1、第 1 页 共 16 页 20202020 年安徽省中考数学预测模拟试卷年安徽省中考数学预测模拟试卷 注意事项：注意事项： 试卷满分为试卷满分为 150150 分，考试时间为分，考试时间为 120120 分钟分钟 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4040 分分) ) 1.9 的平方根是? A.? ?B.3C.? ?D.? 【答案】A 【解析】解：9 的平方根是： ? ? ? 故选：A 根据平方根的性质和求法，求出 9 的平方根是多少即可 【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正
2、数有两个 平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根 2.如图所示的几何体的左视图为? A.B.C.D. 【答案】D 【解析】解：从左边看是上大下小等宽的两个矩形，矩形的公共边是虚线， 故选：D 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且存在的线是虚 线 3.下列运算正确的是? A.? ? ? ? B.? ? C.? ? ?D.? ? ? ? 【答案】C 【解析】解：A、? ? ? ? ? ，故 A 错误； B、积的乘方等于乘方的积，故 B 错误； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 C 正
3、确； D、和的平方等于平方和加积的二倍，故 D 错误； 故选：C 根据同底数的除法，单项式乘多项式的法则，积的乘方及幂的乘方运算法则，完全平方公式计算即可 【点睛】本题考查了同底数的除法，单项式乘多项式的法则，积的乘方及幂的乘方运算法则，完全平方公 式，熟记这些法则和公式是解题的关键 4.一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为? A. ? ?B. ? ?C. ? ?D. ? ? 【答案】D 【解析】解： ? ? ? ? 故选：D 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ? ?，与较大数的科学记数法不同的是 第 2 页 共 16 页 其所使用的是负指数幂，指数
4、由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ? ?，其中 ? ? ? ，n 为由原数左 边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 5.尺规作图要求：、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线； 、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角的平分线 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是? A.? ?，? ?，? ?，? ? B.? ?，? ?，? ?，? ? C.? ?，? ?，? ?，? ? D.? ?，? ?，? ?，? ? 【答案】D 【解析】解：、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线
5、； 、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角的平分线 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是：? ?，? ?，? ?，? ? 故选：D 分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的 垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案 【点睛】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键 6.一元二次方程 ? ? ? 有两个实数根，则 k 的取值范围是? A.? 所 ?B.? ? ?C.? ? ?D.? ? ? 且 ? ? 【答案】D 【解析】解：根据题意得 ? ? 且? ? ? ? ， 解得 ? ? ? 且 ? ? 故选：D 根据一元
6、二次方程的定义和根的判别式的意义得到 ? ? 且? ? ? ? ，然后求出两不等式的公共部 分即可 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ? ? ? ? ? ? ?的根与? ? ? 有如下关系： 当?所 时，方程有两个不相等的两个实数根；当? 时，方程有两个相等的两个实数根；当? 时， 方程无实数根 7.增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？” 其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读 多少个字？已知孟子一书共有 34685 个字，设他第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的是? A.? ? ?
7、 ? ?B.? ? ? ? ? C.? ? ? ? ?D.? ? ? ? ? ? 第 3 页 共 16 页 【答案】A 【解析】解：设他第一天读 x 个字，根据题意可得：? ? ? ? ?， 故选：A 设他第一天读 x 个字，根据题意列出方程解答即可 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程 8.如图，点 I 为? ? 的内心，? ? ?，? ? ?， ? ，将? 平移使其顶 点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为? A.?B.4C.3D.2 【答案】B 【解析】解：连接 AI、BI， ?点 I 为? ? 的内心， ? ?
