1、2020 年年 5 月高考数学诊断试卷（理科）月高考数学诊断试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1设 i 是虚数单位，若 为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B C D2 2设全集 UR，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则将韦恩图（Venn）图中的阴影部 分表示成区间是（ ） A.（0，1） B（1，1） C.（1，2） D.（1，2） 3在 的展开式中，x2项的系数为（ ） A20 B15 C15 D20 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A21 B24 C27 D30 5设 asin24，btan38，ccos52，则（ ） Aabc Bbac Ccab
2、Dacb 6已知 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）ex1，则曲线 yf（x）在 x1 处的切 线方程为（ ） Aexy+10 Bex+y10 Cexy10 Dex+y+10 7 设 O、 F 分别是抛物线 y24x 的顶点和焦点， 点 P 在抛物线上， 若 ， 则 （ ） A2 B3 C4 D5 8已知 ab0，则 c0 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述算经中有如下问题： “今 有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入 得三斤，持出：中间三人
3、未到者，亦依等次更给，问未到三人复应得金几何？”则该问 题的答案约为（结果精确到 0.1 斤）（ ） A3.0 B3.2 C3.4 D3.6 10设向量 ， 满足 ，且（3 ）（ ），则（2 ） （ ） A1 B1 C3 D3 11已知函数 f（x）cos（2x+）（0x）关于直线 x 对称，函数 g（x）sin（2x ），则 下列四个命题中，真命题有（ ） yg（x）的图象关于点 ， 成中心对称； 若对xR，都有 g（x1）g（x）g（x2），则|x1x2|的最小值为 ； 将 yg（x）的图象向左平移 个单位，可以得到 yf（x）的图象； x0R使 A B C D 12已知三条射线 OA、O
4、B、OC 两两所成的角都是 60，点 M 在 OA 上，点 N 在BOC 内运动，且 MNOM ，则点 N 的轨迹长度为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13双曲线 的焦点到渐近线的距离为 14 已知数列an的前n项和Sn3an2n （nN*） ， 若an+成等比数列， 则实数 15已知函數 ， ， ，若 f（x）0 恒成立，则实数 a 的取值范围 是 16为弘扬新时代的中国女排精神甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜 制（即某队先赢三局即获胜，比賽随即结束）若两队的竞技水平和比赛状态相当且 每局比赛相互独立，则比赛结束时已
5、经进行的比赛局数的数学期望是 三、解答题：共 70 分解答应写文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须们答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 17在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c已知 btanA、ctanB、btanB 成等 差数列 （1）求 A 的大小； （2）设 a2，求ABC 面积的最大值 18如图所示，菱形 ABCD 与正方形 CDEF 所在平面相交于 CD （1）求作平面 ACE 与平面 BCF 的交线 l并说明理由； （2）若 BD 与 CF 垂直且相等，求二面角 DAEC 的余弦值 19已知椭圆 E： 经过点 A（
6、0，1），且离心率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 P（2，1）的直线与椭圆 E 交于不同两点 B、C 求证：直线 AB 和 AC 的斜率之 和为定值 20随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾 给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有 5 万居民的光明社区采用分层抽样 方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表： 人均 GDPx（万 元/人） 3 6 9 12 15 人均垃圾清运 量 y（吨/人） 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52 （1）已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程； （
7、2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网 电量 200 干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图，请补全15， 18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量 参考公式回归方程 x 中， 21已知函数 ，其中 a0 （1）求 f（x）的单调区间； （2）设 x1，x2是 f（x）的两个极值点，求证： （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系xOy中， 已知C1： （其中t为参数） ， C2： （其
8、中 为为参数）以 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长 度相同） （1）求 C1和 C2的极坐标方程； （2）设以 O 为端点，倾斜角为 的射线 l 与 C1和 C2分别交于 A、B 两点，求 的最 小值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x2|2|x+1|的最大值为 m （1）求 m 的值； （2）若 a+bm，求 的最大值 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，若 为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B C D2 【分析】利用复数的运
