1、2020 年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷（五）年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷（五） 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 12 的绝对值是（ ） A B2 C D2 2函数 y中，自变量 x 的取值范围为（ ） Ax Bx Cx且 x0 Dx 3据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到 了每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ） A3.386108 B0.3386109 C33.86107 D3.386109 4窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种
2、类繁 多的优美图案下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 5一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A108 B90 C72 D60 6下列运算正确的是（ ） A8aa8 B （a）4a4 Ca3a2a6 D （ab）2a2b2 7在平面直角坐标系中，若点 A（a，b）在第一象限内，则点 B（a，b）所在的象限是 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8若方程 3x24x40 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1+x2（ ） A4 B3 C D 9下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个 方差是衡量一组数
3、据波动大小的统计量；影响超市进货决策的主要统计量是众数； 折线统计图反映一组数据的变化趋势；水中捞月是必然事件 A1 B2 C3 D4 10如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，若CAB20，则CAD 的 大小为（ ） A20 B25 C30 D35 11如图，在ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CDBC，过 AC 中点 E 作 EFCD（点 F 位于点 E 右侧） ，且 EF2CD，连接 DF若 AB8，则 DF 的长为（ ） A3 B4 C2 D3 12已知点 A（3，y1） ，B（2，y2）均在抛物线 yax2+bx+c 上，点 P（m，n）是该抛物 线的顶点，若 y1y2
4、n，则 m 的取值范围是（ ） A3m2 B Cm Dm2 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13已知 x2+2x10，则 3x2+6x2 14在一个不透明的口袋中，装有 A，B，C，D4 个完全相同的小球，随机摸取一个小球然 后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是 15如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴正半轴上，反比例函数 y在第 一象限的图象经过点 D，交 BC 于 E，若点 E 是 BC 的中点，则 OD 的长为 16用一个圆心角为 180，半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的 半径为 17如图，一张三角形纸片
5、 ABC，C90，AC8cm，BC6cm现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于 cm 18如图，在 RtABC 中，B90，ABBC2，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60， 得到DEC，则 AE 的长是 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： 20 如图， 在平面直角坐标系中， 小正方形格子的边长为 1， RtABC 三个顶点都在格点上， 请解答下列问题： （1）写出 A，C 两点的坐标； （2）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1； （3）画出ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2C2，并直接写出点 C 旋转至 C2经过的路径长
6、 21中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广为了传承优秀传统文化，我市某校团委组 织了一次全校 2000 名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的 成绩均不低于 50 分， 为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况， 随机抽取了其中 200 名学生的海选比赛成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列统 计图表： 抽取的 200 名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 x A 组 50x60 B 组 60x70 C 组 70x80 D 组 80x90 E 组 90x100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图 1 中的条形统计图补充完整； （2
7、） 在图 2 的扇形统计图中， 记表示 B 组人数所占的百分比为 a%， 则 a 的值为 ， 表示 C 组扇形的圆心角 的度数为 度； （3）规定海选成绩在 90 分以上（包括 90 分）记为“优等” ，请估计该校参加这次海选 比赛的 2000 名学生中成绩“优等”的有多少人？ 22我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形” ，如 图 1，ABCD 中，AOB 和BOC 是“互补三角形” （1）写出图 1 中另外一组“互补三角形” ； （2）在图 2 中，用尺规作出一个EFH，使得EFH 和EFG 为“互补三角形” ，且 EFH 和EFG 在 EF 同侧，并证明这
