1、2020 年高考（文科）数学模拟试卷年高考（文科）数学模拟试卷 一、选择题（共 12 小题） 1已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则（UA）B（ ） A（1，0 B（1，1） C（1，+） D0，1） 2已知复数 z i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A2 B2i C2 D2i 3已知向量 （1，2）， （1，0），则|2 |（ ） A B5 C7 D25 4边长为 m 的正方形内有一个半径为 n（n ）的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大 小，视为质点），若它落在该圆内的概率为 ，则圆周率 的值为（ ） A B C D 5已知奇函数 ，则 h（2）的值为（ ） A B C8 D
2、8 6已知 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 a，b，则“a” 是“ab”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 7我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图是一个刍童 的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍 童的表面积为（ ） A32 B40+32 C D72 8一位老师将三道题（一道三角题， 一道数列题，一道立体几何题） 分别写在三张卡纸上， 安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽 到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽
3、到”，丙说：“乙抽到的肯定 不是数列题” 事实证明， 这三人中只有一人说的是假话， 那么抽到立体几何题的是 （ ） A甲 B乙 C.丙 D不确定 9若 ， ，且 ，则 sin2 的值为（ ） A B C D 10抛物线 x22py（p0）的焦点与双曲线 的右焦点的连线垂直于双曲线的 一条渐近线，则 p 的值为（ ） A B C D 11将函数 ycos（2x+）（ ）的图象向右平移 个单位长度单位后得函数 f （x）图象，若 f（x）为偶函数，则（ ） Af（x）在区间 ， 上单调递减 Bf（x）在区间 ， 上单调递增 Cf（x）在区间 ， 上单调递减 Df（x）在区间 ， 上单调递增 12
4、已知函数 f （x） alnx+x 在1， +） 上单调递增， 则实数 a 的取值范围是 （ ） Aa0 B0a1 Ca2 Da2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 z2xy 的最大值为 14已知一个样本 x，1，y，5 的平均数为 2，方差为 5，则 xy 15 已知定义在R上的函数f （x） 满足 ， 且f （2） 3， 则f （2020） 16在ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1， ，sinAsinBcosC sin2C，则ABC 的面积为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知等差数列an满足 a23，a4+a720，其前 n 项和为 Sn （）求数列an的通项公式 an及 Sn； （）若 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系， 随机调查了本市 某中学高三文科班 6 名学生每周课外阅读时间 x（单位：小时）与高三下学期期末考试中 语文作文分数 y，数据如表： x 1 2 3 4 5 6 y 38 40 43 45 50 54 （）根据上述数据，求出高三学
6、生语文作文分数 y 与该学生每周课外阅读时间 x 的线 性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为 7 小时时其语文作文成绩； （）从这 6 人中任选 2 人，这 2 人中至少有 1 人课外阅读时间不低于 5 小时的概率 参考公式：y x ，其中 ； 参考数据： ， ， 19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，点 E 在 PD 上 （）若 E 为 PD 的中点，证明：PB平面 AEC； （）若 PA1，PD2AB2，三棱锥 EACD 的体积为 ，试求 PE：ED 的值 20已知椭圆 ： 过点 ， ，且其离心率为 ，过坐标原点 O 作两 条互相垂直的射线与椭
7、圆 C 分别相交于 M，N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存 在，请说明理由 21已知函数 f（x）x3ax2 （1）若 f（x）在（a1，a+3）上存在极大值，求 a 的取值范围； （2）若 x 轴是曲线 yf（x）的一条切线，证明：当 x1 时，f（x）x （二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方 程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 C1： 为参数）
8、，曲线 C2： 1 （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C1，C2的极坐标方程； （）射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的交点为 B，求|AB| 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M （1）求 M 的值； （2）正数 a，b，c 满足 a+2b+cM，求证： 1 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则（UA）B（ ） A（1，0 B（1，1） C（1
9、，+） D0，1） 【分析】求出UA，再计算出结果 解：全集 UR，Ax|x0，Bx|x1， 则UA（，0， 则（UA）B（1，0， 故选：A 【点评】考本题查集合的交并补运算，基础题 2已知复数 z i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A2 B2i C2 D2i 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 解：复数 z 22i， z 的虚部为2 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题 3已知向量 （1，2）， （1，0），则|2 |（ ） A B5 C7 D25 【分析】利用平面向量坐标运算法则求出 ，由此能求出|2 | 解：向量 （1，2）， （1，0
