2020年四川省绵阳市涪城区高考数学第三次诊断试卷(文科)含答案解析

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1、2020 年高考数学三诊试卷(文科)年高考数学三诊试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题) 1设集合 M1,0,1,Nx|x2x,则 MN( ) A0 B0,1 C1,1 D1,0,1 2已知复数 z (aR,i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值等于( ) A B C D 3已知 (0, ),sin ,则 ( ) A B C D 4下列叙述中正确的是( ) A若 a,b,cR,则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0” B若 a,b,cR,则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR,有 x20”的否定是“存在 xR,有 x20” Dl 是一条直线, 是两个不

2、同的平面,若 l,l,则 5已知 alog30.5,blog0.50.6,c30.2,则( ) Aabc Bbca Cbac Dcab 6若向量 、 、 两两所成的角相等,且| |1,| |1,| |3,则| |等于( ) A2 B5 C2 或 5 D 或 7 德国数学家莱布尼兹 (1646 年1716 年) 于 1674 年得到了第一个关于 的级数展开式, 该公式于明朝初年传入我国在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家、天文学 家明安图 (1692 年1765 年) 为提高我国的数学研究水平, 从乾隆初年 (1736 年) 开始, 历时近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时

3、求得了展开三角函数和反三角 函数的 6 个新级数公式, 著有 割圆密率捷法 一书, 为我国用级数计算 开创了先河 如 图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 的级数展开式”计算 的近似值(其中 P 表 示 的近似值),若输入 n10,则输出的结果是( ) A B C D 8设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f(x),且函数 f(x)在 x2 处取得极小值, 则函数 yxf(x)的图象可能是( ) A B C D 9在区间0,2中随机取两个数,则两个数中较大的数大于 的概率为( ) A B C D 10已知直三棱柱 ABCA1B1C1,ABC90,ABBCAA12,BB1和 B1C1的中点

4、分 别为 E、F,则 AE 与 CF 夹角的余弦值为( ) A B C D 11 已知不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P (x, y) 到直线 y x 和直线 y x 的垂线段分别为 PA、PB,若三角形 PAB 的面积为 ,则点 P 轨迹的一个焦点坐标可 以是( ) A(2,0) B(3,0) C(0,2) D(0,3) 12函数 f(x)x2+3xa,g(x)2xx2,若 fg(x)0 对 x0,1恒成立,则实 数 a 的范围是( ) A(,2 B(,e C(,ln2 D0, ) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13 某时段内共有 100 辆汽车

5、经过某一雷达测速区域, 将测得的汽车时速绘制成如图所示的 频率分布直方图根据图形推断,该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 14 函数 y sin2xcos2x 的图象向右平移 (0 ) 个单位长度后, 得到函数 g (x) 的图象,若函数 g(x)为偶函数,则 的值为 15已知抛物线 y24x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 y 轴的 垂线,垂足分别为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 16已知正三棱锥 P 一 ABC 的侧面是直角三角形,PABC 的顶点都在球 O 的球面上,正 三棱锥 P 一 ABC 的体积为 36,则球 O 的表面积为 三、

6、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17如图(a),在直角梯形 ABCD 中,ADC90,CDAB,AB4,ADCD2, 将ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC平面 ABC,得到几何体 DABC,如图(b)所示 ()求证:BC平面 ACD; ()求点 A 到平面 BCD 的距离 h 18某商店为了更好地规划某种商品进货的量,该商店从某一年的销售数据中,随机抽取了 8 组数据作为研究对象,如下图所示(x(吨)为该商品进货量,y(天)为销售天数): x 2 3 4 5 6 8 9 11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 ()根据上表数据在下列网格中绘制散点图; ()根据上表提供的数据,

