1、2018 年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设复数 z 满足 z（1+i）i （i 为虚数单位） ，则|z| （ ）A B C1 D2 （5 分）已知集合 Mx |yln（x 2） ，N x|xa，若集合 MNN，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2，+） B2，+） C （，0） D （，03 （5 分）已知命题 p：对任意 xR，总有 x20，q：x 1 是不等式 x0 的解，则下列命题为真命题的是（ ）Ap（q） B
2、（p）q C （p）（q） Dpq4 （5 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 P，则满足APB90的概率为（ ）A B1 C D15 （5 分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A4+4 B4+3 C3+4 D3+36 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ）第 2 页（共 23 页）A4.5 B6 C7.5 D97 （5
3、 分）已知函数 f（x ）ln （x 2 ）| |，则不等式 f（x+1）f（2x1）的解集是（ ）A （0，2） B （，0）C （，0）（2，+ ） D （2，+ ）8 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 M（x 0，2 ）是抛物线 C 上一点，以 M 为圆心，|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ，则等 p 于（ ）A2 B3 C4 D59 （5 分）已知数列a n中，前 n 项和为 Sn，且 an ，则 的最大值为（ ）A3 B1 C3 D110 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（ ）和函数 g（x）2cos
4、（ ）在区间上的图象交于 A，B ，C 三点，则ABC 的面积是（ ）A B C D211 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的体积为 ，ABC 是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 DABC 的外接球的球心 O 恰好是 CD 的中点，则球 O 的体积为（ ）A B C D第 3 页（共 23 页）12 （5 分）已知函数 g（x） x3+2xm + （m 0）是1，+）上的增函数当实数m 取最大值时，若存在点 Q，使得过点 Q 的直线与曲线 yg（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点 Q 的坐标为（ ）A （0，3） B （2，3）
5、C （0，0） D （0，3）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上。13 （5 分）已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为 14 （5 分）若（x 2+a） （x ） 8 的展开式中 x4 的系数为 42，则 a 15 （5 分）如图，在ABC 中，cos ， 0， （ + ）0，则过点C，以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 16 （5 分）在
6、首项都为 2 的数列a n，b n中，a 2b 24，2a n+1a n+an+2，b n+1b n2 n，b n+2b n32 n1，且 bnZ，则数列 的前 n 项和为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知asin2BbsinA（1）求 B；（2）若 b3 ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长18 （12 分）某产品按行业生产标准分成 6 个等级，等级系数 依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数 5，的为一等品，
7、35 的为二等品，3 的为三等品若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；第 4 页（共 23 页）（I）以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；（II）已知该厂生产一件产品的利润 y（单位：元）与产品的等级系数 的关系式为y ，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为 z，求 z 的分布列和均值19 （12 分）如图，在几何体 ABCA 1B1C1 中，点 A1，B 1，C 1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A， B，C ，且 ABBC，AA 1BB 14，ABB