8、一组“互补三角形”的面积相等 23某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 （1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？ （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某 档次产品一天的总利润为 1024 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 24如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点， 经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点
9、G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）设 ABx，AFy，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； （3）若 BE8，sinB，求 DG 的长， 25已知二次函数 y1ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A（1，0） ，B（n，0）两点， 一次函数 y22x+b 的图象过点 A （1）若 a 若二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，求ABC 的面积； 设 y3y1my2，是否存在正整数 m，当 x0 时，y3随 x 的增大而增大？若存在，求 出正整数 m 的值；若不存在，请说明理由 （2）若a，求证：5n4 26已知抛物线 yax2x+c 经过 A（
10、2，0） ，B（0，2）两点，动点 P，Q 同时从原点 出发均以 1 个单位/秒的速度运动， 动点 P 沿 x 轴正方向运动， 动点 Q 沿 y 轴正方向运动， 连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）当 BQAP 时，求 t 的值； （3）随着点 P，Q 的运动，抛物线上是否存在点 M，使MPQ 为等边三角形？若存在， 请求出 t 的值及相应点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 12 的绝对值是（ ） A B2 C D2 【分析】根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的
11、绝对值则2 的绝对值就是表示2 的点与原点的距离 【解答】解：|2|2， 故选：D 2函数 y中，自变量 x 的取值范围为（ ） Ax Bx Cx且 x0 Dx 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于 0，故分母 2x30，解得 x 的范围 【解答】解：根据题意得：2x30， 解得：x 故选：B 3据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到 了每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ） A3.386108 B0.3386109 C33.86107 D3.386109 【分析】科学记数法的表示形式
12、为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为 3.386108 故选：A 4窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁 多的优美图案下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解 【解
13、答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 5一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A108 B90 C72 D60 【分析】首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n2）540，即可求得 n5， 再由多边形的外角和等于 360，即可求得答案 【解答】解：设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n2）540， 解得：n5， 这个正多边形的每一个外角等于：72 故选：C 6下列运算正确的是（ ） A8aa8
14、B （a）4a4 Ca3a2a6 D （ab）2a2b2 【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂 的乘法运算法则分别化简求出答案 【解答】解：A、8aa7a，故此选项错误； B、 （a）4a4，正确； C、a3a2a5，故此选项错误； D、 （ab）2a22ab+b2，故此选项错误； 故选：B 7在平面直角坐标系中，若点 A（a，b）在第一象限内，则点 B（a，b）所在的象限是 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可 【解答】解：点 A（a，b）在第一象限内， a0，b0， b0， 点 B（a，b）
15、所在的象限是第四象限 故选：D 8若方程 3x24x40 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1+x2（ ） A4 B3 C D 【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2” ，由此即可得出结论 【解答】解：方程 3x24x40 的两个实数根分别为 x1，x2， x1+x2 故选：D 9下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个 方差是衡量一组数据波动大小的统计量；影响超市进货决策的主要统计量是众数； 折线统计图反映一组数据的变化趋势；水中捞月是必然事件 A1 B2 C3 D4 【分析】利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的 选项 【解答】解：方差
