1、2019 年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）已知集合 M2，1，0，1，2，Nx|（ x+1） （x2）0，则MN（ ）A 1，0 B0 ，1 C 1，0，1 D0 ，1，22 （5 分）设 i 是虚数单位，若复数 a （a R）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A4 B1 C4 D13 （5 分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 84，
2、乙班学生成绩的中位数是 85则 x+2y 的值为（ ）A10 B12 C13 D154 （5 分）若 Sn 是等比数列a n的前项和，S 3，S 9，S 6 成等差数列，且 a82，则a2+a5（ ）A12 B4 C4 D125 （5 分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为 的等腰 Rt，则这个多面体最长一条棱长为（ ）A B C D6 （5 分）已知 f（x ）alnx+ x2（a0） ，若对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有第 2 页（共 24 页）2 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A （0，1 B （1，+） C （0，1）
3、 D1 ，+）7 （5 分）如图，在ABC 中，BC 4，若在边 AC 上存在点 D，使 BDCD 成立，则（ ）A12 B12 C8 D88 （5 分）若抛物线 y22px（p0）上横坐标为 6 的点到焦点的距离等于 8，则焦点到准线的距离是（ ）A6 B2 C8 D49 （5 分）如图，圆 O：x 2+y2 2 内的正弦曲线 ysin x 与 x 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分） ，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是（ ）A B C D10 （5 分）双曲线 1（a0，b0）的两顶点为 A1，A 2，虚轴两端点为B1，B
4、 2，两焦点为 F1，F 2，若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率是（ ）A 1 B C D +111 （5 分）已知正ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）第 3 页（共 24 页）A B2 C D312 （5 分）定义在（0，+）上的函数（x）满足 xf（x）+10，f（2）ln2，则不等式 f（e x）+x0 的解集为（ ）A （0，2ln2） B （0，ln 2） C （ln 2，+ ）
5、D （ln2，1）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，若 zx3y+1，则实数 z 的最大值是 14 （5 分）a n是公差不为 0 的等差数列，满足 a42+a52a 62+a72，则该数列的前 10 项和S10 15 （5 分）甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有 种16 （5 分）在ABC 中，三个内角 A
6、，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且 ，b+c 6，则ABC 面积为 三、解答题：本大题共 70 分。解答题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）在数列a n和等比数列b n中，a 10，a 32， （）求数列b n及a n的通项公式；（）若 cna nbn，求数列c n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 的底面是矩形，SA底面 ABCD，P 为 BC 边的中点，SB 与平面 ABCD 所成的角为 45，且 AD2，SA
7、1 （）求证：PD平面 SAP；（）求二面角 ASDP 的余弦的大小第 4 页（共 24 页）19 （12 分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在 2018 春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是 200米和 400 米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校 780 名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为 ，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这 780 名学生中抽取 13 人进行分析（）求条形图中 m 和 n 的值以及抽取的 13
8、 人中参加 200 米的学生人数；（）现从抽取的参加 400 米和跳绳两个项目中随机抽取 4 人，记其中参加 400 米跑的学生人数为 X，求离散型随机变量 X 的分布列与数学期望20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆 C 的长轴长为直径的圆与直线 x+y20 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，探究在 x轴上是否存在定点 E，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 页（共 24 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）alnx+x
9、 b（a0） （）当 b2 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（）当 a+b0，b0 时，对任意 x1，x 2 ，e ，都有| f（x 1）f（x 2）|e2 成立，求实数 b 的取值范围请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分选修 44：坐标系与参数方程22 （10 分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 2（cos +sin） （1）求 C 的直角坐标方程；（2）直线 l： 为参数）与曲线 C 交于 A， B 两点