8、C CC 12，E 为 AB1 中点，（）求证；CE平面 A1B1C1，（）求证：求二面角 B1AC 1C 的大小20 （12 分）已知动圆过定点 A（0，2） ，且在 x 轴上截得的弦长为 4（1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（2）点 P 为轨迹 C 上任意一点，直线 l 为轨迹 C 上在点 P 处的切线，直线 l 交直线：y1 于点 R，过点 P 作 PQl 交轨迹 C 于点 Q，求PQR 的面积的最小值21 （12 分）已知函数 f（x ）ax+lnx，函数 g（x）的导函数 g（x）e x，且 g（0）g（1）e，其中 e 为自然对数的底数（1）求 g（x）的解析式；第 5 页（共
9、23 页）（2）若 x（ 0，+ ） ，使得不等式 g（x） 成立，试求实数 m 的取值范围；（3）当 a0 时，对于x （0，+） ，求证：f（x ）g（x）2请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。22 （10 分）已知圆 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 的参数方程为 （t为参数） ，点 A 的极坐标为（ ， ） ，设直线 l 与圆 C 交于点 P、Q 两点（1）写出圆 C 的直角坐标方程；（2）求|AP| AQ|的值23设函数 f（x ）2|x 1|+ x1，g（x）16x 28x+1，记 f（x）1 的解集为M，g（ x）4 的解集为 N（1）
10、求 M；（2）当 xM N 时，证明： 第 6 页（共 23 页）2018 年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设复数 z 满足 z（1+i）i （i 为虚数单位） ，则|z| （ ）A B C1 D【分析】先求出复数 z，然后利用求模公式可得答案【解答】解：由 z（1+ i）i 得 z + i，则则|z| ，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题2 （5 分）已知集合 Mx |yln（x 2） ，N x|xa
11、，若集合 MNN，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2，+） B2，+） C （，0） D （，0【分析】求出集合 M 的等价条件，结合 MNN，转化为 NM，进行求解即可【解答】解：Mx |yln（x2） x|x 20 x|x 2，若集合 MNN，则 NM，Nx|xa，a2，即实数 a 的取值范围是（2，+） ，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件 MNN ，转化为 NM，是解决本题的关键3 （5 分）已知命题 p：对任意 xR，总有 x20，q：x 1 是不等式 x0 的解，则下列命题为真命题的是（ ）Ap（q） B （p）q C （p）（q） D
12、pq【分析】分别判断 p，q，p，q 真假，再利用复合命题的判断方法判断第 7 页（共 23 页）【解答】解：命题 p：对任意 xR，总有 x20，q：x1 是不等式 x0 的解，p 为真命题，q 为假命题p 为假命题，q 为真命题根据复合命题的真假判断：pq 为真命题故选：A【点评】本题考查了复合命题的真假判断，属于容易题4 （5 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 P，则满足APB90的概率为（ ）A B1 C D1【分析】以 AB 为直径作半圆，则符合条件的 P 点落在正方形内部，半圆外部，根据面积比求出概率【解答】解：在正方形 ABCD 内作以 AB 为直径
13、的半圆，则当 P 落在阴影部分区域（不含边界）时，APB90，p 1 故选：B【点评】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题关键5 （5 分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第 8 页（共 23 页）A4+4 B4+3 C3+4 D3+3【分析】由三视图知该几何体是上半部分是直径为 1 的球，下半部分是底面半径为 1，高为 2 的圆柱体的一半，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由三视图知该几何体是上半部分是直径为 1 的球，其表面积为 S1 ，下半部分是底面半径为 1，高为 2 的圆柱体的一半，其表面积为 S2 4+3，该几何体的表面积
14、 SS 1+S24+4故选：A【点评】本题考查几何体的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用6 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ）A4.5 B6 C7.5 D9【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 n4 时，不满足条件 n4，退出循环，输出 S 的值为 ，即可解得 k 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得第 9 页（共 23
15、页）n1，Sk满足条件 n4，执行循环体，n2，Sk ，满足条件 n4，执行循环体，n3，S ，满足条件 n4，执行循环体，n4，S ，此时，不满足条件 n4，退出循环，输出 S 的值为 ，由题意可得： 1.5，解得：k6故选：B【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题7 （5 分）已知函数 f（x ）ln （x 2 ）| |，则不等式 f（x+1）f（2x1）的解集是（ ）A （0，2） B （，0）C （，0）（2，+ ） D （2，+ ）【分析】利用函数的奇偶性以及函数的单调性转化不等式求解即可【解答】