7、求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ; ()在该商品进货量 x(吨)不超过 6(吨)的前提下任取两个值,求该商品进货量 x (吨)恰有一个值不超过 3(吨)的概率 参考公式和数据: , , xiyi241 19已知正项数列an的前 n 项和为 Sn,且 4Snan2+2an3 ()求数列an的通项公式; ()设 bn (nN *),T n是bn的前 n 项和, 求使 Tn 成立的最大正整数 n 20已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交椭圆于 A,B 两点 ()若以线段 AF1为直径的动圆内切于圆 x2+y29,求椭圆的长轴长; ()当 b

8、1 时,问在 x 轴上是否存在定点 T,使得 为定值?如果存在,求出 定点和定值;如果不存在,请说明理由 21已知函数 f(x)ax2+(12a)xlnx(aR) (1)当 a0 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)当 a0 时,求函数 f(x)在区间 ,1上的最小值; (3)记函数 yf(x)图象为曲线 C,设点 A(x1,x2),B(x2,y2)是曲线 C 上不同的 两点,点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N试问:曲线 C 在 点 N 处的切线是否平行于直线 AB?并说明理由 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,若两题都做,按第一题给分,

9、作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第 22 题)选修 4-4:坐 标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (t 为参数),在以原 点O为极点, x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线l的极坐标方程为cos ( ) ()求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; ()设直线 l 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,点 P 是圆 C 上任一点,求PAB 面积 的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)|x1|,xR (1)求不等式 f(x)3f(x1)的解集; (2)已知关于 x 的不等式

10、 f(x)f(x+1)|xa|的解集为 M,若 , ,求实 数 a 的取值范围 参考答案 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1设集合 M1,0,1,Nx|x2x,则 MN( ) A0 B0,1 C1,1 D1,0,1 【分析】求出集合 N,然后直接求解 MN 即可 解:因为 Nx|x2xx|0x1,M1,0,1, 所以 MN0,1 故选:B 【点评】本题考查集合的基本运算,考查计算能力,送分题 2已知复数 z (aR,i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值等于( ) A B C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求

11、解 解:z 是纯虚数, ,解得 a 故选:A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3已知 (0, ),sin ,则 ( ) A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,求得要求式子的值 解:(0, ),sin ,cos ,tan , 则 , 故选:D 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题 4下列叙述中正确的是( ) A若 a,b,cR,则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0” B若 a,b,cR,则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR,有 x20”的否定是“存在 x

12、R,有 x20” Dl 是一条直线, 是两个不同的平面,若 l,l,则 【分析】本题先用不等式的知识对选项 A、B 中命题的条件进行等价分析,得出它们的充 要条件,再判断相应命题的真假;对选项以中的命题否定加以研究,判断其真假,在考 虑全称量词的同时,要否定命题的结论;对选项 D 利用立体几何的位置关系,得出命题 的真假,可知本题的正确答案 解:A、若 a,b,cR,当“ax2+bx+c0”对于任意的 x 恒成立时,则有: 当 a0 时,要使 ax2+bx+c0 恒成立,需要 b0,c0,此时 b24ac0,符合 b2 4ac0; 当 a0 时,要使 ax2+bx+c0 恒成立,必须 a0 且

13、 b24ac0 若 a,b,cR,“ax2+bx+c0”是“b24ac0”充分不必要条件,“b24ac0” 是“ax2+bx+c0”的必要条件,但不是充分条件,即必要不充分条件故 A 错误; B、当 ab2cb2时,b20,且 ac, “ab2cb2”是“ac”的充分条件 反之,当 ac 时,若 b0,则 ab2cb2,不等式 ab2cb2不成立 “ac”是“ab2cb2”的必要不充分条件故 B 错误; C、结论要否定,注意考虑到全称量词“任意”, 命题“对任意 xR,有 x20”的否定应该是“存在 xR,有 x20”故 C 错误; D、命题“l 是一条直线, 是两个不同的平面,若 l,l,则

