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2020年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷(五)含答案解析

1、2020 年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷(五)年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷(五) 一选择题(共一选择题(共 12 小题)小题) 12 的绝对值是( ) A B2 C D2 2函数 y中,自变量 x 的取值范围为( ) Ax Bx Cx且 x0 Dx 3据报道,目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一,其运算速度达到 了每秒 338 600 000 亿次,数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为( ) A3.386108 B0.3386109 C33.86107 D3.386109 4窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计,窗棂上雕刻有线槽和各种花纹,构成种

2、类繁 多的优美图案下列表示我国古代窗棂样式结构图案中,不是轴对称图形的是( ) A B C D 5一个正多边形的内角和为 540,则这个正多边形的每一个外角等于( ) A108 B90 C72 D60 6下列运算正确的是( ) A8aa8 B (a)4a4 Ca3a2a6 D (ab)2a2b2 7在平面直角坐标系中,若点 A(a,b)在第一象限内,则点 B(a,b)所在的象限是 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8若方程 3x24x40 的两个实数根分别为 x1,x2,则 x1+x2( ) A4 B3 C D 9下列命题中,其中正确命题的个数为( )个 方差是衡量一组数

3、据波动大小的统计量;影响超市进货决策的主要统计量是众数; 折线统计图反映一组数据的变化趋势;水中捞月是必然事件 A1 B2 C3 D4 10如图,AB 为O 的直径,点 C,D 在O 上,若CAB20,则CAD 的 大小为( ) A20 B25 C30 D35 11如图,在ABC 中,延长 BC 至 D,使得 CDBC,过 AC 中点 E 作 EFCD(点 F 位于点 E 右侧) ,且 EF2CD,连接 DF若 AB8,则 DF 的长为( ) A3 B4 C2 D3 12已知点 A(3,y1) ,B(2,y2)均在抛物线 yax2+bx+c 上,点 P(m,n)是该抛物 线的顶点,若 y1y2

4、n,则 m 的取值范围是( ) A3m2 B Cm Dm2 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 13已知 x2+2x10,则 3x2+6x2 14在一个不透明的口袋中,装有 A,B,C,D4 个完全相同的小球,随机摸取一个小球然 后放回,再随机摸取一个小球,两次摸到同一个小球的概率是 15如图,边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A,B 在 x 轴正半轴上,反比例函数 y在第 一象限的图象经过点 D,交 BC 于 E,若点 E 是 BC 的中点,则 OD 的长为 16用一个圆心角为 180,半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的 半径为 17如图,一张三角形纸片

5、 ABC,C90,AC8cm,BC6cm现将纸片折叠:使点 A 与点 B 重合,那么折痕长等于 cm 18如图,在 RtABC 中,B90,ABBC2,将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60, 得到DEC,则 AE 的长是 三解答题(共三解答题(共 8 小题)小题) 19计算: 20 如图, 在平面直角坐标系中, 小正方形格子的边长为 1, RtABC 三个顶点都在格点上, 请解答下列问题: (1)写出 A,C 两点的坐标; (2)画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1; (3)画出ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2C2,并直接写出点 C 旋转至 C2经过的路径长

6、 21中华文明,源远流长;中华诗词,寓意深广为了传承优秀传统文化,我市某校团委组 织了一次全校 2000 名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛,赛后发现所有参赛学生的 成绩均不低于 50 分, 为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况, 随机抽取了其中 200 名学生的海选比赛成绩(成绩 x 取整数,总分 100 分)作为样本进行整理,得到下列统 计图表: 抽取的 200 名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 x A 组 50x60 B 组 60x70 C 组 70x80 D 组 80x90 E 组 90x100 请根据所给信息,解答下列问题: (1)请把图 1 中的条形统计图补充完整; (2

7、) 在图 2 的扇形统计图中, 记表示 B 组人数所占的百分比为 a%, 则 a 的值为 , 表示 C 组扇形的圆心角 的度数为 度; (3)规定海选成绩在 90 分以上(包括 90 分)记为“优等” ,请估计该校参加这次海选 比赛的 2000 名学生中成绩“优等”的有多少人? 22我们把有两边对应相等,且夹角互补(不相等)的两个三角形叫做“互补三角形” ,如 图 1,ABCD 中,AOB 和BOC 是“互补三角形” (1)写出图 1 中另外一组“互补三角形” ; (2)在图 2 中,用尺规作出一个EFH,使得EFH 和EFG 为“互补三角形” ,且 EFH 和EFG 在 EF 同侧,并证明这