16、解：函数 f（x ）ln（x 2 ）| |，可知函数是偶函数，x0 时，f（x）ln（x 2 ） 是增函数，则 x0 时是减函数，故不等式 f（x+1）f（2x 1） ，可得| x+1|2x 1|，解得 x0 或 x2故选：C【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想的应用，是基本知识的考查8 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，点 M（x 0，2 ）是抛物线 C 上一点，以 M 为圆心，|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ，则等 p 于（ ）A2 B3 C4 D5【分析】利用以 M 为圆心、 |MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2
17、，结合 M 在抛物线上，求出 p 即可【解答】解：由抛物线的定义可得：|MF |x 0+ p，第 10 页（共 23 页）以 M 为圆心，|MF|为半径的圆被 y 轴截得的弦长为 2 ， ，又点 M 在抛物线上，82 px0，由得 p 2，x 02，故选：A【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题9 （5 分）已知数列a n中，前 n 项和为 Sn，且 an ，则 的最大值为（ ）A3 B1 C3 D1【分析】根据数列的递推公式可得 1+ ，再根据数列的函数特征即可求出【解答】解：由题意可知，S n an，当 n2 时，a nS nS
18、 n1 an an1 ，可化为为 1+ ，由于数列 单调递减，可得当 n2 时， 取的最大值 2，故 的最大值为 3，故选：C【点评】本题考查了数列的递推公式和数列的函数特征，属于中档题10 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（ ）和函数 g（x）2cos（ ）在区间上的图象交于 A，B ，C 三点，则ABC 的面积是（ ）A B C D2【分析】作出两个函数的简图，结合三角形的特点即可求得ABC 的面积第 11 页（共 23 页）【解答】解：作出两个函数的简图，由图象知三角形为等腰三角形，则函数的周期 T 2，即 B，C 的长度 BC2，三角形的高为 （ ）2 ，则三角形的面
19、积 S 2 ，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的简图，判断三角形的性质是解决本题的关键11 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的体积为 ，ABC 是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 DABC 的外接球的球心 O 恰好是 CD 的中点，则球 O 的体积为（ ）A B C D【分析】利用棱锥的体积，转化求解球的半径，然后求解球的体积【解答】解：球 O 的半径为 R，球心到平面 ABC 的距离为：d；则由 ，解得 d ，所以 R2 ，R2，外接球 O 的体积为： 故选：C【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查转化思想以及计算能力12 （5 分）已
20、知函数 g（x） x3+2xm + （m 0）是1，+）上的增函数当实数m 取最大值时，若存在点 Q，使得过点 Q 的直线与曲线 yg（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点 Q 的坐标为（ ）第 12 页（共 23 页）A （0，3） B （2，3） C （0，0） D （0，3）【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出 m 的最大值，结合过点Q 的直线与曲线 yg（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可【解答】解：由 g（x） x3+2xm + ，得 g（x） x2+2 g（x）是1 ，+ ）上的增函数
21、， g（x）0 在1，+）上恒成立，即x2+2 0 在1，+）上恒成立设 x2t，x1，+） ，t 1，+） ，即不等式 t+2 0 在1 ，+ ）上恒成立设 yt+2 ，t1，+） ，y1+ 0，函数 yt+2 在1，+）上单调递增，因此 ymin3my min0，3m 0，即 m3又 m0，故 0m3m 的最大值为 3故得 g（x） x3+2x3+ ，x （，0）（0，+） 将函数 g（x）的图象向上平移 3 个长度单位，所得图象相应的函数解析式为 （x）x3+2x+ ，x （，0）（0，+） 由于 （x） （x ） ，（x ）为奇函数，故 （x ）的图象关于坐标原点成中心对称由此即得函数
22、 g（x）的图象关于点 Q（0，3）成中心对称这表明存在点 Q（0，3） ，使得过点 Q 的直线若能与函数 g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等故选：A【点评】本题主要考查函数性质的考查，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，结合函数的对称性是解决本题的关键综合性较强，难度较大二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上。13 （5 分）已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为 第 13 页（共 23 页）1211
