2020年四川省宜宾市高考数学第二次诊断检测(文科)试卷(含答案解析)

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1、2020 年高考(文科)数学第二次诊断测试试卷 一、选择题 1设 i 是虚数单位,则(2+3i)(32i)( ) A13 B5i C66i D12+5i 2已知集合 A2,1,0,1,2,Bx|x2x60,则 AB( ) A2,1,0,1,2,3 B2,1,0,1,2 C1,0,1,2 D2,1,0,1, 32020 年初,湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎为防止病毒蔓延,各级政府相继启动 重大突发公共卫生事件一级响应,全国人民团结一心抗击疫情如图表示 1 月 21 日至 3 月 7 日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数,则下列中表述错误的是 ( ) A2 月下旬新增确诊人数呈波动

2、下降趋势 B随着全国医疗救治力度逐渐加大,2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C2 月 10 日至 2 月 14 日新增确诊人数波动最大 D我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在 2 月 12 日左右达到峰值 4已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y x,则双曲线的离心率 为( ) A B C D 5如图,为了估计函数 yx2的图象与直线 x1,x1 以及 x 轴所围成的图形面积(阴 影部分),在矩形 ABCD 中随机产生 1000 个点,落在阴影部分的样本点数为 303 个,则 阴影部分面积的近似值为( ) A0.698 B0.606 C0.303 D0.151 6函数 f(x)xco

3、s(x)的图象大致为( ) A B C D 720 世纪产生了著名的“3x+1”猜想:任给一个正整数 x,如果 x 是偶数,就将它减半; 如果 x 是奇数, 则将它乘 3 加 1, 不断重复这样的运算, 经过有限步后, 一定可以得到 1 如 图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图,若输入正整数 m 的值为 40,则输出的 n 的值是 ( ) A11 B10 C9 D8 8已知 tan(),sin( ) A B C D 9四棱锥 PABCD 所有棱长都相等,M,N 分别为 PA,CD 的中点,下列说法错误的是 ( ) AMN 与 PD 是异面直线 BMN平面 PBC CMNAC DMNPB 10

4、在ABC 中,角 A 的平分线交边 BC 于 D,AB4,AC8,BD2,则ABD 的面积 是( ) A B3 C1 D3 11 过抛物线 x212y 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A, B, 交抛物线的准线于点 C, 若 3,则|BC|( ) A4 B4 C6 D8 12若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)+f(2x)0当 x0,1,f(x)1x2, 则( ) Af(log2)f()f(log23) Bf()f(log 2)f(log23) Cf(log2)f(log23)f() Df()f(log23)f(log 2) 二、填空题 13函数 f(x)x3+2x2+3x+的零点

5、个数为 14已知 f(x)sinx+x+m 为奇函数,则 f() 15 在ABC中, 已知AB3, AC2, P是边BC的垂直平分线上的一点, 则 16已知圆锥的顶点为 S,过母线 SA,SB 的切面切口为正三角形,SA 与圆锥底面所成角为 30,若SAB 的面积为,则该圆锥的侧面积为 三、解答题 17流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一种传染性强、传播速 度快的疾病其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传 播流感每年在世界各地均有传播,在我国北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏 季两个流行高峰 儿童相对免疫力低, 在幼儿园、 学校等人员密集的地方

6、更容易被传染 某 幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计,得到如下数据: 年龄(x) 2 3 4 5 6 患病人数(y) 22 22 17 14 10 (1)求 y 关于 x 的线性回归方程; (2)计算变量 x,y 的相关系数 r(计算结果精确到 0.01),并回答是否可以认为该幼儿 园去年春期患流感人数与年龄负相关很强? (若|r|0.75, 1, 则 x, y 相关性很强; 若|r|0.3, 0.75),则 x,y 相关性一般;若|r|0,0.25,则 x,y 相关性较弱) 参考数据:5.477 参 考 公 式 :, 相 关 系 数r 18已知数列an满足+ (1)求数列an

7、的通项公式; (2)设数列的前 n 项和为 Tn,求 Tn 19将棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 D1ACD 后得到如图所示几何体, O 为 A1C1的中点 (1)求证:OB平面 ACD1; (2)求几何体 ACB1A1D1的体积 20已知椭圆 C:+1(ab0)的左焦点为 F(1,0),离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x2 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q当 四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积 21已知函数 f(x)exx2+x证明: (1)函数 f(x)在 R 上是单调递增函

