1、2020 年高考（文科）数学第二次模拟试卷年高考（文科）数学第二次模拟试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 A1，2，3，6，Bx|2x4，则 AB（ ） A6 B3，6 C1，2 D2，3，6 2若等差数列的前两项分别为 1，3，则该数列的前 10 项和为（ ） A81 B90 C100 D121 3设复数 za+bi（a，bR），定义b+ai若，则 z（ ） A+i Bi C+i Di 4书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本设事件 M 表示“两本都是红楼梦”； 事件 N 表示“一本是西游记，一本是水浒传”；事件 P 表示“取出的两本中至 少有一本红楼梦”下列结论正确的是（
2、） AM 与 P 是互斥事件 BM 与 N 是互斥事件 CN 与 P 是对立事件 DM，N，P 两两互斥 5若双曲线 C：的一条渐近线方程为 3x+2y0，则 m（ ） A B C D 6已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 PABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三 角形全等，则（ ） APA，PB，PC 两两垂直 B三棱锥 PABC 的体积为 C D三棱锥 PABC 的侧面积为 7如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B），过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，则（ ） A B C D 8函数 f（x）|x|的图象大致为（ ） A B C D 9设不
3、等式组表示的平面区域为 ，若从圆 C：x 2+y24 的内部随机选取一 点 P，则 P 取自 的概率为（ ） A B C D 10张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于 八分之五已知三棱锥 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上AB底面 BCD，BC CD，且 ABCD，BC2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ） A30 B10 C33 D12 11 已知函数， 则函数 yf （f （x） ） 的零点所在区间为 （ ） A B（1，0） C D（4，5） 12已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与
4、抛 物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则（ ） A16 B16 C120 D12 二、填空题 13函数 f（x）9x2+的最小值为 14函数 f（x）|sin4x|的图象的对称轴方程为 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设 BC1，BD1与底面 ABCD 所成角分别为 ，则 tan （+） 16在数列an中，a11，an0，曲线 yx3在点处的切线经过点（an+1，0）， 下列四个结论： ；数列an是等比数列 其中所有正确结论的编号是 三、解答题：共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 21 题为必考题， 每个试题考生都
5、必须作答 第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答 （一） 必考题：共 60 分 17为了解某中学学生对中华人民共和国交通安全法的了解情况，调查部门在该校进行 了一次问卷调查（共 12 道题），从该校学生中随机抽取 40 人，统计了每人答对的题数， 将统计结果分成0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12六组，得到 如下频率分布直方图 （1）若答对一题得 10 分，未答对不得分，估计这 40 人的成绩的平均分（同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表）； （2）若从答对题数在2，6）内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在2，4） 内的概率 18a，b，
6、c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a3，csinCasinA+bsinB，且 B 60 （1）求ABC 的面积； （2）若 D，E 是 BC 边上的三等分点，求 sinDAE 19如图，在四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，ABBC，APABBC AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （1）证明：PO平面 ABCD （2）若 OB1，求点 C 到平面 PAB 的距离 20已知函数 f（x）x3ax2+ （1）若 f（x）在（a1，a+3）上存在极大值，求 a 的取值范围； （2）若 x 轴是曲线 yf（x）的一条切线，证明：当 x1 时，f（x
7、）x 21已知椭圆 C：+1（ab0）过点（1，），过坐标原点 O 作两条互相垂直 的射线与椭圆 C 分别交于 M，N 两点（1）证明：当 a2+9b2取得最小值时，椭圆 C 的 离心率为 （2）若椭圆 C 的焦距为 2，是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程； 若不存在，请说明理由 （二）选考题：共 10 分请考生从第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数）以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知点 P 的直角坐标为（2，0），过 P 的