23、【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列，可用数列知识求解【解答】解：3000 袋奶粉，用系统抽样的方法从抽取 150 袋，每组中有 20 袋，第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为 11+60201211故答案为：1211【点评】本题考查系统抽样的知识，属基本题系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列14 （5 分）若（x 2+a） （x ） 8 的展开式中 x4 的系数为 42，则 a 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，则（x ） 8 展开式中的 x2，x 3 的系数分别为C 83 和 C82，列出方程解得【解答】解：
24、（x ） 8 展开式的通项为 Tr+1C 8rx8r （ ） rC 8r（1） rx82r ，则（x ） 8 展开式中的 x2，x 3 的系数分别为C 83 和 C82，由题意可得 aC82C 8342，解得 a ，故答案为： 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于中档题15 （5 分）如图，在ABC 中，cos ， 0， （ + ）0，则过点C，以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 2 【分析】由已知中在ABC 中，cos ， 0， （ + ）0，H 在BC 边上，我们根据向量垂直的数量积为 0，及二倍角的正切公式，易得ABC 是一个顶角正切为 的等腰
25、三角形，AH 为腰上高，由此设出各边的长度，然后根据双曲线的性质及双曲线离心率的定义，即可求出答案第 14 页（共 23 页）【解答】解：由已知中 0 可得：AH 为 BC 边上的高又由 （ + ）0 可得：CA CB又由 cos ，可得 tanC令 AH4x，则 CH3x，ACBC5x，BH2x，则过点 C，以 A、H 为两焦点的双曲线中，2a5x3x2x，2c4x则过点 C，以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率 e2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中根据已知求出满足条件的ABC的形状进而求出各边长是解答本题的关键16 （5 分）在首项都为 2 的数列a n，b n
26、中，a 2b 24，2a n+1a n+an+2，b n+1b n2 n，b n+2b n32 n1，且 bnZ，则数列 的前 n 项和为 2 n1 【分析】由 2an+1a n+an+2，可得：数列a n为等差数列a 12，a 24利用等差数列的通项公式可得 an由 bn+1b n2 n ，可得 bn+2b n+12 n+1+ ，可得bn+2b n32 n+ 又 bn+2b n32 n1，且 bnZ，可得 bn+2b n32 n，又b12，b 24，利用累加求和方法即可得出【解答】解：由 2an+1a n+an+2，可得：数列a n为等差数列a 12，a 24公差 d2，a n2+2（n1）
27、2nb n+1b n2 n ，b n+2b n+12 n+1+ ，b n+2b n32 n+ 又 bn+2b n32 n1，且 bnZ，b n+2b n32 n，又 b12，b 24，n2k1（k2）时，b n（b nb n2 ）+（b n2 b n4 ）+（b 3b 1）+b13（2 n2 +2n4 +23+2）+23 +22 2k1 2 n，n1 时也成立n2k（k1）时，b n（b nb n2 ）+（b n2 b n4 ）+（b 4b 2）第 15 页（共 23 页）+b23（2 n2 +2n4 +24+4）+43 +44 k2 n综上可得：b n2 n 2 n1 则数列 的前 n 项和
28、 2 n1故答案为：2 n1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知asin2BbsinA（1）求 B；（2）若 b3 ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【分析】 （1）根据正弦定理和二倍角公式可得 cosB ，得出 B ；（2）根据余弦定理求出 a+c，从而得出三角形的周长【解答】解：（1）由正弦定理 可得 asinBbsin A，又 asi
29、n2BbsinA，sinBsin2B2sinBcosB，sinB0，cosB ，故而 B （2）S ABC acsinB ac ，ac6，由余弦定理得：a 2+c2b 22accosB6，（a+c） 22ac b 26，a+c6，ABC 的周长是 a+b+c6+3 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题18 （12 分）某产品按行业生产标准分成 6 个等级，等级系数 依次为第 16 页（共 23 页）1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数 5，的为一等品，35 的为二等品，3 的为三等品若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级