14、 ”是两个 平面平行的一个判定定理故 D 正确 故选:D 【点评】本题考查了命题、充要条件的知识,考查到了不等式、立体几何知识,有一定 容量,总体难度不大,属于基础题 5已知 alog30.5,blog0.50.6,c30.2,则( ) Aabc Bbca Cbac Dcab 【分析】 容易得出 , , , 从而得出 a, b, c 的大小关系 解:log30.5log310,0log0.51log0.50.6log0.50.51,30.2301, abc 故选:A 【点评】考查对数函数、指数函数的单调性,以及增函数和减函数的定义 6若向量 、 、 两两所成的角相等,且| |1,| |1,|

15、|3,则| |等于( ) A2 B5 C2 或 5 D 或 【分析】设向量所成的角为 ,则先求出 的值即可求出, 解:由向量 、 、 两两所成的角相等,设向量所成的角为 ,由题意可知 0或 120 则 2( )11+2(| | | |cos+| | | |cos+| | | |cos)11+14cos 所以当 0时,原式5; 当 120时,原式2 故选:C 【点评】考查学生会计算平面向量的数量积,灵活运用 | | | |cos 的公式 7 德国数学家莱布尼兹 (1646 年1716 年) 于 1674 年得到了第一个关于 的级数展开式, 该公式于明朝初年传入我国在我国科技水平业已落后的情况下,

16、我国数学家、天文学 家明安图 (1692 年1765 年) 为提高我国的数学研究水平, 从乾隆初年 (1736 年) 开始, 历时近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角 函数的 6 个新级数公式, 著有 割圆密率捷法 一书, 为我国用级数计算 开创了先河 如 图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 的级数展开式”计算 的近似值(其中 P 表 示 的近似值),若输入 n10,则输出的结果是( ) A B C D 【分析】 模拟程序的运行可得算法的功能是求 P4S4 ( )的值,根据条件确定跳出循环的 i 值,即可计算得解 解: 由程序框图知: 算法的功能是求

17、 P4S4 ( ) 的值, 输入 n10,跳出循环的 i 值为 11, 输出 P4S4 ( ) 4 (1 ) 故选:B 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答 本题的关键,属于基础题 8设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f(x),且函数 f(x)在 x2 处取得极小值, 则函数 yxf(x)的图象可能是( ) A B C D 【分析】由题设条件知:当 x2 时,xf(x)0;当 x2 时,xf(x)0;当 x2 时,xf(x)0由此观察四个选项能够得到正确结果 解:函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f(x), 且函数 f(x)在 x2 处取得

18、极小值, 当 x2 时,f(x)0; 当 x2 时,f(x)0; 当 x2 时,f(x)0 当 x2 时,xf(x)0; 当 x2 时,xf(x)0; 当 x2 时,xf(x)0 故选:A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用,解题时要认真审题,注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用 9在区间0,2中随机取两个数,则两个数中较大的数大于 的概率为( ) A B C D 【分析】 先根据几何概型的概率公式求出在区间0, 2中随机地取一个数, 这个数小于 的 概率,从而得到这两个数都小于 的概率,最后根据对立事件的概率公式可求出所求 解:在区间0,2中随机地取一个数,这个数小于 的概率为

19、 , 在区间0,2中随机地取两个数,则这两个数都小于 的概率为 , 这两个数中较大的数大于 的概率为 P1 , 故选:A 【点评】本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几 何概型 10已知直三棱柱 ABCA1B1C1,ABC90,ABBCAA12,BB1和 B1C1的中点分 别为 E、F,则 AE 与 CF 夹角的余弦值为( ) A B C D 【分析】根据题意,可以点 B 为原点,直线 BA,BC,BB1分别为 x,y,z 轴,建立空间 直 角 坐 标 系 , 然 后 可 求 出 , ,

20、 , , , , 然 后 可 求 出 , ,从而可得出 AE 与 CF 夹角的余弦值 解:分别以直线 BA,BC,BB1为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则: A(2,0,0),E(0,0,1),C(0,2,0),F(0, 1,2), , , , , , , , , AE 与 CF 夹角的余弦值为 故选:B 【点评】本题考查了直三棱柱的定义,通过建立空间直角坐标系,利用向量坐标解决异 面直线所成角的问题的方法,向量夹角的余弦公式,异面直线所成角的定义,考查了计 算能力,属于基础题 11 已知不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P (x, y) 到直线 y x 和直线

