1、已知集合 Ax|x1，Bx|x2x20，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|x1 Cx|1x1 Dx|1x2 2 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|+i|，i 为虚数单位，则 z 等于（ ） A1i B1+i Ci D+i 3 （5 分）已知向量，若，则实数 m 的值为（ ） A B C D 4 （5 分）设 alog1.10.5，blog1.10.6，c1.10.6，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是： “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4
2、 斤， 尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少 斤？（ ） A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失 10%、如果光线原来的强度为 k（k0） ，通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y， 则 yk0.9x（xN*） ， 那么光线强度减弱到原来的以下时， 至少通过这样的玻璃块数为（ ） （参考数据：1g30.477） A9 B10 C11 D12 7 （5 分） 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点， 过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点， 则|FA|FB|的值等于（ ） A B8 C
3、 D4 8 （5 分）图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 A1，A2，A16，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么 该程序框图输出的结果是（ ） 第 2 页（共 21 页） A6 B10 C7 D16 9 （5 分）函数的大致图象是（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数 f（x）x（a0，b0）在 x1 处取得极小值，则 27ab2的最大值为（ ） A27 B9 C4 D1 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线均与圆 x2+y26x+5 0 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C
4、的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABBDADCD3，ACBC4，用平行于 AB，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形 EFGH，则四边形 EFGH 面积的最大值为（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列若 a11，则 S4 14 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 2x+y 的最小值为 15 （5 分）一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是
5、AB 的中点，在几何体 ADFBCE 内任取一点，则该点在几何体 FAMCD 内的概率为 16 （5 分）已知函数 f（x），g（x）f（x）x则方程 g（x） 0 有 个实数根 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中
6、，某网站推出了关于环境治理和 保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人，并将这 200 人 按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25，35） ，第 3 组35，45） ，第 4 组45，55） ，第 5 组55，65） ，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出 a 的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随 机抽取 3 人进行问卷调查，求第 2 组恰好抽到 2 人的概率 第 4 页（共 21 页） 18 （12 分）已知函数的最大值为 1 （1）求 t 的值； （2）设锐角ABC 的内角 A，B，
7、C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，ABC 的面 积为，且 f（A），求 b+c 的值 19 （12 分）如图，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，它们所在平面互相垂直， FD平面 ABCD，EF平面 ABCD （1）求证：平面 ACF平面 BDF； （2）若CBA60，求多面体 ADFBCE 的体积 20 （12 分）已知函数 f（x）aex，g（x）lnxlna，其中 a 为常数，e 是自然对数的底 数，曲线 yf（x）在其与 y 轴的交点处的切线记作 l1，曲线 yg（x）在其与 x 轴的交 点处的切线记作 l2，且 l1l2 （1）求 l1，l2之间的距离； （2
8、）若存在 x 使不等式成立，求实数 m 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点 和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线 l 与椭圆 C 交于 A（x1， y1） ，B（x2，y2）两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 O 作直线 l 的垂线，垂足为 D若 OAOB，求动点 D 的轨迹方程 第 5 页（共 21 页） 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，
9、在答题卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲
10、（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|2x1|1（aR）的一个零点为 1 （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若+a（m0，n1） ，求证：m+2n11 第 6 页（共 21 页） 2020 年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科）年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x1，Bx|x2
11、x20，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|x1 Cx|1x1 Dx|1x2 【分析】求出 B 中不等式的解集，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：x2x20，即为（x2） （x+1）0，解的1x2，即 Ax|1x 2， 又 Ax|x1， 则 ABx|1x2， 故选：D 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|+i|，i 为虚数单位，则 z 等于（ ） A1i B1+i Ci D+i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案 【解答】解： （1+i）z|+i|2， z1i， 故选：A 【点评】本题考查了复数代