8、一组“互补三角形”的面积相等 23某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产 76 件,每件利润 10 元,调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加 2 元 (1)若生产第五档次的蛋糕,该档次蛋糕每件利润为多少元? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少 4 件若生产的某 档次产品一天的总利润为 1024 元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 24如图,在 RtABC 中,C90,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点, 经过点 A,D 的O 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 OF 交 AD 于点

9、G (1)求证:BC 是O 的切线; (2)设 ABx,AFy,试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长; (3)若 BE8,sinB,求 DG 的长, 25已知二次函数 y1ax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A(1,0) ,B(n,0)两点, 一次函数 y22x+b 的图象过点 A (1)若 a 若二次函数 y1ax2+bx+c(a0)与 y 轴交于点 C,求ABC 的面积; 设 y3y1my2,是否存在正整数 m,当 x0 时,y3随 x 的增大而增大?若存在,求 出正整数 m 的值;若不存在,请说明理由 (2)若a,求证:5n4 26已知抛物线 yax2x+c 经过 A(

10、2,0) ,B(0,2)两点,动点 P,Q 同时从原点 出发均以 1 个单位/秒的速度运动, 动点 P 沿 x 轴正方向运动, 动点 Q 沿 y 轴正方向运动, 连接 PQ,设运动时间为 t 秒 (1)求抛物线的解析式; (2)当 BQAP 时,求 t 的值; (3)随着点 P,Q 的运动,抛物线上是否存在点 M,使MPQ 为等边三角形?若存在, 请求出 t 的值及相应点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题)小题) 12 的绝对值是( ) A B2 C D2 【分析】根据绝对值的定义:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的

11、绝对值则2 的绝对值就是表示2 的点与原点的距离 【解答】解:|2|2, 故选:D 2函数 y中,自变量 x 的取值范围为( ) Ax Bx Cx且 x0 Dx 【分析】该函数是分式,分式有意义的条件是分母不等于 0,故分母 2x30,解得 x 的范围 【解答】解:根据题意得:2x30, 解得:x 故选:B 3据报道,目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一,其运算速度达到 了每秒 338 600 000 亿次,数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为( ) A3.386108 B0.3386109 C33.86107 D3.386109 【分析】科学记数法的表示形式

12、为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时,n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数 【解答】解:数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为 3.386108 故选:A 4窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计,窗棂上雕刻有线槽和各种花纹,构成种类繁 多的优美图案下列表示我国古代窗棂样式结构图案中,不是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做 轴对称图形,根据轴对称图形的概念求解 【解

13、答】解:A、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项符合题意; B、是轴对称图形,故此选项不合题意; C、是轴对称图形,故此选项不合题意; D、是轴对称图形,故此选项不合题意; 故选:A 5一个正多边形的内角和为 540,则这个正多边形的每一个外角等于( ) A108 B90 C72 D60 【分析】首先设此多边形为 n 边形,根据题意得:180(n2)540,即可求得 n5, 再由多边形的外角和等于 360,即可求得答案 【解答】解:设此多边形为 n 边形, 根据题意得:180(n2)540, 解得:n5, 这个正多边形的每一个外角等于:72 故选:C 6下列运算正确的是( ) A8aa8

14、B (a)4a4 Ca3a2a6 D (ab)2a2b2 【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂 的乘法运算法则分别化简求出答案 【解答】解:A、8aa7a,故此选项错误; B、 (a)4a4,正确; C、a3a2a5,故此选项错误; D、 (ab)2a22ab+b2,故此选项错误; 故选:B 7在平面直角坐标系中,若点 A(a,b)在第一象限内,则点 B(a,b)所在的象限是 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可 【解答】解:点 A(a,b)在第一象限内, a0,b0, b0, 点 B(a,b)