8、数; (2)对任意实数 x1,x2,若 f(x1)+f(x2)2,则 x1+x20 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答如果多做,则按所做的第一 题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在极坐标系 Ox 中,曲线 C 的极坐标方程为+sin,直线 l 的极坐 标方程为 (cossin)1,设 l 与 C 交于 A,B 两点,AB 中点为 M,AB 的垂直平分 线交 C 于 E,F以 O 为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系 xOy (1)求 C 的直角坐标方程及点 M 的直角坐标; (2)求证:|MA| |MB|ME| |MF| 选修 4-5:不等式

9、选讲 23已知函数 f(x)|x1|2|x+3| (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若存在实数 x,使不等式 m23mf(x)0 成立,求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的 1设 i 是虚数单位,则(2+3i)(32i)( ) A13 B5i C66i D12+5i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:(2+3i)(32i)64i+9i+612+5i 故选:D 2已知集合 A2,1,0,1,2,Bx|x2x60,则 AB( ) A2,1,0,1,2,3 B2,1

10、,0,1,2 C1,0,1,2 D2,1,0,1, 【分析】可以求出集合 B,然后进行交集的运算即可 解:Bx|2x3,A2,1,0,1,2, AB1,0,1,2 故选:C 32020 年初,湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎为防止病毒蔓延,各级政府相继启动 重大突发公共卫生事件一级响应,全国人民团结一心抗击疫情如图表示 1 月 21 日至 3 月 7 日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数,则下列中表述错误的是 ( ) A2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势 B随着全国医疗救治力度逐渐加大,2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C2 月 10 日至 2 月 14 日新增确诊人数波动最

11、大 D我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在 2 月 12 日左右达到峰值 【分析】根据图表,观察分析可得 解:由图可得,2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势,正确,故 A 正确, 随着全国医疗救治力度逐渐加大,2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数,正确,故 B 正 确, 2 月 10 日至 2 月 14 日新增确诊人数波动最大,正确,故 C 正确, 我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数, 一直在增加, 在2月12日左右新增人数达到峰值, 故 D 错误, 故选:D 4已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y x,则双曲线的离心率 为( ) A B C D 【分析】由题意设出双曲线的方程,得到它的

12、一条渐近线方程 yx 即 yx,由此可 得 b:a4:3,结合双曲线的平方关系可得 c 与 a 的比值,求出该双曲线的离心率 解:双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上, 设双曲线的方程为,(a0,b0) 由此可得双曲线的渐近线方程为 yx,结合题意一条渐近线方程为 yx, 得 ,设 b4t,a3t,则 c5t(t0) 该双曲线的离心率是 e 故选:A 5如图,为了估计函数 yx2的图象与直线 x1,x1 以及 x 轴所围成的图形面积(阴 影部分),在矩形 ABCD 中随机产生 1000 个点,落在阴影部分的样本点数为 303 个,则 阴影部分面积的近似值为( ) A0.698 B0.606 C

13、0.303 D0.151 【分析】先求矩形面积为 2,设区域面积为 x,由几何概型可求 解:设面积区域为 x, 由概率的几何概型知,则, 解之得 x0.606, 则该区域面积的近似值为 0.606 故选:B 6函数 f(x)xcos(x)的图象大致为( ) A B C D 【分析】根据题意,分析可得 f(x)为偶函数,排除 B、D,进而分析可得在区间(0,) 上,有 f(x)0,排除 C,即可得答案 解:根据题意,f(x)xcos(x)xsinx, 有 f(x)(x)sin(x)xsinxf(x),即函数 f(x)为偶函数,排除 B、D; 又由在区间(0,)上,x0,sinx0,有 f(x)0

14、,排除 C; 故选:A 720 世纪产生了著名的“3x+1”猜想:任给一个正整数 x,如果 x 是偶数,就将它减半; 如果 x 是奇数, 则将它乘 3 加 1, 不断重复这样的运算, 经过有限步后, 一定可以得到 1 如 图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图,若输入正整数 m 的值为 40,则输出的 n 的值是 ( ) A11 B10 C9 D8 【分析】这是一个循环结构的问题,根据循环体的运算功能一步步往下算就行,直到算 出 m1,要注意 m 与 n 的值对应好 解:根据框图可知:n2,m40 n6,m35+116 n10,m, 故选:B 8已知 tan(),sin( ) A B C D