10、）， （2，4）+（1，0）（3，4）， |2 | 5 故选：B 【点评】本题考查向量的模的求法，考查平面平面向量坐标运算法则、向量的模的定义 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4边长为 m 的正方形内有一个半径为 n（n ）的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大 小，视为质点），若它落在该圆内的概率为 ，则圆周率 的值为（ ） A B C D 【分析】利用几何概型推导出 ，由此能求出圆周率 的值 解：边长为 m 的正方形内有一个半径为 n（n ）的圆， 向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点）， 它落在该圆内的概率为 ， ， 解得 故选：B 【点评】 本题考查圆周率 的值的求法， 考
11、查几何概型等基础知识， 考查运算求解能力， 考查数形结合思想，是基础题 5已知奇函数 ，则 h（2）的值为（ ） A B C8 D8 【分析】先根据奇函数的性质求出 a，再结合奇函数的性质即可求出结论 解：因为奇函数 ， f（0）30+a0a1； 则 h（2）f（2）f（2）（32+a）8 故选：D 【点评】本题主要是借助于奇函数的性质来求函数的值，属于基础题目 6已知 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 a，b，则“a” 是“ab”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据线面平行的判定定理与性质定理，判断即可 解：a，b，若
12、 a，根据线面平行的性质定理，ab； 反之，若 ab，a，b，根据线面平行的判定定理，所以 a， 故前者能推出后者，后者也能推出前者， 故选：A 【点评】考查四个条件的确定，考查了线面平行的判定定理与性质定理，基础题 7我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图是一个刍童 的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍 童的表面积为（ ） A32 B40+32 C D72 【分析】先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积 解：根据几何体的三视图画出直观图，如图所示； 所以该几何体的表面积为： S66+22+4 （2+6）
13、2 40+32 故选：B 【点评】 本题考查了三视图的应用问题， 也考查了几何体的表面积计算问题， 是基础题 8一位老师将三道题（一道三角题， 一道数列题，一道立体几何题） 分别写在三张卡纸上， 安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽 到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定 不是数列题” 事实证明， 这三人中只有一人说的是假话， 那么抽到立体几何题的是 （ ） A甲 B乙 C.丙 D不确定 【分析】采用反证法，分别假设甲乙丙说的是假话，进行判断即可 解：如果甲说的是假话，则甲抽到立体几何，乙丙说的是真话，则乙抽到数列，这
14、与丙 相矛盾， 故甲是真话，若乙说的是假话，则乙抽到是三角题，则甲抽到数列题，丙抽到是立体几 何， 若丙说的是假话，则乙抽到是数列题，则甲抽到三角题，则丙抽到是立体几何， 故那么抽到立体几何题的是丙， 故选：C 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是采用反证法，属于基础题 9若 ， ，且 ，则 sin2 的值为（ ） A B C D 【分析】 利用二倍角公式， 两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 2 （cos+sin） （cos sin） （sin+cos），结合已知可得 cos+sin0，解得 cossin ，两边 平方利用二倍角公式即可求解 sin2 的值 解： ， 2（cos2sin
15、2） （sin+cos）， 2（cos+sin）（cossin） （sin+cos）， ， ，cos+sin0， 2 （cossin） ， 解得 cossin ， 两边平方可得 cos2+sin22cossin ， 即 1sin2 ， sin2 故选：D 【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系 式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 10抛物线 x22py（p0）的焦点与双曲线 的右焦点的连线垂直于双曲线的 一条渐近线，则 p 的值为（ ） A B C D 【分析】由双曲线及抛物线的方程可得两个焦点的坐标，及渐近线的斜率，求出两个焦 点所
16、在的直线的斜率，由题意可得斜率等于其中一条渐近线的斜率的负倒数，求出 p 的 值 解：由双曲线的方程可得右焦点坐标为：（5，0）渐近线的方程为：3x4y0，而由抛 物线的方程的的坐标为（0， ）， 所以两个焦点连线的斜率为： ， 由题意可得 ，解得 p ， 故选：B 【点评】本题考查抛物线及双曲线的性质，及直线垂直的性质，属于中档题 11将函数 ycos（2x+）（ ）的图象向右平移 个单位长度单位后得函数 f （x）图象，若 f（x）为偶函数，则（ ） Af（x）在区间 ， 上单调递减 Bf（x）在区间 ， 上单调递增 Cf（x）在区间 ， 上单调递减 Df（x）在区间 ， 上单调递增 【分
17、析】根据三角函数平移关系求出 f（x）的解析式，结合 f（x）是偶函数求出 ，利 用三角函数的单调性进行求解即可 解：将函数 ycos（2x+）（ ）的图象向右平移 个单位长度单位后得函数 f（x）图象， 则 f（x）cos2（x ）+cos（2x+ ）， 若 f（x）为偶函数，则 k，k Z， 即 k，k Z， ，当 k1 时， ， 即 f（x）cos（2x ）cos（2x）cos2x， 当 x 时， 2x，此时 f（x）cos2x 不具备单调性，故 A，B 错误， 当 x 时， 2x，此时 f（x）cos2x 为增函数，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根