15、所在的象限是第四象限 故选:D 8若方程 3x24x40 的两个实数根分别为 x1,x2,则 x1+x2( ) A4 B3 C D 【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2” ,由此即可得出结论 【解答】解:方程 3x24x40 的两个实数根分别为 x1,x2, x1+x2 故选:D 9下列命题中,其中正确命题的个数为( )个 方差是衡量一组数据波动大小的统计量;影响超市进货决策的主要统计量是众数; 折线统计图反映一组数据的变化趋势;水中捞月是必然事件 A1 B2 C3 D4 【分析】利用方差的意义,众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的 选项 【解答】解:方差

16、是衡量一组数据波动大小的统计量,正确,是真命题; 影响超市进货决策的主要统计量是众数,正确,是真命题; 折线统计图反映一组数据的变化趋势,正确,是真命题; 水中捞月是必然事件,故正确,是真命题, 真命题有 4 个, 故选:D 10如图,AB 为O 的直径,点 C,D 在O 上,若CAB20,则CAD 的 大小为( ) A20 B25 C30 D35 【分析】先求出ABC70,进而判断出ABDCBD35,最后用同弧所对的 圆周角相等即可得出结论 【解答】解:如图,连接 BD, AB 为O 的直径, ACB90, CAB20, ABC70, , ABDCBDABC35, CADCBD35 故选:D

17、 11如图,在ABC 中,延长 BC 至 D,使得 CDBC,过 AC 中点 E 作 EFCD(点 F 位于点 E 右侧) ,且 EF2CD,连接 DF若 AB8,则 DF 的长为( ) A3 B4 C2 D3 【分析】取 BC 的中点 G,连接 EG,根据三角形的中位线定理得:EG4,设 CDx, 则 EFBC2x,证明四边形 EGDF 是平行四边形,可得 DFEG4 【解答】解:取 BC 的中点 G,连接 EG, E 是 AC 的中点, EG 是ABC 的中位线, EGAB4, 设 CDx,则 EFBC2x, BGCGx, EF2xDG, EFCD, 四边形 EGDF 是平行四边形, DF

18、EG4, 故选:B 12已知点 A(3,y1) ,B(2,y2)均在抛物线 yax2+bx+c 上,点 P(m,n)是该抛物 线的顶点,若 y1y2n,则 m 的取值范围是( ) A3m2 B Cm Dm2 【分析】根据点 A(3,y1) ,B(2,y2)均在抛物线 yax2+bx+c 上,点 P(m,n)是 该抛物线的顶点,y1y2n,可知该抛物线开口向上,对称轴是直线 xm,则 m,从而可以求得 m 的取值范围,本题得以解决 【解答】解:点 P(m,n)是该抛物线的顶点, 抛物线的对称轴为 xm, 点 A(3,y1) ,B(2,y2)均在抛物线 yax2+bx+c 上,且 y1y2n, m

19、, 解得 m, 故选:C 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 13已知 x2+2x10,则 3x2+6x2 1 【分析】直接利用已知得出 x2+2x1,再代入原式求出答案 【解答】解:x2+2x10, x2+2x1, 3x2+6x23(x2+2x)23121 故答案为:1 14在一个不透明的口袋中,装有 A,B,C,D4 个完全相同的小球,随机摸取一个小球然 后放回,再随机摸取一个小球,两次摸到同一个小球的概率是 【分析】可以根据画树状图的方法,先画树状图,再求得两次摸到同一个小球的概率 【解答】解:画树状图如下: P(两次摸到同一个小球) 故答案为: 15如图,边长为 2 的正方形

20、ABCD 的顶点 A,B 在 x 轴正半轴上,反比例函数 y在第 一象限的图象经过点 D,交 BC 于 E,若点 E 是 BC 的中点,则 OD 的长为 2 【分析】设 D(x,2)则 E(x+2,1) ,由反比例函数经过点 D、E 列出关于 x 的方程, 求得 x 的值即可得出答案 【解答】解:设 D(x,2)则 E(x+2,1) , 反比例函数 y在第一象限的图象经过点 D、点 E, 2xx+2, 解得 x2, D(2,2) , OAAD2, OD2 故答案为 2 16用一个圆心角为 180,半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的 半径为 2 【分析】设这个圆锥的底面圆