9、算法则、纯虚数的定义即可得出 解： i 为纯虚数， 0， 0， 解得 a 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 2设全集 UR，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则将韦恩图（Venn）图中的阴影部 分表示成区间是（ ） A.（0，1） B（1，1） C.（1，2） D.（1，2） 【分析】根据所给的韦恩图，看出阴影部分所表达的是要求 B 集合的补集与 A 集合的交 集，整理两个集合，求出 B 的补集，再求出交集 解：由题意可知集合 A 中 x 必须满足 log2x1log22； 即 0x2， 集合 B 中 x21x1 或 x1；
10、 所以集合 B 的补集（1，1）， 图中阴影部分表示 A（UB）（0，1）， 故选：A 【点评】本题考查韦恩图表达集合的关系及运算，本题解题的关键是正确读出韦恩图， 在计算出两个集合之间的交集 3在 的展开式中，x2项的系数为（ ） A20 B15 C15 D20 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求得 r 的值，可得展开式中 x2项的系数 解：在 的展开式中，通项公式为 Tr+1 （1）r ， 令 6 2，求得 r3，可得含 x2项的系数为 20， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
11、积为（ ） A21 B24 C27 D30 【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积 解：根据几何体的三视图可得直观图为：下面为半径为 3 半球体和底面半径为 3，高为 2 的圆锥组成 如图所示： 故：V ， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图的转换，几何体的体积和表面积公式的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 5设 asin24，btan38，ccos52，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 【分析】直接利用单位元的三角函数线和诱导公式的应用求出结果 解：asin24，btan38，ccos52sin28，
12、 根据单位圆的三角函数线： ABb，EFc，CDa， 即：tan38sin28sin24， 即 acb， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数线的应用，三角函数诱导公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 6已知 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）ex1，则曲线 yf（x）在 x1 处的切 线方程为（ ） Aexy+10 Bex+y10 Cexy10 Dex+y+10 【分析】根据奇函数的性质可知，f（1）f（1），求出切点坐标，再根据 f（1） f（1）求出切线斜率，则切线可求 解：f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）ex1， f（1）f
13、（1）1e；又 x0 时，f（x）ex，f（1）f（1）e 故切线为：y（1e）e（x+1），即 exy+10 故选：A 【点评】本题考查利用导数求切线的基本思路，奇函数的性质，以及学生利用转化思想 解决问题的能力及运算能力属于中档题 7 设 O、 F 分别是抛物线 y24x 的顶点和焦点， 点 P 在抛物线上， 若 ， 则 （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】设出 p 的坐标，根据数量积求出点 p 的横坐标，即可求解出结论 解：O、F 分别是抛物线 y24x 的顶点和焦点， O（0，0），F（1，0）； 设 P（x，y）； 则 （x，y） （x1，y）x（x1）+y 2； 又因为 y24
14、x； x（x1）+4x10x2 （5 舍）； 故 x 2+13； 故选：B 【点评】 本题主要考查向量的数量积以及抛物线的定义， 考查计算能力， 属于基础题目 8已知 ab0，则 c0 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 化为： 0，根据 ab0，不等式化为：（b+c）c0，进而 判断出结论 解： 化为： 0， ab0，不等式化为：（b+c）c0， 则 c0 ，反之不成立，例如 b1，c2 ab0，则 c0 是 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题
15、9北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述算经中有如下问题： “今 有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入 得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问未到三人复应得金几何？”则该问 题的答案约为（结果精确到 0.1 斤）（ ） A3.0 B3.2 C3.4 D3.6 【分析】根据题意，设题目中十等人得金依次为 a1、a2、，a10，由等差数列的通项 公式可得 ，解可得 a1、d，即可得等差数列an的通项公式，又由 中间三人共得金 Sa5+a6+a73a6，计算可得答案 解：根据题意，设第十等人得金 a1斤，第九等人得金 a2斤，以此类推，第
