1、2020 年高考数学一模试卷（文科）年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 A1，1，2，3，4，5，BxN|（x1） （x5）0，则AB（ ） A3 B2，3 C2，3，5 D1，1，5 2已知复数 ，则 z 的共轭复数为（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 3在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是 d（d1，2，9）的 概率为 ，这被称为本福特定律以此判断，一个数的首位数字是 1 的概率约为 （ ） A10% B11% C20% D30% 4某公司以客户满意为出发点，随机抽选 2000 名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满 意度
2、的各项因素每名客户填写一个因素，如图为客户满意度分析的帕累托图帕累托 图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计 频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列， 以下结论正确的个数是（ ） 35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； 156 位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度； 最影响客户满意度的因素是电话接起快速； 不超过 10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度 A1 B2 C3 D4 5已知 tan2， （ ） A3 B1 C1 D3 6已知函数 f（x） ， ， ，若 f（1） 3， 则不等式 f（x） 5
3、的解集为（ ） A2，1 B3，3 C2，2 D2，3 7已知实数 x，y 满足 ，则 zxy 的取值范围是（ ） A ， B ， C3，0 D0，3 8执行如图所示的程序框图，若输出的值 S30，则 p 的取值范围为（ ） A（18，30 B18，30 C（0，30 D18，30） 9已知函数 与 g（x）sin（2x+）（0），它们的图象有一个横 坐标为 的交点，将函数 g（x）的图象向左平移 个单位长度，所得图象的一条对称轴 方程为（ ） A B C D 10已知函数 f（x），g（x）的定义域为 R，f（x+1）是奇函数，g（x+1）是偶函数，若 y f（x） g（x）的图象与 x 轴
4、有 5 个交点，则 yf（x） g（x）的零点之和为（ ） A5 B5 C10 D10 11已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱长为 8，底面矩形的面积为 16，一个小虫从 C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段 CC1上一点 M，若 AM平面 A1BD，则小虫 爬行的最短路程为（ ） A8 B16 C D 12 已知从圆C： x2+y2r2（r0） 上一点Q （0， r） 作两条互相垂直的直线与椭圆 ： 相切， 同时圆 C 与直线 ： 交于 A， B 两点， 则|AB|的最小值为 （ ） A B4 C D8 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在等边三
5、角形 ABC 中，AB2，E，F 分别为 AB，BC 的中点，则 14双曲线 ： 的离心率的最大值是 15已知球 O 的内接正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 在线段 BD1上，过点 P 垂 直于 BD1的平面截球 O 所得的截面圆的面积为 ，则线段 PB 的长为 16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 B 为钝角，设ABC 的面积为 S，若 4bSa（b2+c2a2），则 sinA+sinC 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据
6、要求作答（一）必考题：共 60 分 17 已知数列an满足2nan2n+1an+11， 数列bn是各项均为正数的等比数列， 且b4b64b5b7， a1b11 （）求an和bn的通项公式； （）设 pn ， 为偶数 ， 为奇数 ，求数列pn的前 2n 项和 S2n 18如图，已知圆柱内有一个三棱锥 ABCD，AD 为圆柱的一条母线，DF，BC 为下底面 圆 O 的直径，ADBC2 （）在圆柱的上底面圆内是否存在一点 E，使得 EF平面 ABC？证明你的结论 （）设点 M 为棱 AC 的中点， ，求四棱锥 BADNM 体积的最大值 19某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果，选 50
7、 名患者服药一段时间 后， 记录了这些患者的生理指标 x 和 y 的数据， 并统计得到如表的 22 列联表 （不完整） ： y60 760 合计 x1.7 12 36 x1.7 7 合计 其中在生理指标 x1.7 的人中，设 A 组为生理指标 y60 的人，B 组为生理指标 y60 的人，他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，25 （）填写表，并判断是否有 95%的把握认为患者的两项生理指标 x 和 y 有关系； （）从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人