21、y x 的垂线段分别为 PA、PB,若三角形 PAB 的面积为 ,则点 P 轨迹的一个焦点坐标可 以是( ) A(2,0) B(3,0) C(0,2) D(0,3) 【分析】如图所示,不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P(x,y),可得点 P 的轨迹为直线 y x 之间并且包括 x 轴在内的区域利用 |PA|PB|sin60 ,即 可得出 解:如图所示,不等式 3x2y20 所表示的平面区域内一点 P(x,y), 可得点 P 的轨迹为直线 y x 之间并且包括 x 轴在内的区域 |PA| ,|PB| , 三角形 PAB 的面积为 , |PA|PB|sin60 , 化为: 1 则点

22、P 轨迹的一个焦点坐标可以是(2,0) 故选:A 【点评】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距 离公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题 12函数 f(x)x2+3xa,g(x)2xx2,若 fg(x)0 对 x0,1恒成立,则实 数 a 的范围是( ) A(,2 B(,e C(,ln2 D0, ) 【分析】利用导数可得 g(x)在 x0,1上的取值范围为1,g(x0),其中 g(x0)2, 令 tg (x) 换元, 把 fg (x) 0 对 x0, 1恒成立转化为t2+3ta0 对 t1, g (x0) 恒成立,分离参数 a 后利用函数单

23、调性求出函数t2+3t 的最小值得答案 解:g(x)2xx2,g(x)2xln22x, g(0)ln20,g(1)2ln220, g(x)在(0,1)上有零点, 又g(x)ln22 2x20 在0,1上成立, g(x)在(0,1)上有唯一零点,设为 x0, 则当 x(0,x0)时,g(x)0,当 x(x0,1)时,g(x)0, g(x)在 x0,1上有最大值 g(x0)2, 又 g(0)g(1)1, g(x)1,g(x0), 令 tg(x)1,g(x0), 要使 fg(x)0 对 x0,1恒成立,则 f(t)0 对 t1,g(x0)恒成立, 即t2+3ta0 对 t1,g(x0)恒成立, 分离

24、 a,得 at2+3t, 函数t2+3t 的对称轴为 t ,又 g(x0)2, (t2+3t)min2, 则 a2 则实数 a 的范围是(,2 故选:A 【点评】本题考查函数恒成立问题,训练了利用导数研究函数的单调性,考查了利用分 离变量法求解证明取值范围问题,属中档题 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13 某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达测速区域, 将测得的汽车时速绘制成如图所示的 频率分布直方图根据图形推断,该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 77 【分析】根据频率分布直方图,求出时速超过 50km/h 的汽车的频率,即可求出对应的汽 车辆数

25、解:根据频率分布直方图,得; 时速超过 50km/h 的汽车的频率为 (0.039+0.028+0.010)100.77; 时速超过 50km/h 的汽车辆数为 1000.7777 故答案为:77 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应根据频率分布直方图,会计 算样本数据,频率与频数的大小,是基础题 14 函数 y sin2xcos2x 的图象向右平移 (0 ) 个单位长度后, 得到函数 g (x) 的图象,若函数 g(x)为偶函数,则 的值为 【分析】先将 y 化为 ,然后再利用图象平移知识,求 出 g(x),根据 g(x)是偶函数,则 g(0)取得最值,求出 解:由已知得 y

26、 sin2xcos2x 所以 g(x) ,由 g(x)是偶函数得 g(0) , , , ,kZ, 当 k1 时, 即为所求 故答案为: 【点评】本题考查三角函数图象变换的方法以及性质,将奇偶性、对称性与函数的最值 联系起来,是此类问题的常规思路,属于中档题 15已知抛物线 y24x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 y 轴的 垂线,垂足分别为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 2 【分析】 先有抛物线的定义, 可得|AC|+|BD|AF|+|BF|2|AB|2, 再找|AB|的最小值, 而当|AB|为抛物线的通径时,|AB|最小,故而得解 解:由题意知,F