15、【分析】由已知结合两角和的正切公式可求 tan,然后利用 sin, 代入即可求解 解:因为 tan(), 所以 tantan( )+ 3, 所以 sin 故选:C 9四棱锥 PABCD 所有棱长都相等,M,N 分别为 PA,CD 的中点,下列说法错误的是 ( ) AMN 与 PD 是异面直线 BMN平面 PBC CMNAC DMNPB 【分析】 画出图形, 利用异面直线以及直线与平面平行的性质判断选项 A、 B、 C 的正误, 直线与平面垂直,判断选项 D 解:由题意可知四棱锥 PABCD 所有棱长都相等,M,N 分别为 PA,CD 的中点,MN 与 PD 是异面直线,正确; 取 PB 的中点

16、为 H,连接 MH,HC,可得 MNHC,所以 MN平面 PBC,正确;MN AC,不正确;MNPB 正确; 故选:C 10在ABC 中,角 A 的平分线交边 BC 于 D,AB4,AC8,BD2,则ABD 的面积 是( ) A B3 C1 D3 【分析】先根据角平分线性质求得 DC,再结合余弦定理求得 cosB,进而求出 SABC,即 可求得结论 解:如图:; 因为ABC 中,角 A 的平分线交边 BC 于 D,AB4,AC8,BD2, 所以:DC4; BC6; cosB; sinB; SABCAB BC sinB3 SABDSABC 故选:A 11 过抛物线 x212y 的焦点 F 的直线

17、交抛物线于点 A, B, 交抛物线的准线于点 C, 若 3,则|BC|( ) A4 B4 C6 D8 【分析】作出图象,作 BMCP,ANCP,BHAN,设 BFx,根据抛物线的性质可 得 BMBFHNx,ANAF3x,进而得到 sinACN,则可求出 x 的值,进而得 到 BC 的值 解:作 BMCP,ANCP,BHAN,如图, 因为3,不妨设 BFx,所以 AF3BF3x,AB4x 根据抛物线的定义可得,BMBFHNx,ANAF3x,FPp6,则 AHANHN 3xx2x, 所以 sinABHsinACN,则 CF12,CB2x, 则 CFCB+BF3x12,所以 x4, 则 BC2x8,

18、 故选:D 12若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)+f(2x)0当 x0,1,f(x)1x2, 则( ) Af(log2)f()f(log23) Bf()f(log 2)f(log23) Cf(log2)f(log23)f() Df()f(log23)f(log 2) 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论 解:因为定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)+f(2x)0 所以 f(2+x)+f(x)0 即 f(2+x)f(x)f(x), 所以 f(4+x)f(x),即函数的周期为 4, 因为当 x0,1,f(x)1x2单调递减, 因为 f()f()f()0,

19、f(log23)f(log2)0,f() f(log32)f(log32)0, 因为 0log21, 所以f(log2)f(), 所以,f()f()f(log2), 即 f()f()f(log23), 故选:A 二、填空题:共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13函数 f(x)x3+2x2+3x+的零点个数为 2 【分析】先求出导函数 f(x),令 f(x)0 求出极值点,进而求出函数的极值,根据 单调性和极值画出函数的大致图象,从而得到函数的零点个数 解:函数 f(x)x3+2x2+3x+, f(x)x2+4x+3(x+1)(x+3), 令 f(x)0 得:x3 或1, 当 x(,

20、3)时,f(x)0,函数 f(x)单调递增;当 x(3,1)时,f (x)0,函数 f(x)单调递减;当 x(1,+)时,f(x)0,函数 f(x)单调递 增, 函数 f(x)的极大值为 f(3),极小值为 f(1)0, 函数 f(x)的大致图象如图所示: , 由图象可知,函数 f(x)有 2 个零点, 故答案为:2 14已知 f(x)sinx+x+m 为奇函数,则 f() 【分析】由奇函数的性质先求出 m,然后代入即可求解 解:由奇函数的性质可得 f(0)m0, 故 f(x)sinx+x, 所以 f()1+ 故答案为:1+ 15在ABC 中,已知 AB3,AC2,P 是边 BC 的垂直平分线