8、记为乙，求甲的 康复时间比乙的康复时间长的概率 附： ，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20已知 O 为坐标原点，抛物线 C：x22py（p0）的焦点坐标为 ， ，点 A，B 在该 抛物线上且位于 y 轴的两侧， （）证明：直线 AB 过定点（0，3）； （）以 A，B 为切点作 C 的切线，设两切线的交点为 P，点 Q 为圆（x1）2+y21 上 任意一点，求|PQ|的最小值 21已知函数 f（x）ex2x2 （）设 ，判断 g（x）在（0，+）上零点的个数； （）证明： （二）选考题：共 10 分请考生在第
9、 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin4，M 为曲线 C2上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| |OP|16 （）求点 P 的轨迹 C3的直角坐标方程； （）设 C1与 C3的交点为 A，B，求AOB 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23若对于实数 x，y 有|12x|4，|3y+1|3 （）求 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 ，证明：
10、 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 A1，1，2，3，4，5，BxN|（x1） （x5）0，则AB（ ） A3 B2，3 C2，3，5 D1，1，5 【分析】求出集合 A，B，由此能求出AB 解：集合 A1，1，2，3，4，5， BxN|（x1）（x5）0xN|1x52，3，4， AB1，1，5 故选：D 2已知复数 ，则 z 的共轭复数为（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由共轭复数的概念得答案 解：由 ， 得 故选：
11、B 3在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是 d（d1，2，9）的 概率为 ，这被称为本福特定律以此判断，一个数的首位数字是 1 的概率约为 （ ） A10% B11% C20% D30% 【分析】直接根据题意，将 d1 代入 ，即可得到答案 解：根据题意，d1 时，概率为 lg（1+1）lg20.30， 即一个数的首位数字是 1 的概率约为 30% 故选：D 4某公司以客户满意为出发点，随机抽选 2000 名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满 意度的各项因素每名客户填写一个因素，如图为客户满意度分析的帕累托图帕累托 图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频
12、率，分析线表示累计 频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列， 以下结论正确的个数是（ ） 35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； 156 位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度； 最影响客户满意度的因素是电话接起快速； 不超过 10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度 A1 B2 C3 D4 【分析】由帕累托图，得在中，35.6%18.35%17.25%的客户认为态度良好影响他 们的满意度；另外的三个选项均正确 解：由帕累托图，得： 解：在中，35.6%18.35%17.25%的客户认为态度良好影响他们的满意度，故不 正确； 在中，156 位客
13、户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确； 在中，最影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确； 在中，不超过 10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度，故正确 故选：C 5已知 tan2， （ ） A3 B1 C1 D3 【分析】利用三角函数的诱导公式，以及两角和差的正切公式进行转化求解即可 解： （ ）2， （ ）+2， 则 3， 故选：A 6已知函数 f（x） ， ， ，若 f（1） 3， 则不等式 f（x） 5 的解集为（ ） A2，1 B3，3 C2，2 D2，3 【分析】由 f（1）a1+13，解得 a ，从而 ， ， ，由此能求 出不等式 f（x）5 的解集 解：函数 f（
14、x） ， ， ，f（1）3， f（1）a1+13，解得 a ， ， ， ， f（x）5， 当 x0 时，2x15，解得 0x3， 当 x0 时，（ ） x+15，2x0 综上，不等式 f（x）5 的解集为2，3 故选：D 7已知实数 x，y 满足 ，则 zxy 的取值范围是（ ） A ， B ， C3，0 D0，3 【分析】先根据约束条件画出可行域，设 zxy，再利用 z 的几何意义求最值，只需求 出直线 zxy 经过可行域内的点 A，B 时，从而得到 zxy 的最值即可 解：实数 x，y 满足 ，如图的作出可行域： 目标函数：zxy，则 yxz， 当目标函数的直线过点 A 时，Z 有最小值