16、是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题； 影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题； 折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题； 水中捞月是必然事件，故正确，是真命题， 真命题有 4 个， 故选：D 10如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，若CAB20，则CAD 的 大小为（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】先求出ABC70，进而判断出ABDCBD35，最后用同弧所对的 圆周角相等即可得出结论 【解答】解：如图，连接 BD， AB 为O 的直径， ACB90， CAB20， ABC70， ， ABDCBDABC35， CADCBD35 故选：D
17、 11如图，在ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CDBC，过 AC 中点 E 作 EFCD（点 F 位于点 E 右侧） ，且 EF2CD，连接 DF若 AB8，则 DF 的长为（ ） A3 B4 C2 D3 【分析】取 BC 的中点 G，连接 EG，根据三角形的中位线定理得：EG4，设 CDx， 则 EFBC2x，证明四边形 EGDF 是平行四边形，可得 DFEG4 【解答】解：取 BC 的中点 G，连接 EG， E 是 AC 的中点， EG 是ABC 的中位线， EGAB4， 设 CDx，则 EFBC2x， BGCGx， EF2xDG， EFCD， 四边形 EGDF 是平行四边形， DF
18、EG4， 故选：B 12已知点 A（3，y1） ，B（2，y2）均在抛物线 yax2+bx+c 上，点 P（m，n）是该抛物 线的顶点，若 y1y2n，则 m 的取值范围是（ ） A3m2 B Cm Dm2 【分析】根据点 A（3，y1） ，B（2，y2）均在抛物线 yax2+bx+c 上，点 P（m，n）是 该抛物线的顶点，y1y2n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线 xm，则 m，从而可以求得 m 的取值范围，本题得以解决 【解答】解：点 P（m，n）是该抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为 xm， 点 A（3，y1） ，B（2，y2）均在抛物线 yax2+bx+c 上，且 y1y2n， m
19、， 解得 m， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13已知 x2+2x10，则 3x2+6x2 1 【分析】直接利用已知得出 x2+2x1，再代入原式求出答案 【解答】解：x2+2x10， x2+2x1， 3x2+6x23（x2+2x）23121 故答案为：1 14在一个不透明的口袋中，装有 A，B，C，D4 个完全相同的小球，随机摸取一个小球然 后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是 【分析】可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率 【解答】解：画树状图如下： P（两次摸到同一个小球） 故答案为： 15如图，边长为 2 的正方形
20、ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴正半轴上，反比例函数 y在第 一象限的图象经过点 D，交 BC 于 E，若点 E 是 BC 的中点，则 OD 的长为 2 【分析】设 D（x，2）则 E（x+2，1） ，由反比例函数经过点 D、E 列出关于 x 的方程， 求得 x 的值即可得出答案 【解答】解：设 D（x，2）则 E（x+2，1） ， 反比例函数 y在第一象限的图象经过点 D、点 E， 2xx+2， 解得 x2， D（2，2） ， OAAD2， OD2 故答案为 2 16用一个圆心角为 180，半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的 半径为 2 【分析】设这个圆锥的底面圆
21、的半径为 R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周 长，列出方程即可解决问题 【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为 R， 由题意：2R， 解得 R2 故答案为 2 17如图，一张三角形纸片 ABC，C90，AC8cm，BC6cm现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于 cm 【分析】根据折叠得：GH 是线段 AB 的垂直平分线，得出 AG 的长，再利用两角对应相 等证ACBAGH，利用比例式可求 GH 的长，即折痕的长 【解答】解：如图，折痕为 GH， 由勾股定理得：AB10cm， 由折叠得：AGBGAB105cm，GHAB， AGH90， AA，AGHC90， ACBAGH
22、， ， ， GHcm 故答案为： 18如图，在 RtABC 中，B90，ABBC2，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60， 得到DEC，则 AE 的长是 + 【分析】如图，连接 AD，由题意得：CACD，ACD60，得到ACD 为等边三角 形根据 ACAD，CEED，得出 AE 垂直平分 DC，于是求出 EODC，OAAC sin60，最终得到答案 AEEO+OA+ 【解答】解：如图，连接 AD， 由题意得：CACD，ACD60， ACD 为等边三角形， ADCA，DACDCAADC60； ABC90，ABBC2， ACAD2， ACAD，CEED， AE 垂直平分 DC， EODC，OACA