21、上的一点,则 【分析】取 BC 的中点 D,再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则,可得结果 解:取 BC 的中点 D,由条件得: ()+()(+)+0 ( )(2232) 故答案为: 16已知圆锥的顶点为 S,过母线 SA,SB 的切面切口为正三角形,SA 与圆锥底面所成角为 30,若SAB 的面积为,则该圆锥的侧面积为 8 【分析】求出 SASBSCl,SAC30,ACl,ABl,根据三角形的面积求 得 l,由此能求出该圆锥的侧面积 解:依题意画图,如图: SASBSCl,SAC30,ACl,ABl, SAB 的面积为l2 sin60,解得 l4, AC4,r2, 该圆锥的侧面积为:rl

22、8 故答案为:8 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分. 17流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一种传染性强、传播速 度快的疾病其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传 播流感每年在世界各地均有传播,在我国北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏 季两个流行高峰 儿童相对免疫力低, 在幼儿园、 学校等人员密集的地方更容易被传染 某 幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计,得到如下数据: 年龄(x

23、) 2 3 4 5 6 患病人数(y) 22 22 17 14 10 (1)求 y 关于 x 的线性回归方程; (2)计算变量 x,y 的相关系数 r(计算结果精确到 0.01),并回答是否可以认为该幼儿 园去年春期患流感人数与年龄负相关很强? (若|r|0.75, 1, 则 x, y 相关性很强; 若|r|0.3, 0.75),则 x,y 相关性一般;若|r|0,0.25,则 x,y 相关性较弱) 参考数据:5.477 参 考 公 式 :, 相 关 系 数r 【分析】(1)结合已知数据和参考公式求出这两个系数即可得回归方程; (2)根据相关系数 r 的公式求出其值,再结合 r 的正负性与|r

24、|的大小进行判断即可 解:(1)由题意得, 由公式求得, 故 y 关于 x 的线性回归方程为 (2), r0, 说明 x,y 负相关, 又|r|0.75,1,说明 x,y 相关性很强 可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强 18已知数列an满足+ (1)求数列an的通项公式; (2)设数列的前 n 项和为 Tn,求 Tn 【分析】本题第(1)题先令 bn,设数列bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn,再 利用公式 bn 即可计算出数列bn的通项公式,再计算出数列an的 通项公式; 第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列的通项公式,然后对通项公式进 行转化,再运用裂项相消法计算出前

25、 n 项和 Tn 解:(1)由题意,令 bn, 设数列bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn 当 n1 时,b1S1, 当 n2 时,bnSnSn1, 数列bn是常数列,即 bn , 故 an ,nN* (2)由(1)知, Tn+ + ()+()+ + 19将棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 D1ACD 后得到如图所示几何体, O 为 A1C1的中点 (1)求证:OB平面 ACD1; (2)求几何体 ACB1A1D1的体积 【分析】(1)取 AC 中点为 O1,连接 OO1,B1D1,O1D1在正方形 A1B1C1D1中,由 O 为 A1C1的中点,得 O 为 B1D1的

26、中点,证明 OO1BB1,OO1BB 1,得四边形 OO1B1B 为平行四边形, 得到 BO1D1O, BO1D1O 进一步得到四边形 O1BOD1为平行四边形, 则 BOO1D1再由线面平行的判定可得 OB平面 ACD1; ( 2 ) 由 正 方 体 ABCD A1B1C1D1的 棱 长 为 2 , 求 得, ,再由体积作差可得几何 体 ACB1A1D1的体积 【解答】(1)证明:取 AC 中点为 O1,连接 OO1,B1D1,O1D1 在正方形 A1B1C1D1中,O 为 A1C1的中点,O 为 B1D1的中点 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, AA1CC1,AA1CC1,CC1BB

27、1,CC1BB1, OO1CC1,OO1CC1,CC1BB1,CC1BB1 OO1BB1,OO1BB1, 四边形 OO1B1B 为平行四边形,BO1B1O,BO1B1O, BO1D1O,BO1D1O 四边形 O1BOD1为平行四边形,则 BOO1D1 又 BO平面 ACD1,O1D1平面 ACD1, OB平面 ACD1; (2)解:正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2, , 又, 且, 而, 20已知椭圆 C:+1(ab0)的左焦点为 F(1,0),离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x2 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q当