18、据条件求出函数的解析式以及利用三 角函数的单调性是解决本题的关键难度不大 12 已知函数 f （x） alnx+x 在1， +） 上单调递增， 则实数 a 的取值范围是 （ ） Aa0 B0a1 Ca2 Da2 【分析】求出函数的导数，问题转化为 ax2+x 在 x 1，+）恒成立，利用二次函数的 性质，求出 a 的范围即可 解：f（x） alnx+x，可得 f（x）x 1 ， 若 f（x）在1，+）递增， 则 x2+xa0 在 x 1，+）恒成立， 即 ax2+x 在 x 1，+）恒成立， 令 g（x）x2+x（x ） 2 ，函数的对称轴为 x ，当 x1 时，函数是增函数， 所以 g（x）
19、2， 故 a2， 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题， 是一道中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 z2xy 的最大值为 6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值 解：作出实数 x，y 满足不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z2xy 得 y2xz， 平移直线 y2xz，由图象可知当直线 y2xz 经过点 A（3，0）时，直线 y2xz 的 截距最小，此时 z 最大 代入目标函数 z2xy， 得 z6即
20、z2xy 的最大值为 6 故答案为：6 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 14已知一个样本 x，1，y，5 的平均数为 2，方差为 5，则 xy 4 【分析】利用平均数和方差公式列出方程组，由此能求出 xy 的值 解：一个样本 x，1，y，5 的平均数为 2，方差为 5， ， 解得 xy4 故答案为：4 【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意方差、平均数的性 质的合理运用 15已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 ，且 f（2）3，则 f（2020） 3 【分析】由题意可知函数 f（x）的周期为
21、 3，从而解得 解：f（x）f（x ），且 f（2）3， f（x ）f（x+3）， f（x）f（x+3）， 函数 f（x）的周期为 3， 故 f（2020）f（3673+1）f（1）f（2）3， 故答案为：3 【点评】本题考查了函数的周期性的判断与应用抽象函数的应用，考查计算能力，属 于基础题 16在ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1， ，sinAsinBcosC sin2C，则ABC 的面积为 【分析】利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得 3c2a2+b2，结合已知可求 c 的值， 利用余弦定理可求 cosC 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的
22、值，根据三角 形的面积公式即可求解 解：sinA sinB cosCsin2C， 得到 cosC ， 又 cosC ， ，解得 3c 2a2+b2， 又a1， ， 3c21+23，解得 c1， cosC ，sinC ， SABC absinC 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面 积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知等差数列a
23、n满足 a23，a4+a720，其前 n 项和为 Sn （）求数列an的通项公式 an及 Sn； （）若 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（）设等差数列an的公差为 d，则 ，联立解得：a1，dj 可 得 an，Sn （）利用错位相减法即可得出 解：（）设等差数列an的公差为 d，则 ， 解得：a11，d2 an2n1， ， （）（错位相减法） ， 式两边同时乘 ，得 ， 可得， ， ， ， 【点评】本题考查了等差数列与等比数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 18 某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系， 随机调查了本市
24、某中学高三文科班 6 名学生每周课外阅读时间 x（单位：小时）与高三下学期期末考试中 语文作文分数 y，数据如表： x 1 2 3 4 5 6 y 38 40 43 45 50 54 （）根据上述数据，求出高三学生语文作文分数 y 与该学生每周课外阅读时间 x 的线 性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为 7 小时时其语文作文成绩； （）从这 6 人中任选 2 人，这 2 人中至少有 1 人课外阅读时间不低于 5 小时的概率 参考公式：y x ，其中 ； 参考数据： ， ， 【分析】（1） 根据表中数据计算平均数与回归系数， 写出线性回归方程， 计算 x7 时 的值 即可； （2）用列举法
25、求出基本事件数，计算所求的概率值 解：（1）根据表中数据，计算 3.5， 45， 3.2， 453.23.533.8， y 与 x 的线性回归方程为 3.2x+33.8， 当 x7 时， 3.27+33.856.2， 预测某学生每周课外阅读时间为 7 小时时其语文作文成绩为 56.2； （2）设这 6 人阅读时间依次为 1、2、3、4、5、6 的同学分别为 A、B、C、D、E、F， 从中任选 2 人，基本事件是 AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF 共 15 种， 其中至少 1 人课外阅读时间不低于 5 小时的事件是 AE、AF、BE、BF、