16、一等人得金 a10 斤，则数列an构成等差数列， 设数列an的公差为 d， ，即有 ，解可得 a1 ，d ， 则中间三人共得金 Sa5+a6+a73a63（a1+5d） 3.2（斤）； 故选：B 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，关键求出等差数列的 首项与公差，属于基础题 10设向量 ， 满足 ，且（3 ）（ ），则（2 ） （ ） A1 B1 C3 D3 【分析】 先根据已知条件得到 2 4 与 3 2 0； 二者联立即可 求解结论 解：因为向量 ， 满足 ，且（3 ）（ ）， 2 4 ； （3 ） （ ）03 2 0 ； 由+可得： 1； 2 3 3； 即（2
17、） 2 3 3； 故选：D 【点评】本题主要考查数量积的应用以及整体代入的数学思想，属于基础题目 11已知函数 f（x）cos（2x+）（0x）关于直线 x 对称，函数 g（x）sin（2x ），则 下列四个命题中，真命题有（ ） yg（x）的图象关于点 ， 成中心对称； 若对xR，都有 g（x1）g（x）g（x2），则|x1x2|的最小值为 ； 将 yg（x）的图象向左平移 个单位，可以得到 yf（x）的图象； x0R使 A B C D 【分析】 首先利用函数的对称性的应用求出 的值， 进一步求出函数 gf （x） 和函数 g （x） 的解析式，再利用函数的性质的应用求出函数的对称性和函数周
18、期及最值及利用和角公 式的运用和差角公式的应用求出存在具体的角，最后求出结果 解： 函数 f （x） cos （2x+） （0x） 关于直线 x 对称， 所以 k （kZ） ， 解得 k ，当 k1 时 所以 f（x）cos（2x ） 所以函数 g （x） sin （2x） sin （2x ） ， 令 ， 解得 （kZ） ， 当 k0 时，x ， 所以：yg（x）的图象关于点 ， 成中心对称；故正确 若对xR，都有 g（x1）g（x）g（x2），即 g（x）ming（x）g（x）max，即|x1 x2|的最小值为 ，故错误 将 yg（x）的图象向左平移 个单位，得到 k（x）sin（2x ）c
19、os2x， 故错误 由于 f（x）g（x）cos（2x ）sin（2x ） ，当 sin（2x ） 时， ，故正确 故选：C 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于 中档题型 12已知三条射线 OA、OB、OC 两两所成的角都是 60，点 M 在 OA 上，点 N 在BOC 内运动，且 MNOM ，则点 N 的轨迹长度为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】先作 MO1平面 AOB 于点 O1，作 MKOB 于点 K，连 OO1，KO1，利用直角 三角形知识依次求出 M
20、K，OK，KO1，MO1长度，再由题设条件得出点 N 的轨迹是一段 圆弧，求出其长度即可 解：如图所示：作 MO1平面 AOB 于点 O1，作 MKOB 于点 K，连 OO1，KO1， 射线 OA、OB、OC 两两所成的角都是 60，点 M 在 OA 上，MO ， 在直角三角形 MKO 中，MKOM sin609，OKOM cos603 ； 在直角三角形 O1KO 中，KO1OK tan303； 在直角三角形 MO1K 中， MO1 6 点 N 在BOC 内运动，且 MN ， 点 N 的轨迹是以点 M 为球心，以 6 为半径的球被平面 BOC 截得的一段圆弧 EF 其圆心为点 O1，半径 r
21、6，圆心角为EO1F2BOC120，圆弧 长为 2r4 故选：C 【点评】本题主要考查动点的轨迹是球被平面截得的一段圆弧的弧长的计算，属于中档 题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13双曲线 的焦点到渐近线的距离为 【分析】由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解 解：由双曲线 ，得焦点坐标为 F（4，0）， 渐近线方程为 y ， 不妨取焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为 则焦点到渐近线的距离为 d 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题 14 已知数列an的前 n 项和 Sn3an2n （n
22、N*） ， 若an+成等比数列， 则实数 2 【分析】 利用 an与 Sn的关系转化成 an与 an1的关系， 因为an+成等比数列， 构造 an+， 求解 即可 解：数列an的前 n 项和 Sn3an2n（nN*）， 则 n2 时，Sn13an12（n1）， ，得 an3an3an12， 2an3an1+2， ， 若an+成等比数列， ， 解得 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查 an与 Sn的关系，以及构造新数列，考查了等比数列的概念，属于 基础题 15已知函數 ， ， ，若 f（x）0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 0，3） 【分析】讨论 a0，a0，a0，结合函数的单调性和运用
23、导数判断单调性、求最值， 由题意可得 f（x）的最小值大于 0，解不等式可得所求范围 解：当 a0 时，f（x） ， ， ，显然 f（x）0 恒成立； 当 a0 时，x0 时，f（x）递增，可得 f（x）2，显然 f（x）0 不恒成立； 当 a0 时，x0 时，f（x）递减，可得 f（x）2； x0 时，f（x）2x3ax2+1 的导数为 f（x）6x22ax2x（3xa）， 当 0x a 时，f（x）0，f（x）递减；当 x a 时，f（x）0，f（x）递增， 可得 f（x）在 x a 处取得极小值，且为最小值 1， 由题意可得 10，解得 0a3， 综上可得 a 的取值范围是0，3） 故答
24、案为：0，3） 【点评】本题考查分段函数的性质，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思 想和导数的运用：求单调性、极值和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题 16为弘扬新时代的中国女排精神甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜 制（即某队先赢三局即获胜，比賽随即结束）若两队的竞技水平和比赛状态相当且 每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是 4.125 【分析】设比赛结束时已经进行的比赛局数为 X，则 X 的可能取值为 3，4，5，然后结合 独立重复事件的概率逐一求出每个 X 的取值所对应的概率，再利用数学期望的公式求解 即可 解：设比赛结束时已经进行的