8、直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点 （1）若 l 的斜率为 2，求 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）求的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|2x+1|，记不等式 f（x）4 的解集为 M （1）求 M； （2）设 a，bM，证明：|ab|a|b|+10 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知集合 A1，2，3，6，Bx|2x4，则 AB（ ） A6 B3，6 C1，2 D2，3，6 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：因为集合 A1，2，3
9、，6， Bx|2x4x|x2， 所以 AB3，6 故选：B 2若等差数列的前两项分别为 1，3，则该数列的前 10 项和为（ ） A81 B90 C100 D121 【分析】先求出公差 d，然后结合等差数列的求和公式可求 解：因为公差 d312， 所以该数列的前 10 项和为 故选：C 3设复数 za+bi（a，bR），定义b+ai若，则 z（ ） A+i Bi C+i Di 【分析】利用复数的运算性质、新定义即可得出 解：， +， 则 zi 故选：B 4书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本设事件 M 表示“两本都是红楼梦”； 事件 N 表示“一本是西游记，一本是水浒传”；事件 P 表示“
10、取出的两本中至 少有一本红楼梦”下列结论正确的是（ ） AM 与 P 是互斥事件 BM 与 N 是互斥事件 CN 与 P 是对立事件 DM，N，P 两两互斥 【分析】 M 与 P 是既不是对立也不是互斥事件， M 与 N 是互斥事件， N 与 P 是互斥事件 解：书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本 设事件 M 表示“两本都是红楼梦”；事件 N 表示“一本是西游记，一本是水 浒传”； 事件 P 表示“取出的两本中至少有一本红楼梦” 在 A 中，M 与 P 是既不是对立也不是互斥事件，故 A 错误； 在 B 中，M 与 N 是互斥事件，故 B 正确； 在 C 中，N 与 P 是互斥事件，故
11、C 错误 在 D 中，M 与 P 是既不是对立也不是互斥事件，故 D 错误 故选：B 5若双曲线 C：的一条渐近线方程为 3x+2y0，则 m（ ） A B C D 【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解 m 即可 解：由题意知双曲线的渐近线方程为， 3x+2y0 可化为，则， 解得 故选：A 6已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 PABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三 角形全等，则（ ） APA，PB，PC 两两垂直 B三棱锥 PABC 的体积为 C D三棱锥 PABC 的侧面积为 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步对选项进行分析从而确定结果 解：根据三视图，可得三棱锥
12、PABC 的直观图如图所示， 其中 D 为 AB 的中点，PD底面 ABC 所以三棱锥 PABC 的体积为， PA，PB，PC 不可能两两垂直，三棱锥 PABC 的侧面积为 故选：C 7如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B），过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，则（ ） A B C D 【分析】由题意设 BC6，表示出 DE2，AD、AE 的值，求出DAE 的余弦值，再利 用平面向量的线性运算计算即可 解：设 BC6，则 DE2， ， 所以，所以； 因为， 所以 故选：D 8函数 f（x）|x|的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的
13、奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当 x0 时，其在 x1 处取得 极小值，可排除 B，由此得解 解：因为 f（x）f（x），所以 f（x）是偶函数，排除 C 和 D 当 x0 时，令 f（x）0，得 0x1；令 f （x）0，得 x1 所以 f（x）在 x1 处取得极小值，排除 B， 故选：A 9设不等式组表示的平面区域为 ，若从圆 C：x 2+y24 的内部随机选取一 点 P，则 P 取自 的概率为（ ） A B C D 【分析】求出符合条件的，比上总数即为所求概率 解：作出 中在圆 C 内部的区域，如图所示， 因为直线 x+y0，的倾斜角分别为， 所以由图可得 P 取自 的概率为 故选
14、：B 10张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于 八分之五已知三棱锥 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上AB底面 BCD，BC CD，且 ABCD，BC2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ） A30 B10 C33 D12 【分析】由题意将此三棱锥放在长方体中求出长方体的对角线，再由外接球的直径等于 长方体的对角线可得球的半径，进而求出球的表面积，圆周率的平方除以十六等于八分 之五，求出 的值进而求出面积 【解答】解由题意将此三棱锥放在长方体中，由题意可知长方体的长宽高分别为， 2， ， 设外接球的半径为 R，则（2R）23+4+310， 所
15、以外接球的表面积为 S4R210， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即， 所以，所以 S10， 故选：B 11 已知函数， 则函数 yf （f （x） ） 的零点所在区间为 （ ） A B（1，0） C D（4，5） 【分析】先分析分段函数的值域，进而利用零点存在定理得到结果 解：当 x0 时，f（x）（3，4，此时，f（x）无零点； 当 x0 时，为增函数，且 f（3）0 令 f （f （x） ） 0， 得 f （x） 2x+log3x93， 因为 f （3） 03， ， 所以函数 yf（f（x）的零点所在区间为 故选：A 12已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，