30、系数组成一个样本，数据如下；（I）以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；（II）已知该厂生产一件产品的利润 y（单位：元）与产品的等级系数 的关系式为y ，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为 z，求 z 的分布列和均值【分析】 （）由题意在抽取的 30 件产品中一等品有 6 件，二等品有 9 件，三等品有 15件，由此利用古典概型能求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率（）从该厂大量产品中任取两件，其利润记为 z，由题意得 z 的可能取值为2，3，4，5，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出 z 的分布列和 E（z） 【解
31、答】解：（）由题意在抽取的 30 件产品中一等品有 6 件，二等品有 9 件，三等品有 15 件，故该广生产一等品概率为 p1 ，二等品概率为 p2 ，三等品概率 p3 （）从该厂大量产品中任取两件，其利润记为 z，由题意得 z 的可能取值为 2，3，4，5，6，8，P（z2） ，P（z3） ，P（z4） ，第 17 页（共 23 页）P（z5） ，P（z6） ，P（z8） ，z 的分布列为：z 2 3 4 5 6 8P E（z） + 3.8【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机
32、变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件事件概率乘法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）如图，在几何体 ABCA 1B1C1 中，点 A1，B 1，C 1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A， B，C ，且 ABBC，AA 1BB 14，ABBC CC 12，E 为 AB1 中点，（）求证；CE平面 A1B1C1，（）求证：求二面角 B1AC 1C 的大小【分析】 （）取 A1B1 中点 F，连接 EF，FC，证明 CE平面 A1B1C1，只需证明CEC 1F；（）建立空间直角坐标系，求出平面 ACC1、平面 AB1C1 的法向量，
33、利用向量的夹角公式，即可求二面角 B1AC 1C 的大小第 18 页（共 23 页）【解答】 （）证明：点 A1，B 1，C 1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A，B，C ，AA 1BB 1CC 1，取 A1B1 中点 F，连接 EF，FC，则 EF A1A，EF A1A，AA 14，CC 12，CC 1 A1A，CC 1 A1A，CC 1EF，CC 1EF ，四边形 EFC1C 为平行四边形，CEC 1F，CE平面 A1B1C1，C 1F平面 A1B1C1，CE平面 A1B1C1；（）解：建立如图所示的坐标系，则 A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，B 1（0，0，4） ，C1（0，
34、2，2） ， （2，2，0） ， （0，0，2） ， （2，0，4） ，（0，2，2） 设平面 ACC1 的法向量为 （ x，y，z） ，则 ，令 x1，则 （1，1，0） 同理可得平面 AB1C1 的法向量为 （2，1，1） ，cos ， 由图可知二面角 B1AC 1C 为钝角，二面角 B1AC 1C 的大小为 150第 19 页（共 23 页）【点评】本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定定理，正确运用向量法是关键20 （12 分）已知动圆过定点 A（0，2） ，且在 x 轴上截得的弦长为 4（1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（2）点 P 为轨迹 C
35、 上任意一点，直线 l 为轨迹 C 上在点 P 处的切线，直线 l 交直线：y1 于点 R，过点 P 作 PQl 交轨迹 C 于点 Q，求PQR 的面积的最小值【分析】 （1）设出动圆圆心 C 的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心的轨迹 C 的方程；（2）化（1）中的抛物线方程为函数式，设出 P 点坐标，求出函数导函数，得到切线PR 的方程，代入 y1 求得点 R 的横坐标，求出 PQ 所在直线方程，和抛物线联立化为关于 x 的一元二次方程，由根与系数关系求得 Q 点横坐标，求出线段 PQ 和 PR 的长度，由三角形面积公式得到面积关于 P 点横坐标的函数，利用换元法及
36、基本不等式求最值【解答】解：（1）设 C（x ，y） ，由动圆过定点 A（0，2） ，且在 x 轴上截得的弦长为 4 得，|CA| 2y 24，即 x2+（y2） 2y 24，整理得： x24y动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x24y；（2）C 的方程为 x24y，即 ，故 ，设 ，PR 所在的直线方程为 ，即 ，第 20 页（共 23 页）则点 R 的横坐标 ， ； PQ 所在的直线方程为 ，即 ，由 ，得 ，由 得点 Q 的横坐标为， ， ，不妨设 t0，记 ，则当 t2 时，f（t
