2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、设 Ax|x1,Bx|x2x20,则(RA)B( ) Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 2 (5 分)已知复数 z 满足(1+i)z|+i|,其中 i 为虚数单位,则复数 z 在复平面内对应 点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分)已知向量,若,则实数 m 的值为( ) A B C D 4 (5 分)设 alog1.10.5,blog1.10.6,c1.10.6,则( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 5 (5 分)我国古代名著九章算术中有这样一段话: “今有金锤,长五尺,斩本一尺, 重四斤,斩末一尺,重二斤 ”意思是:

2、 “现有一根金锤,长 5 尺,头部 1 尺,重 4 斤, 尾部 1 尺,重 2 斤” ,若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少 斤?( ) A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 6 (5 分)设光线通过一块玻璃,强度损失 10%、如果光线原来的强度为 k(k0) ,通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y, 则 yk0.9x(xN*) , 那么光线强度减弱到原来的以下时, 至少通过这样的玻璃块数为( ) (参考数据:1g20.3011g30.477) A12 B13 C14 D15 7 (5 分) 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点, 过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物

3、线于 A, B 两点, 则|FA|FB|的值等于( ) A B8 C D4 8 (5 分)图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1 号到 16 号的同学的成绩依次为 A1,A2,A16,图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图,那么 该程序框图输出的结果是( ) 第 2 页(共 22 页) A6 B10 C7 D16 9 (5 分)函数 y的大致图象是( ) A B C D 10 (5 分)如图是某个四面体的三视图,若在该四面体的外接球内任取一点,则点落在四 面体内的概率为( ) 第 3 页(共 22 页) A B C D 11 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b

4、0)的两条渐近线均与圆 x2+y26x+5 0 相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则 C 的离心率为( ) A B C D 12 (5 分)已知函数 g(x)ex有两个不同极值点,则实数 a 的取值范围是( ) A (0,e) B (e,+) C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3成等差数列若 a11,则 S4 14 (5 分)若关于 x 的二项式(2x+)7的展开式中一次项的系数是70,则 a 15 (5 分)已知函数 f(x)与 ykx(kR)

5、的图象有三个不同交点, 则实数 k 的取值区间为 16 (5 分)在四面体 ABCD 中,ABBDADCD3,ACBC4,用平行于 AB,CD 的平面截此四面体,得到截面四边形 EFGH,则四边形 EFGH 面积的最大值为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答. 17 (12 分)某市在开展创建“全国文明城市”活动中,工作有序扎实,成效显著,尤其是 城市环

6、境卫生大为改观,深得市民好评 “创文”过程中,某网站推出了关于环境治理和 第 4 页(共 22 页) 保护问题情况的问卷调查,现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人,并将这 200 人 按年龄分组:第 1 组15,25) ,第 2 组25,35) ,第 3 组35,45) ,第 4 组45,55) ,第 5 组55,65) ,得到的频率分布直方图如图所示 (1)求出 a 的值; (2)若已从年龄较小的第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人,现要再从这 5 人中随 机抽取 3 人进行问卷调查, 设第 2 组抽到 人, 求随机变量 的分布列及数学期望 E () 18 (12 分)已知函

7、数的最大值为 1 (1)求 t 的值; (2)设锐角ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2,ABC 的面 积为,且 f(A),求 b+c 的值 19 (12 分)如图,菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2,它们所在平面互相垂直, FD平面 ABCD,EF平面 ABCD (1)求证:平面 ACF平面 BDF; (2)若CBA60,求二面角 ABCF 的大小 20 (12 分)已知函数 f(x)aex,g(x)lnxlna,其中 a 为常数,e 是自然对数的底 数,e2.72,曲线 yf(x)在其与 y 轴的交点处的切线记作 l1,曲线 yg(x)在其与 x