12、数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知向量，若，则实数 m 的值为（ ） A B C D 【分析】根据条件即可求出，而根据即可得出 ，从而求出 m 的值 【解答】解：； ； 第 7 页（共 21 页） ； 解得 故选：D 【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算 4 （5 分）设 alog1.10.5，blog1.10.6，c1.10.6，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 【分析】先利用函数的单调性比较 a 与 b 的大小，再利用中间量比较 c 与 a、b 大小 【解答】解：因为对数函数 ylog1.1x 在（0，
13、+）上单调递增，且 0.50.61 所以 ab0， 又 c1.10.61， 所以 abc， 故选：A 【点评】本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量（0、1）法 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是： “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤， 尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少 斤？（ ） A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 【分析】由每一尺的重量构成等差数列an，a14，a52，利用求和公式即可得出 【解答】解：由每一尺的
14、重量构成等差数列an，a14，a52， 该金锤共重15 斤 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失 10%、如果光线原来的强度为 k（k0） ，通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y， 则 yk0.9x（xN*） ， 那么光线强度减弱到原来的以下时， 至少通过这样的玻璃块数为（ ） （参考数据：1g30.477） A9 B10 C11 D12 第 8 页（共 21 页） 【分析】由题意可知，所以 x，进而计算出结果即可 【解答】 解： 设通过这样的玻璃 x 块， 则由题意得， 化得， 两边同时取
15、常用对数，可得， 因为 lg0.90，所以， 则至少通过 11 块玻璃， 故选：C 【点评】本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 7 （5 分） 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点， 过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点， 则|FA|FB|的值等于（ ） A B8 C D4 【分析】将直线方程 yx1 代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即 可得出|FA|FB|的值 【解答】解：F（1，0） ，故直线 AB 的方程为 yx1， 联立方程组，可得 x26x+10， 设 A（x1，y1） ，
16、B（x2，y2） ，由根与系数的关系可知 x1+x26，x1x21 由抛物线的定义可知：|FA|x1+1，|FB|x2+1， |FA|FB|x1x2|4 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题 8 （5 分）图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 A1，A2，A16，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么 该程序框图输出的结果是（ ） 第 9 页（共 21 页） A6 B10 C7 D16 【分析】 模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数， 由茎叶图知： 数学成绩
17、大于等于 90 的人数为 10，从而得解 【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数， 所以由茎叶图知：数学成绩大于等于 90 的人数为 10， 因此输出结果为 10 故选：B 【点评】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一 道综合题 9 （5 分）函数的大致图象是（ ） A B C D 【分析】由函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 BC；由函数零点为1 和 1，排除 D，进而得到答案 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：函数的定义域为x|x0，函数为奇函数，排除 B，C；又函 数的零点为1 和 1，排除 D； 故选：A 【点评
18、】本题考查由函数解析式确定函数图象，考查函数性质的运用，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）x（a0，b0）在 x1 处取得极小值，则 27ab2的最大值为（ ） A27 B9 C4 D1 【分析】由已知，结合导数存在条件可求得 a+b1，代入到所求式子，结合函数单调性 可求 【解答】解：由，可得 f（x）ax2+bx1， 则 f（1）a+b10，即 a+b1， 所以 ab2（1b）b2b3+b2，记 g（b）b3+b2，0b1， 则 g（b）3b2+2b，令 g（b）0，解得， 所 以 g （ b ） 在 区 间上 单 调 递 增 ， 在 区 间上 单 调 递 减 ， ， 此时 2
19、7ab24， 故选：C 【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于基础题 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线均与圆 x2+y26x+5 0 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意圆 C：x2+y26x+50 把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0） ，利用 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心及双曲线的标准方程建立 a，b 的方程再利用双曲线 C： 1（a0，b0）的两条渐近线均和圆 C：x2+y26x+50 相切，建立另一个 a，b 的方程求出 a，b，然后求解离心率 第 11 页（共 21 页
20、） 【解答】解：因为圆 C：x2+y26x+50（x3）2+y24， 由此知道圆心 C（3，0） ，圆的半径为 2， 又因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 而双曲线 C：1（a0，b0） ，a2+b29 又双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线均和圆 C：x2+y26x+50 相切， 而双曲线的渐近线方程为：yxbxay0， 2 连接得，可得 c3， 所以双曲线的离心率为： 故选：C 【点评】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及 利用方程的思想进行解题 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABBDADCD3，ACBC4，用平行于 AB，CD 的平面截此四面