37、） min4由 ，得PQR 的面积的最小值为 16【点评】本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题21 （12 分）已知函数 f（x ）ax+lnx，函数 g（x）的导函数 g（x）e x，且 g（0）g（1）e，其中 e 为自然对数的底数（1）求 g（x）的解析式；（2）若 x（ 0，+ ） ，使得不等式 g（x） 成立，试求实数 m 的取值范围；（3）当 a0 时，对于x （0，+） ，求证：f（x ）g（x）2【分析】 （1）由 g'（x）e x，可设 g（x）e
38、x+c，再由 g（0）g'（1）e，求出 c 的值，从而求出 g（x）的解析式即可；（2）分离出参数 m 后，问题可转化为： mh（x） max，利用导数可求得 h（x） max；（3）a0 时，f（x ）lnx ，令 （x ）g（x）f（x ） 2，则 （x ）e xlnx2，根据函数的单调性易知 （x）的最小值为 （t ） ，通过放缩可判断 （t）0，从而可得结论【解答】解：（1）函数 g（x）的导函数 g'（x）e x，g（x）e x+c，又g（0）g'（1）e，第 21 页（共 23 页）（1+c）ee c0，g（x）e x，（2） x（0， +） ，使得不等式
39、 g（x） 成立，x（ 0，+ ） ，使得 mxe x +3 成立，令 h（x）xe x +3，则问题可转化为：m h（x） max，对于 h（x）x e x +3，x（0，+） ，由于 h（x）1e x（ + ） ，当 x（0，+）时，e x1， + 2 ，e x（ + ）1，h'（x ）0，从而 h（x ）在（0，+）上为减函数，h（x）h（0）3，m 3；（3）当 a0 时，f（x ）lnx，令 （x ）g（x）f（x）2，则 （x ）e xlnx2，（x） ex ，且 '（x）在（0，+）上为增函数，设 '（x）0 的根为 xt，则 et ，即 te t ，当
40、x（0，t）时，'（x ）0，（x）在（0，t ）上为减函数；当 x（t，+）时，'（x ）0，（x）在（t ，+ ）上为增函数，（x ）min （t）et lnt2etlnet 2et+t 2，'（1）e10，（ ） 20，t（ ，1） ，由于 （t）e t+t2 在 t（ ，1）上为增函数，（x ） min （t）e t+t2 + 2 +0.520，f（x）g（ x）2【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、最值及证明不等式等问题，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生的推理论证能力、分析解决问题的能力，本题综合性强，第 22 页（共 23 页）能力要求较高请考生在
41、第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。22 （10 分）已知圆 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 的参数方程为 （t为参数） ，点 A 的极坐标为（ ， ） ，设直线 l 与圆 C 交于点 P、Q 两点（1）写出圆 C 的直角坐标方程；（2）求|AP| AQ|的值【分析】 （1）根据直角坐标和极坐标的互化公式 xcos、y sin，把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程（2）由题意可得点 A 在直线 （t 为参数）上，把直线的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t2+ t 0由韦达定理可得 t1t2 ，根据参数的几何意义可得|AP| AQ|t 1t2|的值【解答
42、】解：（1）圆 C 的极坐标方程为 2cos 即 22 cos，即 （x 1）2+y21，表示以 C（1，0）为圆心、半径等于 1 的圆（2）点 A 的直角坐标为（ ， ） ，点 A 在直线 （t 为参数）上把直线的参数方程代入曲线 C 的方程可得 t2+ t 0由韦达定理可得 t1t2 0，根据参数的几何意义可得 |AP|AQ| t1t2| 【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题23设函数 f（x ）2|x 1|+ x1，g（x）16x 28x+1，记 f（x）1 的解集为M，g（ x）4 的解集为 N（1）求 M；（2）当 xM N 时
43、，证明： 【分析】 （1）由绝对值的含义，去绝对值，解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；第 23 页（共 23 页）（2）由二次不等式的解法，可得 N，由交集的定义可得 x 的范围，进而得到 f（x） ，再由配方法，即可得到证明【解答】 （1）解：f（x ）2|x1|+x 1当 x1 时，由 f（x）3x31 得 x ，故 1x ；当 x1 时，由 f（x）1x1 得 x0，故 0x 1所以 f（x）1 的解集为 Mx|0x ；（2）证明：由 g（x）16x 28x +14 得 ，解得 因此 Nx| ，故 当 xMN 时，f（x ）1 x，于是 x2f（x）+xf（x ） 2xf（x）x+f（x）xf（x）x（1x ） 当且仅当 x 时，上式等号成立【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查分类讨论思想方法和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题