28、四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积 【分析】(1)由焦点坐标和离心率及 a,b,c 之间的关系求出 a,b 的值,进而可得椭 圆的标准方程; (2)有题意设 T 的坐标,由(1)得左焦点 F 的坐标,可得在 TF 的斜率,有题意可得 PQ 的斜率及方程,将直线 PQ 与椭圆联立求出两根之和,求出弦 PQ 的中点,及 TF 的 中点,有题意可得中点相同,再求出四边形 OPTQ 的面积 解:(1)由已知得:,所以; 又 a2b2+c2,解得 b1, 所以椭圆的标准方程为:+y21 (2)设 T 点的坐标为(2,m),则直线 TF 的斜率, 当 m0 时,直线 PQ 的斜率

29、,直线 PQ 的方程是 xmy1; 当 m0 时,直线 PQ 的方程也符合 xmy1 的形式 由得 (m2+2)y22my10其判别式4m2+4(m2+2)0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 , 因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以,即(x1,y1)(2x2,my2), 所以解得 m0, 此时四边形 OPTQ 的面积 21已知函数 f(x)exx2+x证明: (1)函数 f(x)在 R 上是单调递增函数; (2)对任意实数 x1,x2,若 f(x1)+f(x2)2,则 x1+x20 【分析】(1)依题意可得 f(x)exx+1,f(x)ex1,通过 f(x)的单调 性的分析,

30、可求得 f(x)minf(0)20,于是可证得函数 f(x)在 R 上是单调递增 函数; (2)利用(1)函数 f(x)在 R 上是单调递增函数,设 x10x2,再构造函数 g(x) f(x)+f(x)ex+exx2(x0),利用导数分析其单调性即可证得 x1+x20 成立 【解答】证明:(1)f(x)exx+1,f(x)ex1, 令 f(x)0,得 x0,即函数 f(x)在区间(0,+)上单调递增; f(x)0,得 x0,函数 f(x)在区间(,0)上单调递减; 所以 f(x)minf(0)20, 故函数 f(x)在 R 上是单调递增函数; (2)因 f(x1)+f(x2)2f(0)2,f(

31、x)在 R 上是单调递增函数,不妨设 x10x2, 构造 g(x)f(x)+f(x)ex+exx2(x0), g(x)exex2x, g(x)ex+ex20, 所以 yg(x)在(,0)上单调递增, 所以 g(x)g(0)0,所以 yg(x)在(,0)上单减, 因 x10,g(x1)f(x1)+f(x1)g(0)2f(x1)+f(x 2),有 f(x1)f(x2) 由(1)知,f(x)在 R 上是单调递增函数,有x1x2,即 x1+x20 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答如果多做,则按所做的第一 题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在极坐标系 Ox 中,

32、曲线 C 的极坐标方程为+sin,直线 l 的极坐 标方程为 (cossin)1,设 l 与 C 交于 A,B 两点,AB 中点为 M,AB 的垂直平分 线交 C 于 E,F以 O 为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系 xOy (1)求 C 的直角坐标方程及点 M 的直角坐标; (2)求证:|MA| |MB|ME| |MF| 【分析】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转 换求出结果 (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解:(1)曲线 C 的极坐标方程为+sin,转换为直角坐标方程为 直线 l 的极坐标方程为 (cossin)1 转换

33、为直角坐标方程为:yx1, 联立 C 与 l 的方程得;3x24x0, 解得 由于 AB 中点为 M, 证明:(2)由(1)利用两点间的距离公式的应用得:, 又设 AB 的垂直平分线代入 C 的方程得:, |MA| |MB|ME| |MF| 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|2|x+3| (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若存在实数 x,使不等式 m23mf(x)0 成立,求实数 m 的取值范围 【分析】(1)由绝对值的定义,去绝对值,解不等式,求并集,可得所求解集; (2)由题意可得存在实数 x,不等式 m23mf(x)max成立,由一次函数的单调性可 得 f(x)的最大值,结合二次不等式的解法可得所求范围 解:(1)f(x)|x1|2|x+3|, 当 x1 时,x71 解得 x1; 当3x1 时,3x51 解得2x1; 当 x3 时,x+71 解得 x6 综上得 x6 或 x2 不等式的解集为(,6)(2,+); (2)存在实数 x,不等式 m23mf(x)0 成立, 存在实数 x,不等式 m23mf(x)成立 存在实数 x,不等式 m23mf(x)max成立 又 f(x), f(x)maxf(3)4, m23m4,解得1m4 m 的范围是(1,4)

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