8、 平分?， ? ? ? ?， 由平移得：?耀?， ? ? ? ?耀， ? ? ? ?耀， ? ?耀 ? 耀?， 同理可得：，? ? ? 耀? 的周长? 耀 耀? ? ?耀 ?耀 ? ? ? ?， 即图中阴影部分的周长为 4， 故选：B 连接 AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以 AI 是? 的平分线，由平行的性质和等角对等 边可得：?耀 ? 耀?，同理 ，? ? 所以图中阴影部分的周长就是边 AB 的长 【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是 角平分线的交点是关键 9.已知a， b是非零实数， ? 所 ?， 在同一平面直角坐标
9、系中， 二次函数? ? ? 与一次函数? ? 的大致图象不可能是? A.B.C.D. 【答案】D 【解析】解： ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? 或 ? ? ? ? 故二次函数 ? ? ? ? 与一次函数 ? ? ? ? ? ?在同一平面直角坐标系中的交点在 x 轴上为? ?或点? ? 在 A 中，由一次函数图象可知 所 ， 所 ，二次函数图象可知， 所 ， 所 ，? ? ， 所 ，故 选项 A 错误； 第 4 页 共 16 页 在 B 中， 由一次函数图象可知 所 ， ? ， 二次函数图象可知， 所 ， ? ， 由? 所 ?， 则 所 ， 故选项 B 错误； 在 C 中，由一
10、次函数图象可知 ? ， ? ，二次函数图象可知， ? ， ? ， ? ，故选项 C 错误； 在 D 中， 由一次函数图象可知 ? ， 所 ， 二次函数图象可知， ? ， 所 ， 由? 所 ?， 则 ? ， 故选项 D 正确； 故选：D 根据二次函数 ? ? ? ? 与一次函数 ? ? ? ? ? ?可以求得它们的交点坐标， 然后根据一次函数的 性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断 a、b 的正负情况，从而可以解答本题 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象， 解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点 10.如图，? ? 中，? ? ? ? ，? ? ， ? ? 于点 E，D 是
11、线段 BE 上的一个动点，则 耀 耀 的最小值是? A. B.? C.? D.10 【答案】B 【解析】解：如图，作 耀? ? ? 于 H，? ? ? 于 M ? ，? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ，设 ? ? ， ? ， 则有： ? ?， ? ? ， ? ? 或? ?舍弃?， ? ? ? ? ， ? ? ? ?，? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? 等腰三角形两腰上的高相等? ? ?耀? ? ?，?耀 ? ?，? ? sin?耀? ? 耀? 耀 ? ? ? ? ， ? 耀? ? 耀， ? 耀 耀 ? 耀 耀?， ? 耀 耀? ? ?， ? 耀 耀 ? ? ， 第 5 页
12、共 16 页 ? 耀 耀 的最小值为 ? 故选：B 如图，作 耀? ? ? 于 H，? ? ? 于 ?由 ? ? ? ? ，设 ? ? ， ? ，利用勾股定理构建方 程求出 a，再证明 耀? ? 耀，推出 耀 耀 ? 耀 耀?，由垂线段最短即可解决问题 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅 助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型 二、填空题二、填空题( ( 本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分) ) 11.因式分解：? ? ?_ 【答案】? ? ? 【解析】 解：? ? ? ?
13、 ? ? ? ? ? 观察原式，找到公因式 2，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案 【点睛】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题 12.已知一组数据 6、2、4、x、5 的平均数是 4，则这组数据的方差为_ 【答案】2 【解析】解：由题意知 ? ? ? ， ? ? ? 解得：? ? ?， 则这组数据的方差为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 故答案为 2 先根据平均数的定义求出 x 的值，再依据方差的公式计算可得 【点睛】 本题考查方差的定义： 一般地设 n 个数据， ?， ?， ?的平均数为? ?， 则方差? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、?，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立也考查了平 均数 13.如图，菱形 ABCD 顶点 A 在函数 ? ? ? ? ? 所 ?的图象上，函数 ? ? ? ? ? 所 ? ?所 ?的图象关于直线 AC 对称，且经过点 B、D 两点，若 ? ? ，?耀 ? ?，则 ? ?_ 【答案】? ? 【解析】解：连接 OC，AC，过 A 作 ? ? ? 轴于点 E，延长 DA 与 x 轴交于点 F，过点 D 作 耀? ? ? 轴于 点 G， 第 6 页 共 16 页 ?函数 ? ? ? ? ? 所 ? ?所 ?的图象关于直线 AC 对称， ? ?、A、C 三点在同一直线上，且?，
15、? ? ? ?，? ? 不妨设 ? ? ? ? ，则 ?， ?点 A 在反比例函数 ? ? ? ? ? 所 ?的图象上， ? ? ?， ? ?， ? ? ? ? ?， ? ?耀 ? ?， ? ? ? ?耀 ? ?耀 ? ，? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ?，由勾股定理 ? ? ? ， ? ? ? ? ?耀 ? ，?耀?， ? ， ? ? ? 耀? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ， ? 耀? ? ，? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：? ? 连接 OC，AC，过 A 作 ? ? ? 轴于点 E，延长 DA 与 x 轴交于点 F，过点 D 作 耀? ? ? 轴于点
16、G，得 O、A、 C 在第一象限的角平分线上，求得 A 点坐标，解直角三角形进而求得 D 点坐标，便可求得结果 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质， 菱形的性质，解直角三角形，关键是确定 A 点在第一象限的角平分线上 14.如图，在 ? ? ? 中，C 为直角顶点，? ? ?，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转? ? ? ? ?至 OP，当? 恰为轴对称图形时，?的值为 _ 【答案】?或 ?或 ? 第 7 页 共 16 页 【解析】解：? 恰为轴对称图形， ? 是等腰三角形， 如图 1，连接 AP， ? ? 为斜边中点，?