27、(1,0), 由抛物线的定义知,|AC|+|BD|AF|+|BF|2|AB|2, 若|AC|+|BD|取得最小值,则|AB|取得最小值, 而当|AB|为通径,即|AB|2p4 时,取得最小值, 所以|AC|+|BD|的最小值为 2 故答案为:2 【点评】本题考查抛物线的定义、通径等,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础 题 16已知正三棱锥 P 一 ABC 的侧面是直角三角形,PABC 的顶点都在球 O 的球面上,正 三棱锥 P 一 ABC 的体积为 36,则球 O 的表面积为 108 【分析】由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直,且 PAPBPC,设 PAPB PCa,由棱锥体积公式求得

28、 a,然后利用补形法求三棱锥外接球的半径,代入球的表面 积公式得答案 解:由三棱锥 PABC 是正三棱锥,且侧面是直角三角形, 如图, 可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直,即 PAPB,PBPB,PAPC, 且 PAPBPC,设 PAPBPCa, 则 ,即 a6, 把三棱锥补形为正方体,则其对角线长为 , 三棱锥 PABC 的外接球的半径 R 球 O 的表面积为 4 108 故答案为:108 【点评】本题考查多面体外接球的体积的求法,关键是“补形思想”的应用,是中档题 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17如图(a),在直角梯形 ABCD 中,ADC90,CDAB,AB4,ADCD

29、2, 将ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC平面 ABC,得到几何体 DABC,如图(b)所示 ()求证:BC平面 ACD; ()求点 A 到平面 BCD 的距离 h 【分析】()推导出 ACBC,由平面 ADC平面 ABC,能证明 BC平面 ACD ()设点 A 到平面 BCD 的距离 h由 VBACDVABCD,能求出点 A 到平面 BCD 的距 离 解:()证明:在直角梯形 ABCD 中,ADC90,CDAB,AB4,ADCD 2, 将ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC平面 ABC,得到几何体 DABC, ,AC2+BC2AB2,ACBC, 平面 ADC平面 ABC,平面 ADC平

30、面 ABCAC,BC平面 ABC, BC平面 ACD ()解:由(1)知,BC 为三棱锥 BACD 的高,BC2 , SACD2, , , 设点 A 到平面 BCD 的距离 h由 VBACDVABCD,得: 点 A 到平面 BCD 的距离 h 2 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力与运算求解能力,属于中档题 18某商店为了更好地规划某种商品进货的量,该商店从某一年的销售数据中,随机抽取了 8 组数据作为研究对象,如下图所示(x(吨)为该商品进货量,y(天)为销售天数): x 2 3 4 5 6 8 9

31、11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 ()根据上表数据在下列网格中绘制散点图; ()根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ; ()在该商品进货量 x(吨)不超过 6(吨)的前提下任取两个值,求该商品进货量 x (吨)恰有一个值不超过 3(吨)的概率 参考公式和数据: , , xiyi241 【分析】()根据上表数据绘制散点图; ()由题意求出 , , , ,代入公式求值,从而得到回归直线方程; (2)在该商品进货量不超过 6 吨共有 5 个,设为编码 1,2,3,4,5 号,抽取 2 个,写 出所有事件,即可求解恰有一个值不超过 3(吨)的概率 【解答】解析:()散点

32、图如图所示: ()依题意, , xiyi241: 4 故得回归直线方程为 () 由题意知,在该商品进货量不超过 6 吨共有 5 个,设为编码 1,2,3,4,5 号, 任取两个有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3, 5) (4,5)共 10 种,该商品进货量不超过 3 吨的有编号 1,2 号,超过 3 吨的是编号 3, 4,5 号,该商品进货量恰有一次不超过 3 吨有(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2, 4)(2,5)共 6 种, 故该商品进货量恰有一次不超过 3 吨的概率为 P 【点评】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题,是中

