1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年四川省高考数学诊断性试卷（理科）年四川省高考数学诊断性试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分） 设集合 A1， 0， 1， 2， 3， 集合 Bx|x22x， 则 AB 的子集个数为 （ ） A2 B4 C6 D8 2 （5 分）方胜是汉民族的传统寓意祥纹，由两个菱形压角叠加而成，一个菱形的顶点与另 一个菱形的中心对应，象征着“同心” 在如图所示的二连方胜中
2、任取一点，则该点恰好 落在叠加小菱形内的概率为（不考虑菱形边界的宽度） （ ） A1 6 B1 7 C1 8 D1 9 3 （5 分）已知命题 p，q 是简单命题，则“p 是假命题”是“pq 是真命题”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4 （5 分）2020 年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等 因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异如图是西方某国在 60 天内感染新 冠肺炎的累计病例人数 y（万人）与时间 t（天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的 回归方程的类型是（ ） Aya+bx Bya+b Cya+
3、bex Dya+blnx 5 （5 分）在（x 2 ）6的展开式中，常数项为（ ） A256 B240 C192 D160 第 2 页（共 21 页） 6 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的边，已知 2acosC2b+3c，则角 A 等于（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 7 （5 分）某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据市场预测，甲、乙两个项目的可能最大 盈利率分别为 30%和 20%，可能最大亏损率分别为 50%和 20%该投资人计划利用不超 过 300 万元的资金投资甲、乙这两个项目，在总投资风险不超过 30%的情况下，该投资 人可能获得的最大盈利为（
4、 ） A40 万元 B50 万元 C60 万元 D70 万元 8（5 分） 已知直线 l： bxay+ab0 （ab0） 经过点 P （1， 2） ， 则 2a+b 的最小值为 （ ） A6 B7 C8 D9 9 （5 分）将函数 ysin2x 图象上的每一个点按向量 =（，m） （其中 和 m 为常数，且 | 2）移动后，所得图象关于直线 x 12对称，则 的值可能为（ ） 3； 6； 6； 3 A B C D 10 （5 分）已知 F（c，0） （其中 c0）是双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的焦点，圆 x2+y22cx+b20 与双曲线的一条渐近线 l 交于 A、B 两点，已知
5、 l 的倾斜角为 30，则 tanAFB（ ） A2 B3 C22 D23 11 （5 分） 设 a0.20.2， b0.20.3， c0.30.2， d0.30.3， 则 a， b， c， d 的大小关系是 （ ） Acadb Bcdab Ccabd Ddcba 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，且1 + 31 = 41 ，正方体内的 动点 P 满足| | = 2| |，则点 P 的轨迹所形成图形的面积是（ ） A B2 C3 D4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）设复数 z
6、1i（i 为虚数单位）的共轭复数为，则|z （1+）| 14（5 分） 在正四棱柱 （底面为正方形且侧棱垂直于底面） ABCDA1B1C1D1中， BC2AA1， M 是 BC 的中点，则异面直线 BD1与 MC1所成角的大小为 第 3 页（共 21 页） 15 （5 分）已知直线经过抛物线 y24x 的焦点 F，并交抛物线于 A、B 两点，在抛物线的 准线上的一点 C 满足 = 2 ，则|AF| 16 （5 分）已知函数 f（x）= 2， 2 2( 1)，2，则 ff（5） ；不等式 f（x+2） +f（x）f（2）的解集是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，E 为侧棱 PC 的中 点 （1）求证：经过 A、B、E 三点的截面平分侧棱 PD； （2）若 PA底面 ABCD，且 PAAD，求二面角 ABEC 的大小 18 （12 分）团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪
8、、自尊 和自信， 为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量 最 近，某研究性学习小组就是否观看过电影夺冠（中国女排） 对影迷们随机进行了一次 抽样调查，其列联表如表（单位：人） 是 否 合计 青年 40 10 50 中年 30 20 50 合计 70 30 100 （1）根据列联表以及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，认 为是否观看过电影夺冠（中国女排） 与年龄层次有关？ （2） （） 现从样本的中年人中按分层抽样方法取出 5 人， 再从这 5 人中随机抽取 3 人， 求其中至少有 2 人观看过电影夺冠（中国女排） 的概率； 第 4 页（共
9、21 页） （）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取 10 人记其中观看过电影夺冠（中国 女排） 的人数为 ，求随机变量 的数学期望及方差 参考公式：K2 (;)2 (:)(:)(:)(:)，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S535，且 a4是 a1与 a13的等比中项 （1）求an的通项公式； （2）若 a14，求证： 1 1 + 1 2 + + 1 3 4 2 +1，其中 nN* 20
10、（12 分）设 A、F 分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左顶点和右焦点，B 为它的 一个短轴端点，已知ABF 的面积为 3 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）经过点 F 且不与坐标轴垂直的直线 l 与椭圆交于 M、N 两点，线段 MN 的垂直平分 线与 x 轴交于点 P，当 l 的方向变化时，是否存在常数 ，使得|MN|PF|恒成立？若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）ex1 2ax 2x （1）设 f（x）是 f（x）的导函数，讨论函数 yf（x）的单调性； （2）当 a11 时，求证：f（x）+xln（x+1）1 （二）选
11、考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C： = 3 + 2 = 1 + 2 （其中 为参数） 以 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（3， 3） ，点 B 在曲线 C 上运动，求OAB 面积的最大值以及 此时点 B 的极坐标 选修选修 4-5：
12、不等式选讲：不等式选讲 第 5 页（共 21 页） 23设函数 f（x）x|xa|，其中 a 为常数 （1）当 a1 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若方程 f（x）1 有三个不等实根，求 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2021 年四川省高考数学诊断性试卷（理科）年四川省高考数学诊断性试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分） 设集合 A1
13、， 0， 1， 2， 3， 集合 Bx|x22x， 则 AB 的子集个数为 （ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：A1，0，1，2，3，Bx|x0 或 x2， AB1，3， AB 的子集个数为：224 故选：B 2 （5 分）方胜是汉民族的传统寓意祥纹，由两个菱形压角叠加而成，一个菱形的顶点与另 一个菱形的中心对应，象征着“同心” 在如图所示的二连方胜中任取一点，则该点恰好 落在叠加小菱形内的概率为（不考虑菱形边界的宽度） （ ） A1 6 B1 7 C1 8 D1 9 【解答】解：设大菱形的边长为 2a，其中一个顶角为 ， 则小菱形的边长为 a， 一个大菱形的面积为：2 1 2 2a2
14、asin4a2sin， 一个小菱形的面积为：2 1 2 aasina2sin， 任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为（不考虑菱形边界的宽度） ： 2 242;2 = 1 7 故选：B 3 （5 分）已知命题 p，q 是简单命题，则“p 是假命题”是“pq 是真命题”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：p 是假命题，则 p 是真命题，推出 pq 是真命题，是充分条件， 第 7 页（共 21 页） 反之，不成立， 故选：A 4 （5 分）2020 年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等 因素的不同，各个国
15、家疫情防控的效果具有明显差异如图是西方某国在 60 天内感染新 冠肺炎的累计病例人数 y（万人）与时间 t（天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的 回归方程的类型是（ ） Aya+bx Bya+b Cya+bex Dya+blnx 【解答】解：函数图像随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，属于指数型函数 的特征， 只有选项 C 为指数型函数 故选：C 5 （5 分）在（x 2 ）6的展开式中，常数项为（ ） A256 B240 C192 D160 【解答】 解：（x 2 ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1= 6 x6r （ 2 ） r （2）r 6 x 6;3 2， 由 6 3 2r0