8、 轴的交点处的切线记作 l2,且 l1l2 (1)求 l1,l2之间的距离; 第 5 页(共 22 页) (2)对于函数 f(x)和 g(x)的公共定义域中的任意实数 x0,称|f(x0)g(x0)|的值 为函数 f(x)和 g(x)在 x0处的偏差求证:函数 f(x)和 g(x)在其公共定义域内的 所有偏差都大于 2 21 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的长轴是短轴的两倍,以短轴一个顶点 和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于,直线 l 与椭圆 C 交于 A(x1, y1) ,B(x2,y2)两点,其中直线 l 不过原点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 OA,l,O

9、B 的斜率分别为 k1,k,k2,其中 k0 且 k2k1k2记OAB 的面 积为 S分别以 OA,OB 为直径的圆的面积依次为 S1,S2,求的最小值 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答, 并用两题中任选一题作答, 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题,如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题,如果多 做,则按所做的第一题计分 【选修做,则按所做的第一题计分 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分:坐标系与参数方

10、程】 (本小题满分 10 分分) 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) 以 坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求的值 【选修【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分:不等式选讲】 (本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|xa|+|2x1|1(aR)的一个零点为 1 (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若+a(m0,n1) ,求证:m+2n11 第 6 页(共

11、 22 页) 2020 年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)设 Ax|x1,Bx|x2x20,则(RA)B( ) Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 【分析】可求出集合 B,然后进行交集、补集的运算即可 【解答】解:RAx|x1,Bx|1x2; (RA)Bx|1x1 故选:B 【点评】

12、考查描述法的定义,一元二次不等式的解法,以及交集、补集的运算 2 (5 分)已知复数 z 满足(1+i)z|+i|,其中 i 为虚数单位,则复数 z 在复平面内对应 点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 的坐标得答案 【解答】解:由(1+i)z|+i|, 得 z, 对应点的坐标为(1,1) ,在第四象限, 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题 3 (5 分)已知向量,若,则实数 m 的值为( ) A B C D 【分析】根据条件即可求出,而

13、根据即可得出 ,从而求出 m 的值 【解答】解:; 第 7 页(共 22 页) ; ; 解得 故选:D 【点评】考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的运算,向量数量积的坐标运算 4 (5 分)设 alog1.10.5,blog1.10.6,c1.10.6,则( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 【分析】先利用函数的单调性比较 a 与 b 的大小,再利用中间量比较 c 与 a、b 大小 【解答】解:因为对数函数 ylog1.1x 在(0,+)上单调递增,且 0.50.61 所以 ab0, 又 c1.10.61, 所以 abc, 故选:A 【点评】本题考察比较大小,属基础题,比较三者的

14、大小时常用中间量(0、1)法 5 (5 分)我国古代名著九章算术中有这样一段话: “今有金锤,长五尺,斩本一尺, 重四斤,斩末一尺,重二斤 ”意思是: “现有一根金锤,长 5 尺,头部 1 尺,重 4 斤, 尾部 1 尺,重 2 斤” ,若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少 斤?( ) A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 【分析】由每一尺的重量构成等差数列an,a14,a52,利用求和公式即可得出 【解答】解:由每一尺的重量构成等差数列an,a14,a52, 该金锤共重15 斤 故选:D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属

15、于中档题 6 (5 分)设光线通过一块玻璃,强度损失 10%、如果光线原来的强度为 k(k0) ,通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y, 则 yk0.9x(xN*) , 那么光线强度减弱到原来的以下时, 至少通过这样的玻璃块数为( ) (参考数据:1g20.3011g30.477) 第 8 页(共 22 页) A12 B13 C14 D15 【分析】推导出,从而 xlog0.90.25,由此能求出结果 【解答】解:设需要这样的玻璃 x 块,则经过 x 块这样的玻璃后光线强度为 yk0.9x, 由题意得,化得, 两边同时取常用对数,可得,因为 lg0.90, 所以,则至少通过 14 块玻璃, 故

16、选:C 【点评】本题考查函数在生产生活中的实际运用,考查函数、对数等基础知识,考查运 算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题 7 (5 分) 已知 F 为抛物线 y24x 的焦点, 过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点, 则|FA|FB|的值等于( ) A B8 C D4 【分析】将直线方程 yx1 代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即 可得出|FA|FB|的值 【解答】解:F(1,0) ,故直线 AB 的方程为 yx1, 联立方程组,可得 x26x+10, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由根与系数的关系可知 x1+x26,x1x21 由抛物线