33、档题 19已知正项数列an的前 n 项和为 Sn,且 4Snan2+2an3 ()求数列an的通项公式; ()设 bn (nN *),T n是bn的前 n 项和, 求使 Tn 成立的最大正整数 n 【分析】 ()运用数列的递推式:n1 时,a1S1,n2 时,anSnSn1,化简整理, 结合等差数列的定义和通项公式,可得所求通项公式; ()求得 bn ( ),由数列的裂项相消求和,计算可 得 Tn,再解不等式可得 n 的最大值 解:()由 4Snan2+2an3,可得 4Sn1an12+2an13,n2, 两式相减可得 4an4Sn4Sn1an2+2anan122an1, 可化为(an+an1

34、)(anan12)0, 由 an0,可得 anan12, 由 4a14S1a12+2a13,解得 a13(1 舍去), 于是an是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 则 an2n+1,nN*; ()bn ( ), 则 Tn ( ) ( ) , 由 ,解得 n6, 则所求的最大正整数 n 为 5 【点评】本题考查数列的递推式的运用,等差数列的定义和通项公式的求法,考查数列 的裂项相消求和,以及化简运算能力,属于中档题 20已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交椭圆于 A,B 两点 ()若以线段 AF1为直径的动圆内切于圆 x2+y29,求椭圆的

35、长轴长; ()当 b1 时,问在 x 轴上是否存在定点 T,使得 为定值?如果存在,求出 定点和定值;如果不存在,请说明理由 【分析】()设 AF1的中点为 M,连接 OM 可得 OM 为三角形 AF1F2的中位线,可得 |OM| |AF2 | (2a|AF1|)a |AF1|,再由圆 M 与圆 O 内切,所以圆心距|OM|为两 个半径之差可得|OM|的表达式,两个式子可得 a 的值,进而求出长轴长; ()由离心率和 b 的值及 a,b,c 之间的关系,求出 a 的值,进而求出椭圆的方程; 假设存在定点 T(t,0),分直线 AB 的斜率为 0 和不为 0 两种情况讨论:当直线 AB 的 斜率

36、不为 0 时设直线 AB 的方程, 与椭圆联立求出两根之和及两根之积, 进而求出 的表达式, 由其为定值可得分子分母对应项的系数成比例, 可得 t 的值, 进而求出 的 值,当直线 AB 的斜率为 0 时,求出 A,B 的坐标,也可得 为定值 解:()设 AF1的中点 M,连接 OM,AF2, 在三角形 AF1F2中,O 为 F1F2的中点,所以 OM 为中位线, 所以|OM| |AF2 | (2a|AF1|)a |AF1|, 又因为圆 M 与圆 O 内切,所以圆心距|OM|为两个半径之差,即|OM|3 |AF1|, 所以 a |AF1 |3 |AF1|,可得 a3, 所以椭圆的长轴长为 2a

37、6; ()由 e ,b1,a2b2+c2可得 a29, 所以椭圆的方程为: y 21;可得左焦点 F 1(2 ,0), 当直线 AB 的斜率不为 0 时,设直线 AB 的方程为:xmy2 ,设 A(x1,y1),B(x2, y2) 联立直线 AB 与椭圆的方程 ,整理可得(9+m 2)y24 m10,可 得 y1+y2 ,y 1y2 , 假设存在 T(t,0)满足条件,则 (x1t,y1)(x2t,y2)(x1t)(x2 t)+y1y2(my12 t)(my22 t)+y1y2(1+m2)y1y2m(2 t)(y1+y2) +(2 t)2 , 要使 为定值, 则 (2 t) 214 (2 t)