16、，可得 r4， 即有展开式的常数项为 1615240 故选：B 6 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的边，已知 2acosC2b+3c，则角 A 等于（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 【解答】解：ABC 中，2acosC2b+3c 由正弦定理得：2sinB+3sinC2sinAcosC， 第 8 页（共 21 页） 2sinB2sin（A+C）2sinAcosC+2cosAsinC， 化简可得：2cosAsinC+3sinC0， sinC0， cosA= 3 2 ， 由 A（0，） ，可得：A= 5 6 故选：D 7 （5 分）某投资人打算投资甲、乙两个项
17、目，根据市场预测，甲、乙两个项目的可能最大 盈利率分别为 30%和 20%，可能最大亏损率分别为 50%和 20%该投资人计划利用不超 过 300 万元的资金投资甲、乙这两个项目，在总投资风险不超过 30%的情况下，该投资 人可能获得的最大盈利为（ ） A40 万元 B50 万元 C60 万元 D70 万元 【解答】解：设投资甲、乙两个项目分别为 x、y 万元， 由题意有 + 300 0.5 + 0.2 90 0 0 ，且最大盈利为 z30%x+20%y， 所以由图知，当 z30%x+20%y 过 x+y300，0.5x+0.2y90 的交点（100，200）时有最 大值， 所以 z0.310
18、0+0.220070 万元， 故选：D 8（5 分） 已知直线 l： bxay+ab0 （ab0） 经过点 P （1， 2） ， 则 2a+b 的最小值为 （ ） A6 B7 C8 D9 【解答】解：直线 l：bxay+ab0（ab0）经过点 P（1，2） ， 第 9 页（共 21 页） b2a+ab0，即 2a+bab22，ab8 则 2a+b 的最小值为 8， 故选：C 9 （5 分）将函数 ysin2x 图象上的每一个点按向量 =（，m） （其中 和 m 为常数，且 | 2）移动后，所得图象关于直线 x 12对称，则 的值可能为（ ） 3； 6； 6； 3 A B C D 【解答】解：函
19、数 ysin2x 图象上的每一个点按向量 =（，m）移动后得到 ysin2 （x）+m， 所得图象关于直线 x 12对称， 2（ 12 ）= 2 +k，kZ， = 6 2 ，kZ， 又| 2， 当 k0 时，= 6；当 k1 时，= 3， 的值可能为 3， 6 故选：A 10 （5 分）已知 F（c，0） （其中 c0）是双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的焦点，圆 x2+y22cx+b20 与双曲线的一条渐近线 l 交于 A、B 两点，已知 l 的倾斜角为 30，则 tanAFB（ ） A2 B3 C22 D23 【解答】解：由题意可设双曲线的一条渐近线方程为 bxay0， 圆 x2
20、+y22cx+b20 化为（xc）2+y2a2， 圆心（c，0） ，半径为 a， l 与圆（xc）2+y2a2（其中 c2a2+b2）相交于 A，B 两点， 由 l 的倾斜角为 30，可得 = 30 = 3 3 ， 第 10 页（共 21 页） F（c，0）到直线 l 的距离为|FD|= | 2+2 = ， |BD|= 2 2， 则 tanDFB= | | = 22 = 2 2 1 = 2， 得 tanAFBtan2DFB= 2 12 = 22 12 = 22 故选：C 11 （5 分） 设 a0.20.2， b0.20.3， c0.30.2， d0.30.3， 则 a， b， c， d 的大
21、小关系是 （ ） Acadb Bcdab Ccabd Ddcba 【解答】解：a0.20.2，b0.20.3，c0.30.2，d0.30.3， 函数 y0.2x是 R 上的减函数，ab； y0.3x是 R 上的减函数，cd 而 yx0.3是 R 上的增函数，bd； yx0.2 是 R 上的增函数，ac 再根据 a= 0.04 10 ，d= 0.027 10 ，ad 综上可得，cadb 故选：A 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，且1 + 31 = 41 ，正方体内的 动点 P 满足| | = 2| |，则点 P 的轨迹所形成图形的面积是（ ） A B2 C3 D
22、4 【解答】解：以 A1为坐标原点，A1B1为 x 轴，A1D1为 y 轴，A1A 为 z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 第 11 页（共 21 页） 1 = (4，0，4)，1 = (4，4，4)， 则1 = 1 4(1 + 31 ) =（4，3，4） ， 设 P（x，y，z） ，则| |2= 4| |2， 所以（x4）2+y2+（z4）24（x4）2+（y3）2+（z4）2， 化简（x4）2+（y4）2+（z4）24， 即以 C（4，4，4）为球心，半径为 2 的球面， 而点 P 在正方体内，则点 P 的轨迹是球面的1 8， 所以 S= 1 8 4 22= 2 故选：B 二、填空题