21、的半径为 R,根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周 长,列出方程即可解决问题 【解答】解:设这个圆锥的底面圆的半径为 R, 由题意:2R, 解得 R2 故答案为 2 17如图,一张三角形纸片 ABC,C90,AC8cm,BC6cm现将纸片折叠:使点 A 与点 B 重合,那么折痕长等于 cm 【分析】根据折叠得:GH 是线段 AB 的垂直平分线,得出 AG 的长,再利用两角对应相 等证ACBAGH,利用比例式可求 GH 的长,即折痕的长 【解答】解:如图,折痕为 GH, 由勾股定理得:AB10cm, 由折叠得:AGBGAB105cm,GHAB, AGH90, AA,AGHC90, ACBAGH

22、, , , GHcm 故答案为: 18如图,在 RtABC 中,B90,ABBC2,将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60, 得到DEC,则 AE 的长是 + 【分析】如图,连接 AD,由题意得:CACD,ACD60,得到ACD 为等边三角 形根据 ACAD,CEED,得出 AE 垂直平分 DC,于是求出 EODC,OAAC sin60,最终得到答案 AEEO+OA+ 【解答】解:如图,连接 AD, 由题意得:CACD,ACD60, ACD 为等边三角形, ADCA,DACDCAADC60; ABC90,ABBC2, ACAD2, ACAD,CEED, AE 垂直平分 DC, EODC,OACA

23、sin60, AEEO+OA+, 故答案为+ 三解答题(共三解答题(共 8 小题)小题) 19计算: 【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得 出答案 【解答】解:原式1(1)3+ 3 20 如图, 在平面直角坐标系中, 小正方形格子的边长为 1, RtABC 三个顶点都在格点上, 请解答下列问题: (1)写出 A,C 两点的坐标; (2)画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1; (3)画出ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2C2,并直接写出点 C 旋转至 C2经过的路径长 【分析】 (1)利用第二象限点的坐标特征写出 A,C

24、两点的坐标; (2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标,然后描点即可; (3)利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2,然后描点得到 A2B2C2,再利用弧长公式计算点 C 旋转至 C2经过的路径长 【解答】解: (1)A 点坐标为(4,1) ,C 点坐标为(1,3) ; (2)如图,A1B1C1为所作; (3)如图,A2B2C2为所作, OC, 点 C 旋转至 C2经过的路径长 21中华文明,源远流长;中华诗词,寓意深广为了传承优秀传统文化,我市某校团委组 织了一次全校 2000 名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛,赛后发现所有参赛学生

25、的 成绩均不低于 50 分, 为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况, 随机抽取了其中 200 名学生的海选比赛成绩(成绩 x 取整数,总分 100 分)作为样本进行整理,得到下列统 计图表: 抽取的 200 名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 x A 组 50x60 B 组 60x70 C 组 70x80 D 组 80x90 E 组 90x100 请根据所给信息,解答下列问题: (1)请把图 1 中的条形统计图补充完整; (2) 在图 2 的扇形统计图中, 记表示 B 组人数所占的百分比为 a%, 则 a 的值为 15 , 表示 C 组扇形的圆心角 的度数为 72 度; (3)规定海选成

26、绩在 90 分以上(包括 90 分)记为“优等” ,请估计该校参加这次海选 比赛的 2000 名学生中成绩“优等”的有多少人? 【分析】 (1)用随机抽取的总人数减去 A、B、C、E 组的人数,求出 D 组的人数,从而 补全统计图; (2)用 B 组抽查的人数除以总人数,即可求出 a;用 360 乘以 C 组所占的百分比,求出 C 组扇形的圆心角 的度数; (3)用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在 90 分以上(包括 90 分)所占的百分 比,即可得出答案 【解答】解: (1)D 的人数是:2001030407050(人) ,补图如下: (2)B 组人数所占的百分比是100%15%, 则