25、比赛局数为 X，则 X 的可能取值为 3，4，5， 甲队或乙队连胜三局： P（X3） ， 甲队或乙队在前 3 局胜 2 局，第 4 局获胜： P（X4） ， 甲队或乙队在前 4 局胜 2 局，第 5 局获胜： P（X5） 数学期望 E（X） 故答案为：4.125 【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的数学期望，考查学生对数据 的分析能力和运算能力，属于基础题 三、解答题：共 70 分解答应写文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须们答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 17在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c已知 bt
26、anA、ctanB、btanB 成等 差数列 （1）求 A 的大小； （2）设 a2，求ABC 面积的最大值 【分析】（1）由题意利用等差数列的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角 公式，正弦定理，求得 cosA 的值，可得 A 的值 （2）由题意利用余弦定理、基本不等式，求得，ABC 面积为 S 的最大值 解：（1）ABC 中，btanA、ctanB、btanB 成等差数列，btanA+btanB2ctanB， 即 b（ ）2c ，即 b 2c ， 即 b 2c ，即 2c 再利用正弦定理可得 ，故 cosA ，A （2）设 a2，ABC 面积为 S，则 S bc sinA bc 由
27、余弦定理可得 a24b2+c22bc cosA2bcbcbc， 即 bc4， 当且仅当 bc 时， 等号成立 故，ABC 面积为 S 的最大值为 4 【点评】本题主要考查等差数列的定义应用，同角三角函数的基本关系、两角和差的三 角公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题 18如图所示，菱形 ABCD 与正方形 CDEF 所在平面相交于 CD （1）求作平面 ACE 与平面 BCF 的交线 l并说明理由； （2）若 BD 与 CF 垂直且相等，求二面角 DAEC 的余弦值 【分析】 （1）过点 C 作 BF 的平行线 l，推导出 AB 与 EF 平行且相等，从而四边形 ABEF 是
28、平行四边形，AEBF，进而 BF平面 ACE，由此推导出 BFl （2）由 CFBD，CFCD，且 BDCDD，得 CF平面 ABCD，由 BDCF，得 BCD 是正三角形，取 BC 中点 O，则 BOCD，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， 过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D AEC 的余弦值 解：（1）过点 C 作 BF 的平行线 l 即可，下面给予证明： 由已知得 AB 和 EF 都与 CD 平行且相等， 即 AB 与 EF 平行且相等， 四边形 ABEF 是平行四边形，AEBF， BF平面 ACE，且 AE平面
29、ACE，BF平面 ACE， BF平面 BCF，且平面 ACE平面 BCF， BFl （2）由 CFBD，CFCD，且 BDCDD，得 CF平面 ABCD， 由 BDCF，得BCD 是正三角形，取 BC 中点 O，则 BOCD， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角 坐标系， 设 AB2，则 D（0，1，0），A（ ，2，0），E（0，1，2），C（0，1，0）， （ ，1，0）， （ ，1，2）， （0，2，2）， 设平面 ADE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1， ，0）， 设平面 ACE 的一个法向
30、量 （a，b，c）， 则 ，取 c1，得 （ ， ， ）， 设二面角 DAEC 的平面角为 ， 则二面角 DAEC 的余弦值为： cos 【点评】本题考查两平面的交线、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知椭圆 E： 经过点 A（0，1），且离心率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 P（2，1）的直线与椭圆 E 交于不同两点 B、C 求证：直线 AB 和 AC 的斜率之 和为定值 【分析】（1）由已知列关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b 的值，则椭圆方程可求； （2）直线 BC 过 P（2，1）且与椭圆有
31、两个不同交点，可得直线 BC 的斜率一定存在且 对于 0，于是设直线方程为 y1k（x2），即 ykx2k+1，联立直线方程与椭圆方 程，化为关于 x 的一元二次方程，由斜率公式及根与系数的关系化简可得直线 AB 和 AC 的斜率之和为定值 【解答】（1）解：由题意， ，解得 ， 则椭圆 E 的方程为 ； （2）证明：直线 BC 过 P（2，1）且与椭圆有两个不同交点， 直线BC的斜率一定存在且对于0， 于是设直线方程为y1k （x2） ， 即ykx2k+1 联立 ，得（4k2+1）x2（16k28k）x+16k（k1）0 （16k28k）24（4k2+1）（16k216k）0 设 B（x1，