10、，与 y 轴交于 E，求|EA|+|EB|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|，g（x ）|x|+a（）当 a0 时，解不等式 f（x ）g（x） ；（）若存在 xR，使得 f（x）g（x）成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中,，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）已知集合 M2，1，0，1，2，Nx|（ x+1） （x2）0，则MN（ ）A 1，0 B0 ，1 C 1，0，1
11、D0 ，1，2【分析】化简集合 N，再求 MN 即可【解答】解：集合 M2，1，0，1，2，Nx| （x+1） （x2）0x|1x 2 ，MN0 ， 1故选：B【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目2 （5 分）设 i 是虚数单位，若复数 a （a R）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A4 B1 C4 D1【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数 a a a（4+i）（a4）i 是纯虚数，a40，解得 a4故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）某中学高三年级从甲、乙两个班级
12、各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 84，乙班学生成绩的中位数是 85则 x+2y 的值为（ ）A10 B12 C13 D15第 7 页（共 24 页）【分析】由平均数和中位数的定义求出 x、y 的值【解答】解：甲班学生的平均分是 84，即 （92+96+80+80+x+85+75+78）84，解得 x2，又乙班学生成绩的中位数是 85，y5；x+2y2+1012故选：B【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数和平均数的应用问题，是基础题4 （5 分）若 Sn 是等比数列a n的前项和，S 3，S 9，S 6 成等差数
13、列，且 a82，则a2+a5（ ）A12 B4 C4 D12【分析】由题意可得：等比数列a n的 q1，由 S3，S 9， S6 成等差数列，且 a82，可得 2S9S 6+S3，且 a82，可得 + ， 2解出即可得出【解答】解：由题意可得：等比数列a n的 q1，S 3， S9，S 6 成等差数列，且a82，2S 9S 6+S3，且 a82， + ， 2解得：q 3 ，a 1q8则 a2+a5a 1q（1+ q3）8 4故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）如图是一个多面体三视图，它们都是斜边
14、长为 的等腰 Rt，则这个多面体最长一条棱长为（ ）第 8 页（共 24 页）A B C D【分析】根据三视图可知几何体是三棱锥，并求出棱长、判断出线面的位置关系，判断出最长的棱，再由勾股定理求解【解答】解：根据三视图可知几何体是三棱锥，且 PC平面 ABC，AB AC，三视图都是斜边长为 的等腰直角三角形，ABACPC1，则 PB 是最长的棱，且 PB ，故选：B【点评】本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力6 （5 分）已知 f（x ）alnx+ x2（a0） ，若对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有2 恒成立，则 a 的取值范围
15、是（ ）A （0，1 B （1，+） C （0，1） D1 ，+）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有 2 恒成立”转换成当 x0 时，f'（x）2 恒成立，然后利用参变量分离的方法求出 a 的范围即可【解答】解：对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有 2 恒成立第 9 页（共 24 页）则当 x0 时，f'（x）2 恒成立f'（x） +x 2 在（0，+ ）上恒成立则 a（2xx 2） max1故选：D【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题7 （5 分）如图，在ABC
16、 中，BC 4，若在边 AC 上存在点 D，使 BDCD 成立，则（ ）A12 B12 C8 D8【分析】利用等腰取中点，得到 BD 在 BC 上的投影，得解【解答】解：取 BC 中点 E，连接 DE，BDCD，DEBC，8，故选：D【点评】此题考查了向量数量积，投影的概念，难度不大8 （5 分）若抛物线 y22px（p0）上横坐标为 6 的点到焦点的距离等于 8，则焦点到准线的距离是（ ）第 10 页（共 24 页）A6 B2 C8 D4【分析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得 6（ ）8，解之可得 p 值，进而可得所求【解答】解：由题意可得抛物线
17、 y22px（p0）开口向右，焦点坐标（ ，0） ，准线方程 x ，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为 6 的点到准线的距离等于 8，即 6（ ）8，解之可得 p4故焦点到准线的距离为 p4故选：D【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题9 （5 分）如图，圆 O：x 2+y2 2 内的正弦曲线 ysin x 与 x 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分） ，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是（ ）A B C D【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线ysinx 与 x 轴围成的区域