27、 a 的值是 15; C 组扇形的圆心角 的度数为 36072; 故答案为:15,72; (3)根据题意得:2000700(人) , 答:估计该校参加这次海选比赛的 2000 名学生中成绩“优等”的有 700 人 22我们把有两边对应相等,且夹角互补(不相等)的两个三角形叫做“互补三角形” ,如 图 1,ABCD 中,AOB 和BOC 是“互补三角形” (1)写出图 1 中另外一组“互补三角形” AOD 和DOC ; (2)在图 2 中,用尺规作出一个EFH,使得EFH 和EFG 为“互补三角形” ,且 EFH 和EFG 在 EF 同侧,并证明这一组“互补三角形”的面积相等 【分析】 (1)根

28、据“互补三角形”可得结论; (2)作 EHFG,且 EHFG,可得符合条件的EFH,根据四边形 EFGH 是平行四边 形可知:这一组“互补三角形”的面积相等 【解答】解: (1)ABCD 中,OAOC, ODOD,AOD+COD180, AOD 和DOC 是“互补三角形” , 故答案为:AOD 和DOC; (2)如图所示,EHFG,且 EHFG,则EFH 即为所求, 证明:连接 GH, EHFG,且 EHFG, 四边形 EFGH 是平行四边形, GHEF, SEFGSEFH 23某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产 76 件,每件利润 10 元,调查表明:生

29、产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加 2 元 (1)若生产第五档次的蛋糕,该档次蛋糕每件利润为多少元? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少 4 件若生产的某 档次产品一天的总利润为 1024 元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 【分析】 (1)根据生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加 2 元,即可求 出第五档的蛋糕的利润; (2)设烘焙店生产的是第 x 档次的产品,根据单件利润销售数量总利润,即可得出 关于 x 的一元二次方程,解之即可得出结论 【解答】解: (1)10+2(51)18(元) 答:该档次蛋糕每件利润为 18 元; (2)设烘焙店

30、生产的是第 x 档次的产品, 根据题意得:10+2(x1)764(x1)1024, 整理得:x216x+480, 解得:x14,x212(不合题意,舍去) 答:该烘焙店生产的是四档次的产品 24如图,在 RtABC 中,C90,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点, 经过点 A,D 的O 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 OF 交 AD 于点 G (1)求证:BC 是O 的切线; (2)设 ABx,AFy,试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长; (3)若 BE8,sinB,求 DG 的长, 【分析】 (1)连接 OD,由 AD 为角平分线得到一对角相等,再由

31、等边对等角得到一对角 相等,等量代换得到内错角相等,进而得到 OD 与 AC 平行,得到 OD 与 BC 垂直,即可 得证; (2)连接 DF,由(1)得到 BC 为圆 O 的切线,由弦切角等于夹弧所对的圆周角,进而 得到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似,由相似得比例,即可表示出 AD; (3)连接 EF,设圆的半径为 r,由 sinB 的值,利用锐角三角函数定义求出 r 的值,由 直径所对的圆周角为直角,得到 EF 与 BC 平行,得到 sinAEFsinB,进而求出 DG 的 长即可 【解答】 (1)证明:如图,连接 OD, AD 为BAC 的角平分线, BADCAD, OAOD,

32、ODAOAD, ODACAD, ODAC, C90, ODC90, ODBC, BC 为圆 O 的切线; (2)解:连接 DF,由(1)知 BC 为圆 O 的切线, FDCDAF, CDACFD, AFDADB, BADDAF, ABDADF, ,即 AD2ABAFxy, 则 AD; (3)解:连接 EF,在 RtBOD 中,sinB, 设圆的半径为 r,可得, 解得:r5, AE10,AB18, AE 是直径, AFEC90, EFBC, AEFB, sinAEF, AFAEsinAEF10, AFOD, ,即 DGAD, AD, 则 DG 25已知二次函数 y1ax2+bx+c(a0)的图

33、象与 x 轴交于 A(1,0) ,B(n,0)两点, 一次函数 y22x+b 的图象过点 A (1)若 a 若二次函数 y1ax2+bx+c(a0)与 y 轴交于点 C,求ABC 的面积; 设 y3y1my2,是否存在正整数 m,当 x0 时,y3随 x 的增大而增大?若存在,求 出正整数 m 的值;若不存在,请说明理由 (2)若a,求证:5n4 【分析】 (1)将点 A 坐标代入解析式可求 b2,c2a,即可求抛物线解析式,可 求点 C,点 B 坐标,由三角形的面积公式可求解; 由 y3x2+2x+m(2x+2)x2+(22m)x+(2m) ,由二次函数的性质可 求 m1,即可求解; (3)