23、：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）设复数 z1i（i 为虚数单位）的共轭复数为，则|z （1+）| 10 【解答】解：z （1+）（1i） （1+1+i）2+1i3i， |z （1+）|= 32+ (1)2= 10 故答案为：10 14（5 分） 在正四棱柱 （底面为正方形且侧棱垂直于底面） ABCDA1B1C1D1中， BC2AA1， M 是 BC 的中点，则异面直线 BD1与 MC1所成角的大小为 4 【解答】解：设 B1C 的中点为 N，连结 BN，ND1， 正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）ABCDA1B1
24、C1D1中，底面 ABCD 为正方 形， 设 BC2m，则 AA1m， 第 12 页（共 21 页） M，N 分别为 BC，B1C 的中点，故 BNC1M， 所以异面直线 BD1与 MC1所成的角即为 BD1与 BN 所成的角即NBD1， BB1m，B1N= 1 2 11=m，则 = 2，1 = 1 2 11= ，11= 2， 则1= 2+ (2)2= 5，1= (2)2+ (2)2+ 2= 3， 在BND1中，由余弦定理可得1= 2+1212 21 = 22+9252 223 = 2 2 ， 因为异面直线所成的角的范围为(0， 2， 所以NBD1= 4， 故异面直线 BD1与 MC1所成角的
25、大小为 4 故答案为： 4 15 （5 分）已知直线经过抛物线 y24x 的焦点 F，并交抛物线于 A、B 两点，在抛物线的 准线上的一点 C 满足 = 2 ，则|AF| 4 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 由题意可得 C（1，y0， ）设 B（x1，y1） ，设 B 在 x 轴下方， 因为 = 2 ，即（x1+1，y1y0）2（1x1，y0） ， 属于可得 x1+12（1x1） ，可得 x1= 1 3， 将 x1= 1 3代入抛物线的方程可得 y1 241 3 = 4 3， 所以 y1= 23 3 ，即 B（1 3， 23 3 ） ， 所以 kBF=
26、0(23 3 ) 11 3 = 3， 所以直线 AB 的方程为：y= 3（x1） ， 第 13 页（共 21 页） 联立 = 3( 1) 2= 4 ，整理可得 3x210 x+30，解得：x3 或1 3， 所以可得 A 的横坐标为 3， 由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离， 所以|AF|3（1）4， 故答案为：4 16 （5 分）已知函数 f（x）= 2， 2 2( 1)，2，则 ff（5） 0 ；不等式 f（x+2） +f（x）f（2）的解集是 x|x1 【解答】解：由题意可知 f（5）log2（51）2， ff（5）f（2）220， f（x+2）+f（x）f（2）0， + 2 2
27、+ 20或 2 2(2 1)0或 + 22 2 2( + 1)2 ， x2 或 1x2， 即解集为x|x1 故答案为：1，x|x1 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，E 为侧棱 PC 的中 点 （1）求证：
28、经过 A、B、E 三点的截面平分侧棱 PD； 第 14 页（共 21 页） （2）若 PA底面 ABCD，且 PAAD，求二面角 ABEC 的大小 【解答】 （1）证明：设载面 ABE 与侧棱 PD 交于点 F， 连接 EF、AF， 因为底面 ABCD 为正方形，所以 ABCD， 又因为 AB平面 PCD，且 CD平面 PCD， 所以 AB平面 PCD， 又 AB平面 ABE，且平面 ABE平面 PCDEF， 所以 ABEF， 又因为 ABCD，所以 CDEF， 因为 E 为 PC 中点，所以 F 为 PD 中点， 即截面 ABE 平分侧棱 PD （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设
29、 AB2， A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，E（1，1，1） ， =（2，0，0） ， =（1，1，1） ， =（0，2，0） ， 设平面 ABE 与平面 BEC 法向量为 =（x，y，z） ， =（u，v，w） ， = + + = 0 = 2 = 0 ，令 z1， =（0，1，1） ， = + + = 0 = 2 = 0 ，令 w1， =（1，0，1） ， cos ， = | | | |= 1 22 = 1 2 所以二面角 ABEC 的大小为 60 第 15 页（共 21 页） 18 （12 分）团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊
30、 和自信， 为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量 最 近，某研究性学习小组就是否观看过电影夺冠（中国女排） 对影迷们随机进行了一次 抽样调查，其列联表如表（单位：人） 是 否 合计 青年 40 10 50 中年 30 20 50 合计 70 30 100 （1）根据列联表以及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，认 为是否观看过电影夺冠（中国女排） 与年龄层次有关？ （2） （） 现从样本的中年人中按分层抽样方法取出 5 人， 再从这 5 人中随机抽取 3 人， 求其中至少有 2 人观看过电影夺冠（中国女排） 的概率； （）将频率视为概率，若
31、从众多影迷中随机抽取 10 人记其中观看过电影夺冠（中国 女排） 的人数为 ，求随机变量 的数学期望及方差 参考公式：K2 (;)2 (:)(:)(:)(:)，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【解答】解： （1）根据表中数据，计算 K2= 100(40203010)2 70305050 = 100 21 ， 因为100 21 55.024，所以不能在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下， 第 16 页（共 21 页） 认为是否观看过电影夺冠（中国女排）
32、与年龄层次有关 （2） （）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的 5 人中， 观看过电影的有 5 30 50 =3（人） ，没观看过的有 2 人， 记抽取的 3 人中有 i 人观看过电影为事件 Ai（i1，2，3） ， 则 P（A2）= 3 2 2 1 5 3 = 32 10 = 3 5， P（A3）= 3 3 5 3 = 1 10， 从这 5 人中随机抽取 3 人，其中至少有 2 人观看过该电影的概率为： PP（A2）+P（A3）= 3 5 + 1 10 = 7 10； （）由题意知，观看过该电影的频率为 7 10， 将频率视为概率，则随机变量 服从二项分布 B（10， 7 10）
33、， 所以随机变量 的数学期望为 E（）10 7 10 =7， 方差为 D（）10 7 10 （1 7 10）2.1 19 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S535，且 a4是 a1与 a13的等比中项 （1）求an的通项公式； （2）若 a14，求证： 1 1 + 1 2 + + 1 3 4 2 +1，其中 nN* 【解答】 （1）解：设等差数列an的公差为 d，由 S535，得 5a1+10d35， 因为 a4是 a1与 a13的等比中项，所以（a1+3d）2a1（a1+12d） ， 化简得 a172d，且 2a1d3d2， 解方程组，得 a17，d0 或 a13，d
34、2， 故an的通项公式为 an7 或 an2n+1（其中 nN*） （2）证明：因为 a14，则 an2n+1，于是 Snn（n+2） ， 于是 1 = 1 (:2) = 1 2（ 1 1 :2） ， 故 1 1 + 1 2 + + 1 = 1 2 （1 1 3） + （ 1 2 1 4） + （ 1 3 1 5） + （ 1 ;1 1 :1） + （ 1 1 :2） = 1 2（1+ 1 2 1 +1 1 +2）= 3 4 1 2 2:3 (:1)(:2)， 因为（n+1） （n+2）(2+3 2 )2， 第 17 页（共 21 页） 2:3 (:1)(:2) 4 2:3 = 4 +1， 于
35、是 1 1 + 1 2 + + 1 3 4 1 2 4 +1 = 3 4 2 +1，其中 nN* 20 （12 分）设 A、F 分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左顶点和右焦点，B 为它的 一个短轴端点，已知ABF 的面积为 3 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）经过点 F 且不与坐标轴垂直的直线 l 与椭圆交于 M、N 两点，线段 MN 的垂直平分 线与 x 轴交于点 P，当 l 的方向变化时，是否存在常数 ，使得|MN|PF|恒成立？若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设椭圆的半焦距为 c，由已知得1 2（a+c）b= 3 ， 即 a（a+
36、c）2b2，又 b2a2c2， 所以 2c2+aca20， 所以（2ca） （c+a）0 由于 a0，c0， 所以 2ca， 解得 e= = 1 2， 所以椭圆的离心率为1 2 （2）由（1）知，a24c2，b23c2， 所以椭圆 C 的方程可化为 3x2+4y12c2， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，直线 l 的方程为 xty+c，联立， 联立直线 l 与椭圆的方程，得（3t2+4）y2+6cty9c20， 则 y1+y2= 6 32+4，y1y2= 92 32+4， 由弦长公式可得|MN|= (1 + 2)(1+ 2)2 412 = (1 2) 3622 (32+4)2 +