15、A 点坐标由方程组 解得 A（4，7），Zminxy3 当目标函数的直线过点 B，由 解得 B（1，1）时，Z 有最大值 Zmax0 则 zxy 的取值范围是3，0 故选：C 8执行如图所示的程序框图，若输出的值 S30，则 p 的取值范围为（ ） A（18，30 B18，30 C（0，30 D18，30） 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变 量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 n1，S0 执行循环体，S3，n2 执行循环体，S9，n3 执行循环体，S18，n4 执行循环体，S30，n
16、5 由题意，此时应该不满足条件 Sp，退出循环，输出 n 的值为 5， 可得 18p30，即 p 的取值范围为（18，30 故选：A 9已知函数 与 g（x）sin（2x+）（0），它们的图象有一个横 坐标为 的交点，将函数 g（x）的图象向左平移 个单位长度，所得图象的一条对称轴 方程为（ ） A B C D 【分析】先求出交点的坐标，再代入 g（x）的解析式，求出 值，然后利用图象变换的 规律求出左平移 个单位长度后的解析式，最后结合对称轴处取得最值求解 解：由题意 ，故交点为（ ， ）， 所以 ， ，或 ， 0，k0 时，得 将函数 g （x） 的图象向左平移 个单位长度， 得 h （x
17、） sin2 （x ） sin （2x ） 令 ， ，解得 ， ， 易知，k1 时， 为对称轴之一 故选：B 10已知函数 f（x），g（x）的定义域为 R，f（x+1）是奇函数，g（x+1）是偶函数，若 y f（x） g（x）的图象与 x 轴有 5 个交点，则 yf（x） g（x）的零点之和为（ ） A5 B5 C10 D10 【分析】先根据奇偶函数的性质得到 yf（x）关于（1，0）对称，且 g（x）关于 x1 对称；进而求得结论 解：因为 f（x+1）是奇函数，g（x+1）是偶函数； 所以：yf（x）关于（1，0）对称，g（x）关于 x1 对称； 若 yf（x） g（x）的图象与 x 轴
18、有 5 个交点， 则这 5 个交点都关于 x1 对称； 设为 x1，x2，x3，x4，x5； x1x2x3x4x5； 则 x1+x52，x2+x42，x31； 故 yf（x） g（x）的零点之和为 5 故选：B 11已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱长为 8，底面矩形的面积为 16，一个小虫从 C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段 CC1上一点 M，若 AM平面 A1BD，则小虫 爬行的最短路程为（ ） A8 B16 C D 【分析】首先基本的路子是利用侧面展开图求最小值，前提是先根据 AM平面 A1BD 确 定 M 点的位置，最后利用勾股定理计算即可 解：如图： 在四棱柱 A
19、BCDA1B1C1D1中，若 AM平面 A1BD，则 AMBD； 根据直四棱柱的性质得 C1CBD，且 AMC1CM；所以 BD平面 A1ACC1， 所以 BDAC又因为底面 ABCD 是矩形，所以底面 ABCD 是正方形，AB216，AB 4，所以该四棱柱是底面为正方形的长方体 过M点做MHB1B于H点， 则MH侧面ABB1B， 连接AH， 则AH即为AM在平面ABB1A1 内的射影， 又因为 AM平面 A1BD，所以 AMA1B，所以 AHA1B RtABHRtA1AB， ，结合 AB4，A 1A8，解得 BH2，CMBH 2 所以在侧面展开图（沿侧棱 CC1将侧面展开）矩形 CCC1C1
20、中， CC16，CM2， 故选：C 12 已知从圆C： x2+y2r2（r0） 上一点Q （0， r） 作两条互相垂直的直线与椭圆 ： 相切， 同时圆 C 与直线 ： 交于 A， B 两点， 则|AB|的最小值为 （ ） A B4 C D8 【分析】 设出两切线方程， 与椭圆联立， 可得 ， ， 进而求得 k1， r4， 得到圆 C 的方程为 x2+y2 16，而直线 l 过定点点 ， ，故要使|AB|最小，则 PCAB，由此再利用垂径定理 得解 解：设其中一条切线的斜率为 k，则另一条切线的斜率为 ，故切线方程分别为 ， ， 将 ykx+r 与椭圆方程联立可得 x2+3（kx+r）2120，
21、整理得（1+3k2）x2+6krx+3r2 120，则 ， 同理将 与椭圆方程联立并整理可得 ，则 ， 由联立可得，k1，r4， 故圆 C 的方程为 x2+y216， 注意到直线 ： 过定点 ， ，故要使|AB|最小，则 PCAB， 又 ，故此时 故选：C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在等边三角形 ABC 中，AB2，E，F 分别为 AB，BC 的中点，则 【分析】以 E 为原点，EB、EC 分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可分别 写出 A、C、E、F 的坐标，从而得到 和 ，再利用平面向量数量积的坐标运算求解即 可 解：以 E 为原点，EB