21、体，得到截面四边形 EFGH，则四边形 EFGH 面积的最大值为（ ） A B C D3 【分析】 由直线 AB 平行于平面 EFGH， 且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG， 所以 HGAB， 同理 EFAB，FGCD，EHCD，所以 FGEH，EFHG四边形 EFGH 为平行四 边形又 ADBD，ACBC 的对称性，可知 ABCD从而四边形 EFGH 为矩形建立 二次函数关系求解四边形 EFGH 面积的最大值 【解答】解：直线 AB 平行于平面 EFGH，且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG， HGAB， 同理：EFAB，FGCD，EHCD， FGEH，EFHG 四边形 EFG
22、H 为平行四边形 又ADBD，ACBC 的对称性，可知 ABCD 四边形 EFGH 为矩形 设 BF：BDBG：BCFG：CDx， （0x1） ， 第 12 页（共 21 页） FG3x，HG3（1x） ， ， 当时，四边形 EFGH 的面积有最大值 故选：B 【点评】本题考查了四面体 ABCD 中的对称性来证明四边形是矩形同时考查了动点的 问题以及灵活性的运用，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a2，a3成等差数列若 a11，则 S4 15 【分析】
23、由题意知 2a24a1a32a2，即 2q4q22q，由此可知 q2，a11，a2 2，a34，a48，于是得到 S41+2+4+815 【解答】解：2a24a1a32a2， 2q4q22q， q24q+40， q2， a11，a22，a34，a48， S41+2+4+815 答案：15 【点评】本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用 14 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 2x+y 的最小值为 1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设 z2x+y，利用数形结合以及目标函数的几何 意义，转化就即可 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：由约束条件作出可行域如图： 联立，
24、解得 A（0，1） 令 z2x+y，由图可知，当直线 z2x+y 过点 A（0，1）时，z 有最小值为 1， 即 2x+y 的最小值为 1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键，是中档题 15 （5 分）一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是 AB 的中点，在几何体 ADFBCE 内任取一点，则该点在几何体 FAMCD 内的概率为 【分析】先根据三棱锥的体积公式求出 FAMCD 的体积与三棱锥的体积公式求出 ADF BCE 的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可 【解答】解：因为， 所以该点在几何体 FAMCD 内的概
25、率为 故答案为： 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事 件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、 第 14 页（共 21 页） 面积和体积的比值得到 16 （5 分）已知函数 f（x），g（x）f（x）x则方程 g（x） 0 有 1 个实数根 【分析】直接利用分段函数，转化求解函数的零点即可 【解答】解：当 0x 时，g（x）f（x）xxsinxx0，得 sinx1，解得； 当 x 时，此时无解 综上：方程 g（x）0 有 1 个实数根，且 故答案为：1 【点评】本题考查函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是基
26、础题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和 保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人，并将这 200 人 按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25，
27、35） ，第 3 组35，45） ，第 4 组45，55） ，第 5 组55，65） ，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出 a 的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随 机抽取 3 人进行问卷调查，求第 2 组恰好抽到 2 人的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出 a （2）第 1，2 组抽取的人数分别为 20 人，30 人，从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人，3 人，分别记为 a1，a2，b1，b2，b3从 5 人中 第 15 页（共 21 页） 随机抽取 3 人，利用
28、列举法能求出第 2 组抽到 2 人的概率 【解答】解： （1）由 10（0.010+0.015+a+0.030+0.010）1，解得 a0.035 （2）第 1，2 组的人数分别为 20 人，30 人，从第 1，2 组中用分层抽样的方法共抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数依次为 2 人，3 人，分别记为 a1，a2，b1，b2，b3； 设从 5 人中随机抽取 3 人，则有（a1，a2，b1） ， （a1，a2，b2） ， （a1，a2，b3） ， （a1，b1， b2） ， （a1，b1，b3） ， （a1，b2，b3） ， （a2，b1，b2） ， （a2，b1，b3） ， （a2，
29、b2，b3） ， （b1，b2， b3）共 10 个基本事件； 其中第 2 组恰好抽到 2 人包含（a1，b1，b2） ， （a1，b1，b3） ， （a1，b2，b3） ， （a2，b1，b2） ， （a2，b1，b3） ， （a2，b2，b3）共 6 个基本事件； 所以第 2 组抽到 2 人的概率 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布直 方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 18 （12 分）已知函数的最大值为 1 （1）求 t 的值； （2）设锐角ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，ABC 的面
30、 积为，且 f（A），求 b+c 的值 【分析】 （1）对 f（x）化简，利用 f（x）最大值为 1，求出 t； （2）由，求出 A，利用面积公式，结合余弦定理求出 b+c 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） ， f（x）的最大值为 1，解得， （2）， 又ABC 是锐角三角形，得， ，解得， 第 16 页（共 21 页） 由三角形面积公式得，可得 bc4， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA， 可得 8（b+c）23bc， （b+c）220，而 b+c0， 【点评】考查两角和与差公式的应用，正弦函数的性质，三角形面积公式，正余弦定理 等，中档题 19 （12 分）如图，菱形 ABCD 与