17、 ? ?， ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?， 当 ? 时， ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? 垂直平分 PC， ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ?， 当 ? 时，如图 2，连接 CO 并延长交 PB 于 H， ? ? ，? ? ?， ? ? 垂直平分 PB， ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ?； 当 ? 时，如图 3， 连接 PO 并延长交 BC 于 G，连接 OC， ? ? ? ?，O 为斜边中点， ? ? ? ?
18、， ? ? 垂直平分 BC， ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?， 综上所述：当? 恰为轴对称图形时，?的值为 ?或 ?或 ?， 故答案为：?或 ?或 ? 如图 1，连接 AP，根据直角三角形的判定和性质得到? ? ?，当 ? 时，得到? ? ?， 推出 AB 垂直平分 PC，求得? ? ? ? ，?于是得到? ? ? ? ? ?，当 ? 时，如图 2， 连接 CO 并延长交 PB 于 H，根据线段垂直平分线的性质得到 CH 垂直平分 PB，求得? ? ?，根据等 腰三角形的性质得到? ? ? ? ? ?，当 ? 时，如图 3，连接 PO 并延长交 BC 于 G，连接
19、OC， 推出 PG 垂直平分 BC，得到? ? ?，根据三角形的内角和得到? ? ? ? ? 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的 运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键 三、三、( (本大题共本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，满分分，满分 1616 分分) ) 第 8 页 共 16 页 15.计算 ? ? ? ? ? ? ? ? 【答案】解：原式? ? ? ? ? ? 【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案 【点睛】此题主要考查了实数
20、运算，正确化简各数是解题关键 16.我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托， 折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺求绳索长和竿长 【答案】解：设绳索长 x 尺，竿长 y 尺， 依题意，得： ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? 答：绳索长 20 尺，竿长 15 尺 【解析】设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量 竿，就比竿短 5 尺”，即可得出关于 x，y 的二元一
21、次方程组，解之即可得出结论 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解 题的关键 四、四、( (本大题共本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，满分分，满分 1616 分分) ) 17.在坐标系中，? ? 的三个顶点坐标分别为 ?，? ? ?，? ?画出? ? 关于 x 轴对称的? ?； ?以 M 点为位似中心，在第一象限中画出将? ?按照 2：1 放大后的位似图形? ?； ? ? ?面积为_?直接写出答案? 【答案】14 【解析】解：?如图，? ?为所作； ?如图，? ?为所作； 第 9 页 共 16 页 ? ? ?面积? ?
22、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为 14 ?根据关于 x 轴对称的点的坐标特征写出?、的坐标，然后描点即可； ?延长 ?到?使 ? ?，延长 ?到使 ? ?，延长 ?到使 ? ?，从而 得到? ?； ?用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出? ? ?面积 【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；?分别连接并延长位似中心和 能代表原图的关键点；?根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；?顺次连接上述各点，得 到放大或缩小的图形也考查了轴对称变换 18.观察以下等式： 第 1 个等式：? ? ? ? ? ； 第 2
23、个等式：? ? ? ? ? ? 第 3 个等式：? ? ? ? ? ? ? ：? 按照以上规律，解决下列问题： ?写出第 4 个等式：? ? ? ? ? ? ?_； ?写出你猜想的第 n 个等式：? ? ? ? ? ? ?_； ?请利用上述规律，确定? ? ? 的个位数字是多少？ 【答案】? ? 【解析】解：? ? ? ? ? ? ? ? ； ? ? ? ? ? ? ? ? ； ?原式? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ，? ?，? ?，? ?，? ?， ? 的个位数 2，4，8，6 循环， ? ? ，? ? ? 的个位数为 6， 则原式的个位数为 5 故答案为：? ；? ?仿照阅读材