17、的定义可知:|FA|x1+1,|FB|x2+1, |FA|FB|x1x2|4 故选:C 【点评】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题 8 (5 分)图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1 号到 16 号的同学的成绩依次为 A1,A2,A16,图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图,那么 该程序框图输出的结果是( ) 第 9 页(共 22 页) A6 B10 C7 D16 【分析】 模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数, 由茎叶图知: 数学成绩大于等于 90 的人数为 10,从而得解 【解答】解:由算法流程图可知,其统

18、计的是数学成绩大于等于 90 的人数, 所以由茎叶图知:数学成绩大于等于 90 的人数为 10, 因此输出结果为 10 故选:B 【点评】本题考查学生对茎叶图的认识,通过统计学知识考查程序流程图的认识,是一 道综合题 9 (5 分)函数 y的大致图象是( ) A B C D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项,利用特殊值判断函数的图象即可 第 10 页(共 22 页) 【解答】解:函数 y是奇函数,排除选项 A,D 当 x+时,y0 排除 B 故选:C 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用,函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函 数的图象的常用方法 10 (5 分)如图是某个四面体的三视图,若在

19、该四面体的外接球内任取一点,则点落在四 面体内的概率为( ) A B C D 【分析】通过三视图,判断几何体的形状,利用三视图的数据,求解几何体的体,再求 出外接球的体积,即可求出点落在四面体内的概率 【解答】解:由题意可知,几何体是三棱锥,底面三角形的一边长为 6,底面三角形的高 为:3, 棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点,棱锥的高为:4 则几何体的体积:63412 外接球的直径为2, 外接球的半径为,体积为, 点落在四面体内的概率为 故选:C 第 11 页(共 22 页) 【点评】本题考查几何概型的概率,可以为长度、面积、体积等,而且这个“几何度量” 只与“大小”有关,而与形状和位

20、置无关 11 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的两条渐近线均与圆 x2+y26x+5 0 相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则 C 的离心率为( ) A B C D 【分析】由题意圆 C:x2+y26x+50 把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0) ,利用 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心及双曲线的标准方程建立 a,b 的方程再利用双曲线 C: 1(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y26x+50 相切,建立另一个 a,b 的方程求出 a,b,然后求解离心率 【解答】解:因为圆 C:x2+y26x+50(x3)2+y24, 由此知道圆心 C(3,0) ,圆的半径为 2, 又

21、因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 而双曲线 C:1(a0,b0) ,a2+b29 又双曲线 C:1(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y26x+50 相切, 而双曲线的渐近线方程为:yxbxay0, 2 连接得,可得 c3, 所以双曲线的离心率为: 故选:C 【点评】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件,还考查了双曲线及圆的标准方程及 利用方程的思想进行解题 12 (5 分)已知函数 g(x)ex有两个不同极值点,则实数 a 的取值范围是( ) A (0,e) B (e,+) C D 【分析】g(x)exax,记 f(x)g(x) ,通过 a0 时,当 a0 时,判断函数的单 第 1

22、2 页(共 22 页) 调性,转化求解 f(x)min,得到,求和求解 a 的范围 【解答】解:g(x)exax,记 f(x)g(x) ,则题设条件转化为函数 f(x)有两个 不同零点 当 a0 时,f(x)在 R 上单调递增,不符合题意; 当 a0 时,f(x)exa,令 f(x)exa0,解得:xlna 当 x(,lna)时,f(x)0,此时 f(x)单调递减 当 x(lna,+)时,f(x)0,此时 f(x)单调递增; f(x)有两个不同零点,f(x)minf(lna)aalna0, 由,解得 ae,即实数 a 的取值范围为(e,+) , 故选:B 【点评】本题考查函数的导数的应用,考查