26、CE、CF、DE、DF、EF 共 9 种， 故所求的概率为 P 【点评】本题考查了线性回归方程与列举法求概率的应用问题，是中档题 19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，点 E 在 PD 上 （）若 E 为 PD 的中点，证明：PB平面 AEC； （）若 PA1，PD2AB2，三棱锥 EACD 的体积为 ，试求 PE：ED 的值 【分析】（）连结 AC，BD，交于点 O，连结 OE，推导出 OEPB，由此能证明 PB 平面 AEC （）由三棱锥 EACD 的体积为 ，求出点 E 到平面 ACD 的距离为 ，由此能求出 PE：ED 的值 解：（）证明：连结
27、AC，BD，交于点 O，连结 OE， 底面 ABCD 为矩形，O 是 BD 中点， E 为 PD 的中点，OEPB， PB平面 ACE，OE平面 ACE， PB平面 AEC （）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，点 E 在 PD 上， PA1，PD2AB2，三棱锥 EACD 的体积为 ， AD ， 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h， 则 VEACD ， 解得 h ， ， 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题 20已知椭圆 ： 过点 ， ，且其离
28、心率为 ，过坐标原点 O 作两 条互相垂直的射线与椭圆 C 分别相交于 M，N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存 在，请说明理由 【分析】（）椭圆 C 经过点 ， ，结合离心率，求出 a，b 即可得到椭圆方程 （） 当直线 MN 的斜率不存在时， 由对称性， 设 M （x0， x0） ， N （x0， x0） 推出 求出 O 到直线 MN 的距离为 ， 当直线 MN 的斜率存在时， 设 MN 的方程为 ykx+m， 由 ，设 M（x 1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合 x1x2+y1y20，转化 求解得
29、到 7m212（k2+1），然后求解 O 到直线 MN 的距离，说明定圆 与直 线 MN 总相切 解：（）椭圆 C 经过点 ， ， ，又 ， 解之得 a24，b23所以椭圆 C 的方程为 ； （）当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M（x0，x0），N（x0，x0） M，N 在椭圆 C 上， ， O 到直线 MN 的距离为 ， 当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 ykx+m， 由 ， 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ， OMON，x1x2+y1y20 ，即 7m212（k2+1） O 到直线 MN 的距离为 ， 故存
30、在定圆 与直线 MN 总相切 【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合 应用，考查分析问题解决问题，是难题 21已知函数 f（x）x3ax2 （1）若 f（x）在（a1，a+3）上存在极大值，求 a 的取值范围； （2）若 x 轴是曲线 yf（x）的一条切线，证明：当 x1 时，f（x）x 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系判断函数的单调性，再根据 极值存在条件可求； （2） 由题意得 f （0） 0， 或 ， 代入可求 a， 然后构造函数 ，结合导数与极值的关系可证明 【解答】（1）解：f（x）3x22axx（3x2a），令 f（x）0
31、，得 x10， 当 a0 时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）无极值，不合题意； 当 a0 时，f（x）在 处取得极小值，在 x0 处取得极大值， 则 a10a+3，又 a0，所以 0a1； 当 a0 时，f（x）在 处取得极大值，在 x0 处取得极小值， 则 ，又 a0，所以9a0 综上，a 的取值范围为（9，0）（0，1） （2）证明：由题意得 f（0）0，或 ， 即 （不成立），或 ， 解得 a1 设函数 ，g（x）（3x+1）（x1）， 当 或 x1 时，g（x）0；当 时，g（x）0 所以 g（x）在 x1 处取得极小值，且极小值为 g（1）0 又 g（1）0，所以当 x1 时
32、，g（x）0， 故当 x1 时， 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值存在条件的应用，体现了转 化与分类讨论思想的应用 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 C1： 为参数），曲线 C2： 1 （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C1，C2的极坐标方程； （）射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的交点为 B，求|AB| 【分析】（）由 可得 C1，C2 的极坐标方程； （）求出 A，B 的极径，即可求|AB| 解：（）曲线 ： 为参数）可化为普通方程：（x1）2+y21， 由 可得曲线C1的极坐标方程为2cos
33、， 曲线C2的极坐标方程为 2 （1+sin2） 2 （）射线 与曲线 C1的交点 A 的极径为 ， 射线 与曲线 C2的交点 B 的极径满足 ，解得 ， 所以 【点评】本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M （1）求 M 的值； （2）正数 a，b，c 满足 a+2b+cM，求证： 1 【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解 （2）利用 1 的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可 解：（1）由绝对值不等式得|x2|x+3|x2（x+3）|5， 若不等式|x2|x+3|m+1|有解， 则满足|m+1|5，解得6m4 M4 （2）由（1）知正数 a，b，c 满足足 a+2b+c4，即 （a+b）+（b+c）1 （a+b）+（b+c）（ ） （1+1 ） （2+2 ） 41， 当且仅当 即 a+bb+c2，即 ac，a+b2 时，取等号 1 成立 【点评】本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式 的应用，利用 1 的代换是解决本题的关键