37、362 32+4 = 12(2+1) 32+4 ， 设线段 MN 的中点坐标为（x0，y0） ， 则 y0= 1+2 2 = 3 32+4，x0ty0+c= 4 32+4， 第 18 页（共 21 页） 则 MN 的垂直平分线方程为 y+ 3 32+4 = t（x 4 32+4） ， 令 y0，得点 P 的横坐标 xP= 32+4， 于是|PF|cxP|= 3(2+1) 32+4 = 1 4|MN|， 故存在常数 4 满足条件 21 （12 分）已知函数 f（x）ex1 2ax 2x （1）设 f（x）是 f（x）的导函数，讨论函数 yf（x）的单调性； （2）当 a11 时，求证：f（x）+
38、xln（x+1）1 【解答】解： （1）由已知 f（x）exax1， 设 g（x）f（x）exax1， g（x）exa， 当 a0 时，g（x）exa0 在 R 上恒成立， 所以 g（x）f（x）exa0 在 R 上恒成立， 所以 g（x）f（x）在（，+）上单调递增， 当 a0 时，令 g（x）0 得 xlna，g（x）0 得 xlna， 所以 g（x）f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增， 综上所述，当 a0 时，yf（x）是（，+）上的增函数， 当 a0 时，yf（x）在（，lna）是减函数，在（lna，+）上是增函数 （2）由（1）知，当 a0 时，f（x）ex
39、ax1 在（1，+）上单调递增， 又 f（0）0， 所以1x0 时，f（x）0；x0 时，f（x）0， 则 f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增， 所以 f（x）minf（0）1， 当 0a 1 时，lna1， 由（1）知 f（x）在（1，+）上单调递增，又 f（0）0， 则 f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增， 所以 f（x）minf（0）1， 当1 a1 1 时，由（1）知 f（x）在（1，lna）上单调递减，在（lna，+）上 第 19 页（共 21 页） 单调递增， 且 f（0）0，f（1）= 1 +a10， 所以1x0 时，f（x）0；x0 时，
40、f（x）0， 所以 f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）单调递增， 则 f（x）minf（0）1， 综上所述：函数 f（x）在1，+）上的最小值为 1， 所以 f（x）1， 要证明原不等式只需证明 xln（x+1）0， 设 h（x）xln（x+1） （x1） ， 所以 h（x）1 1 +1 = +1， 则当1x0 时，h（x）0；x0 时，h（x）0， 即 h（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增， 则 h（x）minh（0）0， 即 xln（x+1）0， 又 f（x）1， 故 f（x）+xln（x+1）1 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生
41、在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C： = 3 + 2 = 1 + 2 （其中 为参数） 以 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（3， 3） ，点 B 在曲线 C 上运动，求OAB 面积的最大值以及 此时点 B 的极坐标 【解答】 解：（1） 曲线 C： = 3 + 2 = 1 + 2 （其中
42、为参数） ， 整理得( 3)2+ ( + 1)2= 4，化简得：2+ 2 23 + 2 = 0 根据 = = 2+ 2= 2 ，转换为极坐标方程为2 23 + 2 = 0， 整理得 = 4( + 6) 第 20 页（共 21 页） （2）A 的极坐标为（3， 3） ，即 A（3， 2 3 ） ， 所以= 1 2 | | = 1 2 3 4 |( + 6) ( + 2 3 )| = 62( + 6)， 当 + 6 = 0，即 = 6时， 即点 B 为（4， 6）时，OAB 面积的最大值为 6 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）x|xa|，其中 a 为常数 （1）当 a
43、1 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若方程 f（x）1 有三个不等实根，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）a1 时，函数 f（x）x|x1|= 2，1 2 ， 1， 当 x1 时，由 f（x）2 得：xx22，此不等式恒成立，故 x1， 当 x1 时，由 f（x）2 得：x2x2，解得：1x2，故 1x2， 综上，不等式 f（x）2 的解集是x|x2； （2）f（x）1= 2 1， 2+ 1， 当 a0 时，f（x）在其定义域上单调递增， 故函数 f（x）1 有且只有一个实根； 当 a0 时，f（x）在（， 2上是增函数， 在（ 2，a）上是减函数，在a，+）上是增函数； 且 f（a）1， 故只需使 f（ 2）= 2 4 + 2 2 10， 解得，a2； 当 a0 时，f（x）在（，a上是增函数， 在（a， 2）上是减函数，在 2，+）上是增函数； 且 f（a）1， 故不可能有三个实根； 第 21 页（共 21 页） 综上所述，a2，即 a 的取值范围是（2，+）