18、记为 M 的面积为 S2 0sinxdx2cos x|04，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3正弦曲线 ysinx 与 x 轴围成的区域记为 M，根据图形的对称性得：面积为 S2 0sinxdx2cos x|04，由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率P第 11 页（共 24 页）故选：B【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性10 （5 分）双曲线 1（a0，b0）的两顶点为 A1，A 2，虚轴两端点为B1，B 2，两焦点为 F1，F
19、2，若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率是（ ）A 1 B C D +1【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得 2b2c a4 ，再由 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得 A1（a，0） ，A 2（a，0） ，B 1（0，b） ，B 2（0，b） ，F1（c ，0） ， F2（c ，0） ，且 a2+b2c 2，菱形 F1B1F2B2 的边长为 ，由以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B，C，D由面积相等，可得 2b2c a4 ，即为
20、b2c2a 2（b 2+c2） ，即有 c4+a43a 2c20，由 e ，可得 e43e 2+10 ，解得 e2 ，可得 e ，或 e （舍去） 故选：C第 12 页（共 24 页）【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题11 （5 分）已知正ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）A B2 C D3【分析】设正ABC 的中心为 O1，连结 O1A根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点
21、E 的球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值【解答】解：设正ABC 的中心为 O1，连结 O1AO 1 是正ABC 的中心，A、B、C 三点都在球面上，O 1O平面 ABC，球的半径 R2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，得 O1O1，RtO 1OA 中，O 1A 又E 为 AB 的中点， ABC 是等边三角形，AEAO 1cos30 过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的半径最小，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径 r ，可得截面面积为 Sr
22、 2 第 13 页（共 24 页）故选：C【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题12 （5 分）定义在（0，+）上的函数（x）满足 xf（x）+10，f（2）ln2，则不等式 f（e x）+x0 的解集为（ ）A （0，2ln2） B （0，ln 2） C （ln 2，+ ） D （ln2，1）【分析】令 g（x）f（x）+lnx，求出函数的单调性，结合 g（2）ln2，将不等式f（e x）+x0 转化为 g（e x） g（2） ，求出 x 的范围即可【解答】解：令 g（
23、x）f（x）+lnx（x0） ，则 g（x）f（x）+ 0，故 g（x）在（0，+）单调递增，而 g（2）f（2）+ln20，由 f（e x）+x0，得 g（e x）g（2） ，e x2，即 xln2不等式 f（e x）+ x0 的解集为（ ln2，+） 故选：C【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，若 zx3y+1，则实数 z 的最大值是 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由 zx3y 得 y x
24、z+ ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线 y x z+ ，由图象可知当直线 y经过点 C 时，直线 y x z+ 的截距最小，第 14 页（共 24 页）此时 z 最大，由 ，得 C（1， ） 代入目标函数 zx3y +1，得 z ，故答案为： 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法14 （5 分）a n是公差不为 0 的等差数列，满足 a42+a52a 62+a72，则该数列的前 10 项和S10 0 【分析】a 42+a52a 62+a72，化简可得 a62a 42+a72a 520，可得 a5+
25、a60，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出【解答】解：a 42+a52a 62+a72，化简可得 a62a 42+a72a 520，即 2d（a 6+a4）+2 d（a 7+a5） 0，d0a 6+a4+a7+a50，a 5+a6a 4+a7，a 5+a60，S 10 5（a 5+a6）0，故答案为：0【点评】本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 15 页（共 24 页）15 （5 分）甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有
26、 20 种【分析】本题是一个分类计数问题，根据甲安排在另外两位前面可以分三类：甲安排在周一，甲安排在周二，甲安排在周三，写出这三种情况的排列数，根据加法原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，根据题意分三类：甲安排在周一，共有 A42 种排法；甲安排在周二，共有 A32 种排法；甲安排在周三，共有 A22 种排法根据分类加法原理知共有 A42+A32+A2220故答案为：20【点评】本题考查分类计数问题，解题时一定要分清完成这件事需要分为几类，每一类有几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果，本题是一个基础题16 （5 分）在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b