16、B 两点，直线 y2k（x2）与抛 物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则（ ） A16 B16 C120 D12 【分析】分别求出两条直线与两条曲线的相交弦长，代入可得 的值 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ， 得 k2x2（2k2+4）x+k20，则 ， 因为直线 yk（x1）经过 C 的焦点， 所以 同理可得， 所以 41612 故选：D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上 13函数 f（x）9x2+的最小值为 9 【分析】先求函数的定义域，确定函数的单调性，即可求出答案 解：f（x）的定义域为1
17、，+）， 又 f（x）在定义域上单调递增， f（x）minf（1）9 故答案为：9 14函数 f（x）|sin4x|的图象的对称轴方程为 x，kZ 【分析】令，即可求解结论 解： 由图可得， 令，得 故答案为：x，kZ 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设 BC1，BD1与底面 ABCD 所成角分别为 ，则 tan （+） 【分析】结合正方体的性质可求 tan，tan 然后由两角和的正切公式即可求解 解：因为 CC1，DD1都与底面 ABCD 垂直， 所以 CBC1，DBD1，tan1， ， 所以 故答案为： 16在数列an中，a11，an0，曲线 yx3在点处的切线经过点（an+1，
18、0）， 下列四个结论： ；数列an是等比数列 其中所有正确结论的编号是 【分析】利用已知条件推出数列的递推关系式，得到an是首项为 1，公比为的等比数 列，然后求解判断即可 解：y3x2，曲线 yx3在点 处的切线方程为， 则an0，则an是首项为 1，公比为的等 比数列， 从而，故所有正确结论的编号是 故答案为： 三、解答题：共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答 （一） 必考题：共 60 分 17为了解某中学学生对中华人民共和国交通安全法的了解情况，调查部门在该
19、校进行 了一次问卷调查（共 12 道题），从该校学生中随机抽取 40 人，统计了每人答对的题数， 将统计结果分成0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12六组，得到 如下频率分布直方图 （1）若答对一题得 10 分，未答对不得分，估计这 40 人的成绩的平均分（同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表）； （2）若从答对题数在2，6）内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在2，4） 内的概率 【分析】（1）平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和 （2）写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率 解：（1）因为答对题数的平均数约为（10
20、.025+30.025+50.0375+70.125+9 0.1875+110.1）27.9 所以这 40 人的成绩的平均分约为 7.91079 （2）答对题数在2，4）内的学生有 0.0252402 人，记为 A，B； 答对题数在4，6）内的学生有 0.03752403 人，记为 c，d，e 从答对题数在2，6）内的学生中随机抽取 2 人的情况有（A，B）， （A，c）， （A，d）， （A，e），（B，c），（B，d），（B，e），（c，d），（c，e），（d，e），共 10 种， 恰有 1 人答对题数在2，4）内的情况有（A，c）， （A，d）， （A，e）， （B，c）， （B， d）
21、，（B，e），共 6 种， 故所求概率 18a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a3，csinCasinA+bsinB，且 B 60 （1）求ABC 的面积； （2）若 D，E 是 BC 边上的三等分点，求 sinDAE 【分析】（1）利用正弦和勾股定理求得 c 的值，再计算ABC 的面积； （2）由题意建立平面直角坐标系，利用向量求出DAE 的余弦值，再求正弦值 解：（1）ABC 中，由 csinCasinA+bsinB， 利用正弦定理得 c2a2+b2 所以ABC 是直角三角形， 又 a3，B60， 所以 A30，c6； 所以ABC 的面积为 SacsinB 36 （2
22、）设 D 靠近点 B，则 BDDEEC1 建立排名直角坐标系，如图所示； 则 C（0，0），B（3，0），D（2，0），E（1，0），A（0，3）； 所以（2，3），（1，3）， 所以 cosDAE， 所以 sinDAE 19如图，在四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，ABBC，APABBC AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （1）证明：PO平面 ABCD （2）若 OB1，求点 C 到平面 PAB 的距离 【分析】（1）推导出 APCD四边形 BCDE 为平行四边形，从而 BECD，进而 AP BE 推导出四边形 ABCE 为正方形， 从而 BEAC
23、进而 BE平面 APC， 则 BEPO 由 AP平面 PCD，得 APPC，推导出 POAC，由此能证明 PO平面 ABCD （2） 设 C 到平面 PAB 的距离为 d， 由 VCPABVPABC， 能求出点 C 到平面 PAB 的距离 解：（1）证明：AP平面 PCD，APCD ADBC，四边形 BCDE 为平行四边形， BECD，APBE 又ABBC，且 E 为 AD 的中点， 四边形 ABCE 为正方形，BEAC 又 APACA，BE平面 APC，则 BEPO AP平面 PCD，APPC，又， PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点， POAC 且 ACBEO，PO平面