23、sin60， AEEO+OA+， 故答案为+ 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： 【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得 出答案 【解答】解：原式1（1）3+ 3 20 如图， 在平面直角坐标系中， 小正方形格子的边长为 1， RtABC 三个顶点都在格点上， 请解答下列问题： （1）写出 A，C 两点的坐标； （2）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1； （3）画出ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2C2，并直接写出点 C 旋转至 C2经过的路径长 【分析】 （1）利用第二象限点的坐标特征写出 A，C
24、两点的坐标； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （3）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2，然后描点得到 A2B2C2，再利用弧长公式计算点 C 旋转至 C2经过的路径长 【解答】解： （1）A 点坐标为（4，1） ，C 点坐标为（1，3） ； （2）如图，A1B1C1为所作； （3）如图，A2B2C2为所作， OC， 点 C 旋转至 C2经过的路径长 21中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广为了传承优秀传统文化，我市某校团委组 织了一次全校 2000 名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生
25、的 成绩均不低于 50 分， 为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况， 随机抽取了其中 200 名学生的海选比赛成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列统 计图表： 抽取的 200 名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 x A 组 50x60 B 组 60x70 C 组 70x80 D 组 80x90 E 组 90x100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图 1 中的条形统计图补充完整； （2） 在图 2 的扇形统计图中， 记表示 B 组人数所占的百分比为 a%， 则 a 的值为 15 ， 表示 C 组扇形的圆心角 的度数为 72 度； （3）规定海选成
26、绩在 90 分以上（包括 90 分）记为“优等” ，请估计该校参加这次海选 比赛的 2000 名学生中成绩“优等”的有多少人？ 【分析】 （1）用随机抽取的总人数减去 A、B、C、E 组的人数，求出 D 组的人数，从而 补全统计图； （2）用 B 组抽查的人数除以总人数，即可求出 a；用 360 乘以 C 组所占的百分比，求出 C 组扇形的圆心角 的度数； （3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在 90 分以上（包括 90 分）所占的百分 比，即可得出答案 【解答】解： （1）D 的人数是：2001030407050（人） ，补图如下： （2）B 组人数所占的百分比是100%15%， 则
27、 a 的值是 15； C 组扇形的圆心角 的度数为 36072； 故答案为：15，72； （3）根据题意得：2000700（人） ， 答：估计该校参加这次海选比赛的 2000 名学生中成绩“优等”的有 700 人 22我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形” ，如 图 1，ABCD 中，AOB 和BOC 是“互补三角形” （1）写出图 1 中另外一组“互补三角形” AOD 和DOC ； （2）在图 2 中，用尺规作出一个EFH，使得EFH 和EFG 为“互补三角形” ，且 EFH 和EFG 在 EF 同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等 【分析】 （1）根
28、据“互补三角形”可得结论； （2）作 EHFG，且 EHFG，可得符合条件的EFH，根据四边形 EFGH 是平行四边 形可知：这一组“互补三角形”的面积相等 【解答】解： （1）ABCD 中，OAOC， ODOD，AOD+COD180， AOD 和DOC 是“互补三角形” ， 故答案为：AOD 和DOC； （2）如图所示，EHFG，且 EHFG，则EFH 即为所求， 证明：连接 GH， EHFG，且 EHFG， 四边形 EFGH 是平行四边形， GHEF， SEFGSEFH 23某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元，调查表明：生
29、产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 （1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？ （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某 档次产品一天的总利润为 1024 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【分析】 （1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元，即可求 出第五档的蛋糕的利润； （2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出 关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）10+2（51）18（元） 答：该档次蛋糕每件利润为 18 元； （2）设烘焙店
30、生产的是第 x 档次的产品， 根据题意得：10+2（x1）764（x1）1024， 整理得：x216x+480， 解得：x14，x212（不合题意，舍去） 答：该烘焙店生产的是四档次的产品 24如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点， 经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）设 ABx，AFy，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； （3）若 BE8，sinB，求 DG 的长， 【分析】 （1）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一对角相等，再由