27、，c，若 ，且 ，b+c 6，则ABC 面积为 【分析】由题意首先求得角 A 的大小，然后结合余弦定理和三角形面积公式整理计算即可求得最终结果【解答】解：由题意可得：， ， ，利用余弦定理有： ，结合 可得：bc8，则ABC 的面积： 故答案为： 【点评】本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题三、解答题：本大题共 70 分。解答题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答第 16 页（共 24 页）17 （
28、12 分）在数列a n和等比数列b n中，a 10，a 32， （）求数列b n及a n的通项公式；（）若 cna nbn，求数列c n的前 n 项和 Sn【分析】 （）先求出公比，可得数列b n的通项，从而可求 an的通项公式；（）利用错位相减法，可求数列c n的前 n 项和 Sn【解答】解：（）依题意 b12， ，（2 分）设数列b n的公比为 q，由 ，可知 q0， （3 分）由 ，得 q24，又 q0，则 q2，（4 分）故 ，（5 分）又由 ，得 ann1（6 分）（）依题意 （7 分），则 （9 分）得 ，（11 分）即 ，故 （12 分）【点评】本小题主要考查等比数列、数列通项公
29、式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等18 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 的底面是矩形，SA底面 ABCD，P 为 BC 边的中点，SB 与平面 ABCD 所成的角为 45，且 AD2，SA1 （）求证：PD平面 SAP；（）求二面角 ASDP 的余弦的大小第 17 页（共 24 页）【分析】 （）欲证 PD平面 SAP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 PD 与平面 SAP 内两相交直线垂直，根据题意可知SBA 是 SB 与平面 ABCD 所成的角，根据勾股定理可知 APPD ，根据线面垂直的性质可知 SAPD，而 SAAPA 满足定理所需条件；（）设
30、Q 为 AD 的中点，连接 PQ，根据 PQSD ，SDPR，则PRQ 是二面角ASDP 的平面角，在 RtPRQ 中，求出二面角 ASDP 的余弦即可【解答】解：（）证明：因为 SA底面 ABCD，所以，SBA 是 SB 与平面 ABCD 所成的角（1 分）由已知SBA45，所以 ABSA1 易求得，AP PD ， （3 分）又因为 AD2，所以 AD2AP 2+PD2，所以 APPD （4 分）因为 SA底面 ABCD，PD 平面 ABCD，所以 SAPD ， （5 分）由于 SAAP A 所以 PD平面 SAP （6 分）（）设 Q 为 AD 的中点，连接 PQ， （7 分）由于 SA底
31、面 ABCD，且 SA平面 SAD，则平面 SAD平面 PAD（8 分）PQAD ，PQ 平面 SAD，SD 平面 SAD，PQSD过 Q 作 QRSD，垂足为 R，连接 PR，则 SD面 QPR又 PR面 QPR，SDPR ，PRQ 是二面角 ASDP 的平面角 （10 分）容易证明DRQDAS ，则 因为 DQ1，SA1，SD ，所以 （12 分）第 18 页（共 24 页）在 Rt PRQ 中，因为 PQAB1， ，所以 （13 分）所以二面角 ASDP 的余弦为 （14 分）【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了空间想象能力以及转化与划归的思
32、想，属于中档题19 （12 分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在 2018 春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是 200米和 400 米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校 780 名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为 ，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这 780 名学生中抽取 13 人进行分析（）求条形图中 m 和 n 的值以及抽取的 13 人中参加 200 米的学生人数；（）现从抽取的参加 400 米和跳绳两个项目中
33、随机抽取 4 人，记其中参加 400 米跑的学生人数为 X，求离散型随机变量 X 的分布列与数学期望【分析】 （）由题意参加跑步类的有 420 人，从而求出 m240，n60，根据分层抽样法能求出抽取的 13 人中参加 200 米的学生人数第 19 页（共 24 页）（）抽取的 13 人中参加 400 米的学生人数有 4 人，参加跳绳的学生人数有 3 人，从而 X 的所有可能取值为 1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出离散型随机变量 X 的分布列和期望【解答】解：（）由题意得参加跑步类的有：780 420，m420180240，n78042018012060，根据分层抽样法知：抽取的
34、 13 人中参加 200 米的学生人数有：13 3 人（）由题意，得抽取的 13 人中参加 400 米的学生人数有 ，参加跳绳的学生人数有 3 人，所以 X 的所有可能取值为 1、2、3、4，（6分），（9 分）所以离散型随机变量 X 的分布列为：X 1 2 3 4P（11 分）所以 （12 分）【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题第 20 页（共 24 页）20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆 C 的长轴长为直径的圆与直线