24、ABCD （2）解：OB1， 设 C 到平面 PAB 的距离为 d， 由 VCPABVPABC， 得， 解得点 C 到平面 PAB 的距离为 20已知函数 f（x）x3ax2+ （1）若 f（x）在（a1，a+3）上存在极大值，求 a 的取值范围； （2）若 x 轴是曲线 yf（x）的一条切线，证明：当 x1 时，f（x）x 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系判断函数的单调性，再根据 极值存在条件可求； （ 2 ） 由 题 意 得 f （ 0 ） 0 ， 或， 代 入 可 求 a ， 然 后 构 造 函 数 ，结合导数与极值的关系可证明 【解答】（1）解：f（x）3x22a
25、xx（3x2a），令 f（x）0，得 x10， 当 a0 时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）无极值，不合题意； 当 a0 时，f（x）在处取得极小值，在 x0 处取得极大值， 则 a10a+3，又 a0，所以 0a1； 当 a0 时，f（x）在处取得极大值，在 x0 处取得极小值， 则，又 a0，所以9a0 综上，a 的取值范围为（9，0）（0，1） （2）证明：由题意得 f（0）0，或， 即（不成立），或， 解得 a1 设函数，g（x）（3x+1）（x1）， 当或 x1 时，g（x）0；当时，g（x）0 所以 g（x）在 x1 处取得极小值，且极小值为 g（1）0 又 g（1）0，所
26、以当 x1 时，g（x）0， 故当 x1 时， 21已知椭圆 C：+1（ab0）过点（1，），过坐标原点 O 作两条互相垂直 的射线与椭圆 C 分别交于 M，N 两点（1）证明：当 a2+9b2取得最小值时，椭圆 C 的 离心率为 （2）若椭圆 C 的焦距为 2，是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程； 若不存在，请说明理由 【分析】（1）方法一：将点代入椭圆方程，利用“1”代换及基本不等式即可求得 a 与 b 的关系，求得椭圆的离心率； 方法二：由方法一：转化，利用权方和不等式，求得 a 与 b 的关系，即可求得椭圆的离 心率； （2）由（1）及 c1 求得椭圆方程，分类讨论
27、，当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利 用韦达定理及向量的坐标运算，求得 7m212（k2+1），根据点到直线的距离公式求得 O 到直线，MN 的方程为定值，即可判断定圆与直线 MN 总相切 解：（1）方法一：由椭圆过点（1，），则， a2+9b2（a2+9b2）（）1+2+， 当且仅当时，即 ab，a2+9b2取得最小值， 所以椭圆的离心率 e， 方法二： 由方法一可知：， 则， 所以 a2+9b2， 当且仅当，即 ab，a2+9b2取得最小值， 所以椭圆的离心率 e， （2）存在定圆 x2+y2，使得定圆与直线 MN 总相切，理由如下： 椭圆的焦距为 2，所以 a2b21，所以由（1）可知，
28、解得：a24，b23， 当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M（x0，x0），M（x0，x0）， 因为 M，N 在椭圆上，解得 x02， 所以 O 到直线 MN 的距离 d|x0|， 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 ykx+m， 联立方程组，消去 y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120， 由（8km）24（3+4k2）（4m212）0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2 ，x1x2 ， 因为 OMON，所以 x1x2+y1y20， x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m
29、20， 所以（k2+1）（ ）+km（）+m20，即 7m212（k2+1）， 所以 O 到直线 MN 的距离 d， 综上可知，O 到直线 MN 的距离为定值，且定值为， 故存在定圆 O：x2+y2 （二）选考题：共 10 分请考生从第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数）以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知点 P 的直角坐标为（2，0），过 P 的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点 （1）若 l 的斜率为 2，求 l 的极坐标方程和曲线 C
30、 的普通方程； （2）求的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数）转换为直角坐标方程为 （x+1）2+y24 点 P 的直角坐标为（2，0），过 P 的直线 l 的斜率为 2， 故直线的方程为 y2（x+2），整理得 2cossin+40 （2）直线的方程为 y2（x+2），转换为参数方程为：（t 为参数）代入 圆的方程得到：， 所以：t1t23 故：的值t1t23 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|2x+1|，记不等式
31、f（x）4 的解集为 M （1）求 M； （2）设 a，bM，证明：|ab|a|b|+10 【分析】（1）由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得 M； （2）运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证 解：（1）f（x）|2x1|+|2x+1|， 可得 x时，f（x）4 即 2x1+2x+14，解得x1； 当 x时，f（x）4 即 12x2x14，解得1x； 当x时，f（x）4 即 12x+2x+14，解得x； 则 M（1，1）； （2）证明：要证|ab|a|b|+10，即证（|a|1）（|b|1）0， 由 a，bM，即1a1，1b1， 可得|a|1，|b|1，即|a|10，|b|10， 可得（|a|1）（|b|1）0， 故|ab|a|b|+10 成立