31、等边对等角得到一对角 相等，等量代换得到内错角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，得到 OD 与 BC 垂直，即可 得证； （2）连接 DF，由（1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而 得到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出 AD； （3）连接 EF，设圆的半径为 r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由 直径所对的圆周角为直角，得到 EF 与 BC 平行，得到 sinAEFsinB，进而求出 DG 的 长即可 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD， AD 为BAC 的角平分线， BADCAD， OAOD，
32、ODAOAD， ODACAD， ODAC， C90， ODC90， ODBC， BC 为圆 O 的切线； （2）解：连接 DF，由（1）知 BC 为圆 O 的切线， FDCDAF， CDACFD， AFDADB， BADDAF， ABDADF， ，即 AD2ABAFxy， 则 AD； （3）解：连接 EF，在 RtBOD 中，sinB， 设圆的半径为 r，可得， 解得：r5， AE10，AB18， AE 是直径， AFEC90， EFBC， AEFB， sinAEF， AFAEsinAEF10， AFOD， ，即 DGAD， AD， 则 DG 25已知二次函数 y1ax2+bx+c（a0）的图
33、象与 x 轴交于 A（1，0） ，B（n，0）两点， 一次函数 y22x+b 的图象过点 A （1）若 a 若二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，求ABC 的面积； 设 y3y1my2，是否存在正整数 m，当 x0 时，y3随 x 的增大而增大？若存在，求 出正整数 m 的值；若不存在，请说明理由 （2）若a，求证：5n4 【分析】 （1）将点 A 坐标代入解析式可求 b2，c2a，即可求抛物线解析式，可 求点 C，点 B 坐标，由三角形的面积公式可求解； 由 y3x2+2x+m（2x+2）x2+（22m）x+（2m） ，由二次函数的性质可 求 m1，即可求解； （3）
34、y1ax2+2x+（2a）的对称轴为 x，由a，可得3 ，又 A（1，0） 、B（n，0）两点关于对称轴对称，则|1（）|n|， 即可求解 【解答】解： （1）y1ax2+bx+c（a0）过点 A， ab+c0， y22x+b 的图象过点 A， b2， c2a； a， c2， y1x2+2x+， 二次函数 y1x2+2x+与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A（1，0） ，B（n，0）两点， 点 C（0，） ，点 B（3，0） ， AB2， ABC 的面积2； y3x2+2x+m（2x+2） x2+（22m）x+（2m） ， 在 x0 时，y3随 x 的增大而增大， 对称轴 x2m20， m
35、1， m 是正整数， m1； （2）y1ax2+2x+（2a）的对称轴为 x， 又a， 3， 又A（1，0） 、B（n，0）两点关于对称轴对称， |1（）|n|， n+1 或 n1（舍去） ， 5n4 26已知抛物线 yax2x+c 经过 A（2，0） ，B（0，2）两点，动点 P，Q 同时从原点 出发均以 1 个单位/秒的速度运动， 动点 P 沿 x 轴正方向运动， 动点 Q 沿 y 轴正方向运动， 连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）当 BQAP 时，求 t 的值； （3）随着点 P，Q 的运动，抛物线上是否存在点 M，使MPQ 为等边三角形？若存在， 请求出
36、 t 的值及相应点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法确定函数关系式 （2）BQAP，要考虑 P 在 OC 上及 P 在 OC 的延长线上两种情况，有此易得 BQ，AP 关于 t 的表示，代入 BQAP 可求 t 值 （3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形考 虑MPQ，发现 PQ 为一有规律的线段，易得 OPQ 为等腰直角三角形，但仅因此无法确 定 PQ 运动至何种情形时MPQ 为等边三角形若退一步考虑等腰，发现，MO 应为 PQ 的垂直平分线， 即使MPQ 为等边三角形的 M 点必属于 PQ 的垂直平分线与抛物线的交 点，但要
37、明确这些交点仅仅满足MPQ 为等腰三角形，不一定为等边三角形确定是否 为等边，我们可以直接由等边性质列出关于 t 的方程，考虑 t 的存在性 【解答】解： （1）抛物线经过 A（2，0） ，B（0，2）两点， 解得：a，c2 抛物线的解析式为 y 2 x+2； （2）由题意可知，OQOPt，AP2+t 如图 1， 当 t2 时，点 Q 在点 B 下方，此时 BQ2t BQAP， 2t（2+t） ， t1 如图 2，当 t2 时，点 Q 在点 B 上方，此时 BQt2 BQAP， t2（2+t） ， t4 当 BQAP 时，t1 或 t4 （3）存在 作 MCx 轴于点 C，连接 OM 设点 M
38、 的横坐标为 m，则点 M 的纵坐标为m2m+2 当MPQ 为等边三角形时，MQMP， 又OPOQ， 点 M 点必在 PQ 的垂直平分线上， POMPOQ45， MCO 为等腰直角三角形，CMCO， mm+2， 解得 m11，m23 M 点可能为（1，1）或（3，3） 如图 3，当 M 的坐标为（1，1）时， 则有 PC1t，MP21+（1t）2t 22t+2， PQ22t2， MPQ 为等边三角形， MPPQ， t 22t+22t2， 解得 t11+，t21（负值舍去） 如图 4，当点 M 的坐标为（3，3）时， 则有 PC3+t，MC3， MP232+（3+t）2t2+6t+18，PQ22t2， MPQ 为等边三角形， MPPQ， 解得 t13+3，t233（负值舍去） 当 t1+时，抛物线上存在点 M（1，1） ，或当 t3+3 时，抛物线上存在点 M （3，3） ，使得MPQ 为等边三角形