32、y1），C（x2，y2）， 则 ， 设直线 AB 和 AC 的斜率分别为 k1，k2， 则 2k 直线 AB 和 AC 的斜率之和为定值 1 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题 20随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾 给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有 5 万居民的光明社区采用分层抽样 方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表： 人均 GDPx（万 元/人） 3 6 9 12 15 人均垃圾清运 量 y（吨/人） 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52 （
33、1）已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程； （2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网 电量 200 干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图，请补全15， 18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量 参考公式回归方程 x 中， 【分析】（1）由最小二乘法，算出 ， ，进而可得回归直线方程 （2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为 1，得 a2，最右边小矩形的高度，人均 GDP，进而得光明社区的人均垃圾清运量约为 0.032（10.2+1）（吨/人）于是光明社 区年内垃圾清运
34、总量，进而得出答案 解：（1）由表格可得， 9， 0.32， ， （6）（0.19）+（3）（0.09）+0（0.01）+3 0.09+60.2 6（0.19+0.09+0.20）60.482.88， 所以 0.032， 于是 0.320.03290.032， 故变量 y 与 x 之间的回归直线方程为 （2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为 1，得 （1+2+4+6+5+a）31， 解得 a2，故最右边小矩形的高度为 ， 由频率分布直方图可知，光明社区的人均 GDP 为 （11.5+24.5+47.5+610.5+513.5+216.5）10.2（万元/人）， 由（1）可知，光明社区的人均
35、垃圾清运量约为 0.032（10.2+1）（吨/人） 于是光明社区年内垃圾清运总量为 50.032（10.2+1）1.792（万吨） 由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为： 179202003.584106（千瓦时）即为所求 【点评】本题考查统计，及回归直线方程，属于中档题 21已知函数 ，其中 a0 （1）求 f（x）的单调区间； （2）设 x1，x2是 f（x）的两个极值点，求证： 【分析】（1）求出原函数的导函数 f（x） （x0），当 a 1 时，f（x）0 恒成立，可得 f（x）在（0，+）上的单调性；当 0a1 时，由 导函数的符号确定原函数的单调区间； （2） 由
36、 x1， x2是 f （x） 的两个极值点， 结合 （1） 知， 0a1， 且 x1+x22， ， 化简可得 ，令 g（t）lnt （0t1），利用导数证明 g （t）在（0，1）内单调递增，于是 g（t）g（1）0，即 lnt （0t1）不 妨令 x1x2，令 t （0，1），则 ，即 lnx1lnx2 ， 可得 ，从而 【解答】（1）解：由 ，得 f（x） （x 0） 当 a1 时，f（x） 恒成立，f（x）在（0，+）上单 调递增，无单调减区间； 当 0a1 时，由x2+2xa20，解得 x 由x2+2xa20，解得 0x 或 x f（x）在（0， ），（ ，+）上单调递减，在（ ， ）
37、上单调递增； （2）证明：x1，x2是 f（x）的两个极值点， 由（1）知，0a1，且 x1+x22， f（x1）f（x2） （lnx1lnx2） （lnx1lnx2） （lnx1lnx2） 令 g（t）lnt （0t1），则 g（t） 0 故 g（t）在（0，1）内单调递增，于是 g（t）g（1）0，即 lnt （0t1） 不妨令 x1x2，令 t （0，1），则 ， 即 lnx1lnx2 于是， 从而 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查化归 与转化思想方法，换元与构造函数是解答该题的关键，属难题 一、选择题 22 在平面直角坐标系xOy中， 已知C1：
38、 （其中t为参数） ， C2： （其中 为为参数）以 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长 度相同） （1）求 C1和 C2的极坐标方程； （2）设以 O 为端点，倾斜角为 的射线 l 与 C1和 C2分别交于 A、B 两点，求 的最 小值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1） 已知曲线C1： （其中t为参数） ， 转换为直角坐标方程为 ， 转 换为极坐标方程为 ， 曲线 C2： （其中 为为参数）转换为直角坐标方程为 x
39、2+（y2）24， 转换为极坐标方程为 4sin （2）射线 l 的极坐标方程为 ， 所以 ，|OB|4sin， 则： ， 故当 时， 的最小值 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三 角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换 能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x2|2|x+1|的最大值为 m （1）求 m 的值； （2）若 a+bm，求 的最大值 【分析】（1）讨论 x 的范围：x1，1x2，x2，去掉绝对值，写出分段函数 的形式，画出图象即可求得 m 值； （2）利用柯西不等式，转化区间函数的最值即可 解：（1）f（x）|x2|2|x+1| ， ， ， ，所以函数 f（x）在区间（， 1内是增函数， 在1，+）s 是减函数所以函数的最大值为：mf（1）3 （2）由柯西不等式可得： ，由题意 a+b 3， 所以 当且仅当 a1，b2 时取等号 所以 的最大值为：3 【点评】本题考查最值的求法，注意柯西不等式的应用，考查变形和化简整理的运算能 力，属于中档题