23、函数的最值的求法,考查转化思想以及计算 能力,是中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3成等差数列若 a11,则 S4 15 【分析】由题意知 2a24a1a32a2,即 2q4q22q,由此可知 q2,a11,a2 2,a34,a48,于是得到 S41+2+4+815 【解答】解:2a24a1a32a2, 2q4q22q, q24q+40, q2, a11,a22,a34,a48, S41+2+4+815 答案:15 【点评】本题考查数列的应用,解题

24、时要注意公式的灵活运用 14 (5 分)若关于 x 的二项式(2x+)7的展开式中一次项的系数是70,则 a 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 01,求出 r 的值,即可求得一 第 13 页(共 22 页) 次项,再根据一次项等于70,求得实数 a 的值 【解答】解:展开式的通项公式为 Tr+1ar27 rx72r,由 72r1,得 r3, 所以一次项的系数为24a370,得 a, 故答案为: 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题 15 (5 分)已知函数 f(x)与 ykx(kR)的图象有三个不同交点, 则实数 k

25、的取值区间为 【分析】构造函数 g(x)f(x)kx,利用函数的零点, 转化求解即可 【解答】解:记 g(x)f(x)kx, 依题意为:方程 g(x)0 有三个不等实数根, 当 0x 时,由 xsinxkx0 得 ksinx,k(0,1)时有两个不等实数根, 当 x 时,由得,时有一个实数根, 综上:时方程 g(x)0 有三个不等实数根 故答案为: 【点评】本题考查函数的零点个数的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题 16 (5 分)在四面体 ABCD 中,ABBDADCD3,ACBC4,用平行于 AB,CD 的平面截此四面体,得到截面四边形 EFGH,则四边形 EFGH 面积的最大值为

26、【分析】 由直线 AB 平行于平面 EFGH, 且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG, 可得 HGAB, 同理 EFAB,FGCD,EHCD,可得 FGEH,EFHG四边形 EFGH 为平行四 边形又 ADBD,ACBC 的对称性,可知 ABCD从而四边形 EFGH 为矩形建立 二次函数关系求解四边形 EFGH 面积的最大值 【解答】解:直线 AB 平行于平面 EFGH,且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG, 第 14 页(共 22 页) HGAB, 同理:EFAB,FGCD,EHCD, FGEH,EFHG 四边形 EFGH 为平行四边形 又ADBD,ACBC 的对称性,可知 AB

27、CD 四边形 EFGH 为矩形 设 BF:BDBG:BCFG:CDx, (0x1) , FG3x,HG3(1x) , , 当时,四边形 EFGH 的面积有最大值 故答案为: 【点评】本题考查了四面体 ABCD 中的对称性来证明四边形是矩形同时考查了动点的 问题以及灵活性的运用,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答. 17 (12 分)某市在开展

28、创建“全国文明城市”活动中,工作有序扎实,成效显著,尤其是 城市环境卫生大为改观,深得市民好评 “创文”过程中,某网站推出了关于环境治理和 保护问题情况的问卷调查,现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人,并将这 200 人 按年龄分组:第 1 组15,25) ,第 2 组25,35) ,第 3 组35,45) ,第 4 组45,55) ,第 5 组55,65) ,得到的频率分布直方图如图所示 (1)求出 a 的值; (2)若已从年龄较小的第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人,现要再从这 5 人中随 机抽取 3 人进行问卷调查, 设第 2 组抽到 人, 求随机变量 的分布列及数学期

29、望 E () 第 15 页(共 22 页) 【分析】 (1)由频率分布直方图能求出 a (2)第 1,2 组的人数分别为 20 人,30 人,从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人, 则第 1,2 组抽取的人数依次为 2 人,3 人随机变量 的所有可能取值为 1,2,3分 别求出相应的概率,由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 【解答】解: (1)由 10(0.010+0.015+a+0.030+0.010)1, 解得 a0.035 (2)第 1,2 组的人数分别为 20 人,30 人, 从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人, 则第 1,2 组抽取的人数依次为 2 人,3