24、料中的等式写出第 4 个等式即可； ?归纳总结得到一般性规律，写出即可； 第 10 页 共 16 页 ?利用得出的规律化简，计算即可求出值 【点睛】此题考查了平方差公式，尾数特征，规律型：数字的变化类，以及多项式乘以多项式，熟练掌握 运算法则是解本题的关键 五、五、( (本大题共本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，满分分，满分 2020 分分) ) 19.某无人机兴趣小组在操场上开展活动?如图?，此时无人机在离地面 30 米的 D 处，无人机测得操控者 A 的俯角为 ?，测得点 C 处的俯角为 ?又经过人工测量操控者 A 和教学楼 BC 距离为 57 米，求教学楼 BC
25、的高度 ?注： 点 A， B， C， D 都在同一平面上 参考数据： ? ? ?， ? ? ?， ? ? ? 【答案】解：过点 D 作 耀? ? 于点 E，过点 C 作 ? 耀 于点 F 由题意得，? ? ，?耀? ? ，? ? ?，?耀 ? ? 在 ? ? ?耀 中，?耀 ? ?， ? ? ? 耀 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ?四边形 BCFE 是矩形， ? ? ? ? 在 ? ? 耀 中，?耀 ? ?， ? ?耀 ? ?耀 ? ? ? 耀 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 答：教学楼 BC 高约 13 米 【解析】作 耀? ? 于点 E，作 ? 耀
26、于点 F，由 ? ? 耀 ? ? ? 求得 ? ? ，由 ? ? ?知 ? ? ?，再根据四边形 BCFE 是矩形知 ? ? ? 由?耀 ? ?耀 ? ?知 耀 ? ? ?，从 而得 ? ? ? ? ? ? ? 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键 第 11 页 共 16 页 20.如图，AB 是? ? 的直径，P、C 是圆周上的点，? ? ?，弦 PC 交 AB 于点 D ?求证：? ? ?； ?若 ?耀 ? 耀，求? 的度数 【答案】?证明：如图，连接 OP ? ? ? ?， ? ? ? 在? ? 与? ? 中， ? ? ? ? ? ?
27、? ? ? ? ? ? ? ? ?； ?设? ? ? ? ?，则? ? ? ? ? ? ?耀 ? ?， ? ?耀? ? ? ? ? 在? ? 中，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】?连接 OP，构造全等三角形? ? ? ?，由该全等三角形的性质证得结论； ?设? ? ? ? ?，利用圆周角定理和三角形内角和定理列出方程，由方程思想解答 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题意，作出辅助线，构造全等三角形是解题 的关键 六、六、( (本题满分本题满分 1212 分分) ) 21.学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高王老师为进一步了解本班学生自
28、主学习、 合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类?：特别好，B：好，C：一般，D：较 差?后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图?如图?请根据统计图解答下列问题： 第 12 页 共 16 页 ?本次调查中，王老师一共调查了_名学生； ?将条形统计图补充完整； ?为了共同进步，王老师从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请 用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率 【答案】20 【解析】解：?根据题意得：王老师一共调查学生：? ? ? ? ?名?； 故答案为：20； ? ? 类女生： ? ? ? ? ?名?；D 类男生：
29、 ? ? ? ? ? ? ? ?名?； 如图： ?列表如下：A 类中的两名男生分别记为 A1 和 A2， 男 A1男 A2 ? 分? 女 A 男 D男 A1 男 D男 A2 男 D 女 A 男 D 女 D男 A1 女 D男 A2 女 D女 A 女 D 共有 6 种等可能的结果，其中，一男一女的有 3 种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率 为：? ? ? ?由题意可得：王老师一共调查学生：? ? ? ? ?名?； ?由题意可得：C类女生： ? ? ? ? ?名?；D类男生： ? ? ? ? ? ? ? ?名?；继而可补全条形统计图； ?首先根据题意列出表格， 再利用表格求得所有等可
30、能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况， 继 而求得答案 第 13 页 共 16 页 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率?所 求情况数与总情况数之比 七、七、( (本题满分本题满分 1212 分分) ) 22.我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品 种草莓，已知该草莓的成本为每千克 10 元，草莓成熟后投人市场销售经 市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量 ?千克?与销售单价 ?元千克?之间函数关系如图所示 ?求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 ?当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利