22、、EC 分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A（1，0），C（ ， ），E（0，0），F（ ， ）， ， ， ， ， 故答案为： 14双曲线 ： 的离心率的最大值是 【分析】列出双曲线的离心率的表达式，然后转化区间最值即可 解：双曲线 ： 的离心率为： e ，当 时取得最大值 故答案为： 15已知球 O 的内接正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 在线段 BD1上，过点 P 垂 直于 BD1的平面截球 O 所得的截面圆的面积为 ，则线段 PB 的长为 或 【分析】根据题意可知，BD1是球的直径，P 是直径的一点，因为截面与 BD1垂直，所 以 PB 即为球心到
23、 P 的距离加上半径，或半径减去 P 到球心的距离，所以只要算出球心 到 P 的距离即可，由垂径定理不难算出 解：如图所示，由题意可知 BD1是球的直径，P 是截面圆的圆心，设 O 为球心，M 为截 面圆上任一点， 可知则 OMR，由已知得 ， ， 设截面圆的半径为 r，则 ， ，或 故答案为： 或 16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 B 为钝角，设ABC 的面积为 S，若 4bSa（b2+c2a2），则 sinA+sinC 的取值范围是 （ ， 【分析】将等式 4bSa（b2+c2a2）代入面积公式和边化角，可以得到 A，B 的关系， 然后结合内角和定理、诱导公
24、式，可将 sinA+sinC 转化为函数 f（A），结合 A 的范围求 值域即可 解：因为 4bSa（b2+c2a2）， 所以 ，显然 sinA0， 故 sin ，因为 B 是钝角，所以 A， 是锐角， 所以 ， 所以 sinA+sinCsinA+sin（ ）sinA+sin（ ）sinA+cos2A 2sin2A+sinA+1， 因为 B 为钝角，所以 ，解得 ， 令 y2sin2A+sinA+1， ， 这是一个关于 sinA 的二次函数，对称轴可看成 sinA ，开口向下 易知，当 sinA 时有最大值 ， 时，y 是函数的下界， 故 sinA+sinC 的范围是（ ， 故答案为：（ ，
25、三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 已知数列an满足2nan2n+1an+11， 数列bn是各项均为正数的等比数列， 且b4b64b5b7， a1b11 （）求an和bn的通项公式； （）设 pn ， 为偶数 ， 为奇数 ，求数列pn的前 2n 项和 S2n 【分析】 （） 先由题设条件得出2nan是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， 再求出 an， 进而解决 bn； （）先求出 pn，再利用分组求和求 S2n 解：（）根据题意， ， 所以
26、2nan是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， 所以 2nan2+（n1）1n+1， 所以 因为 ， 因为bn为正项数列，所以 所以 （）根据题意 pn ， 为偶数 ， 为奇数 ，Pn ， 为偶数 ， 为奇数 所以 S2n（p1+p3+p2n1）+（p2+p4+p2n）， 设 设 所以 18如图，已知圆柱内有一个三棱锥 ABCD，AD 为圆柱的一条母线，DF，BC 为下底面 圆 O 的直径，ADBC2 （）在圆柱的上底面圆内是否存在一点 E，使得 EF平面 ABC？证明你的结论 （）设点 M 为棱 AC 的中点， ，求四棱锥 BADNM 体积的最大值 【分析】 （）当点 E 为上底面圆的圆心
27、时，EF平面 ABC取上底面圆的圆心为 O1， 连接 AO，AO1，OO1，O1F，推出四边形 ADOO1为平行四边形，证明 AOO1F得到 O1F平面 ABC然后证明 EF平面 ABC （）利用等体积法结合基本不等式转化求解最大值即可 解：（）当点 E 为上底面圆的圆心时，EF平面 ABC 证明如下：如图，取上底面圆的圆心为 O1，连接 AO，AO1，OO1，O1F， 则 OO1AD，OO1AD 所以四边形 ADOO1为平行四边形， 所以 AO1DO，所以 AO1OF 又 AO1OF，所以四边形 AOFO1为平行四边形， 所以 AOO1F 因为 AO平面 ABC，O1F平面 ABC， 所以
28、O1F平面 ABC 故点 E 为上底面圆的圆心 O1时，EF平面 ABC （） 在底面圆 O 中， 由 BDCD 得 BD2+CD24. ， 当且仅当 时等号成立，所以四棱锥 BADNM 体积的最大值为 19某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果，选 50 名患者服药一段时间 后， 记录了这些患者的生理指标 x 和 y 的数据， 并统计得到如表的 22 列联表 （不完整） ： y60 760 合计 x1.7 12 24 36 x1.7 7 7 14 合计 19 31 50 其中在生理指标 x1.7 的人中，设 A 组为生理指标 y60 的人，B 组为生理指标 y60 的人，他们服用
29、这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，25 （）填写表，并判断是否有 95%的把握认为患者的两项生理指标 x 和 y 有关系； （）从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙，求甲的 康复时间比乙的康复时间长的概率 附： ，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（）先根据题意补充完整 22 列联表，再利用 K2的公式计算出其观测值， 并与附表中的参考数据进行对比即可作出判断；