30、人 随机变量 的所有可能取值为 1,2,3 其中, , , 所以随机变量 的分布列为: 1 2 3 P 【点评】本题考查频率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查 频率分布直方图、排列组合等基础知识,考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力,是 中档题 第 16 页(共 22 页) 18 (12 分)已知函数的最大值为 1 (1)求 t 的值; (2)设锐角ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2,ABC 的面 积为,且 f(A),求 b+c 的值 【分析】 (1)对 f(x)化简,利用 f(x)最大值为 1,求出 t; (2)由,求出 A,利用面积公式,

31、结合余弦定理求出 b+c 【 解 答 】 解 :( 1 ) , f(x)的最大值为 1,解得, (2), 又ABC 是锐角三角形,得, ,解得, 由三角形面积公式得,可得 bc4, 由余弦定理 a2b2+c22bccosA, 可得 8(b+c)23bc, (b+c)220,而 b+c0, 【点评】考查两角和与差公式的应用,正弦函数的性质,三角形面积公式,正余弦定理 等,中档题 19 (12 分)如图,菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2,它们所在平面互相垂直, FD平面 ABCD,EF平面 ABCD (1)求证:平面 ACF平面 BDF; (2)若CBA60,求二面角 ABCF

32、的大小 第 17 页(共 22 页) 【分析】 (1)推导出 ACBD,FD平面 ABCD,从而 FDAC,进而 AC平面 BDF, 由此能证明平面 ACF平面 BDF (2)设 ACBDO,以 O 为原点,OB 为 x 轴,OA 为 y 轴,过 O 作平面 ABCD 的垂线 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 ABCF 的大小 【解答】证明: (1)菱形 ABCD,ACBD, FD平面 ABCD,FDAC, BDFDD,AC平面 BDF, AC平面 ACF,平面 ACF平面 BDF 解: (2)设 ACBDO,以 O 为原点,OB 为 x 轴,OA 为 y 轴, 过 O

33、作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 B(,0,0) ,C(0,1,0) ,F(,0,) , (,1,0) ,(2,0,) , 设平面 BCF 的法向量 (x,y,z) , 则,取 x1,得 (1,2) , 平面 ABC 的法向量 (0,0,1) , 设二面角 ABCF 的大小为 , 则 cos, 二面角 ABCF 的大小为 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面 第 18 页(共 22 页) 间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20 (12 分)已知函数 f(x)aex,g(x)lnxlna,其中 a 为常数,e

34、是自然对数的底 数,e2.72,曲线 yf(x)在其与 y 轴的交点处的切线记作 l1,曲线 yg(x)在其与 x 轴的交点处的切线记作 l2,且 l1l2 (1)求 l1,l2之间的距离; (2)对于函数 f(x)和 g(x)的公共定义域中的任意实数 x0,称|f(x0)g(x0)|的值 为函数 f(x)和 g(x)在 x0处的偏差求证:函数 f(x)和 g(x)在其公共定义域内的 所有偏差都大于 2 【分析】 (1)分别求得 yf(x) ,yg(x)与 y,x 轴的交点,求得 f(x) ,g(x)的导 数,由两直线平行的条件,解方程可得 a,求得两条切线的方程,由两直线平行的距离公 式可得

35、所求值; (2)方法一、求得函数 yf(x)和 yg(x)的偏差,并求导,判断单调性,极值点, 可得最值,进而得证; 方法二、 求得函数 yf (x) 和 yg (x) 的偏差 F (x) , 设, F2(x)xlnx,x(0,+) ,分别求导,判断单调性,即可得证 【解答】解: (1)函数 f(x)aex的图象与 y 轴的交点为(0,a) , 函数 yg(x)的图象与 x 轴的交点为(a,0) , 而 f(x)aex, l1l2,f(0)g(a) ,得, 又a0,a1 f(x)ex,g(x)lnx, 切线 l1过点(0,1) ,斜率为; 切线 l2过点(1,0) ,斜率为 k2g(1)1,l