31、润最大？最大利润是多 少？ ?某村今年草莓采摘期限 30 天，预计产量 6000 千克，则按照?中的方式进行销售，能否销售完这批草 莓？请说明理由 【答案】解：?设 y 与 x 的函数关系式为 ? ? ? ? ? ? 把 ?，?分别代入， 得 ? ? ? ? ? ?， 解得 ? ? ? ? ? ? 与 x 的函数关系式为 ? ? ? ? 由题意知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设每天的销售利润为 w 元， 由题意知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ?当 ? ? ? 时，w 取最大值，为 2025 当该品种草莓定价为 19 元千克时，每天销售获
32、得的利润最大，为 2025 元 ?能销售完这批草莓 当 ? ? ? 时，? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? 所 ?， ?按照?中的方式进行销售，能销售完 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解 答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自 变量的取值范围内求最大值?或最小值? ?依据题意利用待定系数法可得出每天的销售量 ?千克?与销售单价 ?元千克?之间函数关系：? ? ? ?， ?根据销售利润?销售量? ?售价?进价?，列出平均每天的销售利润 ?元?与销售价 ?元千克?之间的函 数关系式
33、 ?将?中的数据代入计算即可 八、八、( (本题满分本题满分 1414 分分) ) 第 14 页 共 16 页 23.如图，点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AB、AC、CB 为底作顶角为 ?的等腰三角形，顶角顶点分别 为 D，E，?点 E，F 在 AB 的同侧，点 D 在 AB 的另一侧? ?如图 1，若点 C 是 AB 的中点，则?耀；?_? ?如图 2，若点 C 不是 AB 的中点，?求证：? 耀 为等边三角形； ?如图 3，连接 CD，若?耀 ? ?，? ? ?，求 EF 的长 【答案】90 【解析】解：?如图 1，过 E 作 ? ? ? 于 H，连接 CD， 设 ，? ? ?则
34、? ?，? ? ?， ? ?， ? ? ? ? ? ? ?， ? 是 AB 的中点，?耀 ? 耀， ? 耀 ? ?， ? ?耀 ? ?， ? ?耀? ? ?， ? 耀 ? ?， ? 耀 ? ，? ? ? ?耀， ? ?耀 ? ?耀 ? ?耀， ? ? ? ?，? ? ?， ? ? ? ?， ? ?耀 ? ?， ? ?耀 ? ? ?耀 ? ?； 故答案为：90； ?延长 FC 交 AD 于 H，连接 HE，如图 2， 第 15 页 共 16 页 ? ? ， ? ? ? ?， ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?， 同理：?耀? ? ?耀? ? ?，? ? ? ? ?， ? ?耀? ? ? ?
35、 ?耀， ? ?耀， 同理 ?耀， ?四边形 BDHE、四边形 AECH 是平行四边形， ? ，? ? ? ?耀， ? ?， ? ? ?，? ? ? ? ? ?， ? ? ?是等边三角形， ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?， ? ?耀? ? ?， ? ?耀? ? ? 耀? ? ? ， ? 耀?，? ? ? 耀?， ? 耀，? ? ? ? ?耀? ? ? ? ?， ? 耀 是等边三角形； ?如图 3，过 E 作 ? ? ? 于 M， ? ?耀 ? ?，?耀? ? ?， ? ?耀 ? ?， ? ?耀? ? ?， ? ?耀 ? ?耀 ? ?， ? 耀 ? ? ?， ? ? ? ?，
36、? ? ? ， ? 耀 ? ， 第 16 页 共 16 页 ? ? ? ?，?耀 ? ?， ? ?耀 ? ? ? ? ?， ? ?， ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ?， ? ? ? ? ， ? ? 耀 中，耀? 耀 ? ? ? ? ? ? ， 由?知：? 耀 是等边三角形， ? ? 耀? ? 【点睛】 ?如图 1， 作辅助线， 构建高线， 根据等腰三角形三线合一的性质得 耀 ? ? ， ? 证明?耀 ? ?耀 ? ?耀，可得?耀 ? ? ?耀 ? ?； ?作辅助线，构建等边三角形 AEH，先证明四边形 BDHF、四边形 AECH 是平行四边形，得对边相等， 再证明? ? ?是等边三角形，由 SAS 证明? 耀?， ?可得 耀?， ? 耀，? ? ?所以? 耀 是等边三角形； ?过 E 作 ? ? ? 于 M，先得 ? ? ， ? 耀 ? ，证明?耀 ? ? ? ? ?，根据勾股定理得 耀? ? ，则可得 EF 的长 此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、 直角三角形中 30 度角的性质等知识点；熟练掌握 30 度的等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解 决问题的关键