34、y1ax2+2x+(2a)的对称轴为 x,由a,可得3 ,又 A(1,0) 、B(n,0)两点关于对称轴对称,则|1()|n|, 即可求解 【解答】解: (1)y1ax2+bx+c(a0)过点 A, ab+c0, y22x+b 的图象过点 A, b2, c2a; a, c2, y1x2+2x+, 二次函数 y1x2+2x+与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A(1,0) ,B(n,0)两点, 点 C(0,) ,点 B(3,0) , AB2, ABC 的面积2; y3x2+2x+m(2x+2) x2+(22m)x+(2m) , 在 x0 时,y3随 x 的增大而增大, 对称轴 x2m20, m

35、1, m 是正整数, m1; (2)y1ax2+2x+(2a)的对称轴为 x, 又a, 3, 又A(1,0) 、B(n,0)两点关于对称轴对称, |1()|n|, n+1 或 n1(舍去) , 5n4 26已知抛物线 yax2x+c 经过 A(2,0) ,B(0,2)两点,动点 P,Q 同时从原点 出发均以 1 个单位/秒的速度运动, 动点 P 沿 x 轴正方向运动, 动点 Q 沿 y 轴正方向运动, 连接 PQ,设运动时间为 t 秒 (1)求抛物线的解析式; (2)当 BQAP 时,求 t 的值; (3)随着点 P,Q 的运动,抛物线上是否存在点 M,使MPQ 为等边三角形?若存在, 请求出

36、 t 的值及相应点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)利用待定系数法确定函数关系式 (2)BQAP,要考虑 P 在 OC 上及 P 在 OC 的延长线上两种情况,有此易得 BQ,AP 关于 t 的表示,代入 BQAP 可求 t 值 (3)考虑等边三角形,我们通常只需明确一边的情况,进而即可描述出整个三角形考 虑MPQ,发现 PQ 为一有规律的线段,易得 OPQ 为等腰直角三角形,但仅因此无法确 定 PQ 运动至何种情形时MPQ 为等边三角形若退一步考虑等腰,发现,MO 应为 PQ 的垂直平分线, 即使MPQ 为等边三角形的 M 点必属于 PQ 的垂直平分线与抛物线的交 点,但要

37、明确这些交点仅仅满足MPQ 为等腰三角形,不一定为等边三角形确定是否 为等边,我们可以直接由等边性质列出关于 t 的方程,考虑 t 的存在性 【解答】解: (1)抛物线经过 A(2,0) ,B(0,2)两点, 解得:a,c2 抛物线的解析式为 y 2 x+2; (2)由题意可知,OQOPt,AP2+t 如图 1, 当 t2 时,点 Q 在点 B 下方,此时 BQ2t BQAP, 2t(2+t) , t1 如图 2,当 t2 时,点 Q 在点 B 上方,此时 BQt2 BQAP, t2(2+t) , t4 当 BQAP 时,t1 或 t4 (3)存在 作 MCx 轴于点 C,连接 OM 设点 M

38、 的横坐标为 m,则点 M 的纵坐标为m2m+2 当MPQ 为等边三角形时,MQMP, 又OPOQ, 点 M 点必在 PQ 的垂直平分线上, POMPOQ45, MCO 为等腰直角三角形,CMCO, mm+2, 解得 m11,m23 M 点可能为(1,1)或(3,3) 如图 3,当 M 的坐标为(1,1)时, 则有 PC1t,MP21+(1t)2t 22t+2, PQ22t2, MPQ 为等边三角形, MPPQ, t 22t+22t2, 解得 t11+,t21(负值舍去) 如图 4,当点 M 的坐标为(3,3)时, 则有 PC3+t,MC3, MP232+(3+t)2t2+6t+18,PQ22t2, MPQ 为等边三角形, MPPQ, 解得 t13+3,t233(负值舍去) 当 t1+时,抛物线上存在点 M(1,1) ,或当 t3+3 时,抛物线上存在点 M (3,3) ,使得MPQ 为等边三角形