36、1:xy+10,l2:xy10, 两平行切线 l1,l2间的距离; (2)解法一:函数 yf(x)和 yg(x)的偏差为: F(x)|f(x)g(x)|exlnx,x(0,+) , ,易得在 x(0,+)上是增函数, 第 19 页(共 22 页) 方程 F(x)0 有且只有一个正实根,记为 xx0,则, 当 x(0,x0)时,F(x)0;当 x(x0,+)时,F(x)0, 函数 F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增, , F(1)e10, 故, 即函数 yf(x)和 yg(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 解法二:由于函数 yf(x)和 yg(x)的偏差:F(x)

37、|f(x)g(x)|exlnx,x (0,+) , 令,F2(x)xlnx,x(0,+) , F1(x)ex1,F2(x)1, F1(x)在(0,+)上单调递增,F2(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上 单调递增, F1(x)F1(0)1,F2(x)F2(1)1, 于是 F(x)exlnx(exx)+(xlnx)F1(x)+F2(x)2, 即函数 yf(x)和 yg(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性、极值和最值,考查方程思想和 化简运算能力、推理能力,属于中档题 21 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的长轴是短轴的两倍,以

38、短轴一个顶点 和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于,直线 l 与椭圆 C 交于 A(x1, y1) ,B(x2,y2)两点,其中直线 l 不过原点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 OA,l,OB 的斜率分别为 k1,k,k2,其中 k0 且 k2k1k2记OAB 的面 积为 S分别以 OA,OB 为直径的圆的面积依次为 S1,S2,求的最小值 【分析】 (1)利用已知条件列出方程组,求出,然后求解椭圆 C 的方程 第 20 页(共 22 页) (2) 设直线 l 的方程为 ykx+m (m0) , 由消去 y 整理得 (1+4k2) x2+8kmx+4 (m21)0,利用判

39、别式以及韦达定理,转化表示三角形的面积,通过基本不等式求 解表达式的最值即可 【解答】解: (1)由题意知,解得, 所以椭圆 C 的方程为 (2)设直线 l 的方程为 ykx+m(m0) , 由消去 y 整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m21)0,根据题设有:16 (1+4k2m2)0 且, 因为k2k1k2,所以 , 将,代入,化简得:, k0, 此 时 16 ( 2 m2) 0且m 0 , 解 得0 m2 2 故 , 又 ,为定值 , 当且仅当 m21 即 m1 时等号成立 第 21 页(共 22 页) 综上:的最小值为 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合

40、应用,考查转化思 想以及计算能力,是难题 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答, 并用两题中任选一题作答, 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题,如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题,如果多 做,则按所做的第一做,则按所做的第一题计分 【选修题计分 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)分) 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t

41、为参数) 以 坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求的值 【分析】 (1)消去参数 t 能求出直线 l 的普通方程,由,得 ,由此能求出曲线 C 的直角坐标方程 (2)点是直线 l 上的点,设 A,B 两点所对应的参数分别为 t1,t2,将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 得 由此能求出的 值 【解答】解: (1)消去参数 t 得直线 l 的普通方程为; 因为,所以, 因为 xcos,ysin, 所以曲线 C

42、的直角坐标方程为 (2)由题意判断点是直线 l 上的点, 设 A,B 两点所对应的参数分别为 t1,t2, 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 其中,t1t22 第 22 页(共 22 页) 于是 【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程和代数式值的求法,考查直角 坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 【选修【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分:不等式选讲】 (本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|xa|+|2x1|1(aR)的一个零点为 1 (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若+a(m0,n1)

43、,求证:m+2n11 【分析】 (1)分类讨论去绝对值; (2)变形后,用基本不等式证明 【解答】解: (1)因为函数 f(x)|xa|+|2x1|1(aR)的一个零点为 1, 所以 a1,又当 a1 时,f(x)|x1|+|2x1|1, f(x)1|x1|+|2x1|2, 上述不等式可化为或或, 解得或或 所以 0x或x1 或 1, 所以原不等式的解集为x|0 (2)由(1)知a1,因为 m0,n1, 所以 m+2(n1)m+2(n1)(+)5+0, 当且仅当 m3n4 时取等号,所以 m+2n11 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,重要不等式在证明中的应用,运算能力,推 理论证能力,化归与转化思想属中档题

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