38、 , 解得 t , 即 T( ,0),这时 ; 当直线的斜率为 0 时,即直线 AB 为 x 轴,与椭圆的交点 A,B 分别为: (3,0), (3, 0), 这时 (3 ,0) (3 ,0)( )29 , 综上所述:在 x 轴上存在定点 T( ,0)使得 为定值 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合,考查数量积为定值的性质,即分 子分母对应项的系数成比例,属于中档题 21已知函数 f(x)ax2+(12a)xlnx(a一、选择题) (1)当 a0 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)当 a0 时,求函数 f(x)在区间 ,1上的最小值; (3)记函数 yf(x)图象为曲线 C

39、,设点 A(x1,x2),B(x2,y2)是曲线 C 上不同的 两点,点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N试问:曲线 C 在 点 N 处的切线是否平行于直线 AB?并说明理由 【分析】(1)求出函数 f(x)的导函数,由 a0,定义域为(0,+),再由 f(x) 0 求得函数 f(x)的单调增区间; (2)当 a0 时,求出导函数的零点 , ,分 1, , 讨 论函数 f(x)在区间 ,1上的单调性,求出函数的最小值,最后表示为关于 a 的分段函 数; (3)设出线段 AB 的中点 M 的坐标,得到 N 的坐标,由两点式求出 AB 的斜率,再由导 数得到

40、曲线 C 过 N 点的切线的斜率,由斜率相等得到 ,令 后构造函数 由导数证明 不成立 解:(1)f(x)ax2+(12a)xlnx, , a0,x0, 2ax+10,解 f(x)0,得 x1, f(x)的单调增区间为(1,+); (2)当 a0 时,由 f(x)0,得 ,x21, 当 1,即 时,f(x)在(0,1)上是减函数, f(x)在 , 上的最小值为 f(1)1a 当 ,即1 时, f(x)在 , 上是减函数,在 , 上是增函数, f(x)的最小值为 当 ,即 a1 时,f(x)在 , 上是增函数, f(x)的最小值为 综上,函数 f(x)在区间 , 上的最小值为: (3)设 M(x

41、0,y0),则点 N 的横坐标为 , 直线 AB 的斜率 , 曲线 C 在点 N 处的切线斜率 , 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB,则 k1k2, 即 , , 不妨设 x1x2, ,则 , 令 ,则 , g(t)在(1,+)上是增函数,又 g(1)0, g(t)0,即 不成立, 曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间,考查了利用导数求函数的最值,体现了 分类讨论的数学思想方法, 训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题, 特别是对于 (3) 的证明,要求学生较强的应变能力,是压轴题 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,若两

42、题都做,按第一题给分,作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第 22 题)选修 4-4:坐 标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (t 为参数),在以原 点O为极点, x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线l的极坐标方程为cos ( ) ()求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; ()设直线 l 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,点 P 是圆 C 上任一点,求PAB 面积 的最大值 【分析】()直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 ()利用点到直线的距离公式的应用和

43、三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公 式的应用求出结果 解:(1)圆 C 的参数方程为 (t 为参数),消去参数 t,转换为直角坐 标方程为(x+5)2+(y3)22 直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 整理得 ,根 据: ,转换为直角坐标方程为 xy+20 (2)直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点坐标为 A(2,0),B(0,2) 所以|AB| 点 P( , )到直线 l 的距离 d , 当 cos( )1 时, , 所以 【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,三角 函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,点到直线的距离公式的应用,主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)|x1|,xR (1)求不等式 f(x)3f(x1)的解集; (2)已知关于 x 的不等式 f(x)f(x+1)|xa|的解集为 M,若 , ,求实 数 a 的取值范围 【分析】(1)通过讨论 x 的范围,得到关于 x 的不等式组,解出即可; (2) 由f (x) f (x+1) |xa|xa|x|x1|, 得到x1ax+1对于 , 恒成 立,求出 a 的范围即可 解:(1)因为 f(x)3f(x1), 所以|x1|3|x2|,|x1|+|x2|3, 或 或 解得 0x1 或

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