35、 x+y20 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，探究在 x轴上是否存在定点 E，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （）利用已知条件推出 ，然后求解椭圆 C 的方程（）当直线的斜率存在时，设直线 yk（x 1） （k0） ，通过联立 ，通过韦达定理，假设 x 轴上存在定点 E（x 0，0） ，使得 为定值，转化求解即可【解答】解：（）由题意知， ，解得 ，则椭圆 C 的方程为 （）当直线的斜率存在时，设直线 yk（x 1） （k0） ，联立 ，得（1+2k 2）x 24k 2
36、x+2k220， 8k 2+80， 假设 x 轴上存在定点 E（x 0， 0） ，使得 为定值，第 21 页（共 24 页） 要使 为定值，则 的值与 k 无关， ，解得 ，此时 为定值，定点为 当直线的斜率不存在时，也满足条件【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力21 （12 分）已知函数 f（x ）alnx+x b（a0） （）当 b2 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（）当 a+b0，b0 时，对任意 x1，x 2 ，e ，都有| f（x 1）f（x 2）|e2 成立，求实数 b 的取值范围【分析】 （）通过讨论 a 的范围，求出函数的单调
37、区间即可；（）原问题等价于 f（x ） maxf（x ） min， ）e2 成立，可得 f（x） minf（1）1，可得 f（x）maxf（e）b+eb，即 ebbe +10，设 （b）e bbe+1 ， （b 0） ，可得 （b）在（0，+）单调递增，且 （1）0，即可得不等式 ebbe+10 的解集即可【解答】解：（）函数 f（ x）的定义域为（0，+） 当 b2 时，f（x ）alnx+ x2，所以 f（x ） 当 a 0 时， f（x ）0，所以函数 f（x）在（0，+ ）上单调递增当 a 0 时，令 f（x ） 0，解得：x ，当 0x 时，f（x）0，所以函数 f（x ）在（0，
38、 ）上单调递减；当 x 时，f（x）0，所以函数 f（x ）在（ ，+）上单调递增综上所述，当 b2，a0 时，函数 f（x ）在（0，+）上单调递增；当 b2，a0 时，函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增（）对任意 x1，x 2 ， e，有| f（x 1）f （x 2）| e2 成立，第 22 页（共 24 页）|f（x 1）f（x 2）| f（x） maxf （x） min，f（x） maxf（x ） min， ）e2 成立，a+b0，b0 时，f（x ）blnx+x bf（x ） 当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f （x）0，f（
39、x）在 ， 1单调递减，在1，e 单调递增，f（x） minf（1）1，f（ ）b+eb，f（e）b+e b，设 g（b）f（e ）f（ ）e be b 2b， （b0） ，g（b）e b+eb 2220g（b）在（0，+）递增，g（b）g（0）0，f（e）f（ ） 可得 f（x） maxf（e ）b+ eb，b+e b1e 2，即 eb be+10，设 （b）e bbe+1 ， （b 0） ，（b）e b10 在 b（0，+）恒成立（b）在（0，+ ）单调递增，且 （1）0，不等式 ebbe +10 的解集为（0，1实数 b 的取值范围为（0，1【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、
40、运算能力，属于压轴题请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分选修 44：坐标系与参数方程22 （10 分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 2（cos +sin） （1）求 C 的直角坐标方程；（2）直线 l： 为参数）与曲线 C 交于 A， B 两点，与 y 轴交于 E，求|EA|+|EB|的值【分析】 （1）将极坐标方程两边同乘 ，进而根据 2x 2+y2，x cos，ysin，可求出 C 的直角坐标方程；（2）
41、将直线 l 的参数方程，代入曲线 C 的直角坐标方程，求出对应的 t 值，根据参数 t第 23 页（共 24 页）的几何意义，求出|EA|+|EB|的值【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin ） 22 cos+2sinx 2+y22x+2y即（x1） 2+（y 1） 22（5 分）（2）将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 t2t10，所以|EA|+|EB|t 1|+|t2|t 1t 2| （10 分）【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的
42、关键选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1|，g（x ）|x|+a（）当 a0 时，解不等式 f（x ）g（x） ；（）若存在 xR，使得 f（x）g（x）成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （）当 a0 时，由不等式可得|2x +1|x| ，两边平方整理得 3x2+4x+10，解此一元二次不等式求得原不等式的解集（）由 f（x） g（x） 得 a|2x +1|x| ，令 h（x）|2x+1| |x|，则 h（x），求得 h（x）的最小值，即可得到从而所求实数 a 的范围【解答】解：（）当 a0 时，由 f（x ）g（x）得|2x+1| |x|，两边平方整理得3x2+4x+10，解得 x1 或 x ，原不等式的解集为 （，1 ，+） （）由 f（x） g（x） 得 a|2x +1|x| ，令 h（x）|2x+1| |x|，即 h（x）第 24 页（共 24 页），故 h（x） minh（ ） ，故可得到所求实数 a 的范围为 ，+） 【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题