30、（）设 A 组的康复时间为集合 M10，11，12，13，14，15，16，B 组的康复时间 为 N12，13，14，15，16，17，25，根据乘法计数原理可算得事件的总数，采用列 举法得到甲的康复时间比乙的康复时间长的基本事件数，最后利用古典概型即可求得概 率 解：（）填表如下： y60 760 合计 x1.7 12 24 36 x1.7 7 7 14 合计 19 31 50 所以 故没有 95%的把握认为患者的两项生理指标 x 和 y 有关系 （）设集合 M10，11，12，13，14，15，16，N12，13，14，15，16，17，25 设甲的康复时间为 ， 乙的康复时间为 ， 则选
31、取病人的康复时间的基本事件空间为 （， ）|M，一、选择题，共 7749 个基本事件， 其中符合题意的基本事件为（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15， 13），（15，14），（16，12），（16，13），（16，14），（16，15），共 10 个 从而 故甲的康复时间比乙的康复时间长的概率为 20已知 O 为坐标原点，抛物线 C：x22py（p0）的焦点坐标为 ， ，点 A，B 在该 抛物线上且位于 y 轴的两侧， （）证明：直线 AB 过定点（0，3）； （）以 A，B 为切点作 C 的切线，设两切线的交点为 P，点 Q 为圆（x1）2+y21 上 任
32、意一点，求|PQ|的最小值 【分析】（）由已知求得 p，可得抛物线 C：x22y设直线 AB 的方程为 ykx+b（b 0），联立直线方程与抛物线方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系 及数量积公式列式求解 b，可得直线 AB 过定点（0，3）； （）利用导数求得函数在 A，B 处的切线方程，联立解得交点纵坐标，可得两切线交点 P 的轨迹方程为 y3然后结合圆心到直线的距离求解 【解答】（）证明：根据题意， ，p1 故抛物线 C：x22y 由题意设直线 AB 的方程为 ykx+b（b0） 由 ，消去 y 整理得 x 22kx2b0 显然4k2+8b0 设 A（x1，y1），B（
33、x2，y2）（x10，x20），则 x1x22b， 由题意得 b22b3，解得 b3 或 b1（舍去） 直线 AB 的方程为 ykx+3，故直线 AB 过定点（0，3） （）解：yx， ， ， 故以 A 为切点的切线方程为 yy1x1（xx1），即 yx1xy1， 以 B 为切点的切线方程为 yy2x2（xx2），即 yx2xy2， 联立 ，解得 又x1x26，两切线交点 P 的轨迹方程为 y3 圆心到直线 y3 的距离为 3， 圆上一点到直线 y3 的最小距离为 312， 故|PQ|的最小值为 2 21已知函数 f（x）ex2x2 （）设 ，判断 g（x）在（0，+）上零点的个数； （）证明
34、： 【分析】（）由条件得 ，则 g（x）2x（x2）ex可得函数 g（x） 的单调性极值最值，进而判断出函数零点个数 （）证明 ，即证明 我们可以证 明 （*）即可 解：（）由条件得 ，则 g（x）2x（x2）ex 当 x（0，2）时，g（x）0；当 x（2，+）时，g（x）0 所以 g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增 故 是 g（x）在（0，+）上的最小值 因为 g（2）0，g（0）1，所以 g（x）在（0，2）上有 1 个零点 因为 ，g（2）0， 故 g（x）在（2，8）上有 1 个零点因此 g（x）在（0，+）上有 2 个零点 （） 证明： 由题意， 证明 ， 即证
35、明 我们可以证明 （*） 令 u（x）ex1x，则 u（x）ex11 当 x（，1）时，u（x）0； 当 x（1，+）时，u（x）0 所以当且仅当 x1 时，函数 u（x）有极小值，且是唯一的极小值， 故 u（x）minu（1）0， 即 ex1x，当且仅当 x1 时取等号 令 ， 所以 ，当且仅当 时取等号 因为（*）式左右两个等号不同时成立， 故 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建
36、立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin4，M 为曲线 C2上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| |OP|16 （）求点 P 的轨迹 C3的直角坐标方程； （）设 C1与 C3的交点为 A，B，求AOB 的面积 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用抛物线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出 结果 解：（）根据题意，设 M（0，0），P（，），则|OM|0，|OP|，易知 0 由题意，得 ，解得 4sin 故轨迹 C3的直角坐标方程为 x2+（y2）24（y0） （） 将参数方程曲线 C1的参数方程为 （t 为参数） ， 转化为普通方程为 联立 ，可得 A（2，2），B（2，2） 所以|AB|4， 所以 选修 4-5：不等式选讲 23若对于实数 x，y 有|12x|4，|3y+1|3 （）求 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 ，证明： 【分析】（）由 ，利用绝对值的不等式放缩即 可求得最大值； （）由（）知， ，得 ，求解 ab 的最小值，即可证 明 【解答】（）解： ， 当 或 时等号成立， 的最大值 M 为 3 （）证明：由（）知， ， ，得
