三次含有细菌R且前 2 次中有一次含有细菌R”， 事件C为“前三次均不含有细菌R”，则ABC，且事件,B C互斥， 所以 1113 2233 33 55 113
20、( )( )( ) 51010 A A AA P AP BP C AA . 4 分 （2）（i） ( )En ，的取值为1,1n，(1)(1) , (1)1 (1) nn PPPnP ， 6 分 所以( )(1)(1) 1 (1)1(1) nnn EPnPnnP ， 由 ( )( )EE 得1(1)nnnnP ，所以 1 * (1) 1 ( )nPn n N； 8 分 (ii) 1 4 1eP ,所以 4 ( )1e n Enn ，所以 4 (1)e n nnn ， 9 分 所以ln0 4 n n ，设( )ln(0) 4 x f xxx， 114 ( ) 44 x fx xx ， 当(0,4
21、)x时，( )0fx，( )f x在(0,4)上单调递增； 当(4,)x时，( )0fx，( )f x在(4,)上单调递减， 11 分 又(8)ln823ln223 0.6920f ， 999 (9)ln92ln32 1.100 444 f， 所以n的最大值为8. 12 分 21（1）设动点P xy，则4Hy ， 由 11 0 22 PFPMPFPM 221 4 PFPM，即 221 4 PFPM ， 22 2 1 14 4 xyx ，化简得 22 1 43 xy （2）由(1)知轨迹C的方程为 22 1 43 xy ，当直线 1 l斜率不存在时 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B 13
22、22 DAB SABOF 当直线 1 l斜率存在时，设直线l方程为1xmy 0m，设 11 ,A x y 22 ,B x y 由 22 1 1 43 xmy xy 得 22 34690mymy.则 2 1441440m ， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 112 1 2 OAB SOFyy 2 1212 1 14 2 yyy y 2 22 2 13636 234 34 m m m 2 2 2 1 6 34 m m 令 2 1(1)mt t ，则 2 6 31 OAB t S t 2 1 66 1 961 96 t tt t t 令 1 96f tt t
23、 ，则 2 1 9ft t ，当1t 时， 0ft ， 1 96f tt t 在1,上单调递增， 116f tf， 13 6 162 OAB S 综上所述，三角形OAB面积的取值范围是 3 0, 2 22、解：（1）由 22 cos2a得 2222 (cossin)a， -1 分 又cosx，siny，得 222 xya， C 的普通方程为 222 xya，-2 分 过点(2,1)P、倾斜角为30的直线 l 的普通方程为 3 (2)1 3 yx，-3 分 由 3 2 2 xt得 1 1 2 yt 直线 l 的参数方程为 3 2 2 1 2 xt t y （t 为参数）；-5 分（2）将 3 2
24、 2 1 2 xt t y 代入 222 xya，得 22 2(2 31)2(3)0tta， -6 分 依题意知 22 2(2 31)8(3)0a 则上方程的根 1 t、 2 t就是交点 A、B 对应的参数， 2 12 2(3)t ta， 由参数 t 的几何意义知 1212 | | | | |PAPBttt t，得 12 | 2t t ， 点 P 在 A、B 之间， 12 0t t ， 12 2t t ，即 2 2(3)2a ，解得 2 4a （满足0 ），2a ，-8 分 1212 | | |PAPBtttt，又 12 2(2 3 1)tt， | 4 32PAPB-10 分 23解：() m
25、=1， 212)(xxxf 当 x 2 1 时，f(x)=3-x，由 f(x)-3，综合得-3 2 1 时，f(x)=3x+1，由 f(x)6 解得 x 3 5 ，综合得 2 1 x 3 5 ， 所以 f(x) 2 1 时，f(x)=(2+m)x+1 当 x 2 1 时，f(x)=(m-2)x+3，要使得 f(x)有最小值，则 ， ， 02 02 m m 解得-2m2，且由图像可得，f(x)在 x= 2 1 时取得最小值 2 1 m+2 y=-x2+x+1 在 x=v 时取得最大值 4 5 ，方程 f(x)=-x2+x+1 有两个不等实根，则 2 1 m+2 4 5 ，解得 m- 2 3 综上所述，m 的取值范围为-2m- 2 3 10 分