31、正三角形 BCE 的边长均为 2，它们所在平面互相垂直， FD平面 ABCD，EF平面 ABCD （1）求证：平面 ACF平面 BDF； （2）若CBA60，求多面体 ADFBCE 的体积 【分析】 （1）推导出 ACBD，FDAC，从而 AC平面 BDF，由此能证明平面 ACF 平面 BDF （2）推导出 FD平面 ABCD，高为 DF取 BC 中点 G，连接 GE，GD，GA，则 EG 平面 ABCD，从而 DFEG 是矩形，由此能求出多面体 ADFBCE 的体积 【解答】证明： （1）ABCD 是菱形，ACBD， FD平面 ABCD，FDAC， BDFDD，AC平面 BDF， AC平面
32、ACF，平面 ACF平面 BDF 解： （2）多面体 ADFBCE 由四棱锥 FABCD 和三棱锥 FBCE 组合而成 在四棱锥 FABCD 中， FD平面 ABCD，高为 DF 取 BC 中点 G，连接 GE，GD，GA（如图） ，则 EG平面 ABCD， 又 EF平面 ABCD，DFEG 是矩形， 菱形 ABCD 的边长为 2，CBA60， ， 第 17 页（共 21 页） ， ， 三棱锥 FBCE 的高即， ， 所以多面体 ADFBCE 的体积为 3 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 2
33、0 （12 分）已知函数 f（x）aex，g（x）lnxlna，其中 a 为常数，e 是自然对数的底 数，曲线 yf（x）在其与 y 轴的交点处的切线记作 l1，曲线 yg（x）在其与 x 轴的交 点处的切线记作 l2，且 l1l2 （1）求 l1，l2之间的距离； （2）若存在 x 使不等式成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）函数 f（x）aex的图象与 y 轴的交点为（0，a） ，函数 yg（x）的图象与 x 轴的交点为（a，0） ，而 f（x）aex，利用 l1l2，求出 a，然后求解切 线方程，求解平行线真假的距离 （2）由，推出在 x0 时有解，令，则只需 mh（x）max
34、，利用函数的导数求解函数的最大值即可 【解答】解： （1）函数 f（x）aex的图象与 y 轴的交点为（0，a） ， 函数 yg（x）的图象与 x 轴的交点为（a，0） ， 而 f（x）aex， l1l2，f（0）g（a） ，得， 又a0，a1 第 18 页（共 21 页） f（x）ex，g（x）lnx， 切线 l1过点（0，1） ，斜率为；切线 l2过点（1，0） ， 斜率为 k2g（1）1，l1：xy+10，l2：xy10， 两平行切线 l1，l2间的距离 （2）由，得， 故在 x0 时有解， 令，则只需 mh（x）max， 当 x0 时，m0； 当 x0 时，可求得， ，而 ex1， ，
35、 故，即 h（x）0， 函数 h（x）在区间0，+）上单调递减， 故 h（x）maxh（0）0，即 m0， 实数 m 的取值范围为（，0） 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义， 考查恒成立问题，正确求导是关键是难题 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点 和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线 l 与椭圆 C 交于 A（x1， y1） ，B（x2，y2）两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 O 作直线 l 的垂线，垂足为 D若 OAOB，求动点 D 的轨迹方程 【分析】 （1）由题意知，求出
36、a，b，然后求解椭圆 C 的方程 第 19 页（共 21 页） （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+m，由消去 y 整理得 （1+4k2）x2+8kmx+4（m21）0，利用韦达定理以及 OAOB 转化求解即可 【解答】解： （1）由题意知，解得， 所以椭圆 C 的方程为 （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+m， 由消去 y 整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）0， 根据题设有：16（1+4k2m2）0 且， OAOB，即 x1x2+y1y20， 将 y1kx1+m，y2kx2+m 代入，化得， 把，代入整理得：5m24（k2+1
37、） ， ODl，； 当直线 l 的斜率不存在时，设 l：xt，由， 得， OAOB，|OA|2+|OB|2|AB|2，解得， 所以动点 D 的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为的圆，方程为 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思 想以及计算能力，是难题 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 第 20 页（共 21 页） 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号
38、一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值 【分析】 （1）消去参数 t 能求出直线 l 的普通方程，由，得 ，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程 （2）点
39、是直线 l 上的点，设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t2，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程， 得 由此能求出的 值 【解答】解： （1）消去参数 t 得直线 l 的普通方程为； 因为，所以， 因为 xcos，ysin， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 （2）由题意判断点是直线 l 上的点， 设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t2， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 其中，t1t22 于是 【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程和代数式值的求法，考查直角 坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档
40、题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|2x1|1（aR）的一个零点为 1 第 21 页（共 21 页） （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若+a（m0，n1） ，求证：m+2n11 【分析】 （1）分类讨论去绝对值； （2）变形后，用基本不等式证明 【解答】解： （1）因为函数 f（x）|xa|+|2x1|1（aR）的一个零点为 1， 所以 a1，又当 a1 时，f（x）|x1|+|2x1|1， f（x）1|x1|+|2x1|2， 上述不等式可化为或或， 解得或或 所以 0x或x1 或 1， 所以原不等式的解集为x|0 （2）由（1）知a1，因为 m0，n1， 所以 m+2（n1）m+2（n1）（+）5+0， 当且仅当 m3n4 时取等号，所以 m+2n11 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，重要不等式在证明中的应用，运算能力，推 理论证能力，化归与转化思想属中档题
